Seno, cosseno e tangente relacionam as medidas dos lados de um triângulo retângulo com as medidas de seus ângulos. São chamados de relações trigonométricas ou razões trigonométricas.
Como essas relações são definidas a partir de um triângulo retângulo, vale relembrar os elementos dessa figura geométrica.
O que é um triângulo retângulo?
Triângulo é um polígono que possui três lados. Quando um dos seus ângulos é igual a 90°, ele é chamado de retângulo.
Observe que o ângulo reto está no vértice C do triângulo. Os lados que partem desse vértice são chamados de adjacentes ao ângulo reto e, na Trigonometria, são conhecidos como catetos. O lado que sobra sempre é o maior do triângulo retângulo e é chamado de hipotenusa.
Afinal, o que é cateto oposto e cateto adjacente?
Para definir seno, cosseno e tangente, é necessário escolher um ângulo como referência. Considere o ângulo α: o cateto BC é o cateto oposto, e o lado AC é o cateto adjacente, pois BC é o lado oposto ao ângulo α. Se escolhermos β como referência, será o contrário: AC será o cateto oposto, e BC, o cateto adjacente, pois, nesse caso, é AC que se opõe ao ângulo em questão.
O que é seno?
O seno do ângulo θ é o nome dado a uma razão entre a medida do cateto oposto a θ e a hipotenusa de um triângulo retângulo. Razão é o resultado de uma divisão em que a ordem imposta deve ser respeitada. Sendo assim, seno é o resultado da divisão da medida do cateto oposto pela medida da hipotenusa:
Senθ = Cateto oposto a θ
hipotenusa
Uma propriedade importante das razões trigonométricas é a seguinte: o valor do seno, por exemplo, sempre será o mesmo independentemente do comprimento dos catetos ou da hipotenusa. Sua variação ocorre apenas no momento em que se varia o ângulo θ. Isso acontece porque, se dois triângulos retângulos possuem mais um ângulo congruente, esses dois triângulos são semelhantes, logo, a razão entre seus lados possui o mesmo resultado. Para ilustrar essa situação, observe o exemplo a seguir:
Note que existem três triângulos retângulos nessa figura: ACG, ADH e AEF. Note também que os catetos opostos ao ângulo de 30° em cada um desses triângulos são, respectivamente, CG, DH e EF, e as respectivas hipotenusas são AG, AH e AF.
Note também que a razão entre o cateto oposto e a hipotenusa de cada um desses triângulos aproxima-se de 0,5. Aumentando a medida do ângulo θ, aumentamos também o seu seno.
O que é cosseno?
O cosseno do ângulo θ é a razão entre a medida do cateto adjacente a θ e a hipotenusa do triângulo retângulo.
Cosθ = Cateto adjacente a θ
hipotenusa
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A propriedade discutida anteriormente para os senos também é válida para os cossenos.
O que é tangente?
A tangente de um ângulo é a única razão que não envolve a medida da hipotenusa. Ela é dada pela razão entre a medida do cateto oposto e a medida do cateto adjacente ao ângulo θ.
Tgθ =
Cateto oposto a θ
Cateto adjacente a θ
A propriedade mencionada tanto para seno quanto para cosseno também vale aqui.
Afinal, para que servem essas razões?
Definitivamente não queremos saber o resultado da divisão entre o cateto oposto e a hipotenusa, por exemplo. Todavia, sabendo que esse resultado vale para quaisquer triângulos com o mesmo ângulo θ, podemos definir uma tabela trigonométrica e usá-la para descobrir valores de lados de um triângulo retângulo quando conhecemos as medidas de um de seus ângulos. Observe:
Exemplo
Calcule a medida x do triângulo a seguir:
Observe que o triângulo acima possui um ângulo reto e um ângulo de 30°. Note também que x é justamente a medida do cateto oposto a 30° e que a hipotenusa mede 5 cm. Com essas informações, qual das três razões trigonométricas é a mais adequada?
A resposta para essa pergunta deve ser seno, pois essa é a única razão trigonométrica que envolve o cateto oposto e a hipotenusa. Substituindo os valores na razão seno, teremos:
Sen30° = x
5
Como dito, não importam as medidas dos lados de um triângulo. O seno de 30° sempre será igual a 0,5. Assim, podemos substituir:
0,5 = x
5
5·0,5 = x
x = 2,5
Os valores de seno, cosseno e tangente de cada ângulo podem ser encontrados em uma tabela de razões trigonométricas (clique aqui) ou podem ser calculados em uma calculadora científica. Geralmente, é exigido que os alunos saibam os valores de seno, cosseno e tangente para os ângulos de 30°, 45° e 60°, que podem ser encontradas na tabela a seguir:
30° | 45° | 60° | |
Sen θ | 1 | √2 | √3 |
Cos θ | √3 | √2 | 1 |
Tg θ | √3 | 1 | √3 |
Tabela de valores trigonométricos