Domínio, contradomínio e imagem são conjuntos numéricos usados para definir as funções. Nesses conjuntos, existem dois tipos de variável: as independentes, que podem assumir qualquer valor pertencente ao domínio, e as dependentes, que podem assumir qualquer valor pertencente ao contradomínio. Para compreender bem os conceitos de domínio, contradomínio e imagem, é importante conhecer os conceitos de função, variáveis e conjuntos, que serão discutidos a seguir.
Funções
Uma função é uma regra que relaciona cada elemento do conjunto A a um único elemento do conjunto B. Em outras palavras, uma função é uma equação que relaciona números que pertencem a um conjunto a números que pertencem a outro de acordo com a definição acima.
Nas funções, o conjunto A é conhecido como domínio, e o conjunto B é o contradomínio.
Note que são necessários dois conjuntos e uma regra que os relaciona para definir uma função. Algebricamente, utilizamos símbolos para representar essa definição da seguinte maneira:
f: A → B
y = f(x)
Essa simbologia significa que cada elemento do conjunto A relaciona-se a um único elemento do conjunto B por meio da regra f e que essa regra é dada por y = f(x). A leitura dessa simbologia é: f de A em B, com y = f(x). Geralmente, esse f(x) é substituído por alguma equação em função de x.
Assim, dada uma função, por exemplo:
f: N → Z
y = 2x
Perceba que a função f relaciona cada elemento do conjunto dos números naturais a um único elemento do conjunto dos números inteiros por meio da regra y = 2x. Assim, dados os elementos 1, 2, 3, 4 e 5 dos números naturais, eles estarão relacionados aos respectivos elementos dos números inteiros: 2, 4, 6, 8 e 10.
Note que o resultado y depende do valor escolhido para x, assim, x é chamado variável independente e y é chamado variável dependente.
Domínio, contradomínio e imagem
Em uma função f: A → B, com y = f(x), o domínio dessa função é o conjunto A. Em outras palavras, os elementos que pertencem ao domínio dessa função são os mesmos elementos que pertencem ao conjunto A.
Os elementos que pertencem a esse conjunto são os possíveis valores da variável independente, geralmente representada pela letra x. Por exemplo, considere a seguinte função:
f: N → Z
y = 2x
Sabemos que seu domínio é composto por todos os númerosnaturais. Então, a variável x pode assumir qualquer valor dentro desse conjunto, mas não pode assumir qualquer valor que não pertença a ele.
Note que essa função pega números naturais do domínio e multiplica por 2. Sendo assim, os resultados obtidos quando aplicamos a regra dessa função em qualquer número de seu domínio será um número par.
O contradomínio é o conjunto B, que contém todos os resultados possíveis obtidos aplicando a regra da função a um elemento do domínio. O contradomínio é um conjunto que obrigatoriamente deve conter todos esses resultados. Então, ele geralmente é um conjunto que contém o domínio ou é igual a ele.
Além disso, observe que o contradomínio contém todos os valores que a variável dependente pode assumir. Essa variável geralmente é representada pela letra y.
No exemplo dado, abaixo, note que os elementos que pertencem ao contradomínio da função são todos os números inteiros, embora nem todos eles estejam relacionados a elementos do domínio.
f: N → Z
y = 2x
A imagem de uma função é o conjunto dos elementos do contradomínio que estão relacionados a algum elemento do domínio. Na função acima, por exemplo, se x = 2, temos y = 4. O número 4 é chamado imagem de 2 pela função y = 2x. O conjunto de todas as imagens é o que chamamos de conjunto imagem da função.
Uma função é uma regra que relaciona cada elemento de um conjunto A a um único elemento de um conjunto B. De acordo com essa definição, as funções necessariamente devem relacionar todos os elementos do primeiro conjunto, mas nem todos os elementos do segundo conjunto serão “usados”. São nesses dois conjuntos que podemos encontrar o domínio, o contradomínio e a imagem de uma função.
Algebricamente, uma função é definida da seguinte maneira:
f: A → B
y = f(x)
Em que f é a letra escolhida para representar a função, e y = f(x) é a regra da função.
O símbolo A → B quer dizer que os elementos do conjunto A serão avaliados na regra f(x) e terão como resultado um elemento do conjunto B. A letra x, em uma função, representa um elemento qualquer do conjunto A, por isso, é chamada de variável: pode assumir qualquer valor, desde que esse valor seja um dos elementos de A.
Além disso, x também é variável independente, pois é essa variável que determina qual elemento do conjunto B será relacionado ao elemento do conjunto A por meio da regra y = f(x).
A variável y é dependente da variável x, por essa razão, é nomeada como variável dependente. Em resumo, a variável x representa um elemento qualquer do conjunto A, e a variável y refere-se a um elemento qualquer do conjunto B.
O que é domínio, contradomínio e imagem?
Dada a função y = f(x) que relaciona os elementos do conjunto A aos elementos do conjunto B, podemos definir:
1 – O conjunto A é conhecido como domínio. Esse nome é escolhido para esse conjunto devido ao papel dos seus elementos na função. Lembre-se de que o conjunto A é que determina a variável independente. Portanto, os elementos do conjunto A possuem o “domínio” sobre os resultados da função, uma vez que os resultados de y obtidos dependem do valor x escolhido.
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Exemplo – dada a função:
f: N → Z
y = 2x
O conjunto dos números naturais é o domínio, portanto, os números que poderão ser relacionados estão no conjunto:
N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, …}
2 – O conjunto B é conhecido como contradomínio. Esse nome é escolhido pelo fato de que nem todos os elementos do conjunto B precisam ser usados para que a função seja válida. Além disso, esse nome remete à dependência que existe entre os conjuntos A e B.
O contradomínio é o conjunto em que encontraremos todos os números que podem ser relacionados aos elementos do domínio por meio da função f. Tomando novamente o exemplo anterior:
f: N → Z
y = 2x
O contradomínio é o conjunto formado por todos os números inteiros. Note que alguns números inteiros nunca poderão ser resultados de uma multiplicação de um número natural por 2, como o número 7. Assim, embora o número 7 pertença ao contradomínio, ele não pode ser relacionado a nenhum número no domínio.
3 – O subconjunto do contradomínio, formado por todos os seus elementos que se relacionam a algum elemento do domínio, é denominado de imagem.
Assim, na função anterior:
f: N → Z
y = 2x
Embora o conjunto de todos os números inteiros seja o contradomínio dessa função, apenas os números pares serão resultados de algum elemento do domínio aplicado na regra da função. Portanto, o conjunto imagem dessa função é o conjunto dos números pares.
Por Luiz Paulo Moreira
Graduado em Matemática