Olá Bruna.
Talvez seja tarde demais para a sua prova. Mas como foram dadas respostas distintas vamos analisar o problema.
3 Moedas lançadas simultaneamente
Quaisquer 2 caras (C) e
Qualquer 1 coroa (K).
Não é exigida nenhuma ordem de queda específica.
Vamos seguir a linha do Prof. Bruno Holanda e escrever todos os resultados possíveis
CCC
CCK <- 2C 1K
CKC <- 2C 1K
CKK
KCC <- 2C 1K
KCK
KKC
KKK
Há 3 combinações que atendem o solicitado entre as 8 totais.
Portanto concordo com o Prof. Bruno Holanda com 3/8 = 37,5 %.
==============
Sobre o problema.
Lembrem-se de que isso recai na análise binomial [1] e as combinações de n elementos em k posições Comb(n,k) são dadas pelo triângulo de Pascal [2]:
Notem que temos n = 3 elementos então a linha do triângulo procura é: 1 3 3 1
Se queremos 2C, então temos Comb(2,3) = 3.
Se quiséssemos 1C, então teríamos Comb(1,3) =
3.
A igualdade entre as duas possibilidades não é gratuita, repare que a pergunta é totalmente equivalente se fosse 1C e 2K. O resultado da probabilidade por outro lado não se altera por p = 1/2 e q = 1 - p = 1/2.
Se quiséssemos 3C, então teríamos Comb(3,3) = 1. (O mais à direita).
Se quiséssemos 0C, então teríamos Comb(0,3) = 1. (O mais à esquerda).
[1]
//pt.wikipedia.org/wiki/Distribui%C3%A7%C3%A3o_binomial
[2] //pt.wikipedia.org/wiki/Tri%C3%A2ngulo_de_Pascal
Considere um certo experimento aleatório que é repetido n vezes nas mesmas condições. Seja U o espaço amostral desse experimento e A um evento desse espaço amostral.
Seja A’ o evento complementar do evento A.
Já sabemos que:
1) p(A) = n(A) / n(U) [fórmula fundamental das
probabilidades]
2) p(A) + p(A’) = 1 Þ p(A’) = 1 – p(A)
Para simplificar o desenvolvimento que faremos a seguir, vamos introduzir a seguinte notação:
Probabilidade de ocorrer o evento A = p(A) = p
Probabilidade de ocorrer o evento complementar A’ = p(A’) = q
Podemos escrever: p + q = 1 \ q = 1 – p
Não é difícil demonstrar que:
Se o experimento for repetido n vezes nas mesmas condições, então, a probabilidade do evento A ocorrer exatamente k vezes será dada pela fórmula:
Onde:
P(n,k) = probabilidade de ocorrer exatamente k vezes o evento A após n repetições.
Exemplo:
Lança-se um dado 8 vezes. Qual a probabilidade de sair exatamente 5 números iguais a 3?Solução:
Sejam os eventos:
Evento A: sair o número 3
Evento complementar de A = A’: não sair o número 3
Teremos:
p(A) = 1/6 = p
p(A’) = 1 – 1/6 = 5/6
Portanto, a probabilidade procurada será dada por:
Resposta: a probabilidade de sair o número 3 exatamente 5 vezes no lançamento de um dado 8 vezes, é aproximadamente igual a 0,15 ou 15%.
Agora resolva
este:
Uma moeda é lançada dez vezes consecutivas. Calcule a probabilidade de sair exatamente duas caras.
Resposta: aproximadamente 4,39% (ou 45/1024).
Paulo Marques - Feira de Santana – BA – arquivo revisado em 02/01/2001.
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No presente artigo, ensinaremos os princípios básicos das probabilidades, envolvendo jogos de azar e experimentos genéticos.
A probabilidade de que um acontecimento A ocorra é igual ao quociente do número de casos favoráveis à ocorrência de A, pelo número total de casos possíveis.
Simbolicamente, se P(A) indica a probabilidade de que A ocorra quando o experimento é realizado e se n e m indicam, respectivamente, o número total de casos favoráveis e possíveis, teremos:
Exemplos:
1) Ao lançarmos uma moeda num jogo de cara ou coroa, qual a probabilidade de se obter cara?
Os resultados possíveis são apenas dois, pois a moeda só poderá mostrar cara ou coroa; portanto, m é igual a 2. Se apostarmos que ela dará cara, somente um dos dois resultados possíveis nos será favorável, ou seja, n = 1. Logo, P(cara) = 1/2
n = 1 (lado 5)
P(5) = 1/6
m = 6 (faces)
3) No lançamento de um dado, qual a probabilidade de se obter face ímpar?
n = 3 (face 1, 3, 5)
P(face ímpar) = 3/6 = 1/2
m = 6 (faces)
4) De um baralho completo com 52 cartas, qual a probabilidade de se retirar o “ás de espadas”?
n = 1 (ás de espadas)
P = 1/52
m = 52 cartas
5) Do mesmo baralho, qual a probabilidade de se retirar um ás
qualquer?
n = 4 (4 ases)
P = 4/52 = 1/13
m = 52 (cartas)
6) Qual a probabilidade de se obterem ervilhas verdes no cruzamento de duas ervilhas amarelas híbridas?
Inicialmente, efetuamos o cruzamento para ver quais os casos possíveis. Aa x Aa -» AA, Aa, Aa e aa
Portanto:
n = 1 (aa)
P = 1/4
m = 4 (AA, Aa, Aa e aa)
Para concluir, podemos dizer que a probabilidade é um número que varia de 0 a 1. Assim, se todos os resultados de um experimento forem favoráveis (n = m), a probabilidade de sua ocorrência será igual a 1.
Por outro lado, se num experimento o acontecimento esperado for impossível (n = 0), como, por exemplo, sair o número 7 num lance de dado, a sua probabilidade de ocorrência será igual a 0, pois p(7) = 0/m = 0.
Probabilidades e eventos anteriores
A probabilidade de um evento acontecer não depende de sua ocorrência em tentativas anteriores.
Suponhamos que, tendo jogado uma moeda cinco vezes seguidas, o resultado foi sempre cara. Qual será a probabilidade de se obter coroa no sexto lançamento? A resposta é 1/2, já que a moeda não sabe o que ocorre antes. Assim, embora um casal tenha cinco filhas, a probabilidade de o sexto filho ser do sexo feminino ainda é 1/2.
A regra da adição
A probabilidade de ocorrerem dois ou mais acontecimentos mutuamente exclusivos é determinada pela soma das probabilidades dos acontecimentos isolados.
As aplicações de probabilidade frequentemente se relacionam mais a um certo número de acontecimentos associados do que apenas a um acontecimento. Para exemplificar, consideremos dois acontecimentos, A1 e A2, associados a uma experiência. Alguém pode estar interessado em saber se pelo menos um dos acontecimentos A1 e A2 ocorrerá quando se realizar a citada experiência.
Esse acontecimento é indicado pela soma de A1 + A2 e sua probabilidade, por P(A1 + A2). Se dois acontecimentos, A1 e A2, possuem a propriedade de que a ocorrência de um impeça a ocorrência do outro, eles são chamados acontecimentos mutuamente exclusivos e não há casos favoráveis à ocorrência de ambos. A regra da adição diz que P(A1 + A2) = P(A1) + P(A2), quando A1 e A2 são acontecimentos mutuamente exclusivos.
Por exemplo, qual a probabilidade de se obter 2 ou 5 no lançamento de um dado?
P(2) = 1/6 P(5) = 1/6
P(2 ou 5) = 1/6 + 1/6 = 1/3
A regra da multiplicação
A probabilidade de ocorrerem simultaneamente dois ou mais acontecimentos independentes (não exclusivos) é igual ao produto das probabilidades dos acontecimentos isolados.
Alguém pode estar interessado em saber se dois acontecimentos independentes, A1 e A2, ocorrerão quando a experiência for realizada, Esse acontecimento conjunto é indicado pelo produto A1A2 e sua probabilidade, por P(A1,A2) = P(A1) . P(A2).
Por exemplo, ao se jogarem dois dados, a probabilidade de um e outro darem 6 é:
1/6 x 1/6 = 1/36
Jogando-se, agora, um dado e uma moeda, qual é a probabilidade de o dado dar 3 e a moeda, cara?
P (dado 3) = 1/6
P (moeda cara) = 1/2
P (dado 3 e moeda cara) = 1/6 x 1/2 = 1/12
Por: Renan Bardine
Assista a uma vídeo-aula sobre o assunto em nosso canal do Youtube
Veja também:
- Exercícios de Probabilidade
- Estatística
- Números-índices