Considerando que a soma dos ângulos internos de um polígono totaliza 900° responda:
a) Quantos triângulos internos ele têm?
b) Quantos lados?
c) Qual o nome desse polígono?
d) Quantas diagonais ele tem?
e) Quantos vértices?
f) Quanto mede cada ângulo interno do Hexágono regular?
g) Quanto mede cada ângulo externo do hexágono regular?
Solução:
a) Recordando: A soma dos ângulos internos de um triângulo totaliza 180º,
Divida:
900 : 180 = 5
Resposta: 5 triângulos.
b) Recordando: Para encontrarmos quantidade de triângulos de um polígono usamos a fórmula: n – 2 onde n é o número de lados.
Efetuando-se a operação inversa teremos: 5 + 2 = 7
Resposta: 7 lados.
c) O polígono que tem 7 lados é denominado Heptágono.
d) Recordando: Para encontramos a quantidade de diagonais de um polígono aplicamos a fórmula: D = n(n-3) / 2
Onde:
D = diagonais
n o número de lados
D = 7 ( 7 – 3 ) / 2
D = 7 . 4 / 2
D = 28 / 2
D = 14
Resposta: 14 diagonais.
e) Recordando: Vértice é o encontro de duas semirretas que unem os lados de um polígono.
f) O heptágono regular tem 7 ângulos internos.
Divida:
900 : 7 é aproximadamente 128,57
g) Considerando que o heptágono é um polígono convexo, a soma dos seus ângulos externos totalizam 360°.
Divida:
360 : 7 = 51,42857143
Em um polígono, quanto maior é o número de lados, maior é a medida dos ângulos internos.
Considerando as diagonais traçadas por apenas um dos vértices de um polígono, é possível perceber que elas formam triângulos. Conforme aumentamos os lados de um polígono, a quantidade de triângulos também aumenta. Veja:
Em um quadrilátero, conseguimos formar dois triângulos.
Considerando que, em cada triângulo, a soma dos ângulos internos iguais é 180°, a soma dos ângulos internos de qualquer quadrilátero é 2·180º = 360º.
Em um polígono de cinco lados (pentágono), formamos três triângulos.
Dessa forma, temos que a soma dos ângulos internos de um pentágono é 180º·3 = 540º
Em um polígono de seis lados (hexágono), formamos quatro triângulos.
Portanto, a soma dos ângulos internos é 4·180º = 720º.
Soma dos ângulos internos de um polígono convexo
Percebemos que a diferença do número de triângulos formados e o número de lados dos polígonos é sempre 2, então, concluímos que:
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n = 3
Si = (3 – 2)·180º = 1·180° = 180°
n = 4
Si = (4 – 2)·180° = 2·180° = 360°
n = 5
Si = (5 – 2)·180° = 3·180° = 540°
n = 6
Si = (6 – 2)·180° = 4·180° = 720°
n = n
Si = (n – 2)·180°
Portanto, a soma dos ângulos internos de qualquer polígono é calculada pela expressão:
Si = (n – 2)·180°
Caso queira calcular o valor de cada ângulo interno, basta dividir a soma dos ângulos internos pelo número de lados do polígono. Vale lembrar que essa fórmula só deve ser utilizada em polígonos regulares, pois eles possuem os ângulos internos iguais.
ai = Si
n
Soma dos ângulos externos de um polígono regular
A soma dos ângulos externos de qualquer polígono convexo é igual a 360°.
Obs.: A soma de um ângulo interno com o seu respectivo externo é igual a 180º, isto é, eles são suplementares.
Por Marcos Noé
Graduado em Matemática