--- Definimos as três ações de nosso evento como os atos de “escolher uma camisa”, “escolher uma calça” e “escolher um par de tênis”. --- Podemos notar que uma ação não tem nenhuma influência sobre
a outra. Logo, são independentes. --- Sabemos, pelo enunciado, que a quantidade de possibilidades disponíveis para cada ação é 4, 5 e 3, respectivamente. --- Aplicando o Principio Fundamental da Contagem, sendo n o número final de combinações, temos: --- Logo, temos que o número
de combinações possíveis é \(\boxed{n = 60}\) --- Definimos as três ações de nosso evento como os atos de “escolher uma camisa”, “escolher uma
calça” e “escolher um par de tênis”. --- Podemos notar que uma ação não tem nenhuma influência sobre a outra. Logo, são independentes. --- Sabemos, pelo enunciado, que a quantidade de possibilidades disponíveis para cada ação é 4, 5 e 3, respectivamente.
\[n = 4 \cdot 5 \cdot 3\]
\[n = 60\]
---
Aplicando o Principio Fundamental da Contagem, sendo n o número final de combinações, temos:
\[n = 4 \cdot 5 \cdot
3\]
\[n = 60\]
---
Logo, temos que o número de combinações possíveis é \(\boxed{n = 60}\)
Nesta sala vamos falar um pouquinho sobre multiplicação. |
Já entendi… |
Não se precipite… |
Raciocínio combinatório… |
Não é bem dessa combinação que estou falando e sim daquela que pode ser utilizada no nosso cotidiano para fazermos previsões e estimativas! |
Princípio Fundamental da Contagem
Vamos resolver alguns problemas sobre possibilidades de escolha e, em seguida, apresentar um princípio essencial para a resolução desse tipo de problema. |
Problema I:
Raíza tem 2 calças e 3 camisetas de cores diferentes. Ela vai à escola de segunda a sexta, mas não quer repetir um mesmo conjunto de calça e camiseta na mesma semana.
Raíza conseguirá realizar seu desejo?
Solução:
● Se ela quer usar a primeira calça, pode combiná-la com qualquer uma das três camisetas, o que nos dá 3 visuais diferentes.
● Se ela usar a segunda calça, também vai poder combiná-la em 3 modelitos, um com cada camiseta.
O total de maneiras de combinar as peças é 3+3, ou seja, 2 × 3 = 6.
Então, Raíza conseguirá realizar o seu desejo de ir para a aula durante a semana sem repetir nenhum look, e ainda sobrará um look para o fim de semana…
Observações:
➊ No problema resolvido, Raíza tinha que escolher uma calça e uma
camiseta para vestir. Essas escolhas, em problemas de combinatória, são chamadas eventos.
➋ Note que, se Raíza vestir qualquer uma das duas calças, isso não a impedirá de escolher entre três camisetas distintas. Para qualquer escolha da calça, há o mesmo número de escolha de camisetas, o que torna esses eventos independentes.
➌ Como vimos, continuaremos com a mesma quantidade de possibilidades para a
escolha da camiseta em cada escolha de calça. Então, podemos chegar à resposta multiplicando o número de calças pelo número de camisetas, obtendo assim os 2 × 3 = 6 looks possíveis.
➍ Sem comprometer a generalidade do problema, podemos supor “que Raíza tenha uma calça preta, uma calça branca e que suas camisetas sejam vermelha, amarela e verde” e, assim, visualizar a quantidade de looks possíveis, utilizando o diagrama
abaixo.
Esse tipo de diagrama é conhecido como diagrama de árvore.
Problema II: Quantos
diferentes percursos o ratinho da figura pode tomar para chegar ao queijo?
Solução:
Assim que entra no labirinto, o ratinho se depara com a necessidade de escolher um dentre 2 caminhos.
Quando ele segue qualquer um dos dois caminhos, depara-se com 4 outras possibilidades de caminho e precisa escolher um. Percorrido o caminho escolhido, ele
encontra o queijo.
Perceba, então, que a quantidade total de possibilidades para o percurso a ser seguido é 2 x 4=8.
Problema III: O majestoso rei Tim Timpor Tintim decidiu padronizar os azulejos de seu palácio.
Ele os quer em forma de hexágonos regulares, com um pequeno círculo em seu interior.
O
rei dispõe, segundo suas preferências pessoais, de 3 cores distintas para pintar o hexágono e de 4 cores distintas para pintar o círculo. Sabendo que as duas formas (hexágono e círculo) serão unicolores, quantas são as opções para o novo modelo de azulejo?
Solução:
Para cada uma das cores escolhidas para o hexágono, haverá 4 opções de cores para o círculo. Portanto, para cada opção de cor a ser utilizada no hexágono, há 4 azulejos possíveis. Como temos 3 opções de
cores para o hexágono, há 3 × 4=12 opções para o azulejo do rei Tim.
Podemos elucidar nossa solução utilizando um diagrama de árvore que ilustra todas as possibilidades. Suponha que as cores selecionadas para o hexágono sejam “preto”, “vermelho” e “verde”, enquanto as cores selecionadas para o círculo são “azul”, “amarelo”, “roxo” e “marrom”. (Observe que a solução será a mesma para quaisquer opções de cores. Elas foram nomeadas, apenas, para facilitar o seu
entendimento.)
Teremos, assim, as possibilidades ilustradas pelo diagrama a seguir.
A essa altura, já podemos enunciar o Princípio Multiplicativo ou Princípio Fundamental da Contagem (PFC). Ele é extremamente útil quando o número de possibilidades é grande e o diagrama de árvore se torna muito, mas muito cansativo mesmo…. |
Princípio Multiplicativo – Princípio Fundamental da Contagem
Se um evento A puder ocorrer de m maneiras, um evento B puder ocorrer de n maneiras e A for independente de B,
então a quantidade de maneiras distintas de os dois eventos ocorrerem simultaneamente, isto é, ao mesmo tempo, é m × n.
Problema IV:
Numa reunião havia 6 professores do Mato Grosso do Sul e 7 do Ceará.
Quando o grupo se reuniu, cada professor do Mato Grosso do Sul cumprimentou cada professor do Ceará exatamente uma vez.
Quantos cumprimentos ocorreram?
Solução:
Como cada cumprimento aconteceu entre um professor do Mato Grosso do Sul e um professor do Ceará, o total de cumprimentos é o total de maneiras de se escolher um professor do Mato Grosso do
Sul e um do Ceará, simultaneamente.
Pelo Princípio Multiplicativo, o total é 6 x 7, ou seja, 42 cumprimentos.
Os problemas a seguir são para você pensar: tente resolvê-los sem ver as soluções. |
Problemas Propostos
Problema 1:
Quantos são os números naturais de 2 algarismos?
Problema 2:
Quantos são os números ímpares entre 10 e 99 (incluindo o 99)?
Problema 3:
A senha secundária de um banco imaginário é composta por uma vogal e uma consoante, nessa ordem, ambas provenientes do nome do cliente. Qual cliente terá mais opções
de senha, o senhor Darli Munhoz ou o senhor Thiago Bruce?
Problema 4:
Considere que o ratinho do problema II, além de escolher entre os 8 caminhos, tivesse que escolher entre 4 tipos diferentes de queijo. Qual seria o total de maneiras de ele agir?
Problema 5:
E se a Raíza, do problema I, além das 6 possíveis combinações de blusa e saia, tivesse ainda 4 chapéus diferentes? Quantos looks
ela poderia montar?
Mas espera um pouco… |
Isso mesmo! |
Hum…. |
– Francimar de Brito Vieira
– Noemi Zeraick Monteiro
– Sonia Regina Di Giacomo
◆ Equipe COM – OBMEP
– Victor de Oliveira Bitarães
◆ Colaborador
Ficaram curiosos? |
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Princípio Fundamental de Contagem: Generalização
E aí, o que você concluiu com relação aos exemplos 4 e 5 nos quais apareceram três eventos independentes: as três escolhas do ratinho e as três escolhas da Raíza? Observei um fato bem interessante! Em cada situação, os três eventos puderam ser “agrupados” em apenas dois e, então, foi possível aplicar o Princípio Multiplicativo! …