O plano inclinado é uma superfície plana, elevada e inclinada, por exemplo, uma rampa.
Na física, estudamos o movimento dos objetos bem como a aceleração e as forças atuantes que ocorrem num plano inclinado.
Plano Inclinado sem Atrito
Existem 2 tipos de forças que atuam nesse sistema sem atrito: a força normal, que faz 90º em relação ao plano, e a força peso (força vertical para baixo). Note que elas possuem direções e sentidos diferentes.
A força normal atua perpendicularmente à superfície de contato.
Para calcular a força normal numa superfície plana horizontal, utiliza-se a fórmula:
Sendo,
N: força normal
m: massa do objeto
g: gravidade
Já a força peso, atua em virtude da força da gravidade que “puxa” todos os corpos da superfície em direção ao centro da Terra. Ela é calculada pela fórmula:
Onde:
P: força peso
m: massa
g: aceleração da gravidade
Plano Inclinado com Atrito
Quando há o atrito entre o plano e o objeto temos mais uma força atuante: a força atrito.
Para calcular a força atrito utiliza-se a expressão:
Onde:
Fat: força de atrito
µ: coeficiente de atrito
N: força normal
A fórmula da força normal N, no plano inclinado é:
Pois, a força N é igual em valor a componente do peso nesta direção.
Obs: O coeficiente de atrito (µ) dependerá do material de contato entre os corpos e sua condição.
Aceleração no Plano Inclinado
No plano inclinado há uma altura correspondente a elevação da rampa e um ângulo formado em relação à horizontal.
Nesse caso, a aceleração do objeto é constante devido as forças atuantes: peso e a normal.
Para determinar o valor da aceleração num plano inclinado, precisamos encontrar a força resultante, decompondo a força peso em dois planos (x e y).
Logo, as componentes da força peso:
Px:
perpendicular ao plano
Py: paralelo ao plano
Para encontrar a aceleração no plano inclinado sem atrito, utiliza-se as relações trigonométricas do triângulo retângulo:
Px = P . sen θ
Py = P . cos θ
De acordo com a segunda Lei de Newton:
F = m . a
Onde,
F: força
m: massa
a: aceleração
Logo,
Px = m .a
P . sen θ = m .a
m . g . sen θ = m .a
a = g . sen θ
Assim, temos a fórmula da aceleração utilizada no plano inclinado sem atrito, a qual não dependerá da massa do corpo.
Exercícios de Vestibular com Gabarito
Questão 1
(UNIMEP-SP) Um bloco de massa 5kg é arrastado ao longo de um plano inclinado sem atrito, conforme a figura.
Para que o bloco adquira uma aceleração de 3m/s² para cima, a intensidade da F deverá ser: (g = 10m/s², sen θ = 0,8 e cos θ = 0,6).
a) igual ao peso do bloco
b) menor que o peso do bloco
c) igual à reação do plano
d) igual a 55N
e) igual a 10N
Ver Resposta
Alternativa d: igual a 55N
Exercício resolvido
Dados:
Sem atrito
m = 5kg
a = 3m/s²
sen θ = 0,8
cos θ = 0,6
Pergunta: Qual é a força F?
Fazendo a organização das forças e a decomposição da força peso.
Aplicamos a 2ª lei de Newton no sentido do movimento.
⅀F = F resultante = m.a
F - mgsen θ= m.a
F = m.a + mgsen θ
F = 5.3 + 5.10.0,8
F = 55N
Questão 2
(UNIFOR-CE) Um bloco de massa de 4,0 kg é abandonado num plano inclinado de 37º com a horizontal com o qual tem coeficiente de atrito 0,25. A aceleração do movimento do bloco é em m/s². Dados: g = 10 m/s²; sen 37º = 0,60; cos 37º = 0,80.
a) 2,0
b) 4,0
c) 6,0
d) 8,0
e) 10
Ver Resposta
Alternativa b: 4,0
Exercício resolvido
Dados:
M = 4kg
g = 10 m/s²
sen 37º = 0,60
cos 37º = 0,80
= 0,25 (coeficiente de atrito)
Pergunta: Qual a aceleração?
Fazemos a decomposição da força peso.
Como há atrito, vamos calcular a força de atrito, Fat.
Fat = . N
Pela decomposição da força peso, temos que N = mgcos θ.
Então, Fat = . mgcos θ
A plicando a 2ª Lei de Newton na direção do movimento, temos:
⅀F = F resultante = m.a
mg sen θ - Fat = ma
mgsen θ - mi.mgcos θ = m.a
4.10. 0,6 - 0,25.4.10.0,8 = 4. a
Isolando a, temos:
a = 4 m/s²
Questão 3
(Vunesp) No plano inclinado da figura abaixo, o coeficiente de atrito entre o bloco A e o plano vale 0,20. A roldana é isenta de atrito e despreza-se o efeito do ar.
Os blocos A e B têm massas iguais a m cada um e a aceleração local da gravidade tem intensidade igual a g. A intensidade da força tensora na corda, suposta ideal, vale:
a) 0,875 mg
b) 0,67
mg
c) 0,96 mg
d) 0,76 mg
e) 0,88 mg
Ver Resposta
Alternativa e: 0,88 mg
Exercício resolvido
Como há dois blocos, aplicamos a 2ª Lei de Newton para cada um, na direção do movimento.
Sendo T a tensão na corda.
Bloco B (equação 1)
P - T = m.a
Bloco A (equação 2)
T - Fat - mgsen θ = ma
Fazendo um sistema de equações e somando as duas equações, temos:
P - T = m.a
T - Fat - mgsen θ = ma
P - Fat - mgsen θ = ma
Para prosseguir, vamos determinar Fat, depois, voltaremos a esse ponto.
Fat = mi . N
Fat = mi. mgcos θ
Agora, vamos determinar os valores de sen θ e cos θ.
De acordo com a imagem e aplicando o Teorema de Pitágoras:
Sendo h a hipotenusa
h² = 4² + 3²
h = 5
Assim, pela definição de senθ e cosθ
sen θ = 5/3
cos θ = 4/3
Voltando a equação e substituindo os valores encontrados:
P - Fat - mgsenθ = ma
mg - mi. mgcosθ - mgsenθ = ma
Colocando mg em evidência
mg ( 1 - mi.cox - senX) = 2ma
mg ( 1 - 0,2. 0,8 - 0,6) = 2ma
0,24mg =2 ma
ma = 0,12mg
Agora, vamos substituir este valor na equação 1
(equação 1)
P - T = m.a
Isolando T e substituindo ma:
T = P - ma
T = mg - 0,24mg
T = mg( 1 - 0,12)
T = 0,88mg
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Veja Terceira Lei de Newton.
Professor de Matemática licenciado e pós-graduado em Ensino da Matemática e Física (Fundamental II e Médio), com formação em Magistério (Fundamental I). Engenheiro Mecânico pela UERJ, produtor e revisor de conteúdos educacionais.