Quantos arranjos de letras diferentes podem ser feitos a partir de a sorte B propose C Mississippi D arranjo?

Esse texto foi elaborado ao longo dos poucos anos em que o autor lecionou uma disciplina de Introdução à Probabilidade para o Curso de Licenciatura em Matemática da Universidade Federal de Pelotas. Os tópicos abordados nesse curso foram os conteúdos dos primeiros quatro capítulos e partes dos capítulos 6, 7 e 8. Ao longo desse percurso, foi tentado o desenvolvimento de um texto mais completo. O resultado é apresentado nos capítulos 5 a 9. Esses capítulos ainda estão inconclusos, principalmente o capítulo 9. Estava programada a preparação de capítulos sobre tópicos mais avançados, mas, com a interrupção daquela disciplina, a atenção do autor foi desviada para outros temas. Ainda resta a fazer uma revisão cuidadosa, mesmo dos capítulos 1 a 4, razoavelmente desenvolvidos. Também necessita ser feita uma revisão nas referências cruzadas a exercícios, figuras, tabelas, seções, etc. Por essa razão, ainda estão presentes algumas inconsistências e erros. Apesar dessas restrições e ressalvas, o presente texto é disponibilizado, na esperança de que possa ser útil para estudantes e profissionais interessados na base matemática e nas aplicações da Probabilidade.

PROBABILIDADEU m curso moderno com dplicues

R826p

Ross, Sheldon. Probabilidade :um curso moderno com aplicaes I Sheldon Ross ;tradutor: Alberto Resende De Conti. - 8. ed. Porto Alegre : Bookman, 2010. 608 p. ;25 cm. ISBN 978-85-7780-621-8 1. Probabilidade. I. Ttulo. CDU 519.2

Catalogao na publicao: Renata de Souza Borges CRB-1011922

S H E L D O N ROSSUniversity of Southern California

PROBABILIDADEU m curso moderno com u p l ~ ~ u ~ e s

Traduo: Alberto Resende De ContiDoutor em Engenharia Eltrica (CPDEE - UFMG) Professor Adjunto do Departamento de Engenharia Eltrica da UFMG

Consultoria, superviso e reviso tcnica desta edio: Antonio Pertence JniorProfessor Titular de Matemtica da Faculdade de Sabar (FACSABIMG) Professor Assistente de Engenharia da Universidade FUMECIMG Membro Efetivo da SBM (Sociedade Brasileira de Matemtica) Ps-Graduado em Processamento de Sinais pela Ryerson University (TorontoICanad)

Obra originalmente publicada sob o ttulo A First Course in Probability, 8th Edition. ISBN 9780136033134 Authorized translation from the English language edition, entitled A FIRST COURSE IN PROBABILITY, 8th Edition by SHELDON ROSS, published by Pearson Education,Inc., publishing as Prentice Hall. Copyright O 2010. AI1 rights reserved. No part of this book may be reproduced or transmitted in any form or by any means, electronic or mechanical, including photocopying, recording or by any information storage retrieval system, without permission from Pearson Education,Inc. Portuguese language edition published by Bookman Companhia Editora Ltda, a Division of Artmed Editora SA, Copyright O 2010 Traduo autorizada a partir do original em lngua inglesa da obra intitulada A FIRST COURSE IN PROBABILITY, 8" Edio de autoria de SHELDON ROSS, publicado por Pearson Education, Inc., sob o selo Prentice Hall, Copyright O 2010. Todos os direitos reservados. Este livro no poder ser reproduzido nem em parte nem na ntegra, nem ter partes ou sua ntegra armazenado em qualquer meio, seja mecnico ou eletrnico, inclusive fotoreprografao, sem permisso da Pearson EducationJnc. A edio em lngua portuguesa desta obra publicada por Bookman Companhia Editora Ltda, uma diviso da Artmed Editora SA, Copyright O 2010 Capa: Rogrio Grilho, arte sobre capa original Leitura final: Tho Amon Editora Snior: Arysinha Jacques Affonso Editora Pleno: Denise Weber Nowaczyk Projeto e editorao: Techbooks

Reservados todos os direitos de publicao, em lngua portuguesa, ARTMED~ EDITORA S.A. (BOOKMAN~ COMPANHIA EDITORA uma diviso da [email protected] EDITORA S. A.) Av. Jernimo de Ornelas, 670 - Santana 90040-340 - Porto Alegre - RS Fone: (51) 3027-7000 Fax: (51) 3027-7070 proibida a duplicao ou reproduo deste volume, no todo ou em parte, sob quaisquer formas ou por quaisquer meios (eletrnico, mecnico, gravao, fotocpia, distribuio na Web e outros), sem permisso expressa da Editora. Unidade So Paulo Av. Embaixador Macedo de Soares, 10.735 - Galpo 5 -Vila Anastacio 05035-000 - So Paulo - SP Fone: (11) 3665-1100 Fax: (11) 3667-1333 SAC 0800 703-3444 IMPRESSO NO BRASIL PRZNTED IN BRAZIL

Para Rebecca

Prefcio

"Vemos que a teoria da probabilidade no fundo somente o senso comum reduzido ao clculo; ela nos faz apreciar com exatido o que mentes pensantes percebem como que por instinto, muitas vezes sem se dar conta disso. (...) extraordinrio que esta cincia, que surgiu da anlise dos jogos de azar, tenha se tornado o mais importante objeto do conhecimento humano. (...) As mais importantes questes da vida so na verdade, em sua grande maioria, apenas problemas de probabilidade." Assim disse o famoso matemtico e astrnomo francs Pierre-Simon, Marqus de Laplace ("o Newton francs"). Embora muitas pessoas pensem que o famoso marqus, que tambm foi um dos que mais contribuiu para o desenvolvimento da probabilidade, possa ter exagerado um pouco, no entanto verdade que a teoria da probabilidade se tornou uma ferramenta de importncia fundamental para praticamente todos os pesquisadores, engenheiros, mdicos, juristas e empresrios. De fato, um indivduo instrudo em probabilidade aprende a no perguntar " assim mesmo?" mas, em vez disso, "Qual a probabilidade de ser assim?'.' O propsito deste livro servir como uma introduo elementar teoria da probabilidade para estudantes dos cursos de matemtica, estatstica, engenharia e cincias (incluindo cincia da computao, biologia, cincias sociais e administrao) que j tenham cursado uma disciplina de clculo bsico. Ele tenta apresentar no somente a matemtica da teoria da probabilidade, mas tambm, por meio de numerosos exemplos, as muitas aplicaes possveis deste assunto. O Captulo 1 apresenta os princpios bsicos da anlise combinatria, que so muito teis no clculo de probabilidades. O Captulo 2 lida com os axiomas da teoria da probabilidade e mostra como eles podem ser aplicados no clculo de vrias probabilidades de interesse. O Captulo 3 lida com os assuntos extremamente importantes da probabilidade condicional e da independncia de eventos. Por meio de uma srie de exemplos, ilustramos como as probabilidades condicionais entram em jogo no somente quando dispomos de alguma informao parcial; quando no dispomos de tal informao, as probabilidades condicionais funcionam como uma ferramenta que nos permite calcular probabilidades mais facilmente. Essa tcnica extremamente importante reaparece no Captulo 7 no qual a utilizamos para obter esperanas. O conceito de variveis aleatrias introduzido nos Captulos 4,5 e 6. Variveis aleatrias discretas so discutidas no Captulo 4, variveis aleatrias

viii

Prefcio

contnuas no Captulo 5 e variveis aleatrias conjuntamente distribudas no Captulo 6. Os importantes conceitos de valor esperado e varincia de uma varivel aleatria so introduzidos nos Captulos 4 e 5, e essas grandezas so ento determinadas para muitos dos tipos comuns de variveis aleatrias. Propriedades adicionais do valor esperado so consideradas no Captulo 1. Muitos exemplos ilustrando a utilidade do resultado de que o valor esperado de uma soma de variveis aleatrias igual soma de seus valores esperados so apresentados. Sees referentes esperana condicional, incluindo o seu uso em predies e funes geratrizes de momentos, esto contidas neste captulo. Alm disso, a seo final introduz a distribuio normal multivariada e apresenta uma demonstrao simples relativa distribuio conjunta da mdia e da varincia amostrais de uma amostra de uma distribuio normal. O Captulo 8 apresenta os mais importantes resultados tericos da teoria da probabilidade. Em particular, demonstramos a lei forte dos grandes nmeros e o teorema do limite central. Nossa demonstrao da lei forte dos grandes nmeros relativamente simples; ela supe que as variveis possuam um quarto momento finito. Nossa prova do teorema do limite central faz uso do teorema da continuidade de Levy. Esse captulo tambm apresenta as desigualdades de Markov e Chebyshev, e os limites de Chernoff. A seo final do Captulo 8 fornece um limite para o erro envolvido quando a probabilidade da soma de variveis aleatrias de Bernoulli independentes aproximada pela probabilidade de uma varivel aleatria de Poisson com o mesmo valor esperado. O Captulo 9 apresenta alguns tpicos adicionais, como as cadeias de Markov, o processo de Poisson, e uma introduo teoria da informao e da codificao. O Captulo 10 trata de simulao. Como na edio anterior, trs conjuntos de exerccios so fornecidos no final de cada captulo. Eles so chamados de Problemas, Exerccios Tericos e Problemas de Autoteste e Exerccios. Este ltimo conjunto de exerccios, cujas solues completas aparecem nas Solues para os Problemas de Autoteste e Exerccios, foi elaborado para ajudar os estudantes a testarem a sua compreenso e estudarem para as provas.

MUDANAS N A N O V A EDIOA oitava edio continua a evoluo e o ajuste do texto. Ela inclui novos problemas, exerccios e material terico escolhidos por seu interesse inerente e por seu papel na consolidao da intuio do estudante em probabilidade. Ilustraes desses objetivos podem ser encontradas no Exemplo 5d do Captulo 1,que trata de torneios mata-mata, e nos Exemplos 4k e 5i do Captulo 7, que tratam do problema da runa do jogador. Uma mudana fundamental na edio atual traduz-se na apresentao, no Captulo 4 (em vez do Captulo 7, como ocorria nas edies anteriores), do importante resultado de que a esperana de uma soma de variveis aleatrias igual soma das esperanas. Uma nova e elementar demonstrao desse re-

Prefcio

sultado fornecida nesse captulo para o caso particular de um experimento probabilstico com espao amostra1finito. Outra mudana a expanso da Seo 6.3, que trata da soma de variveis aleatrias independentes. A Seo 6.3.1 uma nova seo na qual deduzimos a distribuio da soma de variveis aleatrias uniformes independentes e identicamente distribudas e depois usamos os resultado obtidos para mostrar que o nmero esperado de nmeros aleatrios que precisam ser somados para que a sua soma exceda 1 igual a e. A Seo 6.3.5 uma nova seo na qual deduzimos a distribuio de uma soma de variveis aleatrias geomtricas independentes com mdias diferentes.

AGRADECIMENTOSAgradeo pelo cuidadoso trabalho de reviso feito por Hossein Hamedain. Tambm agradeo o interesse das seguintes pessoas que entraram em contato comigo trazendo comentrios que contriburam para uma melhoria do texto: Amir Ardestani, Polytechnic University of Teheran; Joe Blitzstein, Harvard University; Peter Nuesch, University of Lausanne; Joseph Mitchell, SUNY, Stony Brook; Alan Chambless, aturio; Robert Kriner; Israel David, BenGurion University; T. Lim, George Maso University; Wei Chen, Rutgers; D. Monrad, University of Illinois;W. Rosemberger, George Mason University; E. Ionides, University of Michigan; J. Corvino, Lafayette College; T. Seppalainen, University of Wisconsin. Finalmente, gostaria de agradecer aos seguintes revisores por seus comentrios de extrema utilidade. Os revisores da oitava edio esto marcados com um asterisco.

K. B. Athreya, Iowa State University Richard Bass, University of Connecticut Robert Bause, University of Illinois at Urbana-Champaign Phillip Beckwith, Michigan Tech Arthur Benjamim, Harvey Mudd College Geoffrey Berresford, Long Island University Baidurya Burd, University of Delaware Howard Bird, St. Cloud State University Shahar Boneh, Metropolitan State College of Denver Jean Cader, State University at Stony Brook Steven Chiappari, Santa Clara University Nicolas Christou, University of California, Los Angeles'

James Clay, University of Arizona at Tucson Francis Conlan, University of Santa Clara *Justin Corvino, Lafayette College Jay De Core, California Polytechnic University, San Luis Obispo Scott Emerson, University of Washington Thomas R. Fischer, Texas A & M University Anant Godbole, Michigan Technical University Zakkula Govindarajuli, Iowa State University Richard Groeneveld, Iowa State University Mike Hardy, Massachussetts Institute of Technology

Prefcio

Bernard Harris, University of Wisconsin Larry Harris, University of Cornell Stephen Herschkorn, Rutgers University Julia L. Higle, University of Arizona Mark Huber, Duke University "Edward Ionides, University of Michigan Anastasia Ivanova, University of South California Hamid Jafarkhani, University of California Irvine Chuanshu Ji, University of North Carolina, Chapel Hill Robert Keener, University of Michigan Fred Leysieffer, Florida State University Thomas Liggett, University of Californa, Los Angeles Helmut Mayer, University of Georgia Bill McCormick, University of Georgia Ian McKeague, Florida State University R. Miller, Stanford University "Ditlev Monrad, University of Illinois Robb J. Muirhead, University of Michigan

Joe Naus, Rutgers University Nhu Nguyen, New Mexico State University Ellen O'Brien, George Mason University N. U. Prabhu, Cornell University Kathryn Prewitt, Arizona State University Jim Propp, University of Wisconsin "Willian F. Rosemberger, George Mason University Myra Samuels, Purdue University I. R. Savage,Yale University Art Schwartz,University of Michigan at Ann Arbor Therese Shelton, Southwestern University Malcolm Sherman, State University of New York at Albany Murad Taqqu, Boston University Eli Upfal, Brown University Ed Wheeler, University of Tennessee Allen Webster, Bradley University

Sumrio

1 . Anlise combinatria 1.1 Introduo 1.2 O princpio bsico da contagem 1.3 Permutaes 1.4 Combinaes 1.5 Coeficientes multinomiais 1.6 O nmero de solues inteiras de equaes Exerccios tericos Problemas de autoteste e exercciosAxiomas da probabilidade

2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7

Introduo Espao amostra1 e eventos Axiomas da probabilidade Algumas proposies simples Espaos amostrais com resultados igualmente provveis Probabilidade como uma funo contnua de um conjunto Probabilidade como uma medida de crena Problemas Exerccios tericos Problemas de autoteste e exerccios Introduo Probabilidades condicionais Frmula de Bayes Eventos independentes P(.[n uma probabilidade Problemas Exerccios tericos Problemas de autoteste e exerccios

3. Probabilidade condicional e independncia

3.1 3.2 3.3 3.4 3.5

4. Variveis aleatrias

4.1 Variveis aleatrias 4.2 Variveis aleatrias discretas 4.3 Valor esperado

Sumrio

4.4 Esperana de uma funo de uma varivel aleatria 4.5 Varincia 4.6 As variveis aleatrias binomial e de Bernoulli 4.6.1 Propriedades das variveis aleatrias binomiais 4.6.2 Calculando a funo distribuio binomial 4.7 A varivel aleatria de Poisson 4.71 Calculando a funo distribuio de Poisson 4.8 Outras distribuies de probabilidade discretas 4.8.1 A varivel aleatria geomtrica 4.8.2 A varivel aleatria binomial negativa 4.8.3 A varivel aleatria hipergeomtrica 4.8.4 A distribuio zeta (ou Zipf) 4.9 Valor esperado de somas de variveis aleatrias 4.10 Propriedades da funo distribuio cumulativa Problemas Exerccios tericos Problemas de autoteste e exerccios5. Variveis aleatrias contnuas

5.1 5.2 5.3 5.4

Introduo Esperana e varincia de variveis aleatrias contnuas A varivel aleatria uniforme Variveis aleatrias normais 5.4.1 A aproximao normal para a distribuio binomial 5.5 Variveis aleatrias exponenciais 5.5.1 Funes taxa de risco 5.6 Outras distribuies contnuas 5.6.1 A distribuio gama 5.6.2 A distribuio de Weibull 5.6.3 A distribuio de Cauchy 5.6.4 A distribuio beta 5.7 A distribuio de uma funo de uma varivel aleatria Resumo Problemas Exerccios tericos Problemas de autoteste e exerccios 6.1 Funes conjuntamente distribudas 6.2 Variveis aleatrias independentes 6.3 Somas de variveis aleatrias independentes 6.3.1 Variveis aleatrias uniformes identicamente distribudas 6.3.2 Variveis aleatrias gama 6.3.3 Variveis aleatrias normais 6.3.4 Variveis aleatrias binomiais e de Poisson 6.3.5 Variveis aleatrias geomtricas

6. Variveis aleatrias conjuntamente distribudas

Sumrio

6.4 6.5 6.6 6.7

Distribuies condicionais: caso discreto Distribuies condicionais: caso contnuo Estatsticas de ordem Distribuio de probabilidade conjunta de funes de variveis aleatrias 6.8 Variveis aleatrias intercambiveis Problemas Exerccios tericos Problemas de autoteste e exerccios 71 Introduo 72 Esperana de somas de variveis aleatrias 72.1 Obtendo limites de esperanas por meio do mtodo probabilstico 72.2 A identidade dos mximos e mnimos 73 Momentos do nmero de eventos ocorridos 74 Covarincia, varincia de somas e correlaes 75 Esperana condicional 75.1 Definies 75.2 Calculando esperanas usando condies 75.3 Calculando probabilidades usando condies 75.4 Varincia condicional 76 Esperana condicional e predio 77 Funes geratrizes de momentos 771 Funes geratrizes de momentos conjuntas 78 Propriedades adicionais das variveis aleatrias normais 78.1 A distribuio normal multivariada 78.2 A distribuio conjunta da mdia amostral e da varincia amostral 79 Definio geral de esperana Problemas Exerccios tericos Problemas de autoteste e exerccios

7. Propriedades da esperana

8. Teorernas limites

8.1 8.2 8.3 8.4 8.5 8.6

Introduo Desigualdade de Chebyshev e a lei fraca dos grandes nmeros O teorema do limite central A lei forte dos grandes nmeros Outras desigualdades Limitando a probabilidade de erro quando aproximamos uma soma de variveis aleatrias de Bernoulli independentes por uma varivel aleatria de Poisson Problemas Exerccios tericos Problemas de autoteste e exerccios

14 Sumrio9. Tpicos adicionais em probabilidade

9.1 9.2 9.3 9.4

O processo de Poisson Cadeias de Markov Surpresa, incerteza e entropia Teoria da codificao e entropia Problemas e exerccios tericos Problemas de autoteste e exerccios

10. Simulao

10.1 Introduo 10.2 Tcnicas gerais para simular variveis aleatrias contnuas 10.2.1 O mtodo da transformao inversa 10.2.2 O mtodo da rejeio 10.3 Simulaes a partir de distribuies discretas 10.4 Tcnicas de reduo de varincia 10.4.1 Uso de variveis antitticas 10.4.2 Reduo da varincia usando condies 10.4.3 Variveis de controle Problemas Problemas de autoteste e exercciosRespostas para problemas selecionados Solues para os problemas de autoteste e exerccios ndice

Captulo

Anlise Combinatria

Eis um tpico problema envolvendo probabilidades: um sistema de comunicao formado por n antenas aparentemente idnticas que devem ser alinhadas em sequncia. O sistema resultante ser capaz de receber qualquer sinal - e ser chamado de funcional - desde que duas antenas consecutivas no apresentem defeito. Se exatamente m das n antenas apresentarem defeito, qual ser a probabilidade de que o sistema resultante seja funcional? Por exemplo, no caso especial onde n = 4 e m = 2, h seis configuraes possveis para o sistema, a saber,

onde 1 significa que a antena funciona e 0, que ela est com defeito. Como o sistema funciona nos trs primeiros arranjos e no funciona nos trs arranjos restantes, parece razovel tomar 316 = 112 como a probabilidade desejada. No caso de n e m quaisquer, poderamos calcular, de forma similar, a probabilidade de que o sistema funcione. Isto , poderamos contar o nmero de configuraes que resultam no funcionamento do sistema e dividir esse nmero pelo nmero total de configuraes possveis. Da discusso anterior, percebemos que seria til possuir um mtodo eficaz para contar o nmero de maneiras pelas quais as coisas podem ocorrer.

16 Probabilidade: U m Curso Moderno com A~licaces De fato, muitos problemas na teoria da probabilidade podem ser resolvidos simplesmente contando-se o nmero de diferentes maneiras pelas quais certo evento pode ocorrer. A teoria matemtica da contagem formalmente conhecida como anlise cornbinatria.

O princpio bsico da contagem ser fundamental para todo nosso trabalho. Dito de forma simples, ele diz que se um experimento pode levar a qualquer um de rn possveis resultados e se outro experimento pode resultar em qualquer um de n possveis resultados, ento os dois experimentos possuem rnn resultados possveis.

O princpio bsico da contagemSuponha a realizao de dois experimentos. Se o experimento 1 pode gerar qualquer um de rn resultados possveis e se,para cada um dos resultados do experimento 1,houver n resultados possveis para o experimento 2, ento os dois experimentos possuem conjuntamente rnn diferentes resultados possveis.

Demonstrao do princpio bsico: O princpio bsico pode ser demonstrado ao serem enumerados todos os possveis resultados dos dois experimentos; isto ,(1, (1,2), (2, I ) > (2,217

. . . , (1,n ) . . . (2,n )7

onde dizemos que o resultado (i,j) se o experimento 1levar ao seu i-simo resultado possvel e o experimento 2 levar ao seu j-simo resultado possvel. Portanto, o conjunto dos resultados possveis consiste de m linhas, cada uma contendo n elementos. Isso demonstra o resultado.

Exemplo 2a Uma pequena comunidade composta por 10 mulheres, cada uma com 3 filhos. Se uma mulher e um de seus filhos devem ser escolhidos como me e filho do ano, quantas escolhas diferentes so possveis?

Soluo Supondo a escolha da mulher como o resultado do primeiro experimento, e a subsequente escolha de um de seus filhos como o resultado do segundo experimento, vemos a partir do princpio bsico que h 10 X 3 = 30 O escolhas possveis.Quando h mais que dois experimentos a serem realizados, pode-se generalizar o princpio bsico.

Caatulo I

Anlise Cornbinatria 17

Generalizao do princpio bsico da contagemSe r experimentos so tais que o primeiro experimento pode levar a qualquer um de n, resultados possveis; e se, para cada um desses n, resultados houver n, resultados possveis para o segundo experimento; e se, para cada um dos possveis resultados dos dois primeiros experimentos houver n, resultados possveis para o terceiro experimento; e se..., ento haver um total de n, . n, - . - n, resultados possveis para os r experimentos.

Exemplo 2b O grmio de uma faculdade formado por 3 calouros, 4 estudantes do segundo ano, 5 estudantes do terceiro ano e 2 formandos. Um subcomit de 4 pessoas, formado por uma pessoa de cada ano, deve ser escolhido. Quantos subcomits diferentes so possveis?

Soluo Podemos vislumbrar a escolha de um subcomit como o resultado combinado dos quatro experimentos separados de escolha de um nico representante de cada uma das classes. Da segue, a partir da verso generalizada do princpio bsico, que h 3 X 4 X 5 X 2 = 120 subcomits possveis. HExemplo 2c Quantas diferentes placas de automvel com 7 caracteres so possveis se os trs primeiros campos forem ocupados por letras e os 4 campos finais por nmeros?

Soluo Pela verso generalizada do princpio bsico, a resposta 26 . 26 . 26 . H 10 . 10 . 10 - 10 = 175.760.000.Exemplo 2d Quantas funes definidas em n pontos so possveis se cada valor da funo for igual a O ou I ?

Soluo Suponha que os pontos sejam 1,2,..., n. Como f(i) deve ser igual a O ou 1para cada i = 1,2,...,n, tem-se 2" funes possveis. HExemplo 2e No Exemplo 2c, quantas placas de automvel seriam possveis se a repetio entre letras ou nmeros fosse proibida?

Soluo Neste caso, seriam 26 . 25 24 10 9 8 7 automvel possveis.

78.624.000 placas deH

Quantos diferentes arranjos ordenados das letras a, b e c so possveis? Por enumerao direta vemos que so 6, ou seja, abc, acb, bac, bca, cab e cba. Cada

18 Probabilidade: Um Curso Moderno com Aplicaes

combinao conhecida como uma permutao. Assim, v-se que um conjunto de 3 objetos permite 6 permutaes possveis. Esse resultado poderia ser obtido a partir do princpio bsico, j que o primeiro objeto da permutao pode ser qualquer um dos trs, o segundo objeto da permutao pode ento ser escolhido a partir dos dois restantes e o terceiro objeto da permutao o objeto restante. Assim, h 3 . 2 - 1 = 6 permutaes possveis. Suponha agora que tenhamos n objetos. O emprego de um raciocnio similar aquele que acabamos de utilizar no caso das trs letras mostra ento que h

permutaes diferentes dos n objetos.

Exemplo 3a Quantas diferentes ordens de rebatedores so possveis em um time de beisebol formado por 9 jogadores?

Soluo H 9! = 362.880 ordens de rebatedores possveis.Exemplo 3b Uma turma de teoria da probabilidade formada por 6 homens e 4 mulheres. Aplica-se uma prova e os estudantes so classificados de acordo com o seu desempenho. Suponha que nenhum dos estudantes tenha tirado a mesma nota.(a) Quantas diferentes classificaes so possveis? (b) Se os homens forem classificados apenas entre si e as mulheres apenas entre si, quantas diferentes classificaes so possveis?

Soluo (a) Como cada classificao corresponde a um arranjo particular das 10 pessoas, a resposta 10! = 3.628.800.(b) Como h 6! possveis classificaes dos homens entre si e 4! classificaes possveis das mulheres entre si, segue do princpio bsico que h (6!)(4!)=(720)(24) = 17.280 classificaes possveis neste caso.

Exemplo 3c A Sra. Jones possui dez livros que pretende colocar em sua prateleira. Destes, quatro so de matemtica, trs so de qumica, dois so de histria e um um livro de lnguas. A Sra. Jones deseja arranj-los de forma que todos os livros que tratam do mesmo assunto permaneam juntos na prateleira. Quantos diferentes arranjos so possveis?

Soluo H 4! 3! 2! I! arranjos referentes ao alinhamento dos livros de matemtica, depois dos livros de qumica, histria e de lnguas. Similarmente, para cada ordem de assuntos possvel, h 4! 3! 2! l ! arranjos. Portanto, como h 4! possveis ordens de assuntos, a resposta desejada 4! 4! 3! 2! l ! = 6912. O

Caatulo 1

Anlise Combinatria

Vamos agora determinar o nmero de permutaes de um conjunto de n objetos quando no for possvel distinguir certos objetos de outros. Para tornar essa situao um pouco mais clara, considere o exemplo a seguir.Exemplo 3d Quantos diferentes arranjos de letras podem ser formados a partir das letras PEPPER?

Soluo Primeiro notamos que as letras P,E,P,P,E,R permitem 6! permutaes quando os 3P's e os 2E's so diferentes uns dos outros. Entretanto, considere qualquer uma destas permutaes - por exemplo, P,P,E,P,E,R. Se agora permutarmos os P's e os E's entre si, ento o arranjo resultante continuar a ser PPEPER. Isto , todas as 3!2! permutaes

so da forma PPEPER. Portanto, h 6!/(3! 2!) = 60 arranjos possveis das letras PEPPER. Em geral, o mesmo raciocnio usado no Exemplo 3d mostra que h nl! n2! . . . n,! permutaes diferentes de n objetos, dos quais n, so parecidos, n, so parecidos,..., n, so parecidos.Exemplo 3e Um torneio de xadrez tem dez competidores, dos quais quatro so russos, trs so dos Estados Unidos, dois so da Gr-Bretanha e um do Brasil. Se o resultado do torneio listar apenas a nacionalidade dos jogadores em sua ordem de colocao, quantos resultados sero possveis?

Soluo H

resultados possveis.Exemplo 3f Quantos diferentes sinais, cada um deles formado por nove bandeiras alinhadas, podem ser feitos a partir de um conjunto de quatro bandeiras brancas, trs bandeiras vermelhas e duas bandeiras azuis se todas as bandeiras de mesma cor forem idnticas?

20 Probabilidade: U m Curso Moderno com Aplicaes

Soluo H

sinais diferentes.

Estamos frequentemente interessados em determinar o nmero de grupos diferentes de r objetos que podem ser formados a partir de um total de n objetos. Por exemplo, quantos diferentes grupos de 3 podem ser selecionados dos 5 itens A , B , C, D e E? Para responder a essa questo, pense da seguinte forma: como h 5 maneiras diferentes de selecionar o item inicial, 4 maneiras de selecionar o item seguinte e 3 maneiras de selecionar o item final, h portanto 5 . 4 . 3 maneiras de selecionar o grupo de 3 quando a ordem de seleo dos itens for relevante. Entretanto, como cada grupo de 3 - por exemplo, o grupo formado pelos itens A , B e C - ser contado 6 vezes (isto , todas as permutaes ABC,ACB, BAC, BCA, C A B e CBA sero contadas quando a ordem da seleo for relevante), tem-se que o nmero total de grupos que podem ser formados igual a

Em geral, como n(n - 1) - .(n - r + 1)representa o nmero de diferentes maneiras pelas quais um grupo de r itens pode ser selecionado a partir de n itens quando a ordem da seleo relevante, e como cada grupo de r itens ser contado r! vezes, tem-se que o nmero de grupos diferentes de r itens que podem ser formados a partir de um conjunto de n itens

n(n - l)...(n - r r!

+ 1) -

n! (n - r)! r!

Notao e terminologiaDefinimos

( ),para r

n,como

E dizemos que

( : representa o nmero de combinaes possveis de n )

(:)

n! r)! r!

objetos em grupos de r elementos de cada vez.*

* Por conveno, define-se O! = 1.Com isso,que(:)= Oquandoin.

(o ) ( )=

= I. Alm disso, assume-se

Captulo 1

Anlise Combinatria

Assim,

( : representa o niimero de grupos diferentes com r elementos ). .

que podem ser selecionados de um conjunto de n objetos quando a ordem da seleo no considerada relevante.Exemplo 4a Um comit de trs pessoas deve ser formado a partir de um grupo de 20 pessoas. Quantos comits diferentes so possveis?

Soluo

~(3)

= 20

. 19 . 18 = 1140 comits possveis. 3 . 2 . 1

Exemplo 4b De um grupo de cinco mulheres e sete homens, quantos comits diferentes formados por duas mulheres e trs homens podem ser formados? E se dois dos homens estiverem brigados e se recusarem a trabalhar juntos?

Soluo

Como h

(z)

grupos possveis de duas mulheres e

(i)

PrU=

pos possveis de trs homens, o princpio bsico diz que h

(:) (:)

(->de

5 . 4 7 . 6 . 5 = 350 comits possveis formados por duas mulheres e trs 2 . 1 3 . 2 . 1 homens. Suponha agora que dois dos homens se recusem a trabalhar juntos. Como um total

(i) dois homens brigados, tem-se 35 brigados. Como h ainda ( )= 5 dos

( S) ( i )

35 grupos possveis de trs homens contm osambos os homens

- 5 = 30 grupos no contendo

= 10 maneiras de escolher as duas mulheres, h

30 . 10 = 300 comits possveis neste caso.Exemplo 4c Considere um conjunto de n antenas das quais m apresentam defeito e n - m funcionam, e suponha que no seja possvel distinguir as antenas defeituosas daquelas que funcionam. Quantos alinhamentos podem ser feitos sem que duas antenas com defeito sejam colocadas lado a lado?

Soluo Imagine que as n - m antenas que funcionam sejam alinhadas entre si. Agora, se no for permitido que duas antenas com defeito sejam colocadas lado a lado, ento os espaos entre as antenas que funcionam devem conter no mximo uma antena defeituosa. Isto , nas n - m + 1 posies possveis - representadas na Figura 1.1 por acentos circunflexos - entre as n - m antenas que funcionam, devemos selecionar m espaos onde colocar as antenas defeituosas.

Probabilidade: Um Curso Moderno com Aplicaes

A 1 A

. . l. A

1 = funcionalA

= lugar para no mximo uma antena defeituosa

Figura 1.1 Sem defeitos consecutivos.

Portanto, h

ordenaes possveis nas quais h pelo menos uma

antena que funciona entre duas defeituosas. A identidade a seguir til em anlise combinatria:

A Equao (4.1) pode ser provada analiticamente ou com o seguinte argumento combinatrio: considere um grupo de n objetos e fixe sua ateno em um deles - chame-o objeto 1. Agora, h

( :1:) grupos de tamanho r contendor que no contm o

o objeto 1 (pois cada grupo formado selecionando-se r - 1 dos n - 1 objetos restantes). Alm disso, h

( i') grupos de tamanho

objeto 1. Como h um total de tado a Equao (4.1). Os valores

grupos de tamanho r, tem-se como resul-

( : so frequentemente chamados de coejicienres binorniais )+ y). =

por causa de sua proeminncia no teorema binomial.

O teorema binomial(X

k=O

2( i )

xkyn-*

(4.2)

Vamos apresentar duas demonstraes do teorema binomial. A primeira uma demonstrao por induo matemtica e a segunda baseia-se em consideraes combinatrias. Demonstrao do teorema binomial por induo: Quando n (4.2) reduz-se a=

1,a Equao

Captulo 1

Anlise Combinatria 23

Suponha a Equao (4.2) para n - 1.Agora,

= (X

+ y) 1

(n - 1 ) k=On-l

Xkyn-l-k

Fazendo i = k + 1na primeira soma e i = k na segunda soma, vemos que (X

+ yln =

2( )n - 1 i-1 i=ln-i

n-l

xiYn-i + iO =

( n 1)

Xiyn-i

= *"

+ 1( ; ) X ' Y ~ - ~ + yni=l

i=O onde a penltima igualdade vem da Equao (4.1). Por induo, o teorema est agora demonstrado.Demonstrao combinatria do teorema binomial: Considere o produto

Sua expanso consiste na soma de 2" termos, cada um deles sendo o produto de n fatores. Alm disso, cada um dos 2" termos da soma apresenta xi ou yi como fator para cada i = 1,2,..., n. Por exemplo,

Agora, quantos dos 2" termos da soma vo ter k dos xi's e (n - k) dos yi's como fatores? Como cada termo consistindo em k dos xi7se (n - k) dos yi's corresponde a uma escolha de um grupo de k dos n valores x,, x,,..., x,,, h como este. Assim, fazendo xi = x, yi = y, i = 1,..., n, vemos quen#

( z ) termos

Exemplo 4d Expanda (x + Y ) ~ .

24 Probabilidade: U m Curso Moderno com Aplicaes

Soluo

Exemplo 4e Quantos subconjuntos existem em um conjunto de n elementos? Soluo Como h

(:)

subconjuntos de tamanho k, a resposta desejada

Esse resultado tambm poderia ter sido obtido atribuindo-se o nmero O ou o nmero 1 a cada elemento pertencente ao conjunto. A cada atribuio de nmeros corresponderia, em uma relao um para um, um subconjunto formado por todos os elementos que receberam o valor 1.Como h 2" atribuies possveis, obter-se-ia dessa forma o resultado esperado. Note que inclumos o conjunto de O elementos (isto , o conjunto vazio) como um subconjunto do conjunto original. Portanto, o nmero de subconjuntos que contm pelo menos um elemento igual a 2" - 1.

1.5 COEFICIENTES MULTINOMIAISNesta seo, consideramos o seguinte problema: um conjunto de n itens distintos deve ser dividido em r grupos distintos de tamanhos n,, n,, ..., n,, respectivamente, onde ni = n. Quantas divises diferentes so possveis? Para

responder a essa questo, notamos que h

(, )

escolhas possveis para on1

primeiro grupo; para cada escolha do primeiro grupo, h

( i2 ) escolhas

possveis para o segundo grupo; para cada escolha dos dois primeiros grupos, h escolhas possveis para o terceiro grupo, e assim por

diante. Da sucede da verso generalizada do princpio bsico da contagem que existem n - n1 - n2 - ... nr n! (n - ni)! ... (n - nl - n2 - . . . - ar-l)! (n - n l ) !n i ! (n - nl - n2)! n2! O! n,! n! nl! n2!. . . n,! divises possveis.

Captulo I

Anlise Combinatria 25

Outra maneira de visualizar esse resultado considerar os n valores 1,1, ..., = 1,..., r. Cada permutao desses valores corresponde a uma diviso dos n itens em r grupos da seguinte , maneira: suponha que a permutao i,, i,, ...,i corresponda atribuio do item 1 ao grupo i,, do item 2 ao grupo i, e assim por diante. Por exemplo, se n = 8 e se n,=4, n, = 3,e n, = 1,ento a permutao 1,1,2,3,2,1,2,1 corresponde atribuio dos itens 1,2,6,8 primeiro grupo, dos itens 3,5,7ao segundo ao grupo, e do item 4 ao terceiro grupo. Como cada permutao leva a uma diviso dos itens e toda diviso possvel resultado de alguma permutao, tem-se que n,, o nmero de divises de n itens em r grupos distintos de tamanhos n,, ...,n, igual ao nmero de permutaes de n itens dos quais n,so semelhantes, n, so semelhantes, ..., e n,so semelhantes, o que se mostrou na Seo 1.3 ser igual a

1,2,..., 2,..., r,..., r, onde i aparece n,vezes, para i

NotaoSe n, + n, +... + n, = n,definimos

n como nl,n2,.. ,nr .

)

(Assim,

n nl,nz,.. ,n . r

)

n! nl!n2!. . . nr!

n representa o nmero de divises possveis de n nl?n2>...7nr objetos distintos em r grupos distintos de tamanhos n,, ..., n,,respectin,,

(

vamente.

Exemplo 5a Um dos departamentos de polcia de um vilarejo formado por 10 policiais. Se a poltica do departamento a de possuir 5 dos policiais patrulhando as ruas, 2 deles trabalhando todo o tempo na delegacia e 3 deles de reserva, quantas divises diferentes dos 10 policiais nos trs grupos so possveis?

lO! Soluo H --- = 2520 divises possveis. 5!2!3!

Exemplo 5b Dez crianas devem ser divididas em dois times A e B com 5 crianas cada. O time A joga em uma liga e o time B em outra. Quantas divises diferentes so possveis?

lO! Soluo H -= 252 divises possveis. 5!5!

26 Probabilidade: Um Curso Moderno com Aplicaes

Exemplo 5c Para jogar uma partida de basquete, 10 crianas dividem-se em dois times de 5 cada. Quantas divises diferentes so possveis? Soluo Note que este exemplo difere do Exemplo 5b porque agora a ordem dos dois times irrelevante. Isto , no h times A e B, mas apenas uma diviso que consiste em 2 grupos com 5 crianas cada. Portanto, a resposta desejada

A demonstrao do teorema a seguir, que generaliza o teorema binomial, deixada como exerccio.

O teorema multinomial(x1

+ X 2 + . . . + x , ) ~=

(nl>...>nr) nl + ... + n, = n

c (

n xnl xn2 . .' X . : nl,n2, ..., nr 1 2

Isto , faz-se a soma de todos os vetores com valores inteiros no negativos (n,,n,,..., n,) de forma que n, + n, +... + n, = n.

Os nmeros

n so conhecidos como coeficientes multinomiais. nl,n2>. ..>nr

Exemplo 5d Na primeira rodada de um torneio de mata-mata envolvendo n=2" jogadores, os n jogadores so divididos em n/2 pares, com cada um desses pares jogando uma partida. Os perdedores das partidas so eliminados e os vencedores disputam a prxima rodada, onde o processo repetido at que apenas um jogador permanea. Suponha que tenhamos um torneio de mata-mata com 8 jogadores.(a) Quantos resultados possveis existem para a rodada inicial? (Por exemplo, um resultado 1vence 2,3 vence 4,5 vence 6 e 7 vence 8.) (h) Quantos resultados so possveis para o torneio, supondo que um resultado fornea a informao completa de todas as rodadas?

Soluo Uma maneira de determinar o nmero de resultados possveis para a rodada inicial primeiramente determinar o nmero de pares possveis para essa rodada. Para isso, note que o nmero de maneiras de dividir os 8 jogadores em um primeiro par, um segundo par, um terceiro par e um quarto par

Captulo 1

Anlise Combinatria 27

8 8! Assim, o nmero de pareamentos possveis quando no h (2,2,2,2) = 9. 8! ordenao dos 4 pares -. Para cada pareamento como esse, h 2 escolhas 24 4! possveis de cada par quanto ao vencedor daquele jogo, o que mostra que h 8!24 8! - - - - resultados possveis para a primeira rodada (outra maneira de ver 244! 4! isso notar que h escolhas possveis dos 4 vencedores e, para cada umadessas escolhas, h 4! maneiras de se formar pares entre os 4 vencedores e os

4 perdedores, o que mostra que h 4!meira rodada).

(4) :i=

resultados possveis para a pri-

4! Similarmente, para cada resultado da primeira rodada, h - resultados 2! possveis para a segunda rodada, e para cada um dos resultados das primeiras0I

duas rodadas h

resultados possveis para a terceira rodada. Consequente-

mente, pela verso generalizada do princpio bsico da contagem, o torneio 8! 4! 2! tem - - - = 8! resultados possveis. De fato, o mesmo argumento pode ser 4! 2! I ! usado para mostrar que um torneio de mata-mata de n = 2'" jogadores tem n ! resultados possveis. Conhecendo o resultado anterior, no difcil elaborar um argumento mais direto mostrando que existe uma correspondncia um para um entre o conjun..., to de possveis resultados do torneiro e o conjunto das permutaes de 1, n. Para obter tal correspondncia, classifique os jogadores da seguinte forma para cada resultado do torneio: atribua ao vencedor do torneiro o nmero 1 e ao vice-campeo o nmero 2. Aos jogadores que perderam na semifinal, atribua o nmero 3 quele que perdeu para o campeo e o nmero 4 quele que perdeu para o vice-campeo. Aos quatro jogadores que perderam nas quartas de final, atribua o nmero 5 quele que perdeu para o campeo, 6 quele que perdeu para o vice-campeo, 7 quele que perdeu para o terceiro colocado, e 8 quele que perdeu para o quarto colocado. Continuando dessa maneira, acaba-se atribuindo um nmero a cada jogador (uma descrio mais sucinta obtida ao atribuir-se ao campeo do torneio o nmero 1 e ao jogador que perdeu em uma rodada com 2k partidas o nmero do jogador que o venceu mais 2k,onde k = O, ..., m - 1). Dessa maneira, o resultado do torneio pode ser representado por uma permutao i,, i,, ...,i,, onde i, corresponde ao jogador ao qual atribuiu-se o nmero j. Como diferentes resultados do torneio do origem a diferentes permutaes e como existe um resultado diferente do torneio para cada permutao, tem-se o mesmo nmero de resultados possveis para o torneiro quanto de permutaes de 1,...,n.

28 Probabilidade: Um Curso Moderno com Aplicaes

Exemplo Se

Existem r" resultados possveis quando n bolas diferentes so distribudas em r urnas distintas. Isso ocorre porque cada bola pode ser colocada em cada uma das r urnas. No entanto, suponhamos agora que no seja possvel distinguir as n bolas entre si. Nesse caso, quantos resultados diferentes so possveis? Como no h diferena entre as bolas, tem-se que o resultado do experimento que envolve distribuir as n bolas entre as r urnas pode ser descrito por um vetor (x,, x,, ..., x,), onde x, indica o nmero de bolas depositadas na i-sima urna. Portanto, o problema reduz-se a encontrar o nmero de vetores com valores inteiros no negativos (x,, x, ,...,x,) tais que

Para computar esse nmero, comecemos considerando o nmero de solues inteiras positivas. Com esse objetivo, imagine que tenhamos n objetos idnticos alinhados e que queiramos dividi-los em r grupos no vazios. Para fazer isso, podemos selecionar r - 1dos n - 1espaos entre objetos adjacentes como nossos pontos divisrios (veja a Figura 1.2).Por exemplo, se tivermos n = 8 e r = 3, e escolhermos os dois divisores de forma a obter. .

ento o vetor resultante x,=3, x,

3, x,

2. Como h

selees

possveis, temos a seguinte proposio.

O A O A O A...A O A O

n objetos OEscolha r-

1 dos espaos

Figura 1.2-

Nmero de solues positivas.

* Asteriscos indicam que o material opcional.

Ca~tulo 1

Anlise Cornbinatria

Proposio 6.1 Existem

vetores distintos com valores inteiros posi-

tivos (x,, x,, ...,x,) satisfazendo a equao

Para obter o nmero de solues no negativas (em vez de positivas), note que o nmero de solues no negativas de x, + x, +... x, = n igual ao nmero de solues positivas de y, + y, +... + yr = n r (o que se v ao fazer y, = x, 1, i = 1,..., r). Portanto, da Proposio 6.1, obtemos a seguinte proposio.

Proposio 6.2 Existem

( fr I T )vetores distintos com valores inteiros

no negativos satisfazendo a equao

Exemplo 6a Quantas solues com valores inteiros no negativos de x,

Solu~o ~ ( 3

: ;) 2

+ x, = 3 so possveis?

= 4 solues: (0,3), (1,2), (2, I), (3,O).

Exemplo 6b Um investidor tem 20 mil reais para aplicar entre 4 investimentos possveis. Cada aplicao deve ser feita em unidades de mil reais. Se o valor total de 20 mil for investido, quantas estratgias de aplicao diferentes so possveis? E se nem todo o dinheiro for investido?

Soluo Se fizermos com que xi,i = 1,2,3,4,represente o nmero de milhares de reais aplicados no investimento i, quando todo o montante tiver de ser investido, x,, x,, x,, x, sero inteiros satisfazendo a equaoxi

+ x2 + x3 + x4 = 20

xi r O

Portanto, pela Proposio 6.2, h

= 1771estratgias de investimento pos-

sveis. Se nem todo o dinheiro precisar ser investido e se atribuirmos a x, o montante de dinheiro mantido em reserva, cada estratgia corresponder a um vetor (xl,x,, x3,x,, x5)com valores inteiros no negativos satisfazendo a equaoXl

+ x2 + xg + X4 + xg = 20=

Portanto, pela Proposio 6.2, existem

10.626 estratgias possveis.

Exemplo 6c Quantos termos existem na expanso multinomial de (x,

+ x, +... + x,)"?

30 Probabilidade: U m Curso Moderno com Aplicaes

Soluo

onde se faz a soma de todos os valores inteiros no negativos (n,,..., n,) de forma que n ,

+... + n, = n. Portanto, pela Proposio 6.2, existem ( " : i ; ' )

termos como esse.

Exemplo 6d Consideremos novamente o Exemplo 4c, no qual tnhamos um conjunto de n itens, dos quais m so (indistinguveis e) defeituosos e os restantes n - m so funcionais (mas tambm indistinguveis).Nosso objetivo determinar o nmero de ordenaes lineares nas quais no existam itens defeituosos em posies adjacentes. Para determinar esse nmero, imaginemos que os itens defeituosos estejam todos alinhados e que os funcionais devam agora ser posicionados. Chamemos de x, o nmero de itens funcionais esquerda do primeiro item defeituoso,^, o nmero de itens funcionais entre os dois primeiros defeituosos, e assim por diante. Isto , temos, esquematicamente,

Agora, haver pelo menos um item funcional entre qualquer par de itens defeituosos desde que xi > O, i = 2,..., rn. Com isso, o nmero de resultados que satisfazem essa condio o nmero de vetores x , ,..., x,,, que satisfazem a equao

+ ... + x m + l = n

m xl 2 0 , x m + i 2 0 , x j > O, i = 2 ,... , m

Mas, fazendo com que y , = x, + 1 , y, = x,, i = 2,..., m, y,,, - x,,, + 1,vemos que esse nmero igual ao nmero de vetores positivos (y,, ..., y,,,) que satisfazem a equao

Com isso, pela Proposio 6.1, existem

resultados como esse, o

que est de acordo com os resultados do Exemplo 4c. Suponha agora que estejamos interessados no nmero de resultados nos quais cada par de itens defeituosos esteja separado por pelo menos dois itens que funcionam. Usando o mesmo raciocnio aplicado anteriormente, isso igual ao nmero de vetores que satisfazem a equao Ao fazer y, = x, 1, yi = xi - 1 , i = 2 ,..., m, y,,, = x,,, + 1, vemos que esse resultado igual ao nmero de solues positivas da equao

+ ... + y m + i = n

Captulo 1

Anlise Combinatria

Portanto, da Proposio 6.1, existem

resultados como esse. W

RESUMO O princpio bsico da contagem diz que se um experimento constitudo por duas fases for tal que existam n possveis resultados na fase 1 e, para cada um desses n resultados, existam m possveis resultados na fase 2, ento o experimento ter nm resultados possveis. Existem n! = n(n - I)...3 . 2 . 1ordenaes lineares possveis de n itens. A grandeza O! por definio igual a 1. Seja

quando O 5 i 5 n , e O do contrrio. Essa grandeza representa o nmero de diferentes subgrupos de tamanho i que podem ser formados em um conjunto de tamanho n. Ela frequentemente chamada de coeficiente binomial por causa de seu destaque no teorema binomial, que diz que

Para inteiros no negativos n,, ...,n, cuja soma n,

corresponde ao nmero de divises de n itens em r subgrupos no superpostos de tamanhos n,, n,,..., n,.

PROBLEMAS1.1 (a) Quantas placas de carro diferentes com 7 caracteres podem ser formadas se os dois primeiros campos da placa forem reservados para as letras e os outros cinco para os nmeros? (b) Repita a letra (a) supondo que nenhuma letra ou nmero possa ser repetido em uma mesma placa. 1.2 Quantas sequncias de resultados so possveis quando um dado rolado quatro vezes, supondo, por exemplo, que 3, 4 , 3 , 1 o resultado obtido se o primeiro dado lanado cair no 3, o segundo no 4, o terceiro no 3 e o quarto no l? 1.3 Vinte trabalhadores sero alocados em vinte tarefas diferentes, um em cada tarefa. Quantas alocaes diferentes so possveis? 1.4 Joo, Jlio, Jonas e Jacques formaram uma banda com quatro instrumentos. Se cada um dos garotos capaz de tocar todos os instrumentos, quantas diferentes combinaes so possveis? E se Joo e Jlio souberem tocar todos os quatro instrumentos, mas Jonas e Jacques souberem tocar cada um deles apenas o piano e a bateria? 1.5 Por muitos anos, os cdigos telefnicos de rea nos EUA e no Canad eram formados por uma sequncia de trs algarismos. O primeiro algarismo era um inteiro entre 2 e 9, o segundo algarismo era O ou 1,e o

Probabilidade: Um Curso Moderno com AQI (b) for necessrio que os livros de matemtica fiquem juntos e os romances tambm? (c) for necessrio que os romances fiquem juntos, podendo os demais livros ser organizados de qualquer maneira? 1.12 Cinco prmios diferentes (melhor desempenho escolar, melhores qualidades de liderana, e assim por diante) sero dados a estudantes selecionados de uma classe de trinta alunos. Quantos resultados diferentes so possveis se (a) um estudante puder receber qualquer nmero de prmios? (b) cada estudante puder receber no mximo um prmio? 1.13 Considere um grupo de vinte pessoas. Se todos cumprimentarem uns aos outros com um aperto de mos, quantos apertos de mo sero dados? 1.14 Quantas mos de pquer de cinco cartas existem? 1.15 Uma turma de dana formada por 22 estudantes, dos quais 10 so mulheres e 12 so homens. Se 5 homens e 5 mulheres forem escolhidos para formar pares, quantas combinaes diferentes sero possveis? 1.16 Um estudante tem que vender 2 livros de uma coleo formada por 6 livros de matemtica, 7 de cincias e 4 de economia. Quantas escolhas sero possveis se (a) ambos os livros devem tratar do mesmo assunto? (b) os livros devem tratar d e assuntos diferentes? 1.17 Sete presentes diferentes devem ser distribudos entre 10 crianas. Quantos resultados diferentes so possveis se nenhuma criana puder receber mais de um presente? 1.18 Um comit de 7 pessoas, formado por 2 petistas, 2 democratas e 3 peemedebistas deve ser escolhido de um grupo de 5 petistas, 6 democratas e 4 peemedebistas. Quantos comits so possveis? 1.19 De um grupo de 8 mulheres e 6 homens, pretende-se formar um comit formado por 3 homens e 3 mulheres. Quantos comits diferentes so possveis se (a) 2 dos homens se recusarem a trabalhar juntos?

terceiro digito era um inteiro entre 1e 9. Quantos cdigos de rea eram possveis? Quantos cdigos de rea comeando com um 4 eram possveis? 1.6 Uma famosa cano de ninar comea com os versos "Quando ia para So Ives, Encontrei um homem com 7 mulheres. Cada mulher tinha 7 sacos. Cada saco tinha 7 gatos. Cada gato tinha 7 gatinhos..." Quantos gatinhos o viajante encontrou? 1.7 (a) D e quantas maneiras diferentes 3 garotos e 3 garotas podem sentar-se em fila? (b) D e quantas maneiras diferentes 3 garotos e 3 garotas podem sentar-se em fila se os garotos e as garotas sentarem-se juntos? (c) E se apenas os garotos sentarem-se juntos? (d) E se duas pessoas do mesmo sexo no puderem se sentar juntas? 1.8 ~ u n t o arranjos de letras diferentes pos dem ser feitos a partir de (a) Sorte? (b) Propose? (c) Mississippi? (d) Arranjo? 1.9 Uma criana tem 12 blocos, dos quais 6 so pretos, 4 so vermelhos, 1 branco e 1 azul. Se a crianca colocar os blocos em linha, quantos arranjos so possveis? 1.10 De quantas maneiras 8 pessoas podem se sentar em fila se (a) no houver restries com relao ordem dos assentos? (b) as pessoas A e B tiverem que se sentar uma ao lado da outra? (c) houver 4 homens e 4 mulheres e no for permitido que dois homens ou duas mulheres se sentem em posies adjacentes? (d) houver 5 homens e for necessrio que eles se sentem lado a lado? (e) houver 4 casais e cada casal precisar sentar-se junto? 1.11 De quantas maneiras trs romances, dois livros de matemtica e um livro de qumica podem ser arranjados em uma prateleira se (a) eles puderem ser colocados em qualquer ordem?

Captulo I (b) 2 das mulheres se recusarem a trabalhar juntas? (c) 1 homem e 1 mulher se recusarem a trabalhar juntos? 1.20 Uma pessoa tem 8 amigos, dos quais 5 sero convidados para uma festa. (a) Quantas escolhas existem se dois dos amigos estiverem brigados e por esse motivo no puderem comparecer? (b) Quantas escolhas existem se dois dos amigos puderem ir apenas se forem juntos? 1.21 Considere a malha de pontos mostrada a seguir. Suponha que, comeando do ponto A, voc possa ir um passo para cima ou para direita em cada movimento. Esse procedimento continua at que o ponto B seja atingido. Quantos caminhos possveis existem entre A e B? Dica: Note que, para atingir B a partir de A, voc deve dar quatro passos direita e trs passos para cima.

Anlise Combinatria

1.22 No Problema 21, quantos caminhos diferentes existem entre A e B que passam pelo ponto circulado mostrado na figura a seguir?B

1.23 Um laboratrio de psicologia dedicado a pesquisar os sonhos possui 3 quartos com 2 camas cada. Se 3 conjuntos de gmeos idnticos forem colocados nessas 6 camas

de forma que cada par de gmeos durma em camas diferentes em um mesmo quarto, quantas diferentes combinaes so possveis? 1.24 Expanda (3x2 + y)5. 1.25 O jogo de bridge jogado por 4 jogadores, cada um deles com 13 cartas. Quantas jogadas de bridge so possveis? 1.26 Expanda (x, + 2x, + 3xJ4. 1.27 Se 12 pessoas vo ser divididas em 3 comits de 3,4 e 5 pessoas. Quantas divises so possveis? 1.28 Se 8 professores novatos tiverem que ser divididos entre 4 escolas, quantas divises so possveis? E se cada escola puder receber 2 professores? 1.29 Dez halterofilistas disputam uma competio d e levantamento d e peso por equipes. Destes, 3 so dos EUA, 4 da Rssia, 2 da China e 1 do Canad. Se a soma de pontos considerar os pases que os atletas representam, mas no as identidades desses atletas, quantos diferentes resultados so possveis? Quantos resultados diferentes correspondem situao em que os EUA possuem um atleta entre os trs primeiros e 2 entre os trs ltimos? 1.30 Delegados de 10 pases, incluindo Rssia, Frana, Inglaterra e os EUA, devem sentar-se lado a lado. Quantos arranjos de assentos diferentes so possveis se os delegados franceses e ingleses tiverem que sentar-se lado a lado e os delegados da Rssia e dos EUA no puderem sentar-se lado a lado. "1.31 Se 8 quadros-negros idnticos forem divididos entre quatro escolas, quantas divises so possveis? E se cada escola tiver que receber pelo menos um quadro-negro? *1.32Um elevador parte d o subsolo com 8 pessoas (no incluindo o ascensorista) e as deixa todas juntas ao chegar no 1timo piso, no sexto andar. D e quantas maneiras poderia o ascensorista perceber as pessoas deixando o elevador se todas elas parecessem iguais para ele? E se as 8 pessoas correspondessem a 5 homens e 3 mulheres, e o ascensorista pudesse diferenciar um homem de uma mulher?

Probabilidade: Um Curso Moderno com A~licaces reais. Quantas estratgias de aplicao diferentes existem se (a) uma aplicao tiver que ser feita em cada carteira? (b) aplicaes tiverem que ser feitas em pelo menos 3 das quatro carteiras?

*L33 Temos 20 mil reais que devem ser aplicados entre 4 carteiras diferentes. Cada aplicao deve ser feita em mltiplos de mil reais, e os investimentos mnimos que podem ser feitos so de 2,2,3 e 4 mil

1.1 Demonstre a verso generalizada do princpio bsico da contagem. 1.2 Dois experimentos sero realizados. O primeiro pode levar a qualquer um dos m resultados possveis. Se o primeiro experimento levar ao resultado i, ento o segundo experimento pode levar a qualquer um dos ni resultados possveis, com i = 1 , 2,..., m. Qual o nmero de resultados possveis para os dois experimentos? 1.3 De quantas maneiras podem r objetos ser selecionados de um conjunto de n objetos se a ordem de seleo for considerada relevante? 1.4 Existem

1.9 Use o Exerccio Terico 1.8 para demonstrar que

1.10 De um grupo de n pessoas, suponha que queiramos escolher um comit de k, k 5 n, das quais uma ser designada a presidente. (a) Mantendo o foco primeiro na escolha do comit e ento na escolha do presidente, mostre que h possveis. (b) Mantendo o foco primeiro na escolha dos membros do comit que no sero escolhidos como presidente e ento na escolha do presidente, mostre que h

( :) arranjos lineares diferentes

de n bolas, das quais r so pretas e n - r so brancas. D uma explicao combinatria para este fato. 1.5 Determine o nmero de vetores (x,,..., x,) de forma que cada xi seja igual a O ou 1en

( : ) (n

+ 1)es-

x x i 2 ki=l

colhas possveis. (c) Mantendo o foco primeiro na escolha do presidente e ento na escolha dos demais membros do comit, mostre que h n possveis. (d) Conclua das letras (a), (b) e (c) que

1.6 Quantos vetores x ,,..., x, existem para os quais cada x, um inteiro positivo tal que 1 S x , S n e x , < x , < ... 0,

(a) Apresente um argumento combinatrio para essa identidade considerando um conjunto de n pessoas e determinando, de duas maneiras, o nmero de possveis selees de um comit de qualquer tamanho e de um presidente para o comit. Dica: (i) Existem quantas selees possveis para um comit de tamanho k e seu presidente? (ii) Existem quantas selees possveis para um presidente e os demais membros do comit? (b) Verifique a identidade a seguir para n = 1,2,3,4,5:

Dica: Use o teorema binomial. 1.14 De um grupo de n pessoas, deve-se escolher um comit de tamanho j. Deste comit, tambm ser escolhido um subcomit de tamanho i, i 5 j. (a) Deduza uma identidade combinatria para calcular, de duas maneiras, o nmero de escolhas possveis para o comit e o subcomit - inicialmente supondo que o comit seja escolhido antes do subcomit, e depois supondo que o subcomit seja escolhido antes do comit. (b) Use a letra (a) para demonstrar a seguinte identidade combinatria:

Para uma demonstrao combinatria da identidade anterior, considere um conjunto de n pessoas e mostre que ambos os lados da identidade representam o nmero de selees diferentes de um comit, seu presidente e seu secretrio (que possivelmente acumula a funo de presidente). Dica: (i) Quantas selees diferentes resultam em um comit contendo exatamente k pessoas? (ii) Existem quantas selees diferentes nas quais o presidente e o secretrio so os mesmos? (Resposta: n2"-'.) (iii) Quantas selees diferentes resultam no presidente e no secretrio sendo pessoas diferentes?

1.15 Seja H,(n) o nmero de vetores x ,,..., x, para os quais cada x, um inteiro positivo x, satisfazendo 1 5 x, 5 n e x, I I...< Xk. (a) Sem quaisquer clculos, mostre que

Hi n ) = n (Hk(n) =j=l

k > 1

Dica: Existem quantos vetores nos quais x, = j? (b) Use a recurso anterior para calcular H3(5). Dica: Primeiro calcule H,(n) para n = 1,2,3,4,5. 1.16 Considere um torneio com n competidores no qual o resultado uma ordenao desses competidores, sendo permitidos empates. Isto , o resultado divide os

36 Probabilidade: Um Curso Moderno com A~licacesjogadores em grupos, com o primeiro grupo sendo formado por aqueles que empataram em primeiro lugar, o grupo seguinte sendo formado por aqueles que empataram em segundo lugar, e assim por diante. Faa N(n) representar o nmero de diferentes resultados possveis. Por exemplo, N(2) = 3, pois, em um torneio com 2 competidores, o jogador 1poderia ser unicamente o primeiro, o jogador 2 poderia ser unicamente o primeiro, ou eles poderiam empatar em primeiro. (a) Liste todos os resultados possveis quando n = 3. (b) Com N(0) definido como igual a 1,mostre, sem realizar nenhum clculo, que 1.18 Mostre que

Dica: Use um argumento similar aquele empregado para estabelecer a Equao (4.1). 1.19 Demonstre o teorema multinomial. "1.20 De quantas maneiras n bolas idnticas podem ser distribudas em r urnas de forma que a i-sima urna contenha pelo menos rnibolas, para cada i = 1, r? Suponha ..., que n 2 mi. "1.21 Mostre que existem exatamente(n

Dica: Existem quantos resultados nos quais i jogadores empatam em ltimo lugar? (c) Mostre que a frmula da letra (b) equivalente a

,,)solues de

(d) Use a recurso para determinar N(3) e N(4). 1.17 Apresente uma explicao combinatria para

para as quais exatamente k dos xi so iguais a O . "1.22 Considere uma funo f(x ,,..., x,) de n variveis. Quantas derivadas parciais de ordem r a funo f possui? "1.23 Determine o nmero de vetores (x,,...,x,) tais que cada um seja um inteiro no negativo e

1.1 Existem quantos arranjos lineares diferentes das letras A, B, C, D, E, F para os quais (a) A e B esto uma ao lado do outra? (b) A est antes de B? (c) A est antes de B e B antes de C? (d) A est antes de B e C antes de D? (e) A e B esto uma ao lado da outra e C e D tambm esto uma ao lado da outra? (f) E no est na ltima linha? 1.2 Se quatro americanos, 3 franceses e trs britnicos devem sentar-se lado a lado,

quantos arranjos de assentos so possveis quando for necessrio que pessoas da mesma nacionalidade se sentem em posies adjacentes? 1.3 Um presidente, um tesoureiro e um secretrio, todos diferentes, sero escolhidos de um clube formado por 10 pessoas. Quantas escolhas diferentes so possveis se (a) no houver restries? (b) A e B no trabalharem juntos? (c) C e D trabalharem juntos, seno no trabalharo em hiptese alguma? (d) E necessariamente ocupar um cargo?

Captulo 1 (e) F ocupar um cargo apenas se for presidente? 1.4 Uma estudante precisa responder a 7 questes de 10 em um exame. Quantas escolhas ela tem? E se ela precisar responder a 3 das primeiras 5 questes? 1.5 De quantas maneiras diferentes pode um homem dividir 7 presentes entre seus trs filhos se o mais velho tiver que receber 3 presentes e os demais 2 presentes cada? 1.6 Quantas placas de carro diferentes com 7 caracteres so possveis quando trs das posies forem letras e 4 forem algarismos? Suponha que a repetio das letras e dos nmeros seja possvel e que no exista restrio quanto ao seu posicionamento. 1.7 D uma explicao combinatria para a identidade

Anlise Combinatria

1.8 Considere nmeros de n algarismos onde cada um deles um dos 10 inteiros 0, 1,..., 9. Quantos nmeros existem para os quais (a) no h algarismos consecutivos iguais? (b) O aparece como um algarismo um to, tal de i vezes, i = O...,n? 1.9 Considere trs classes, cada uma dela formada por n estudantes. Deste grupo de 3n estudantes, deve-se escolher um grupo de 3 estudantes. (a) Quantas escolhas so possveis? (b) Existem quantas escolhas nas quais todos os 3 estudantes vm da mesma classe? (c) Existem quantas escolhas nas quais 2 dos 3 estudantes esto na mesma classe e o outro est em uma classe diferente? (d) Existem quantas escolhas nas quais todos os 3 estudantes esto em classes diferentes? (e) Usando os resultados das letras (a) a (d), escreva uma identidade combinatria. 1.10 Quantos nmeros de 5 algarismos podem ser formados a partir dos inteiros 1 , 2 ,..., 9 se nenhum algarismo puder aparecer mais de duas vezes? (Por exemplo, 41434 no permitido.)

1.11 D e 10 casais, queremos selecionar um grupo de 6 pessoas no qual a presena de um casal no permitida. (a) Existem quantas escolhas possveis? (b) Existem quantas escolhas possveis se o grupo tambm tiver que ser formado por 3 homens e 3 mulheres? 1.12 Deve-se escolher um comit de 6 pessoas a partir de um grupo formado por 7 homens e 8 mulheres. Se o comit tiver que ser formado por pelo menos 3 mulheres e pelo menos 2 homens, possvel formar quantos comits diferentes? "1.13 Uma coleo de artes formada por 4 Dalis, 5 Van Goghs e 6 Picassos foi leiloada. No leilo havia 5 colecionadores de arte. Se um reprter tivesse anotado apenas o nmero de Dalis, Van Goghs e Picassos adquiridos por cada colecionador, quantos resultados diferentes poderiam ter sido registrados se todos os trabalhos tivessem sido vendidos? "1.14 Determine o nmero de vetores (x,,...,x,) tais que cada x, um inteiro positivo en

onde k 2 n. 1.15 Um total de n estudantes est matriculado em um curso de probabilidade. Os resultados dos exames vo listar os nomes dos alunos aprovados em ordem decrescente de notas. Por exemplo, o resultado ser "Bruno, Carlos" se Bruno e Carlos forem os nicos a terem sido aprovados, com Bruno recebendo a maior nota. Supondo que todas as notas sejam diferentes (sem empates), quantos resultados sero possveis? 1.16 Quantos subconjuntos de tamanho 4 do ..., conjunto S = {1,2, 20) contm pelo menos um dos elementos l , 2,3,4, 5? 1.17 Verifique analiticamente a igualdade a seguir:

(;) (i) + k(n=

+ (n - k )

1 5k s n

Agora, fornea um argumento combinatrio para esta identidade. 1.18 Em certa comunidade, h 3 famlias formadas por um nico pai e um filho, 3 fa-

38 Probabilidade: Um Curso Moderno com Aplicaesmlias formadas por um nico pai e 2 filhos, 5 famlias formadas por 2 pais e um filho nico, 7 famlias formadas por 2 pais e 2 filhos, e 6 famlias formadas por 2 pais e 3 filhos. Se um pai e um filho de cada famlia tiverem que ser escolhidos, existem quantas possibilidades de escolha?

1.19 Se no houver restries quanto ao posicionamento dos nmeros e das letras, quantas placas de carro com 8 caracteres formadas por 5 letras e trs nmeros sero possveis se no for permitida a repetiqo de letras ou nmeros? E se os 3 nmeros tiverem que ser consecutivos?

Captulo

Axiomas da Probabilidade

di i

2.2 E S P A O ~ M O S T RE EVENTOS A~ i ' * r: 2.3 ' AXIOMAS DA PROBABILIDAD~ a 6 2.4 - ALGUMAS PROPOSIES SIMPLES " a 2.5 ESPAOSAMOSTRAIS COM PROVAVEIS 2.6 PROBABILIDADECOMO UMA FUNO CONT~NUA UM CONJUNTO DE ' 2.7 PROBABILIDADE COMO UMA D CRENA E

>)i

RESULTADOS IGUALMENTE MEDIDA- _ L

Neste captulo, introduzimos o conceito de probabilidade de um evento e em seguida mostramos como probabilidades podem ser calculadas em certas situaes. Antes disso, no entanto, necessitamos dos conceitos de espao amostral e de eventos de um experimento.

2.2 ESPAO AMOSTRA1 E EVENTOSConsidere um experimento cujo resultado no se pode prever com certeza. Entretanto, embora o resultado do experimento no seja conhecido antecipadamente, vamos supor que o conjunto de todos os resultados possveis seja conhecido. Esse conjunto conhecido como o espao amostral do experimento e representado pela letra S. A seguir, temos alguns exemplos:

1. Se o resultado de um experimento consiste na determinao do sexo de um beb recm-nascido, ento

onde o resultado g significa que o beb menina e b que o beb menino.

40 Probabilidade: U m Curso Moderno com A~iicaces

2. Se o resultado de um experimento a ordem de chegada de uma corrida entre 7 cavalos numerados de 1 a 7, ento S=

{todas as 7! permutaes de (1,2,3,4,5,6,7)]

O resultado (2,3,1,6,5,4,7) significa, por exemplo, que o cavalo nmero 2 chegou em primeiro lugar, depois o cavalo nmero 3, depois o nmero 1, e assim por diante. 3. Se o experimento consiste em jogar duas moedas, ento o espao amostral formado pelos quatro pontos a seguir:

O resultado ser ( H ,H ) se ambas as moedas derem cara, ( H , 7 ) a primei'se ra moeda der cara e a segunda der coroa, (T, H ) se a primeira der coroa e a segunda der cara, e ( T , T ) se ambas derem coroa. 4. Se o experimento consiste em jogar dois dados, ento o espao amostral formado por 36 pontos

onde o resultado (i, j ) ocorre se i o nmero que aparece no dado da esquerda e j o nmero que aparece no outro dado. 5. Se o experimento consiste em medir (em horas) o tempo de vida de um transistor, ento o espao amostral formado por todos os nmeros reais no negativos; isto :

Qualquer subconjunto E do espao amostral conhecido como um evento. Em outras palavras, um evento um conjunto formado pelos possveis resultados do experimento. Se o resultado do experimento estiver contido em E, ento dizemos que E ocorreu. A seguir listamos alguns exemplos de eventos. ento E o evento em que o beb uma No Exemplo 1 anterior, se E = {g], , menina. Similarmente, se F = { b ]ento F o evento em que o beb um menino. No Exemplo 2, se

E = {todosos resultados em S comeando com um 3)ento E o evento em que o cavalo 3 vence a corrida. H , No Exemplo 3, se E = { ( H , ) , ( H , T ) ] ento E o evento em que a primeira moeda lanada d cara. No Exemplo 4, se E = {(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6, I ) ] ,ento E o evento em que a soma dos dados igual a 7 No Exemplo 5 , se E = {x:O 5 x s 51, ento E o evento em que o transistor no funciona mais que 5 horas. Para quaisquer dois eventos E e F de um espao amostral S, definimos o novo evento E U F como sendo formado por todos os resultados que pertencem a E ou F ou a E e F simultaneamente. Isto , o evento E U F ocorrer se E ou F ocorrer. Por exemplo, no Exemplo 1, se o evento E = {g]e F = ( b ] ento ,

Cawtulo 2

Axiomas da Probabilidade 41=

Isto , E U F corresponde a todo o espao amostral S. No Exemplo 3, se E { ( H ,H ) , ( H , T)l e F = { T ,H ) ] ,ento

E UF

{ ( H , ) , ( H , T), ( T ,H)) H

Assim, E U F ocorreria se desse cara em qualquer uma das duas moedas. O evento E U F chamado de unio dos eventos E e F. De forma similar, para quaisquer dois eventos E e F, tambm podemos definir o novo evento EF, chamado de interseo de E e F, como sendo formado por todos os resultados que esto tanto em E quanto em F. Isto , o evento EF (as vezes escrito E ri F ) ocorre apenas se E e F ocorrerem. Por exemplo, no H Exemplo 3, se E = {(H, ) , ( H , T), ( T ,H ) ] o evento em que pelo menos uma cara aparece nas duas moedas e F = {(H,T), ( T ,H ) , ( T , 7')) o evento em que pelo menos uma coroa aparece, ento

o evento em que exatamente uma cara e uma coroa aparecem. No Exemplo 4, se E = {(1,6), (2,5),(3,4),(4,3),(5,2),( 6 , l ) ) o evento em que a soma dos da(2,4),(3,3),(4,2),( 5 , l ) ) o evento em que a soma dos igual a 7 e F = {(1,5), dos dados igual a 6, ento o evento EF no contm quaisquer resultados e portanto no poderia ocorrer. Tal evento chamado de evento vazio e representado pelo smbolo 0 (isto , 0 se refere ao evento formado por nenhum resultado). Se EF = 0,ento se diz que E e F so mutuamente exclusivos. Definimos unies e intersees de mais de dois eventos de forma similar. Se E,, E,, ... so eventos, ento a unio desses eventos, representada como U E,, n=l definida como o evento formado por todos os resultados que aparecem em E,, para pelo menos um valor de n = 1,2,.... Similarmente, a interseo dos eventos 00 E,, definida como o evento formado pelos resultaE,, representada como n=l dos que aparecem em todos os eventos E,, n = 1,2,.... Finalmente, para qualquer evento E , definimos o novo evento E', chamado de complemento de E, como o evento formado por todos os resultados do espao amostral que no esto contidos em E. Isto , E" ocorrer se e somente , se E no ocorrer. No Exemplo 4, se o evento E = { ( 1 , 6 ) (2,5),(3,4),(4,3),(5, 2), (6,I ) ) ,ento Ec ocorre quando a soma dos dados no for igual a 7. Note que, como o experimento deve levar a algum resultado, tem-se que S' = 0. Para quaisquer dois eventos E e F, se todos os resultados em E tambm estiverem em F, dizemos que E est contido em F, ou que E um subconjunto de F, e escrevemos E C F (ou, de forma equivalente, F > E, quando as vezes F chamado de superconjunto de E). Assim, se E C F, ento a ocorrncia de E implica a ocorrncia de F. Se E C F e F C E, dizemos que E e F so iguais e escrevemos E = F. Uma representao grfica que ajuda na ilustrao das relaes lgicas entre eventos o diagrama de Venn. O espao amostral S representado como um grande retngulo e os eventos E, F, G,... so representados como todos os resultados presentes no interior de crculos colocados dentro desse retngulo. Eventos de interesse podem ento ser indicados sombreando-se as regies

42 Probabilidade: Um Curso Moderno com Aplicaes

(a) Regio sombreada: E U F

(b) Regio sombreada: EFS

( c ) Regio sombreada: EC

Figura 2.1

Diagramas de Venn.

apropriadas do diagrama. Por exemplo, nos trs diagramas de Venn mostrados na Figura 2.1, as reas sombreadas representam, respectivamente, os eventos E U F, EF e E". O diagrama de Venn na Figura 2.2 indica que E C F. As operaes de formao de unies, intersees e complementos de eventos obedecem a certas regras similares s regras de lgebra. Listamos algumas destas regras:

EUF=FUE EF = FE Leis comutativas Leis associativas ( E U F ) U G = E U (F U G ) (EF)G = E(FG) Leis distributivas ( E U F)G = EG U FG EF U G = ( E U G)(F U G )Essas relaes so verificadas mostrando-se que qualquer resultado que est contido no evento no lado esquerdo da igualdade tambm est contido no seu lado direito, e vice-versa. Uma maneira de mostrar isso utilizar diagramas de Venn. Por exemplo, a lei distributiva pode ser verificada pela sequncia de diagramas mostrada na Figura 2.3.

Figura 2.2

E C F.

Captulo 2

Axiomas da Probabilidade 43

(a) Regio sombreada:EG

( b ) Regio sombreada:FG

( c ) Regio sombreada: ( E U F)G

Figura 2.3

(E U F)G = E U FC. G

As expresses a seguir, que so bastante teis e relacionam as trs operaes bsicas de formao de unies, intersees e complementos, so conhecidas como leis de DeMorgan:=

i).:i=l

i=l

Para provar as leis de DeMorgan, suponha primeiro que x seja um resultado

. Ento x no est contido em U Ei, o que significa que x no estcontido em nenhum dos eventos E , i em E f para todo i= =

i=l 1,2,..., n. Isso implica que x est contidon

1,2,..., n e que portanto est contido em

outro caminho, suponha que x seja um resultado de em E: para todo i nenhum i= =

i=l E f . Ento x est contidon

n E f . Indo por

i=l 1,2,..., n, o que significa que x no est contido em E, parai

1,2,..., n, o que implica que x no est contido em UEi. Por sua vez,

isso implica que x est contido em UEi . Isso demonstra a primeira das leis de DeMorgan. Para provar a segunda lei de DeMorgan, usamos a primeira lei para obter

(ci=l

E:)

i)(E:)i=l

Probabilidade: U m Curso Moderno com A~licaces que, j que (E)' = E, equivalente a

Calculando os complementos de ambos os lados da equao anterior, obtemos o resultado esperado, isto ,

2.3 AXIOMAS D A PROBABILIDADEUma maneira de definir a probabilidade de um evento em termos de sua frequncia relativa. Tal definio feita da seguinte forma: suponhamos que um experimento, cujo espao amostral S , seja realizado repetidamente em condies exatamente iguais. Para cada evento E do espao amostral S , definimos n(E) como o nmero de vezes que o evento E ocorre nas n primeiras repeties do experimento. Ento, P(E), a probabilidade do evento E, definida como n(E) P(E) = lim n+oo n Isto , P(E) definida como a proporo (limite) de tempo em que E ocorre. Ela tambm a frequncia limite de E. Embora a definio anterior seja intuitivamente agradvel e deva estar sempre na mente do leitor, ela possui um srio inconveniente: como saberemos que n(E)ln convergir para algum valor limite constante que ser o mesmo para cada possvel sequncia de repeties do experimento? Por exemplo, suponha que o experimento a ser realizado repetidamente consista em jogar uma moeda. Como saberemos que a proporo de caras obtidas nas n primeiras jogadas convergir para algum valor medida que n aumenta? Alm disso, mesmo se essa proporo convergir para algum valor, como saberemos se, caso o experimento seja realizado uma segunda vez, obteremos a mesma proporo limite de caras? Proponentes da definio da probabilidade por meio da frequncia relativa usualmente respondem a essa objeo dizcndo que a convergncia de n(E)ln para um valor limite constante uma suposio, ou um axioma, do sistema. Entretanto, supor que n(E)ln necessariamente convergir para algum valor constante parece ser uma suposio extraordinariamente complicada. Pois, embora realmente esperemos que tal frequncia limite exista, no parece, a priori, de forma alguma evidente que este seja necessariamente o caso. De fato, no seria mais razovel supor um conjunto de axiomas simples e autoevidentes para a probabilidade e ento provar que tal frequncia limite constante existe de alguma maneira? Esta a abordagem axiomtica moderna da teoria da probabilidade que adotamos neste texto. Em particular, vamos assumir que,

Captulo 2

Axiomas da Probabilidade 45

para cada evento E no espao amostral S , existe um valor P(E) chamado de probabilidade de E. Vamos ento supor que todas as probabilidades satisfazem certo conjunto de axiomas, os quais, esperamos que o leitor concorde, esto de acordo com nossa noo intuitiva de probabilidade. Considere um experimento cujo espao amostral S. Para cada evento E do espao amostral S , assumimos que um nmero P(E) seja definido e satisfaa os trs axiomas a seguir:

Axioma 1

Axioma 2

Axioma 3 Para cada sequncia de eventos mutuamente exclusivos E,, E,, ... (isto , eventos para os quais E,E, = 0 quando i # j),P

UE,( i i

)

CP(E~)i-1

Referimo-nos a P(E) como a probabilidade do evento E. Assim, o Axioma 1 diz que a probabilidade de o resultado do experimento ser o resultado de E igual a algum nmero entre O e 1.O Axioma 2 diz, com probabilidade 1,que o resultado ser um ponto contido no espao amostral S. O Axioma 3 diz que, para qualquer sequncia de eventos mutuamente exclusivos, a probabilidade de pelo menos um desses eventos ocorrer justamente a soma de suas respectivas probabilidades. Se considerarmos a sequncia de eventos E,, E,, ..., onde E, = S e Ei = 0 para i > 1,ento, como os eventos so mutuamente exclusivos e S = U Ei, teremos, do Axioma 3, i=l00

o que implica que P(0) = o Isto , o evento vazio tem probabilidade nula. Note que da segue que, para qualquer sequncia de eventos mutuamente exclusivos E,, E, ,..., E,,

46 Probabilidade: Um Curso Moderno com Aplicaes

Essa equao pode ser obtida do Axioma 3 com a definio de E, como o evento vazio para todos os valores de i maiores que n. O Axioma 3 equivalente Equao (3.1) quando o espao amostral finito (por qu?). Entretanto, a generalidade do Axioma 3 necessria quando o espao amostral consiste em um nmero infinito de pontos.

Exemplo 3a Se nosso experimento corresponde ao lanamento de uma moeda e se supomos que a probabilidade de dar cara igual de dar coroa, ento temos

Por outro lado, se a moeda tivesse sido adulterada e identificssemos a sua probabilidade de dar cara como sendo duas vezes maior do que a de dar coroa, ento teramos

Exemplo 3b Se um dado jogado e supormos que seus seis lados tenham a mesma proba= bilidade de aparecer, ento teremos P((1))= P((2))= P ( ( 3 ) ) P((4))= P((5)) = P((6))= 116. Do Axioma 3, tem-se que a probabilidade de sair um nmero par igual a

A suposio da existncia de uma funo conjunto P, que definida para os eventos de um espao amostral S e satisfaz aos Axiomas 1 , 2 e 3, constitui a abordagem matemtica moderna para a teoria da probabilidade. Esperamos que o leitor concorde que os axiomas so naturais e que esto de acordo com o nosso conceito intuitivo de probabilidade, que est relacionado ao acaso e aleatoriedade. Alm disso, usando esses axiomas poderemos provar que, se um experimento repetido vrias vezes, ento, com probabilidade 1, a proporo de tempo durante o qual qualquer evento E especfico ocorre igual a P(E). Esse resultado, conhecido como a lei forte dos grandes nmeros, apresentado no Captulo 8. Alm disso, apresentamos outra interpretao possvel da probabilidade - como sendo uma medida de crena - na Seo 2.7.

Observao tcnica: Temos considerado P ( E ) como sendo definida para todos os eventos do espao amostral. Na realidade, quando o espao amostral um conjunto infinito, P ( E ) definida apenas para uma classe de eventos chamados mensurveis. Entretanto, essa restrio, embora necessria, no nos preocupa, j que todos os eventos com qualquer interesse prtico so mensurveis.

Ca~tulo 2

Axiomas da Probabilidade 47

2.4 A L G U M A S PROPOSIES SIMPLESNesta seo, provamos algumas proposies simples envolvendo probabilidades. Primeiro notamos que, como E e E so sempre mutuamente exclusivos e como E U E" = S , temos, pelos Axiomas 2 e 3,

ou, equivalentemente, temos a Proposio 4.1.

Proposio 4.1.P(EC)= 1 - P ( E )Colocando em palavras, a Proposio 4.1 diz que a probabilidade de um evento no ocorrer igual a 1menos a probabilidade de ele ocorrer. Por exemplo, se a probabilidade de dar cara ao lanar-se uma moeda igual a 318, ento a probabilidade de dar coroa deve ser igual a 518. Nossa segunda proposio diz que, se o evento E est contido no evento F, ento a probabilidade de E no maior que a probabilidade de F.

Proposio 4.2. Se E C F, ento P(E) 5 P(F). Demonstrao Como E C F, podemos expressar F como

Portanto, como E e E F so mutuamente exclusivos, obtemos, do Axioma 3,

P(F) = P(E)

+ P(ECF)O

o que prova o resultado, j que P(EcF)2 0.

A Proposio 4.2 nos diz, por exemplo, que a probabilidade de sair 1 em um dado menor do que a de sair um nmero mpar. A prxima proposio fornece a relao entre a probabilidade da unio de dois eventos, expressa em termos das probabilidades individuais e da probabilidade de interseo dos eventos.

Proposio 4.3.P(E U F) = P(E)

+ P ( F ) - P(EF)

Demonstrao Para deduzir uma frmula para P(E U F), primeiro notamos que E U F pode ser escrito como a unio dos dois eventos disjuntos E e E'F. Assim, do Axioma 3, obtemos P ( E U F ) = P ( E U ECF) = P ( E ) + P(ECF)Alm disso, como F = EF U E F , obtemos novamente do Axioma 3

P(F) = P(EF)

+ P(ECF)

48 Probabilidade: U m Curso Moderno com Aplicaes

Figura 2.4

Diagrama devenn.

ou, equivalentemente,

o que completa a demonstrao.

A Proposio 4.3 tambm poderia ter sido provada por meio do diagrama de Venn da Figura 2.4. Vamos dividir E U F em trs sees mutuamente exclusivas, conforme mostrado na Figura 2.5. Colocando em palavras, a seo I representa todos os pontos em E que no esto em F (isto , EF), a seo I1 representa todos os pontos simultaneamente em E e em F (isto , EF) e a seo 111 representa todos os pontos em F que no esto em E (isto , EcF). Da Figura 2.5, vemos que E U F = I U I1 U I11 E = I U I1 F = I1 U I11 Como I, I1 e I11 so mutuamente exclusivos, tem-se do Axioma 3 que P(E U F ) = P(1) + P(I1) P(II1) P(E) = P(1) + P(I1) P(F) = P(I1) + P(II1) o que mostra que P(E U F) = P(E)

+ P(F) - P(I1)

e com isso a Proposio 4.3 est provada, j que I1 = EF.

Figura 2.5 Diagrama deVenn em sees.

Captulo 2

Axiomas da Probabilidade 49

Exemplo 4a J. leva dois livros para ler durante as frias. A probabilidade de ela gostar do primeiro livro de 0,5, de gostar do segundo livro de 0,4 e de gostar de ambos os livros de 0,3. Qual a probabilidade de que ela no goste de nenhum dos livros?Soluo Seja B, o evento "J. gosta do livro ?,'i de J. gostar de pelo menos um dos livros P(B, U B,)= P(B,) =

1,2. Ento a probabilidade= 0,6

+ P(B,) - P(B,B2) = 0,5 + 0,4 -0,3

Como o evento "J. no gosta de nenhum dos livros" o complemento do evento em que ela gosta de pelo menos um deles, obtemos o resultado

Tambm podemos calcular a probabilidade de ocorrncia de qualquer um dos trs eventos E, F e G , isto ,

P(E U F U G ) = P[(E U F) U G ]que, pela Proposio 4.3, igual a

P(E U F)

+ P(G) - P [ ( E U F)G]

Agora, resulta da lei distributiva que os eventos ( E U F)G e EG U FG so equivalentes; portanto, das equaes anteriores, obtemos

P(E

G)-

+ P(F) - P(EF) + P(G) P(EG U FG) = P(E) + P(F) - P(EF) + P(G) - P(EG) P(FG) + P(EGFG) = P(E) + P(F) + P(G) - P(EF) - P(EG) - P(FG) + P(EFG)= P(E)

De fato, a proposio a seguir, conhecida como identidade da incluso-excluso, pode ser demonstrada por induo matemtica:

Proposio 4.4.P(E1 U E2 U . . . U E,) =

C P(Ei) - C P(Ei,E,,)

+ .. .

A soma

ii < i 2 i . . . i i ,

P(Ei,Ei2 . . . Ei,) feita ao longo de todos os

tos possveis de tamanho r do conjunto {1,2,..., n ] . Colocando em palavras, a Proposio 4.4 diz que a probabilidade da unio de n eventos igual soma das probabilidades individuais desses eventos, me-

50 Probabilidade: U m Curso Moderno com Aplicaes

nos a soma das probabilidades desses eventos dois a dois, mais a soma das probabilidades desses eventos trs a trs, e assim por diante.

Observaqes: 1. Para uma demonstrao no indutiva da Proposio 4.4, note primeiro que se o resultado de um espao amostra1 no pertencer a nenhum dos conjuntos E,, ento sua probabilidade no contribuir de forma alguma para nenhum dos lados da igualdade. Agora, suponha que um resulta: r do aparea em exatamente m dos eventos E, onde m > O. Ento, corxo o sultado aparece em U E,, sua probabilidade contada uma vez em P (U E,);i

alm disso, como esse resultado est contido em Ei, EiZ. . . Eik,sua probabilidade contada

(k ) subconjuntos do tipo\i

( ) ( ) ( )+

...

(m)

vezes no lado direito do sinal de igualdade da Proposio 4.4. Assim, para m > 0, devemos mostrar que

Entretanto, como 1 =

(O ),

a equao anterior equivalente a (-lli = o

5( 7 )iO =

e a ltima equao consequncia do teorema binomial, j que

2. A equao a seguir uma forma sucinta de se escrever a identidade da incluso-excluso:

3. Na identidade da incluso-excluso, a sada de um termo resulta em um limite superior para a probabilidade da unio, a sada de dois termos resulta em um limite inferior para a probabilidade, a sada de trs termos resulta em um limite superior para a probabilidade, a sada de quatro termos resulta em um limite inferior, e assim por diante. Isto , para eventos E,, ..., E,, temosn

P(uY=,Ei)

5 =(~i)

(4.1)

i=l

Captulo 2

Axiomas da Probabilidade 51

e assim por diante. Para provar a validade desses limites, note a identidade u:=iEi = El U E;E2 U EiEiE3 U .. . U E ; . . . Ei-1En Isto , pelo menos um dos eventos Ei ocorre se E, ocorrer, ou se E, no ocorrer mas E, ocorrer, ou se E, e E, no ocorrerem mas E, ocorrer, e assim por diante. Como o lado direito a unio de eventos disjuntos, obtemos P(UY='=1 = P(E1) + P(E;E2) + P(E1E$E3) + . . . + P(E1 . . . Ei)= P(E1)

E,) (4.4)

+ C P(E; . . . E:-,i=2

Ei)

Agora, seja Bi = E; . . . E:-l = (Ui O S,, S, ,..., S, so subconjuntos de S , no nulos e mutuamente exclusivos de forma que

ciais, ento qualquer uma das T, parties dos itens no especiais restantes. Acrescentando o item especial ao subconjunto de tamanho n - k, podemos obter uma partio de todos os n + 1itens. 2.9 Suponha que um experimento seja realizado n vezes. Para qualquer evento E do espao amostral, suponha que n(E) represente o nmero de vezes em que o evento E ocorre e defina f(E) = n(E)ln. Mostre que f(.) satisfaz os Axiomas 1,2 e 3. 2.10 Demonstre que P ( E U F U G) = P(E) + P(F) + P(G) - P(E'FG) - P(EF'G) P(EFGc) - 2P(EFG). 2.11 Se P(E) = 0,9 e P(F) = 0,8, mostre que P(EF) 3 0,7. De forma geral, demonstre a desigualdade de Bonferroni, isto

u Si i=l

= S, ento chamamos

o conjunto {S,,S, ,...,S,] uma partio de S. Suponha que T,, represente o nmero de diferentes parties de {1,2 n]. Assim, ,..., T, = 1 (a nica partio S, = (1))e T, = 2 (as duas parties so {(I, 2)},{(1),{2))). (a) Mostre, calculando todas as parties, que T, = 5, T, = 15. (b) Mostre que

2.12 Mostre que a probabilidade de que exatamente um dos eventos E ou F ocorra igual a P(E) + P(F) - 2P(EF). 2.13 Demonstre que P(EF") = P(E) - P(EF). 2.14 Demonstre a Proposio 4.4 por induo matemtica. 2.15 Uma urna contm M bolas brancas e N bolas pretas. Se uma amostra aleatria de tamanho r escolhida, qual a probabilidade de que ela contenha exatamente k bolas brancas? 2.16 Use a induo para generalizar a desigualdade de Bonferroni para n eventos. Isto , mostre que P(E,E,... E,)2

P(E,)

+... + P(E,)

- (n - 1)

2.17 Considere o problema do pareamento, visto no Exemplo 5m, e defina A, como o nmero de maneiras pelas quais N homens podem selecionar seus chapus de forma que nenhum deles selecione o seu prprio chapu. Mostre que

e use essa equao para computar TI w Dica: Uma maneira de escolher uma partio de n + 1 itens chamar um dos itens de especial. Ento, obtemos diferentes parties primeiramente escolhendo k, k = 0,1, ...,n,depois um subconjunto de tamanho n - k dos itens que no so espe-

Essa frmula, juntamente com as condies de contorno A, = O, A, = 1, pode ento ser resolvida para A,, e a probabilidade desejada de que no ocorram pareamentos seria ANIN!. Dica: Aps o primeiro homem selecionar um chapu que no o seu, haver ainda N - 1 homens para selecionar um chapu

78 Probabilidade: Um Curso Moderno com A~iicacesde um conjunto de N - 1 chapus. Note que esse conjunto no contm o chapu de um desses homens. Assim, h um homem extra e um chapu extra. Mostre que podemos obter a condio de ausncia de pareamento seja com o homem extra selecionando o chapu extra ou com o homem extra no selecionando o chapu extra. 2.18 Suponha que f, represente o nmero de maneiras de jogar uma moeda n vezes de forma que nunca saiam caras sucessivas. Mostre que Dica: Um total de k bolas ser retirado se houver r - 1 bolas vermelhas nas primeiras k - 1retiradas e se a k-sima bola retirada for vermelha. 2.20 Considere um experimento cujo espao amostral formado por um nmero infinito porm contvel de pontos. Mostre que nem todos os pontos podem ser igualmente provveis. Todos os pontos podem ter uma probabilidade de ocorrncia positiva? *2.21 Considere o Exemplo 50, que lida com o nmero de sries de vitrias obtidas quando n vitrias e rn derrotas so permutadas aleatoriamente. Agora, considere o nmero total de sries -isto , sries de vitrias mais sries de derrotas - e mostre queP(2k sries) = 2 P(2k

Dica: Existem quantos resultados que comeam com uma cara e quantos que comeam com uma coroa? Se P,, representa a probabilidade de que caras sucessivas nunca apaream quando uma moeda jogada n vezes, determine P, (em termos de f,) quando todos os resultados possveis das n jogadas forem igualmente provveis. Compute P,,. 2.19 Uma urna contm n bolas vermelhas e rn bolas azuis. Elas so retiradas um

Quantos arranjos de letras diferentes podem ser feitos a partir de a sorte B propose C Mississippi D arranjo?

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