Exercícios de Matemática
Teste os seus conhecimentos: Faça exercícios sobre Anagramas e veja a resolução comentada. Publicado por: Marcos Noé Pedro da Silva
questão 1
Na criação da senha de uma conta bancária, o cliente é informado que deve ser feita uma combinação de seis números sem repetição. Os números utilizados devem ser os algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Determine o número possível de senhas que podem ser criadas.
questão 2
Em uma empresa de informática, o código de acesso dos funcionários deve ser criado utilizando três letras e quatro números, sem repetição. Sabendo que o código pode ser criado utilizando três letras entre 26, e quatro números entre 10 algarismos, determine o possível número de códigos que podem ser criados.
questão 3
Para se cadastrar em um site de compras, cada cliente digitava uma senha com quatro algarismos. Com o objetivo de aumentar a segurança, todos os clientes foram solicitados a adotar novas senhas com cinco algarismos. Se definirmos o nível de segurança como a quantidade possível de senhas, determine em quantos por cento o nível de segurança aumentou?
questão 4
(FUVEST – 2010) Maria deve criar uma senha de 4 dígitos para sua conta bancária. Nessa senha, somente os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, podem ser usados e um mesmo algarismo pode aparecer mais de uma vez. Contudo, supersticiosa, Maria não quer que sua senha contenha o número 13, isto é, o algarismo 1 seguido imediatamente pelo algarismo 3. De quantas maneiras distintas Maria pode escolher sua senha?
respostas
Questão 1
10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 = 151200
Podem ser criadas 151 200 senhas de algarismos distintos.
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Questão 2
Letras → 26 * 25 * 24 = 15 600
Números → 10 * 9 * 8 * 7 = 5 040
Total de códigos → 15 600 * 5 040 = 78.624.000
O número de códigos de acesso que podem ser criados atendendo à restrição, corresponde a 78.624.000.
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Questão 3
Senhas de 4 algarismos → 10 * 10 * 10 * 10 = 104 = 10 000
Senhas de 5 algarismos → 10 * 10 * 10 * 10 * 10 = 105 = 100 000
A segurança aumentou em:
O nível de segurança do site aumentou em 900%.
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Questão 4
Total de
senhas
5 * 5 * 5 * 5 = 625
Senhas que aparecem o número 13
3 * 5 * 5 = 75
| 1 | 3 | ||
| 1 | 3 | ||
| 1 | 3 |
A senha 1313 foi verificada em
Deste modo, aparece duas vezes, quando deveria aparecer só uma, logo, serão 74 possibilidades de aparecer os algarismos 1 e 3 seguidos.
O número possível de senhas que atende à situação proposta e à superstição de Maria é:
625 – 74 = 551 combinações possíveis.
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Leia o artigo relacionado a este exercício e esclareça suas dúvidas
Problema
(A partir da 1ª série do E. M. – Nível de dificuldade: Médio )
Quantos números de cinco algarismos têm no mínimo um algarismo repetido?
Ajuda
Princípio Fundamental da Contagem, ou Princípio Multiplicativo: Se
- um evento E1 puder ocorrer de [tex] m_1 [/tex] maneiras,
- um evento E2 puder ocorrer de [tex]m_2 [/tex] maneiras,
- um evento E3 puder ocorrer de [tex]m_3 \, [/tex] maneiras,
- [tex]\cdots[/tex]
- um evento Ek puder ocorrer de [tex]m_k [/tex] maneiras
e todos esses eventos forem independentes entre si, então a quantidade de maneiras em que
os [tex]k[/tex] eventos ocorrem ao mesmo tempo é
[tex]\qquad \qquad \boxed{m_1\times m_2 \times \cdots \times m_k} \, .[/tex] (Se você não se lembra desse Princípio, clique AQUI.)
Solução
Quando analisamos os números naturais com cinco algarismos, podemos dividi-los em dois grupos disjuntos:
- os que não têm algarismos repetidos,
- os que têm, pelo menos, um algarismo repetido.
Assim, se [tex]T[/tex] é o total de números naturais com cinco algarismos, [tex]S[/tex] é o total de números naturais com cinco algarismos sem algarismos repetidos e [tex]R[/tex] é o total de números naturais com cinco algarismos com pelo menos um algarismo repetido, então [tex]T=R+S.[/tex] Dessa forma, uma das maneiras de resolvermos o problema é determinarmos [tex]T[/tex] e [tex]S[/tex] e fazermos a diferença [tex]T-S.[/tex]
- Quantidade de números naturais com cinco algarismos
- Quantidade de números naturais com cinco algarismos, sem algarismos repetidos
- Finalizando, temos então [tex] \, \fcolorbox{black}{#d7d7d7}{$R= 90 \, 000 \, – \, 27 \, 216 = 62 \, 784 \, $} \, [/tex] números de cinco dígitos com pelo menos um algarismo repetido.
Observe que em um número com cinco algarismos:
► temos [tex]9[/tex] possibilidades para a primeira posição: [tex]1 \, , \, 2 \, , \, \cdots \, , \, 9[/tex], já que essa posição não pode ser ocupada pelo zero (por exemplo, o número [tex]05273[/tex] tem quatro e não cinco dígitos);
► para cada uma das demais posições, temos [tex]10[/tex] possibilidades: [tex]0 \, , \, 1 \, , \, 2 \, , \, \cdots \, , \, 9.[/tex]
[tex]\begin{array}{c c c c c }
\underline{\text{ 9 escolhas }}&\underline{\text{
10 escolhas }}&\underline{\text{ 10 escolhas }}&\underline{\text{ 10 escolhas }} &\underline{\text {10 escolhas }}\\
\text{ dezena de milhar }&\text{ unidade de milhar }&\text{ centena }&\textrm{ dezena } & \textrm{ unidade }
\end{array}[/tex]
Assim, pelo Princípio Fundamental da Contagem, existem [tex]9 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10=90 \, 000[/tex] números naturais com cinco algarismos e, portanto, [tex] \, \fcolorbox{black}{#cfdef9}{$T=90 \, 000 \, $} \, .[/tex]
Observe que em um número com cinco algarismos:
► Para o primeiro dígito temos as opções: [tex] 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 \, [/tex] e [tex] \, 9[/tex]. São nove opções.
► Para o segundo dígito temos as opções de [tex] \, 0 \, [/tex] a [tex] \, 9 \, [/tex], exceto o algarismo que foi usado para o primeiro dígito: nove opções.
► Para o terceiro dígito temos as opções de [tex] \, 0 \, [/tex] a [tex] \, 9 \, [/tex], exceto os algarismos que foram usados no primeiro e no segundo dígitos: oito opções.
► Para o quarto dígito temos novamente as opções de [tex] \, 0 \, [/tex] a [tex] \, 9 \, [/tex], exceto os algarismos que foram usados no primeiro, no segundo e no terceiro dígitos: sete opções.
► Para o quinto dígito temos também as opções de [tex] \, 0 \, [/tex] a [tex] \, 9
\, [/tex], exceto os algarismos que foram utilizados nos primeiros dígitos. São [tex] \, 10-4=6 \, [/tex] opções.
[tex]\begin{array}{c c c c c }
\underline{\text{ 9 escolhas }}&\underline{\text{ 9 escolhas }}&\underline{\text{ 8 escolhas }}&\underline{\text{ 7 escolhas }} &\underline{\text {6 escolhas }}\\
\text{ dezena de milhar }&\text{ unidade de milhar }&\text{ centena }&\textrm{ dezena } & \textrm{ unidade }
\end{array}[/tex]
Utilizando mais uma vez o Princípio Fundamental da Contagem, concluímos que existem [tex]9 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 =27 \, 216[/tex] números naturais com cinco algarismos não repetidos e, portanto, [tex] \, \fcolorbox{black}{#cfdef9}{$S=27 \, 216 \, $} \, .[/tex]
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.
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