Um poliedro convexo possui apenas faces triangulares e quadrangulares. sabendo que o numero de faces

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Logo, º1440)º360.(4º360).26(º360).2(  SSVS . d) dodecaedro possui 20 vértices. Logo, º6480)º360.(18º360).220(º360).2(  SSVS . e) icosaedro possui 12 vértices. Logo, º3600)º360.(10º360).212(º360).2(  SSVS . 14) Um poliedro convexo de 28 arestas possui faces triangulares e heptagonais. Quantas têm de cada espécie, se a soma dos ângulos das faces é 64 retos? Solução. Problema semelhante ao número (1). i) 18162 º360 º5760 2 º5760)º90(64 º360).2(       VV S VS ii) 1218228 18 28       F V A ii) Considerando “x” o número de faces triangulares e “y” o de faces heptagonais forma-se um sistema onde uma das equações envolve o número de arestas em função do número de faces.                          7512 5204 5673 3633 5673 )3(12 28 2 7 2 3 12 x yy yx yx yx yx yx yx iii) Logo possui 7 faces triangulares e 5 heptagonais. 15) A soma dos ângulos das faces de um poliedro convexo é 720º. Calcule o número de faces, sabendo que é 2/3 do número de arestas? Solução. Calculando o número de vértices, temos: 422 º360 º720 2º360).2(º720  VVV . Pela relação de Euler, A + 2 = V + F. Substituindo pelas informações, vem:                4)6( 3 2 6 6122321263. 3 2 42 . 3 2 4 F A AAAAAA AF V . Logo, F = 4. 16) Um poliedro apresenta faces triangulares e quadrangulares. A soma dos ângulos das faces é igual a 2160°. Determine o número de faces de cada espécie desse poliedro, sabendo que ele tem 15 arestas. Solução. Problema semelhante ao número (3). i) 862 º360 º2160 2 º2160 º360).2(       VV S VS ii) 98215 8 15       F V A iii) Considerando “x” o número de faces triangulares e “y” o de faces quadrangulares forma- se um sistema onde uma das equações envolve o número de arestas em função do número de faces.                          639 3 3043 2733 3043 )3(9 15 2 4 2 3 9 x y yx yx yx yx yx yx Logo possui 6 faces triangulares e 3 quadrangulares. 17) Da superfície de um poliedro regular de faces pentagonais tiram-se as três faces adjacentes a um vértice comum. Calcule o número de arestas, faces e vértices da superfície poliédrica que resta. Solução. O poliedro em questão é o dodecaedro. Repare que nas 3 faces retiradas, na verdade, só são suprimidos 1 vértice e as três arestas internas. A superfície poliédrica restante ainda possui os limites com “novas” arestas. i) O número inicial de faces é 12. O final será 12 – 3 = 9. ii) O número inicial de arestas é dado por: 30 2 )12(5 2  nF A . O final será 30 – 3 = 27. ii) O número inicial de vértices é: 20122302  FAV . O final será 20 – 1 = 19. 18) Numa molécula tridimensional de carbono, os átomos ocupam os vértices de um poliedro convexo de 12 faces pentagonais e 20 faces hexagonais regulares, como em uma bola de futebol. Qual é o número de átomos de carbono na molécula? E o número de ligações entre esses átomos? Solução. O nº de faces é F = 12 + 20 = 32 faces. Logo o número arestas será 90 2 )20(6)12(5 2    nF A . O número de vértices é dado por 60322902  FAV . Logo há 60 átomos ligados entre si por 90 arestas (ligações). 19) Determine o número de vértices de um poliedro convexo que tem 3 faces triangulares , 1 face quadrangular, 1 pentagonal e 2 hexagonais. Solução. O número total de faces do poliedro é F = 3 + 1 + 1 + 2 = 7. Calculando o número de arestas em função das faces, temos: .15 2 30 2 )2(6)1(5)1(4)3(3 2    nF A Substituindo os valores na relação de Euler vem: 1072152  FAV . Logo há 10 vértices. 20) Num poliedro convexo de 10 arestas, o número de faces é igual ao número de vértices. Quantas faces têm esse poliedro? Solução. Pelas informações, F = V. Utilizando a relação de Euler, temos: 10 + 2 = 2V. Logo V = 6. Logo o número de faces é o mesmo. Isto é, há 6 faces. 21) Num poliedro convexo o número de arestas excede o número de vértices em 6 unidades. Calcule o número de faces desse poliedro? Solução. De acordo com as informações, temos: .826 6 2       FFVV VA FVA 22) Um poliedro convexo apresenta faces quadrangulares e triangulares. Calcule o número de faces desse poliedro, sabendo que o número de arestas é o quádruplo do número de faces triangulares e o número de faces quadrangulares é igual a 5. Solução. Considerando o número de faces quadrangulares e “y” o de triangulares concluímos, de acordo com as informações que A = 4x e y = 5. Temos: 42053208 2 3 2 )4(5 4 4         yyyyy y yA . Logo há 5 + 4 = 9 faces. 23) Determine o número de vértices, arestas e faces de um poliedro convexo formado por 5 ângulos triedros, sete ângulos tetraédricos, nove ângulos pentaédricos e oito ângulos hexaédricos. Solução. Um ângulo triédrico contém um vértice onde concorrem 3 arestas. Da mesma forma o tetraédrico contém um vértice onde concorrem 4 arestas, o mesmo ocorrendo com os pentaédricos (5 arestas) e hexaédricos (6 arestas). De acordo com a expressão para o total de arestas em função do número de arestas que concorrem a um vértice, temos: 41292682 .68 2 136 2 )6(8)5(9)4(7)3(5 2 298975           FVAFnV A V Logo há 29 vértices, 68 arestas e 41 faces. 24) Um poliedro convexo possui 1 ângulo pentaédrico, 10 ângulos tetraédricos, e os demais triédricos. Sabendo que o poliedro tem: número de faces triangulares igual ao número de faces quadrangulares, 11 faces pentagonais, e no total 21 faces, calcule o número de vértices do poliedro convexo. Solução. Considerando V o número total de vértices e o número de arestas concorrendo a cada vértice, temos: 2 123 2 333405 2 )3)(11()4(10)5(1 2       VVVnV A . Aplicando a relação de Euler sabendo o número de faces e utilizando a expressão do número de arestas, vem: .2616424224123212 2 123 21 2         VVVV V F FVA 25) Um poliedro convexo possui apenas faces triangulares e quadrangulares. Sabendo que o número de faces triangulares e quadrangulares são diretamente proporcionais aos números 2 e 3 e que o número de arestas é o dobro do número de vértices, calcule o número total de faces desse poliedro. Solução. Considerando “k” a constante de proporcionalidade, podemos escrever: - número de faces triangulares = 2k - número de faces quadrangulares = 3k Como cada face triangular possui 3 arestas e cada face quadrangular possui 4 arestas, o número total de arestas é k kkkknF A 9 2 126 2 )4(3)3(2 2      . Aplicando a relação de Euler A + 2 = V + F, vem: 4418191094185 2 9 29 2 9 9 532         kkkkkkk k kk VkA kkkF . Substituindo o valor de “k” no número de faces, temos: F = 5(k) = 5(4) = 20.

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Quantas faces tem um poliedro convexo?

Quantas faces tem um poliedro convexo que possui 4 vértices e 6 arestas?

Qual é o número de vértices de um poliedro convexo constituído por quatro faces triangulares e cinco quadrangulares?

Quantos vértices tem um poliedro convexo com 4 faces triangulares?