A expressão 1 cossec x e o mesmo que

$z = 2x + y$ é a equação do plano tangente ao gráfico de $f(x,y)$ no ponto $(1,1,3)$. Calcule $\dfrac{\partial f}{\partial x}(1,1)$ e $\dfrac{\partial f}{\partial y}(1,1).$

$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x} (1,1) = 2$ e  $\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y} (1,1) = 1.$

Determine o domínio da curva de equação vetorial
$$\textbf{r}(t) = \left( \sqrt{\dfrac{t - 2}{t + 1}}, \ln{(5 - t^2)}, e^{-t} \right).$$

1.  $\dfrac{16}{3}.$

2.  $\dfrac{16a^3}{3} \left(\dfrac{\pi}{2} - \dfrac{2}{3}\right).$

3.  $\dfrac{16a^3}{3}.$

4.  $\dfrac{5\pi a^3}{24}.$

Esboce a região cuja área é dada pela integral e calcule-a, sendo: $\displaystyle\int_{0}^{\pi/2}\int_{0}^{4\cos{\theta}}   r \,drd\theta.$

$2\pi;$ região de integração:

Use o Teorema de Green para calcular $\int_{C}\mathbf{F} \cdot d\mathbf{r}$, onde $\mathbf{F}(x,y) = (2x+y)\mathbf{i} + (3x-y)\mathbf{j}$, $C$ é uma curva fechada, simples, $C^1$ por partes, orientada no sentido positivo, cuja imagem é a fronteira de um compacto $B$ com área $\alpha$. (Verifique a orientação da curva antes de aplicar o Teorema.)

$2\times$(Área de $B$).

Valor máximo: $\displaystyle  2;$ valor mínimo: $0.$

Seja $\mathbf{r} = x\mathbf{i} + y\mathbf{j} + z\mathbf{k}$ e $r=|\mathbf{r}|$. Verifique a identidade $\nabla^2r^3=12r$.

$\nabla^2r^3= \dfrac{\partial}{\partial x} \left[ \dfrac{3}{2} \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}} (2x) \right] + \dfrac{\partial}{\partial y} \left[ \dfrac{3}{2} \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}} (2y) \right]\\ + \dfrac{\partial}{\partial z} \left[ \dfrac{3}{2} \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}} (2z) \right].$ (Note que: $r = \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}.$)

Plano tangente: $4x - 5y - z = 4$,
Reta normal: $(x,y,z) = (2,1,-1) + \lambda (4,-5,-1),$ $\lambda \in \mathbb{R}.$

Seja ${\bf F}=(z tg^{-1}(y^{2}),z^{3}\ln(x^{2}+1),z).$ Determine o fluxo de ${\bf F}$ através da parte do parabolóide $x^{2}+y^{2}+z=2$ que está acima do plano $z=1$ e está orientada para cima. (Observe que a superfície acima não é fechada.)

Pelo Teorema do Divergente, temos
$\displaystyle\iint\limits_{ S}\mbox{rot} {\bf F}\cdot dS = \iiint\limits_{ E}\mbox{div} (\mbox{rot} {\bf F})\,dV,$
em que $E$ é o sólido que tem $S$ como fronteira. Observe que
\begin{align*}
&\mbox{div} (\mbox{rot} {\bf F})  =\\ & \frac{\partial}{\partial x}(R_y - Q_z) + \frac{\partial}{\partial y}(P_z - R_x) + \frac{\partial}{\partial z}(Q_x - P_y) \\ & R_{xy} - Q_{xz} + P_{yz} - R_{yx} + Q_{zx} - P_{zy} = 0,
\end{align*}
pois, como as derivadas de segunda ordem são contínuas, temos, pelo Teorema de Clairaut, que $P_{yz} = P_{zy}$, $Q_{zx} = Q_{xz}$ e $R_{xy} = R_{yx}$. Portanto,

$\displaystyle\iint\limits_{S}\mbox{rot}{\bf F}\cdot dS=0.$

Verifique que a função $f(x,y) = \ln{(1 + x^2 + y^2)}$ é diferenciável.

As derivadas parciais $\frac{\partial f}{\partial x}$ e $\frac{\partial f}{\partial y}$ de cada função $f$ existem e são contínuas em todos os pontos do domínio.

Seja \(G\) a caixa retangular definida pelas desigualdades \(a\leq x\leq b\),  \(c\leq y\leq d\) e \(k\leq z\leq l\). Mostre que \[\iiint\limits_G f(x)g(y)h(z)\,dV = \left[\int_a^bf(x)\,dx\right]\left[\int_c^dg(y)\,dy\right]\left[\int_k^lh(z)\,dz\right].\]

$c\left(\dfrac{1}{d_{1}} - \dfrac{1}{d_{2}}\right).$

1. $\nabla \times (\nabla \times \mathbf{E}) = \nabla \times (\text{rot } \mathbf{E}) = \nabla \times \left( -\dfrac{1}{c} \dfrac{\partial \mathbf{H}}{\partial t} \right) = -\dfrac{1}{c} \dfrac{\partial}{\partial t} \text{rot } \mathbf{H} = -\dfrac{1}{c} \dfrac{\partial}{\partial t} \left(\dfrac{1}{c} \dfrac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} \right)$

2. Análogo ao item 1.

3. Note que $\nabla^2{\mathbf{E}} =  \nabla \text{div } \mathbf{E} - \text{rot } \text{rot }(\mathbf{E}).$

4. Análogo ao item 3.

Calcule $\int_{C}\mathbf{F} \cdot \mathbf{n} \, ds$ ($\mathbf{n}$ é unitário, onde $\mathbf{F}(x,y) = x\mathbf{i} + y\mathbf{j}$, $C$ dada por $\mathbf{r}(t) = (\cos{t},\sin{t})$, $0 \leq t \leq 2\pi$ e $\mathbf{n}$ a normal exterior.

$2\pi.$

$x + y - 2z = 0$.

1. $\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x} = -\frac{x + 2yz}{2(z + xy)} \;\;\;\text{e}\;\;\; \frac{\partial z}{\partial y} = -\frac{y + xz}{z + xy}.$

2. $\left\lbrace (x,y,z) \in \mathbb{R}^{3};\; z = -xy \right\rbrace$.

A fórmula de Taylor de primeira ordem para $f(\vec{a} + \vec{v})$ pode ser escrita como $ f(\vec{a}) + \nabla f(\vec{a}) \cdot \vec{v}$, já desconsiderando o termo de erro. Calcule-a para $f(x,y) = x^2/2 + y$, $\vec{a} = (0,0)$ e $\vec{v} = (1/2,1/2)$. Calcule também o erro cometido, dizendo se é um erro pequeno ou grande e por quê.

$2.$

 Se $f(u,v,w)$ é diferenciável, $u=x-y$, $v=y-z$ e $w=z-x$, mostre que 
$$\frac{\partial f}{\partial x}+\frac{\partial f}{\partial y}+\frac{\partial f}{\partial z}=0.$$

Note que $\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial f}{\partial u} - \frac{\partial f}{\partial w}, $$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y} = -\frac{\partial f}{\partial u} + \frac{\partial f}{\partial v}$ e $\displaystyle \frac{\partial f}{\partial z} = -\frac{\partial f}{\partial v} + \frac{\partial f}{\partial w}.$

1. Contínua.

2. Descontínua.

3. Descontínua.

$\sqrt{14}.$

Em 1831, o físico Michael Faraday descobriu que uma corrente elétrica pode ser produzida variando-se o fluxo magnético através de um arco condutor. Suas experiências mostraram que a força eletromotriz \(\mathbf{E}\) está relacionada com a indução magnética \(\mathbf{B}\) pela equação \[ \oint_C\mathbf{E}\cdot\,d\mathbf{r} = - \iint\limits_\sigma\dfrac{\partial\mathbf{B}}{\partial t}\cdot\mathbf{n}\,dS.\] Use este resultado para fazer uma conjectura acerca da relação entre \(\mathrm{rot\,}\mathbf{E}\) e \(\mathbf{B}\). Explique seu raciocínio.

Se $z=\sin(x+\sin{y})$, mostre que $\dfrac{\partial z}{\partial x} \;\dfrac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y}=\dfrac{\partial z}{\partial y}\;\dfrac{\partial^{2}z}{\partial x^{2}}$.

$\begin{aligned}[t]\frac{\partial z}{\partial x} &= \cos(x + \sin y),\;\;\; \frac{\partial z}{\partial y} = \cos(x + \sin y) \cos y,\\\frac{\partial z^{2}}{\partial x\partial y} &= -\sin (x + \sin y) \cos y\;\;\text{e}\;\; \frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}} = -\sin (x + \sin y).\end{aligned}$

$\begin{aligned}[t]\frac{\partial s}{\partial x} &= \frac{1}{y} e^{\frac{x}{y} - \frac{z}{w}},\;\;\;\;\;\frac{\partial s}{\partial y} = -\frac{x}{y^{2}} e^{\frac{x}{y} - \frac{z}{w}},\\\frac{\partial s}{\partial z} &= -\frac{1}{w} e^{\frac{x}{y} - \frac{z}{w}}\;\;\;\;\;\text{e}\;\;\;\;\; \frac{\partial s}{\partial w} = \frac{z}{w^{2}} e^{\frac{x}{y} - \frac{z}{w}}.\end{aligned}$

Calcule $\displaystyle\int_{(-1,0)}^{(1,0)}\dfrac{x}{x^{2}+y^{2}}\,dx+\dfrac{y}{x^{2}+y^{2}}\,dy$.

$\displaystyle \dfrac{\pi}{4} + \arctan\left( \dfrac{2}{3} \right).$

Calcule a integral, efetuando uma mudança de variáveis apropriada. $\displaystyle\iint\limits_{R} \sin{(4x^2 + y^2)} \, dA$, em que $R$ é o cojunto de todos $(x,y)$ tais que $4x^2 + y^2 \leq 1$ e $y \geq 0$.

$\dfrac{\pi}{4}(1 - \cos(1)).$

Determine o plano tangente à superfície $\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{9} + \frac{z^2}{16} = 1$, com $x > 0$, $y > 0$ e $z > 0$, que forma com os planos coordenados um tetraedro de volume mínimo. (Dica: O volume do tetraedro formado pelos planos coordenados e o plano $ax + by + cz = d$ no primeiro octante é dado por $V = d^3/(6abc)$.)

$6x + 4y + 3z = 12\sqrt{3}.$

1. $x = u,$ $y = v,$ $z = \dfrac{u^{2}}{a^{2}}+\dfrac{v^{2}}{b^{2}},$ onde $u,v \in \mathbb{R}.$

2. $2\pi(x + a\pi) + a(z - \pi^{2}) = 0.$

Verifique que a função \(\displaystyle u(x,t)=\sin(x-ct)\) é uma solução da equação da onda unidimensional \[ \dfrac{\partial^2u}{\partial t^2} = c^2\dfrac{\partial^2u}{\partial x^2}, \] onde \(c\) é uma constante que depende das características da onda.

Calculando diretamente as derivadas parciais da função dada, temos

\[\begin{array}{ll} \dfrac{\partial u}{\partial x} = \cos(x-ct),   & \dfrac{\partial^2u}{\partial x^2}= -\sin(x-ct) \\ \dfrac{\partial u}{\partial t} = -c\cos(x-ct), & \dfrac{\partial^2 u}{\partial t^2}= -c^2\sin(x-ct). \end{array}\] Assim, podemos ver que \(u(x,t)\) satisfaz a equação dada.

Seja $\mathbf{r} = x\mathbf{i} + y\mathbf{j} + z\mathbf{k}$ e $r=|\mathbf{r}|$. Verifique a identidade $\nabla\left(\dfrac{1}{r}\right) = -\dfrac{\mathbf{r}}{r^3}$.

$\nabla\left(\dfrac{1}{r}\right) =- \dfrac{\frac{1}{2\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}} (2x)}{x^2 + y^2 + z^2} \mathbf{i} - \dfrac{-\frac{1}{2\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}} (2y)}{x^2 + y^2 + z^2} \mathbf{j} - \dfrac{-\frac{1}{2\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}} (2z)}{x^2 + y^2 + z^2} \mathbf{k}.$ (Note que: $r = \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}.$)

Suponha que $w=f(x,y)$ é diferenciável e que exista uma constante $\alpha$ tal que 
$x=u\cos(\alpha)-v\sin(\alpha)$
$y=u\sin(\alpha)+v\cos(\alpha).$
Mostre que 
$$\bigg(\frac{\partial w}{\partial u}\bigg)^{2}+\bigg(\frac{\partial w}{\partial v}\bigg)^{2}=\bigg(\frac{\partial w}{\partial x}\bigg)^{2}+\bigg(\frac{\partial w}{\partial y}\bigg)^{2}.$$

Note que $\displaystyle \frac{\partial w}{\partial u} = \cos(\alpha) \frac{\partial w}{\partial x} + \sin(\alpha) \frac{\partial w}{\partial y}$ e $\displaystyle \frac{\partial w}{\partial v} = -\sin(\alpha) \frac{\partial w}{\partial x} + \cos(\alpha) \frac{\partial w}{\partial y}.$

1. $f(x,y) = \dfrac{x^{2}y^{2}}{2};$

2. $2.$

Determine os momentos de inércia da lâmina que ocupa a região $D$ e tem função densidade $\rho$ quando: $D$ é a região triangular delimitada pelas retas $x = 0, \ y = x$ e   $2x + y = 6; \quad \rho(x,y) = x^2$.

$\displaystyle I_{x} = \dfrac{1}{16}(e^4 - 1),$ $I_{y} = \dfrac{1}{16}(e^4 - 1)$ e $I_{0} = \dfrac{1}{16}(e^4 + 2e^2 - 3).$

1.  $\displaystyle \left( \dfrac{7a}{12},\dfrac{7a}{12},\dfrac{7a}{12} \right).$

2.  $\displaystyle \left( 1,\dfrac{4}{5},2 \right).$

$1$.

Trace a curva com equações paramétricas
\begin{eqnarray}
x & = & \sqrt{1 - 0,25 \cos^210t} \cos{t} \nonumber \\
y & = & \sqrt{1 - 0,25 \cos^210t} \sin{t} \nonumber \\
z & = & 0,5 \cos{10t}. \nonumber
\end{eqnarray} 
Explique a aparência da curva, mostrando que ela está em uma esfera.

$\displaystyle \frac{23}{10}.$

Determine a diferencial da função $m = p^5q^3$.

$dm = 5p^{4}q^{3} dp + 3p^{5}q^{2} dq$.

1.  $\displaystyle\int_{e^{-1}}^{1}\bigg[\int_{0}^{1 + \ln(x)}f(x,y) \ , dy\bigg]dx + \displaystyle\int_{1}^{e}\bigg[\int_{\ln(x)}^{1}f(x,y)\,dy\bigg]dx$

2.  $\displaystyle\int_{0}^{1}\bigg[\int_{0}^{y/2}f(x,y)\,dx\bigg]dy + \int_{1}^{2}\bigg[\int_{y - 1}^{y/2}f(x,y)\,dx\bigg]dy$

3.  $\displaystyle \int_{0}^{1}\bigg[\int_{0}^{\arctan(y)}f(x,y)\,dx \bigg]dy $

Determine os pontos do cone $z^{2}=x^{2}+y^{2}$ que estão mais próximos do ponto $(4,2,0).$

$(2,1,\sqrt{5})$ e $(2,1,-\sqrt{5}).$

$1.$

Represente graficamente o domínio da função $z=f(x,y)$ dada por $f(x,y)=\dfrac{x-y}{\sqrt{1-x^{2}-y^{2}}}$.

$\left\lbrace (x,y); x^{2} + y^{2} < 1 \right\rbrace$

1. $(0,0), (1,1)$ e $(-1,-1).$

2. Pontos de mínimo: $(1,1)$ e $(-1,-1);$ ponto de sela: $(0,0).$

Determine o valor médio de $f(x,y)=e^{y}\sqrt{x+e^{y}}$ sobre o retângulo  $R=[0,4]\times [0,1].$

$\dfrac{(4 + e)^{5/2} - e^{5/2} - 5^{5/2} + 1}{15}.$

Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função $f(x,y)=9-2x+4y-x^{2}-4y^{2}$.

Ponto de máximo: $\displaystyle \left( -1, \frac{1}{2} \right).$

1.  $R = \left\lbrace (x,y);   (x - 1)^2 + y^2 \leq 1,\quad x \leq y,\quad x \geq 0,\quad y \geq 0 \right\rbrace.$

2. (...)

3.  $\dfrac{\pi + 2}{4}.$

$\approx 227.$

$f(t)$ e $g(x,y)$ são funções diferenciáveis tais que $g(t,f(t))=0$ para todo $t$. Suponha $f(0)=1$, 
$\dfrac{\partial g}{\partial x}(0,1)=2$ e $\dfrac{\partial g}{\partial y}(0,1)=4$. Determine a equação da reta tangente a $\gamma(t)=(t,f(t))$, 
no ponto $\gamma(0).$

$\displaystyle (x,y) = (0,1) + \lambda \left(1, - \frac{1}{2}\right),$ $\lambda \in \mathbb{R}.$

A reta \(y=2-x\) intersecta a parábola \(y=x^2\) nos pontos \((-2,4)\) e \((1,1)\). Mostre que, se \(R\) denotar a região englobada por \(y=2-x\) e \(y=x^2\), então \[ \iint_R\left(1+2y\right)\,dA = \int_{-2}^1\int_{x^2}^{2-x}\left(1+2y\right)\,dydx = 18,9 \]

1. $e - 1.$

2.  $\dfrac{1}{3}.$

1. $0.$

2. $\pi.$

$30.$

1.  $\dfrac{1}{3}.$

2.  $\dfrac{625}{12}.$

3.  $\dfrac{9\pi - 8}{3}.$

Note que $\mbox{rot} (f\nabla g + g\nabla f) = {\bf 0}.$

1.  $\displaystyle \frac{5200\sqrt{6}}{3e^{43}}$ ºC/m.
   
2.  $400 e^{-43} (-2,3,-18).$
   
3.  $400 e^{-43}\sqrt{337}$ ºC/m.
   

1. $\text{div }{(\text{grad }{f})}$ é um campo escalar.

2. $\text{rot }{(\text{rot }{\mathbf{F}})}$ é um campo vetorial.

3. $(\text{grad }{f}) \times (\text{div }{\mathbf{F}})$  não tem significado pois $\text{div } \bf{F}$ é um campo escalar.

$\dfrac{2^{13}}{5}.$

$\begin{aligned}[t]\frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}} &= \frac{2 + 2y^{2} - 2x^{2}}{(1 + x^{2} + y^{2})^{2}},\;\;\;\;\; \frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}}= \frac{2 + 2x^{2} - 2y^{2}}{(1 + x^{2} + y^{2})^{2}} \;\;\;\;\;\text{e}\\\frac{\partial^{2} z}{\partial x\partial y} &= \frac{\partial^{2} z}{\partial y\partial x}= \frac{-4xy}{(1 + x^{2} + y^{2})^{2}}.C\end{aligned}$

Dentre as coordenadas cilíndricas ou esféricas, utilize a que lhe parecer mais apropriada para determinaretermine o volume da menor cunha esférica cortada de uma esfera de raio $a$ por dois planos que se interceptam ao longo de um diâmetro com um ângulo de $\pi/6.$

$\dfrac{\pi a^3}{9}.$

$2\pi + \dfrac{8}{3}.$

Use coordenadas esféricas para encontrar o volume do sólido: contido no interior do cone \(\phi=\pi/4\), entre as esferas \(\rho=1\) e \(\rho=2\).

 $6\sqrt{2}.$

Considere a função
$$f(x,y) = \begin{cases}
x + y, & \quad \text{se } xy = 0,\\
1, & \quad \text{caso contrário}.
\end{cases}$$
Mostre que $f$ não possui derivada direcional em $(0,0)$ na direção de um vetor $\bf{v} = (a,b)$ com $a^2 + b^2 = 1$ e $ab \neq 0$.

Seja $\bf{v} = (a,b)$ um vetor unitário (isto é, $a^2+b^2 = 1$), em que $ab \neq 0$. A derivada direcional em $(0,0)$ na direção do vetor unitário $\bf{v}$ existe se o limite

$$\lim_{h \to 0} \frac{f(0+ah,0+bh)-f(0,0)}{h}$$

existir. Para $h \neq 0$, temos $(ah)(bh) \neq 0$. Logo $f(ah,bh) = 1$. Assim, o limite em questão se reduz a

$$\lim_{h \to 0} \frac{1}{h},$$

e esse limite não existe. Como o vetor $\bf{v}$ satisfazendo as hipóteses foi tomado arbitrariamente, concluímos que $f$ não possui derivada direcional em $(0,0)$ na direção de nenhum vetor $\bf{v} = (a,b)$ que satisfaça $a^2 + b^2 = 1$ e $ab \neq 0$.

Uma esfera astroidal tem equação \(x^{2/3}+y^{2/3}+z^{2/3}=a^{2/3}\). Encontre o volume do sólido compreendido por uma esfera astroidal usando uma integral tripla e a transformação \begin{align*}  x & = \rho (\sin\phi\cos\theta)^3, \\  y & = \rho (\sin\phi\sin\theta)^3, \\  z & = \rho (\cos\phi)^3, \end{align*} para a qual \(0\leq\rho\leq a\), \(0\leq\phi\leq\pi\), \(0\leq\theta\leq 2\pi\).

\(\dfrac{4}{35}\pi a^3\)

Parametrizando a superfície $S$, temos as equações paramétricas:

$x=u, y=v \, \mbox{e} \, z=1-u^{2}-v^{2}.$
Então,
${\bf r}(u,v)=u{\bf i}+v{\bf j}+(1-u^{2}-v^{2}){\bf k}.$
Logo,
$f({\bf r}(u,v))=\dfrac{1-u^{2}-v^{2}}{\sqrt{1-4u^{2}-4v^{2}}},$ ${\bf r}_{u}={\bf i}+0{\bf j}-2u{\bf k}$ e ${\bf r}_{v}=0{\bf i}+{\bf j}-2v{\bf k}.$
Temos que

${\bf r}_{u}\times {\bf r}_{v}=\left| \begin{array}{ccc} {\bf i} & {\bf j} & {\bf k}\\ 1 & 0 & -2u\\ 0 & 1 & -2v \end{array} \right| = 2u{\bf i}+2v{\bf j}+{\bf k}$,

implicando que $|{\bf r}_{u}\times {\bf r}_{v}|=\sqrt{(2u)^{2}+(2v)^{2}+1^{2}}=\sqrt{1+4u^{2}+4v^{2}}.$ Assim,

$\displaystyle\iint\limits_{S}\dfrac{z}{\sqrt{1+4x^{2}+4y^{2}}}dS=\displaystyle\iint\limits_{D} f({\bf r}(u.v))|{\bf r}_{u}\times {\bf r}_{v}| du dv$ $=\displaystyle\iint\limits_{D} \frac{1-u^{2}-v^{2}}{\sqrt{1-4u^{2}-4v^{2}}} \sqrt{1+4u^{2}+4v^{2}} du dv=\displaystyle\iint\limits_{D}(1-u^{2}-v^{2})du dv$.
Notemos que
$D=\{(u,v)| u^{2}+v^{2}\leq 2v\}=\{(u,v)|u^{2}+(v-1)^{2}\leq 1\}.$
Em coordenadas polares teremos que
$u=r\cos \theta, v-1=r\sin \theta,$
$du dv=\left| \begin{array}{cc}
\dfrac{\partial u}{\partial r} & \dfrac{\partial u}{\partial \theta}\\
\dfrac{\partial v}{\partial r} & \dfrac{\partial v}{\partial \theta}
\end{array} \right|$, $ dr d\theta=\left| \begin{array}{cc} \cos \theta & -r\sin \theta\\ \sin \theta & r\cos \theta \end{array} \right| \, e \, du dv=r dr d\theta.$

Como $u^{2}+u^{2}=2u \Rightarrow r^{2}\cos^{2}\theta+r^{2}\sin^{2}\theta=r\sin \theta \Rightarrow r=2\sin \theta,$ então $0\leq r \leq 2\sin \theta \, \mbox{e} \, 0 \leq \theta \leq \pi.$
Logo
$\displaystyle\iint\limits_{S}\dfrac{z} {\sqrt{1+4x^{2}+4y^{2}}}dS=\displaystyle\int_{0}^{\pi}\displaystyle\int_{0}^{2\sin \theta}(1-r^{2}\cos^{2} \theta-r^{2}\sin^{2}\theta)r dr d\theta$

$\displaystyle\int_{0}^{\pi}\displaystyle\int_{0}^{2\sin \theta}(1-r^{2})r dr d\theta=\displaystyle\int_{0}^{\pi}\int_{0}^{2\sin \theta}(r-r^{3})dr d\theta$ $=\displaystyle\int_{0}^{\pi}(2\sin^{2}\theta-4\sin^{4}\theta)\bigg|_{0}^{2\sin \theta}d\theta=2\int_{0}^{\pi}\sin^{2}\theta d\theta-4\int_{0}^{\pi}\sin^{4}\theta$

$=2\cdot\left(\dfrac{\theta}{2}-\frac{1}{4}\sin 2\theta\right)\bigg|_{0}^{\pi}-4\cdot \left(-\dfrac{1}{4}\sin^{3}
\theta \cos \theta+\dfrac{3}{8}\theta-\dfrac{3}{16}\sin 2\theta\right)\bigg|_{0}^{\pi}$
$=2\cdot \dfrac{\pi}{2}-4\cdot\left(\dfrac{3}{8}\pi\right)=-\dfrac{\pi}{2}.$

Faça o mapa de contorno da função $f(x,y)=y-\ln{x}$ mostrando várias de suas curvas de nível.

$y = \ln(x) + C.$

Usando coordenadas esféricas, calcule a massa da esfera sólida de raio \(a\) com densidade proporcional à distância ao centro (tomando \(k\) como a constante de proporcionalidade).

 \(k\pi a^4\)

Explique por que a função é diferenciável no ponto dado. $f(x,y) = \dfrac{x}{x+y}, \quad (2,1)$.

As derivadas $f_{x}$ e $f_{y}$ de cada $f$ existem e são contínuas no ponto dado, logo $f$ é diferenciável.

Calcule $\int_{0}^{1}\!\int_{x}^{1}3y^{4}\cos(xy^{2})\,dy dx$. Esboce a região de integração.

$1 - \cos(1).$

Calcule $\int_{C}{\bf E}\cdot d{\bf l}$, onde ${\bf E}(x,y)=\dfrac{1}{x^{2}+y^{2}}\dfrac{x\,{\bf i}+y\,{\bf j}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}$ e $C$ é a curva dada por $x=2\,\cos t$, $y=\sin t$, com $0\leq t\leq \dfrac{\pi}{2}.$

$-\dfrac{1}{2}.$

$\displaystyle \frac{\partial z}{\partial s} = e^{r} \left( t\cos(\theta) - \frac{s}{\sqrt{s^{2} + t^{2}}} \sin(\theta) \right) $ e $\displaystyle \frac{\partial z}{\partial t} = e^{r} \left( s\cos(\theta) - \frac{t}{\sqrt{s^{2} + t^{2}}} \sin(\theta) \right).$

Mude o ponto $(1,\sqrt{3},2\sqrt{3})$ dado em coordenadas retangulares para esféricas.

$\displaystyle \left( 4, \dfrac{\pi}{3}, \dfrac{\pi}{6} \right).$

Calcule a área da região $R$ delimitada pela cardioide $\mathbf{r}(t) = (x(t),y(t))$, em que $x(t) = 2\cos{t}-\cos{2t}$ e $y(t) = 2\sin{t}-\sin{2t}$, $t \in [0,2\pi]$.

$6\pi.$

Determine o maior conjunto de pontos em que a função $f(x,y) = \begin{cases}\dfrac{xy}{x^2 + y^2}, & \quad \text{se } (x,y) \neq (0,0),\\0, & \quad \text{se } (x,y) = (0,0)\end{cases}$ é diferenciável. Justifique.

$\mathbb{R}^{2} \setminus \left\lbrace (0,0) \right\rbrace$.

A função $f(x,y) = \begin{cases}\dfrac{x^4}{x^2 + y^2}, & \quad \text{se } (x,y) \neq (0,0),\\0, & \quad \text{se } (x,y) = (0,0)\\\end{cases}$ é diferenciável em $(0,0)$? Justifique.

$\displaystyle \frac{\partial z}{\partial s} =  \frac{2u - 3v}{v^{2}} \sec^{2}\left(\frac{u}{v} \right)$ e $\displaystyle \frac{\partial z}{\partial t} = \frac{2u + 3v}{v^{2}} \sec^{2}\left(\frac{u}{v} \right))$.

Determine uma representação paramétrica para a superfície descrita a seguir. A porção no primeiro octante do cone $z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}/2$ entre os planos $z=0$ e $z=3.$

$x = r \cos(\theta),$ $y = r \sin(\theta),$ $z = \dfrac{r}{2},$ onde $0 \leq r \leq 6$ e $0\leq \theta \leq \dfrac{\pi}{2}.$

Calcule $\displaystyle \int_{C}{\bf E}\cdot d{\bf l}$, onde ${\bf E}(x,y)=\dfrac{1}{x^{2}+y^{2}}\dfrac{x\,{\bf i}+y\,{\bf j}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}$ e $C: {\bf r}(t)=(t,1)$, $-1\leq t\leq 1.$ ( O ${\bf l}$ desempenha aqui o mesmo papel que ${\bf r}:{\bf l}(t)={\bf r}(t).$)

$0.$

1. Negativa

2. Positiva

3. Positiva

4. Negativa

5. Positiva

$8\pi.$

$\int_{0}^{1}\int_{\sqrt{x}}^{1}\int_{0}^{1-y}f(x,y,z)\;dz dy dx = \int_{0}^{1}\int_{0}^{y^2}\int_{0}^{1-y}f(x,y,z)\;dz dx dy $
$= \int_{0}^{1}\int_{0}^{1 - z}\int_{0}^{y^2}f(x,y,z)\;dx dy dz = \int_{0}^{1}\int_{0}^{1 - y}\int_{0}^{y^2}f(x,y,z)\;dx dz dy $
$= \int_{0}^{1}\int_{0}^{1 - \sqrt{x}}\int_{\sqrt{x}}^{1-z}f(x,y,z)\;dy dz dx = \int_{0}^{1}\int_{0}^{(1 - z)^2}\int_{\sqrt{x}}^{1-z}f(x,y,z)\;dy dx dz.$

Sejam \(\alpha\) e \(\beta\) dois ângulos que satisfazem \(\displaystyle 0<\beta-\alpha\leq 2\pi\) e suponha que \( r= f(\theta)\) seja uma curva polar lisa com \(f(\theta)>0\) no intervalo \([\alpha,\beta]\). Use a fórmula \[ A = \dfrac{1}{2}\int_C-y\,dx+x\,dy \] para encontrar a área da região \(R\) englobada pela curva \(r=f(\theta)\) e os raios \(\theta=\alpha\) e \(\theta=\beta\).

Seja $\mathbf{r} = x\mathbf{i} + y\mathbf{j} + z\mathbf{k}$ e $r=|\mathbf{r}|$. Verifique a identidade $\nabla{\ln{r}} = \dfrac{\mathbf{r}}{r^2}$.

$\nabla{\ln{r}} = \dfrac{1}{2} \nabla \ln (x^{2} + y^{2} + z^{2}).$ (Note que: $r = \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}.$)

Calcule a integral, transformando para coordenadas esféricas. $\displaystyle\int_{0}^{1}\int_{0}^{\sqrt{1-x^{2}}}\int_{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}^{\sqrt{2-x^{2}-y^{2}}}xy\,dzdydx$.

$\dfrac{(4\sqrt{2} - 5)}{15}.$

Passe para coordenadas polares e calcule: $\displaystyle\int_{-1}^{1} \int_{-\sqrt{1-y^{2}}}^{\sqrt{1-y^{2}}}\ln(x^{2}+y^{2}+1)\,dx dy$

$\displaystyle \pi (\ln(4) - 1).$

Determine o jacobiano da transformação dada por: $x = \dfrac{u}{u+v}, \quad y = \dfrac{v}{u-v}$.

$0.$

Calcule a integral dupla usando coordenadas polares: $\displaystyle\iint\limits_{R}\arctan\left(\dfrac{y}{x}\right)\,dA$, onde $R$ é a região do primeiro quadrante limitada pelo círculo $x^{2}+y^{2}=25.$

$\displaystyle \frac{25 \pi^2}{16}.$

$h(x,y) = (2x+3y-6)^{2} + \sqrt{2x + 3y - 6}$ é contínua em $\left\lbrace (x,y);\; y \geq -\frac{2x}{3} + 2 \right\rbrace.$   

$\displaystyle \frac{dy}{dx} = \frac{4(xy)^{3/2} - y}{x - 2x^{2}\sqrt{xy}} .$

$76\pi \sqrt{2}.$

Calcule a integral, transformando para coordenadas esféricas. $\displaystyle\int_{0}^{2}\int_{0}^{\sqrt{4-y^{2}}}\int_{0}^{\sqrt{4-x^{2}-y^{2}}}\dfrac{1}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\,dzdxdy$.

$\pi.$

Encontre todos os extremos relativos de \(x^2y^2\) sujeitos à restrição \(4x^2+y^2=8\). Faça-o de duas maneiras: primeiro, usando restrições para eliminar uma variável e, em seguida, utilizando multiplicadores de Lagrange como variáveis auxiliares.

Ocorre máximo absoluto de \(4\) em \((\pm 1,\pm 2)\); mínimo absoluto de valor \(0\) em \((\pm\sqrt{2},0)\) e \((0,\pm 2\sqrt{2})\).

Seja ${\bf F}(x,y,z)=(x+y+z^{2})\,{\bf k}$ e seja $S$ a fronteira do cilindro $x^{2}+y^{2}\leq 4$ e $0\leq z \leq 3.$ Calcule $\displaystyle\iint \limits_{S}{\bf F}\cdot {\bf n}\,dS$ onde ${\bf n}$ é a normal exterior, isto é, ${\bf n}$ é a normal que aponta para fora do cilindro.

Note que $\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x} =   \frac{\lambda z}{x} -\frac{x^{\lambda}}{y} \frac{\partial f}{\partial u} \left(\frac{x}{y},\frac{z}{x^{\lambda}} \right)\left(\frac{\partial f}{\partial v}\left(\frac{x}{y},\frac{z}{x^{\lambda}} \right)\right)^{-1} $  e $\displaystyle \frac{\partial z}{\partial y} =  \frac{x^{\lambda + 1}}{y^{2}} \frac{\partial f}{\partial u} \left(\frac{x}{y},\frac{z}{x^{\lambda}} \right)\left(\frac{\partial f}{\partial v}\left(\frac{x}{y},\frac{z}{x^{\lambda}} \right)\right)^{-1}$.

Determine a equação do plano que é tangente ao paraboloide $z = 2x^2 + 3y^2$ e paralelo ao plano $4x - 3y - z = 10$.

$4x - 3y - z = -\frac{11}{4}$.

Calcule a integral dupla usando coordenadas polares: $\displaystyle\iint\limits_{R}\frac{x}{x^{2}+y^{2}}\,dA$, onde $R=\{(x,y)\in \mathbb{R}^{2}| x^{2}+y^{2}\leq 4, x\geq 1\}.$

$2\sqrt{3}.$

Determine o rotacional e o divergente do campo vetorial $\mathbf{F}(x,y,z) = xyz\mathbf{i} - x^2y\mathbf{k}$.

$\text{rot } \mathbf{F} = -x^2 \mathbf{i} + 3xy \mathbf{j} -xz \mathbf{k}.$ $\text{div } \mathbf{F} = yz.$

A função $p=p(V,T)$ é dada implicitamente pela equação $pV=nRT$, onde $n$ e $R$ são constantes não-nulas (Lei dos Gases Ideais). Calcule $\dfrac{\partial p}{\partial V}$ e $\dfrac{\partial p}{\partial T}.$

$\displaystyle \frac{\partial p}{\partial V} = -\frac{nRT}{V^{2}}\;\;\;\;\;\text{e}\;\;\;\;\; \frac{\partial p}{\partial T} = \frac{nR}{V}.$

Determine uma equação do plano tangente à superfície parametrizada dada no ponto especificado. ${\bf r}(u,v)=(u,v,u^{2}+v^{2})$, no ponto ${\bf r}(1,1).$

$(x,y,z) = (1,1,2) + s(1,0,2) + t(0,1,2),$ $s,t \in \mathbb{R}.$

$\displaystyle \frac{1}{54}\left(145^{3/2} - 1 \right).$

$\displaystyle \frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y}= \frac{-3xy - x^{2}}{y^{3}}e^{\frac{x}{y}}  \;\;\;\;\;\text{e}\;\;\;\;\; \frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}}= \frac{3x^{2}y + x^{3}}{y^{4}}e^{\frac{x}{y}}.$

1.  $\dfrac{(e - 1)^{2}}{2}.$

2.  $\dfrac{1}{2}.$

1. $\left\lbrace (x,y);\; x \neq -2y \right\rbrace$

2. $\frac{u}{v}.$

Determine e faça o esboço do domínio da função $f(x,y,z)=\ln(16-4x^{2}-4y^{2}-z^{2})$.

$\left\lbrace (x,y);\; \frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{4} + \frac{z^{2}}{16} < 1\right\rbrace.$

1. $e.$

2. $\left\lbrace (x,y,z): \;z \geq x^{2} + y^{2} \right\rbrace.$

3. $[1,\infty).$

1. As curvas de níveis de $f$ são

   $$\sqrt{x+y^{2}-3}=c\,\,\,\,\mbox{ou}\,\,\,\,x+y^{2}-3=c^2\,\,\,\,\mbox{ou}\,\,\,\,x=3+c^2-y^{2},$$

   ou seja, uma família de parábolas com concavidade para a esquerda. As três curvas de níveis pedidas, obtidas considerando respectivamente $c=0$, $c=1$ e $c=3$, são

   $x=3-y^{2}$, $x=4-y^{2}$ e $x=12-y^{2}.$ Elas estão apresentadas na figura abaixo.

   

2. Pelo ponto $(3,-1)$ passa uma única curva de nível, isto é, $f(x,y)=1.$ Pois caso contrário o ponto $(3,-1)$ teria duas alturas diferentes, o que é impossível.

Determine o maior conjunto de pontos em que a função $f(x,y) = \begin{cases}\dfrac{x^3}{x^2 + y^2}, & \quad \text{se } (x,y) \neq (0,0),\\0, & \quad \text{se } (x,y) = 0\end{cases}$ é diferenciável. Justifique.

$\mathbb{R}^{2} \setminus \left\lbrace (0,0) \right\rbrace$.

Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função $f(x,y)=x^{3}+2xy+y^{2}-5$.

Ponto de mínimo : $\displaystyle \left( \frac{5}{3}, -\frac{5}{3}\right);$ ponto de sela: $\displaystyle \left(-1,1\right).$

Seja ${\bf F}:\mathbb{R}^{2} \to \mathbb{R}^{2}$ um campo vetorial contínuo tal que, para todo $(x,y)$, ${\bf F}(x,y)$ é paralelo ao vetor $x\,{\bf i}+y\,{\bf j}$. Calcule $\int_{C}{\bf F}\cdot d{\bf r}$, onde ${\bf r}:[a,b]\to \mathbb{R}^{2}$ é uma curva de classe $C^{1}$, cuja imagem está contida na circunferência de centro na origem e raio $r>0$. Interprete geometricamente.

$0.$

Considere a função $z=\dfrac{xy^{2}}{x^{2}+y^{2}}.$ Verifique que $x\dfrac{\partial z}{\partial x}+y\dfrac{\partial z}{\partial y}=z.$

$\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{y^{4} - x^{2}y^{2}}{(x^{2} + y^{2})^{2}}\;\;\;\;\;\;\text{e}\;\;\;\;\; \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{2x^{3}y}{(x^{2} + y^{2})^{2}}.$

Calcule a integral dupla usando coordenadas polares: $\displaystyle\iint\limits_{R}\frac{x^{2}}{x^{2}+y^{2}}\,dA$, onde $R$ é a região anular limitada por $x^{2}+y^{2}=a^{2}$ e $x^{2}+y^{2}=b^{2}$, $0< a< b.$

$\displaystyle \frac{\pi}{2}(b^2 - a^2).$

Determine a equação da reta tangente à curva $\gamma$ no ponto $\gamma(t_0) = (2,5)$ sabendo-se que $\gamma'(t) \neq \bf{0}$ e que sua imagem está contida na curva de nível $xy = 10$. Qual a equação da reta normal a $\gamma$, neste ponto?

 Reta tangente: $(x,y) = (2,5) + \lambda (-2,5),$ $\lambda \in \mathbb{R},$
Reta normal: $(x,y) = (2,5) + \lambda (5,2),$ $\lambda \in \mathbb{R}.$

Dado que \(\displaystyle x^3+y^2x-3=0\), determine \(\dfrac{dy}{dx}\) usando derivação implícita.

Derivando implicitamente a equação dada, temos que \(3x^2+y^2+x(2yy')-0=0\). Ou seja,

\[ \frac{dy}{dx}= -\frac{3x^2+y^2}{2xy}.\]

Determine as derivadas parciais de $f(x,y)=(4xy-3y^{3})^{3}+5x^{2}y$.

$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x} = 12 y (4xy - 3y^{3})^{2} + 10xy\;\;\;\;\;\;\text{e}\;\;\;\;\; \frac{\partial f}{\partial y} = 3(4xy - 3y^{2})^{2}(4x - 9y^{2}) + 5x^{2}.$

$\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}(2,3,6) = -9$ e $\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}(2,3,6) = -4.$

Dada a expressão $g(x,y)=f(x,y)+2$, escreva como o gráfico de $g$ é obtido a partir do gráfico de $f.$

Gráfico de $f$ deslocado para cima por duas unidades.

Determine a massa e o centro de massa da lâmina que ocupa a região $D$ e tem função densidade $\rho$ quando: $D$ é a região triangular delimitada pelas retas $x = 0, \ y = x$ e   $2x + y = 6; \quad \rho(x,y) = x^2$.

Massa: $4;$ centro de massa: $\displaystyle \left(\frac{6}{5},\frac{12}{5} \right).$

Esboce o gráfico da função $f(x,y)=\sin(\sqrt{x^{2}+y^{2}})$ .Em geral, se $g$ é uma função de uma variável, como saber o gráfico de $f(x,y)=g(\sqrt{x^{2}+y^{2}})$ a partir do gráfico de $g$?

O gráfico de $f(x,y) = g(\sqrt{x^{2} + y^{2}})$ pode ser obtido rotacionando o gráfico de $g$ no plano $xz$ ao redor do eixo $z.$

Calcule utilizando coordenadas esféricas. $\displaystyle\iiint\limits_{B}z\,dxdydz$, onde $B$ é o conjunto $z\geq \sqrt{x^{2}+y^{2}}$ e $x^{2}+y^{2}+z^{2}\leq 1.$

$\dfrac{\pi}{8}.$

Determine o conjunto dos pontos de continuidade da função $f(x,y) = \dfrac{x - y}{\sqrt{1 - x^2 - y^2}}$. Justifique sua resposta.

$\left\lbrace (x,y);\; x^{2} + y^{2} < 1 \right\rbrace.$

As equações paramétricas \[\begin{array}{lll} x=u, & y=u\cos v, & z=u\sin v \end{array}\] representam o cone que resulta quando a reta \(y=x\) do plano \(xy\) é girada em torno do eixo \(x\). Determine a área de superfície da parte do cone para a qual \(0\leq u\leq 2\) e \(0\leq v\leq 2\pi\).

Sendo \(\displaystyle\{\mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k}\}\) a base canônica do espaço, a superfície pode ser representada vetorialmente como \[ \mathbf{r}=u\mathbf{i}+u\cos v\mathbf{j}+u\sin v\mathbf{k} \ \  \left(0\leq u\leq 2,\ 0\leq v\leq 2\pi\right). \] Assim, teremos  \begin{align*} \dfrac{\partial\mathbf{r}}{\partial u} & = \mathbf{i} + \cos v\mathbf{j} + \sin v\mathbf{k} \\ \dfrac{\partial\mathbf{r}}{\partial v} & = - u\sin v\mathbf{j} + u\cos v\mathbf{k} \\ \dfrac{\partial\mathbf{r}}{\partial u}\times\dfrac{\partial\mathbf{r}} {\partial v} & = \left|\begin{array}{ccc} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & \cos v & \sin v \\ 0 & -u\sin v & u\cos v \end{array} \right| = u\mathbf{i} -u\cos v\mathbf{j} - u\sin v\mathbf{k} \\ \|\dfrac{\partial\mathbf{r}}{\partial u}\times \dfrac{\partial\mathbf{r}}{\partial v}\| & = \sqrt{u^2+(-u\cos v)^2+(-u\sin v)^2} = |u|\sqrt{2} = u\sqrt{2}. \end{align*} Segue, portanto, que \[ S = \iint\limits_R\|\dfrac{\partial\mathbf{r}}{\partial u}\times \dfrac{\partial\mathbf{r}}{\partial v}\|\,dA = \int_0^{2\pi}\int_0^2\sqrt{2}u\,dudv = 2\sqrt{2}\int_0^{2\pi}\,dv = 4\pi\sqrt{2}. \]

1. \(\alpha = \beta=\gamma=\pi/3\) e valor máximo \(=1/8\).

Verifique que a função \(f(x,y)=\sqrt{1-x^2-y^2}\) é contínua no disco unitário fechado \(x^2+y^2\leq 1\).

O domínio de \(f\) é o disco unitário fechado \(x^2+y^2\leq 1\). Para todo ponto \((x_0,y_0)\) na fronteira do disco, temos \[ \lim_{(x,y)\to(x_0,y_0)}\sqrt{1-x^2-y^2} = \sqrt{1-x_0^2-y_0^2} = 0.\] Como o mesmo vale também para pontos interiores ao disco, temos que \(f\) é contínua no disco fechado.

Utilize coordenadas polares para determinar o volume do sólido dado: delimitado pelo hiperboloide $-x^2-y^2+z^2=1$ e acima do plano $xy.$

$\displaystyle \frac{4\pi}{3}.$

$2 + \frac{\sqrt{3}}{2}.$

1.  

   Temos que a região de integração é: $$ R=\{(x,y)\in \mathbb{R}^{2}|\,0\leq x \leq a,\, 0\leq y \leq x\}.$$

   

   Passando para coordenadas polares temos que $$\left\{ \begin{array}{cc} x=r\,\cos \theta\\ y=r\,\sin \theta\\ dy\,dx=r\,dr\,d\theta\\ \end{array} \right. $$ Como $0\leq x \leq a$, temos que $0\leq r\leq \dfrac{a}{\cos \theta}$ e também $0\leq \theta \leq \dfrac{\pi}{4}.$ Então, $$\int_{0}^{a}\int_{0}^{x}\sqrt{x^{2}+y^{2}}\,dy\,dx= \int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\int_{0}^{\frac{a}{\cos \theta}}\sqrt{r^{2}\,\cos^{2}\theta +r^{2}\,\sin^{2}\theta}\,r\,dr\,d\theta$$ $$=\int_{0}^{\frac{\pi} {4}}\int_{0}^\frac{a}{\cos\theta}r^{2}\,dr\,d\theta=\int_{0}^\frac{\pi}{4}\frac{r^3}{3}\bigg|_{0}^{\frac{a}{\cos \theta}}d\theta $$ $$=\frac{a^{3}}{3}\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\frac{1}{\cos^{3}\theta}d\theta=\frac{a^{3}}{3}\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\sec^{3}\theta d\theta$$ $$=\frac{a^{3}}{3}\bigg(\frac{1}{2}\sec \theta \tan \theta+\frac{1}{2}\ln|\sec \theta+\tan \theta|\bigg)\bigg|_{0}^{\frac{\pi}{4}}$$ $$=\frac{a^{3}}{6}\bigg[\bigg(\sec\frac{\pi}{4}\cdot \tan\frac{\pi}{4}+\ln\bigg|\sec\frac{\pi}{4}+\tan\frac{\pi}{4}\bigg|\bigg)- \bigg(\sec 0\cdot \tan 0+\ln|\sec 0+\tan 0|\bigg)\bigg]$$ $$=\frac{a^{3}}{6}\bigg(\sqrt{2}+\ln(\sqrt{2}+1)\bigg)$$

2.  

   A região  de integração $R$ é descrita na figura seguinte

   

   Notemos que $x^{2}+y^{2}=2x\Leftrightarrow (x-1)^{2}+y^{2}=1.$ Assim, $$\iint\limits_{ R}x\,dA=\underbrace{\iint\limits_{   \substack{x^{2}+y^{2}\leq 4\\ x\geq 0\\ y\geq 0}}x\,dA}_{(1)} -\,\,\underbrace{\iint\limits_{\substack{(x-1)^{2}+y^{2}\leq 1 \\ y\geq 0}}x\,dA}_{(2)}$$ Para a integral $(1)$ temos em coordenadas polares que $$r^{2}\cos^{2}\theta+r^{2}\sin^{2}\theta=4\Rightarrow r^{2}=4\Rightarrow r=\pm 2.$$ Logo, $0\leq r\leq 2$ e $0\leq \theta \leq \dfrac{\pi}{2}.$ Para a integral $(2)$ temos em coordenadas polares que $$(r-\cos \theta-1)^{2}+r^{2}\sin^{2}\theta=1\Rightarrow r^{2}\cos^{2}\theta-2r\cos \theta+1+r^{2}\sin^{2}\theta=1$$ $$\Rightarrow r^{2}-2r\cos\theta=0\Rightarrow r(r-2\cos \theta)=0\Rightarrow r=0   \mbox{ou}    r=2\cos \theta.$$ Logo, $0\leq r\leq 2\cos \theta$ e $0\leq \theta \leq \dfrac{\pi}{2}.$ Assim,  $$\iint\limits_{       R}x\,dA=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\int_{0}^{2}r\,\cos \theta \cdot r \,dr\,d\theta- \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\int_{0}^{2\cos \theta}r\cos \theta\cdot r\, dr\,d \theta$$ $$=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\int_{0}^{2}r^{2}\,\cos \theta\,dr\,d\theta-\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\int_{0}^{2\cos \theta}r^{2}\,\cos \theta\,dr\,d\theta$$ $$=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos\,d\theta \cdot \int_{0}^{2}r^{2}\,dr-\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{r^{3}}{3}\cos \theta \bigg|_{0}^{2\cos \theta}\,d\theta$$ $$=\bigg(\sin\theta \bigg|_{0}^{\frac{\pi}{2}}\bigg)\cdot \bigg(\frac{r^{3}}{3}\bigg|_{0}^{2}\bigg)-\frac{8}{3}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos^{4}\theta\,d\theta$$ $$=\bigg(\sin \frac{\pi}{2}-\sin 0\bigg)\cdot \bigg(\frac{8}{3}-0\bigg)-\frac{8}{3}\bigg(\frac{1}{4}\cos^{3}\theta\,\sin \theta+\frac{3}{8}\theta+\frac{3}{16}\sin 2 \theta\bigg)\bigg|_{0}^{\frac{\pi}{2}}$$ $$=\frac{8}{3}-\frac{8}{3}\bigg[\bigg(\frac{1}{4}\cos^{3}\frac{\pi}{2}\sin \frac{\pi}{2}+\frac{3}{8}\cdot\frac{\pi}{2}+\frac{3}{16}\sin2\cdot \frac{\pi}{2}\bigg) -\bigg(\frac{1}{4}\cos^{3}0\sin 0+\frac{3}{8}\cdot 0+\frac{3}{16}\sin 0\bigg)\bigg]$$ $$=\frac{8}{3}-\frac{8}{3}\cdot \bigg(\frac{3\pi}{16}\bigg)=\frac{8}{3}-\frac{\pi}{2}=\frac{16-3\pi}{6}.$$

1. Não, pois $\displaystyle \lim_{(x,y) \to (0,0)} f(x,y)$ não existe.

2. $\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}(0,0) = \frac{\partial f}{\partial y}(0,0) = 0$.

3. $\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x} = \frac{y^{3} - x^{2}y}{(x^{2} + y^{2})^{2}}\;\;\;\text{e}\;\;\; \frac{\partial f}{\partial y} = \frac{x^{3} - xy^{2}}{(x^{2} + y^{2})^{2}}$.

4. Não, pois $f$ não é contínua em $(0,0)$ (ou: pois suas derivadas parciais não são contínuas em $(0,0)$).

Utilize a transformação dada para calcular a integral. $\displaystyle \iint\limits_{R}(x - 3y) \, dA$, em que $R$ é a região triangular de vértices $(0,0)$, $(2,1)$ e $(1,2)$; $x = 2u + v$, $y = u + 2v$.

$-3.$

$\displaystyle \frac{1}{3}.$

Utilize a Regra da Cadeia para determinar $\mathrm{\partial}z/\mathrm{\partial} s$ e $\mathrm{\partial}z/ \mathrm{\partial}t,$ onde
$$z=\sin{\theta}\cos{\phi}, \quad \theta=st^{2}, \quad \phi=s^{2}t.$$

Utilizando a Regra de Cadeia, obtemos
\begin{eqnarray*}
\frac{\partial z}{\partial s} & = & \frac{\partial z}{\partial \theta}\frac{\partial \theta}{\partial s}+\frac{\partial z}{\partial \phi}\frac{\partial \phi}{\partial s} \\
& = & (\cos{\theta}\cos{\phi})(t^2) + (\sin{\theta}(-\sin{\phi}))(2st) \\
& = & t^2\cos(st^2)\cos(s^2t) - 2st\sin(st^2)\sin(s^2t)
\end{eqnarray*}
e
\begin{eqnarray*}
\frac{\partial z}{\partial t} & = & \frac{\partial z}{\partial \theta}\frac{\partial \theta}{\partial t}+\frac{\partial z}{\partial \phi}\frac{\partial \phi}{\partial t} \\
& = & (\cos{\theta}\cos{\phi})(2st) + (\sin{\theta}(-\sin{\phi}))(s^2) \\
& = & 2st\cos(st^2)\cos(s^2t) - s^2\sin(st^2)\sin(s^2t).
\end{eqnarray*}

Determine uma representação paramétrica para a superfície descrita a seguir. O plano que passa pelo ponto $(1,2,-3)$ e contém os  vetores ${\bf i}+{\bf j}-{\bf k}$ e ${\bf i}-{\bf j}+{\bf k}.$

$x= 1 + u + v,$ $y = 2 + u - v,$ $z = 3 - u + v.$

1. Gráficos.

2. Ponto mais alto: $\displaystyle \left( -\frac{4}{3}, 1,\frac{5}{3} \right)$ e ponto mais baixo: $\displaystyle \left( \frac{4}{13}, -\frac{3}{13},\frac{5}{13} \right).$

O plano $x + y + 2z = 2$ intercepta o paraboloide $z = x^2 + y^2$ em uma elipse. Determine os pontos dessa elipse que estão mais próximo e mais longe da origem.

Mais próximo: $\displaystyle \left( \frac{1}{2}, \frac{1}{2},\frac{1}{2} \right)$ e mais distante: $\displaystyle \left( -1,-1,2 \right).$

$\Delta R \approx 0.059 \Omega$.

Determine o plano que é paralelo ao plano $z = 2x + y$ e tangente ao gráfico de $f(x,y) = x^2 + y^2$.

$z = 2x + y - \frac{5}{4}$.

$0.$

1. $\dfrac{4(9\sqrt{3} - 8\sqrt{2} + 1)}{15}.$

2. $\ln\left( \dfrac{27}{16}\right).$

Determine as direções em que a derivada direcional da função \linebreak $f(x,y) = x^2 + \sin{xy}$ no ponto $(1,0)$ tem valor 1.

As direções são dadas pelos vetores $(1,0)$ e $\displaystyle \left( \frac{4}{5}, -\frac{3}{5}\right).$

Calcule $\int_{C}\mathbf{F} \cdot \mathbf{n} \, ds$ ($\mathbf{n}$ é unitário), onde $\mathbf{F}(x,y) = x^2\mathbf{i}$, $C$ dada por $\mathbf{r}(t) = (2\cos{t},\sin{t})$, $0 \leq t \leq 2\pi$ e $\mathbf{n}$ a normal que aponta para fora da região $x^2/4+y^2\leq 1$.

$0$.

Calcule a integral dupla usando coordenadas polares: $\displaystyle\iint\limits_{R}(x^{2}+2y)\,dx dy$, onde $R$ é o círculo $x^{2}+y^{2}\leq 4.$

$4\pi.$

Use a integral dupla em coordenadas polares para deduzir a fórmula $$A=\int_{\alpha}^{\beta}\frac{1}{2} r^{2}\,d\theta$$ para a área da região em formato de leque entre a origem e a curva polar $r=f(\theta)$, $\alpha\leq \theta \leq \beta.$

Note que $\displaystyle A = \int_{\alpha}^{\beta}\int_{0}^{f(\theta)} r  dr d\theta. $

$\dfrac{abc(ab+ac+bc)}{4}.$

Encontre o volume da região sólida limitada abaixo pelo plano $z = 0$, lateralmente pelo cilindro $x^2 + y^2 = 1$ e acima pelo paraboloide $z = x^2 + y^2$.

Temos que a região sólida $E$ está acima do plano $z=0$, abaixo do paraboloide $z=x^{2}+y^{2}$ e limitado lateralmente pelo cilindro $x^{2}+y^{2}=1$. Notemos que podemos dividir a região sólida em quatro porções simétricas. Assim, levando em consideração a porção da região sólida $E$ que está no primeiro octante, temos em coordenadas cilíndricas $$0\leq \theta \leq \frac{\pi}{2},\, 0\leq r \leq 1\,\, \mbox{e}\,\, 0\leq z\leq x^{2}+y^{2}=r^{2}.$$ Assim, o volume da região sólida $E$ é: $$V=\iiint\limits_{  E}1\,dV=4\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\int_{0}^{1}\int_{0}^{r^{2}}1\,r\,dz\,dr\,d\theta$$ $$=4\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\int_{0}^{1}zr\,\bigg|_{0}^{r^{2}}\,dr\,d\theta=4\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\int_{0}^{1}r^{3}\,dr\,d\theta$$ $$=4\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\,d\theta\cdot \int_{0}^{1}r^{3}\,dr=4\cdot \theta\bigg|_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cdot \frac{r^{4}}{4}\bigg|_{0}^{1}$$ $$=4\cdot \frac{\pi}{2}\cdot \frac{1}{4}=\frac{\pi}{2}.$$

$(f'(r))^{2}.$

Determine o volume do sólido que está acima do plano $xy$, abaixo do paraboloide $z = x^2 + y^2$ e que se encontra dentro do cilindro $x^2 + y^2 = 2x$ e fora do cilindro $x^2 + y^2 = 1.$

Temos que $0\leq z\leq x^{2}+y^{2}$. Como o sólido se encontra dentro do cilindro $x^{2}+y^{2}=2x$ e fora do cilindro $x^{2}+y^{2}=1$, devemos fazer a interseção desses dois cilindros, isto é, $$\left\{\begin{array}{cc} x^{2}+y^{2}=2x\\ x^{2}+y^{2}=1\\ \end{array} \right.\Rightarrow 2x=1\Leftrightarrow x=\frac{1}{2}$$ Em coordenadas cilíndricas temos que \begin{eqnarray*} x&=&r\cos \theta\\ y&=&r\sin \theta\\ z&=&z\\ dz\,dy\,dx&=&r\,dz\,dr\,d\theta \end{eqnarray*} Da equação $x^{2}+y^{2}=1$ temos que $$r^{2}=1\Longrightarrow r=\pm 1,$$ como devemos ter $r\geq 0$, então nesse caso $r=1.$ Da equação $x^{2}+y^{2}=2x$ temos que $$r^{2}=2r\,\cos \theta \Rightarrow r=2\cos \theta.$$  Agora, sendo $x=\frac{1}{2}$ e $r=1$ temos que $$\cos \theta=\frac{1}{2}\Rightarrow \theta=\pm \frac{\pi}{3}.$$ Assim, em coordenadas cilíndricas temos que o sólido $E$ é dado por $$E=\{(\theta,\,r,\,z)|\, -\frac{\pi}{3}\leq \theta \leq \frac{\pi}{3},\, 1\leq r\leq 2 \cos \theta,\,0\leq z\leq r^{2}\}.$$ Então, $$V=\iiint\limits_{  E}1\,dV= \int_{-\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{3}}\int_{1}^{2\cos \theta}\int_{0}^{r^{2}}1\,r\,dz\,dr\,d\theta= \int_{-\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{3}}\int_{1}^{2\cos \theta}zr\bigg|_{0}^{r}\,dr\,d\theta$$ $$=\int_{-\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{3}}\int_{1}^{2\cos \theta}r^{3}\,dr\,d\theta= \int_{-\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{3}}\frac{r^{4}}{4}\bigg|_{1}^{2\cos \theta}\,d\theta =\int_{-\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{3}}\bigg(4\cos^{4}\theta-\frac{1}{4}\bigg)\,d\theta$$ $$=4\int_{-\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{3}}\underbrace{\cos^{4}\theta}_{\mbox{função   par}}\,d\theta-\int_{-\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{3}}\underbrace{\frac{1}{4}}_{\mbox{função    par}}\,d\theta =8\int_{0}^{\frac{\pi}{3}}\cos^{4}\theta\,d\theta-2\int_{0}^{\frac{\pi}{3}}\frac{1}{4}\,d\theta$$ $$=8\bigg[\frac{3}{8}\theta+\frac{1}{4}\sin(2\theta)+\frac{1}{32}\sin(4\theta)\bigg]\bigg|_{0}^{\frac{\pi}{3}} -\bigg(\frac{1}{2}\theta\bigg)\bigg|_{0}^{\frac{\pi}{3}}$$ $$=8\bigg[\frac{3}{8}\cdot \frac{\pi}{3}+\frac{1}{4}\sin\bigg(\frac{2\pi}{3}\bigg)+\frac{1}{32}\sin\bigg(\frac{4\pi}{3}\bigg)\bigg]-\frac{1}{2}\cdot \frac{\pi}{3}$$ $$=\pi+\sqrt{3}-\frac{\sqrt{3}}{8}-\frac{\pi}{6}=\frac{5\pi}{6}+\frac{7\sqrt{3}}{8}.$$

Seja $g(x,y)=f(x^{2}+y^{2})$, onde $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ é uma função diferenciável. Mostre que 
$$y\frac{\partial g}{\partial x}-x\frac{\partial g}{\partial y}=0.$$

Observe que $f$ é uma função de uma variável. Logo, utilizando a Regra da Cadeia para funções de uma variável, obtemos
$$\frac{\partial g}{\partial x}(x,y) = f'(x^2+y^2) (2x)$$
e
$$\frac{\partial g}{\partial y}(x,y) = f'(x^2+y^2) (2y).$$
Portanto
$$y\frac{\partial g}{\partial x}-x\frac{\partial g}{\partial y}=0.$$

Use o Teorema do Divergente para calcular o fluxo de ${\bf F}$ através de $S,$ onde ${\bf F}(x,y,z)=3x\,{\bf i}+xz\,{\bf j}+z^{2}\,{\bf k}$ e $S$ é a superfície da região delimitada pelo parabolóide $z=4-x^{2}-y^{2}$ e o plano-$xy.$

1.  $\dfrac{5}{2}.$

2.  $1.$

Mostre (verifique) que o domínio da função $f(x,y)=\ln(x^2-y)$ consiste em todos os pontos abaixo da curva $y<x^2$.

A função $(x,y)\longmapsto\ln(x^2-y)$ só está definida para \( 0<x^2-y \), ou seja, $y<x^2$. Assim, primeiro esboçamos a parábola $y=x^2$ (como uma curva tracejada, por exemplo). A região $y<x^2$ consiste em todos os pontos abaixo dessa curva.

Determine as derivadas parciais de $g(x,y)=x^{y}$.

$\displaystyle \frac{\partial g}{\partial x} = yx^{y - 1}\;\;\;\;\;\;\text{e}\;\;\;\;\; \frac{\partial g}{\partial y} = x^{y} \ln x.$

Utilize a Regra da Cadeia para determinar as derivadas parciais indicadas.
$z=x^{2}+xy^{3}$, $x=uv^{2}+w^{3}$, $y=u+ue^{w}$;
$\dfrac{\partial z}{\partial u}$, $\dfrac{\partial z}{\partial v}$, $\dfrac{\partial z}{\partial w}$ quando $u=2$,  $v=1$, $w=0$.

$\dfrac{\partial z}{\partial u} = 85$, $\dfrac{\partial z}{\partial v} = 178$, $\dfrac{\partial z}{\partial w} = 54.$

1.  $\displaystyle\int_{0}^{1}\bigg[\int_{-\sqrt{y}}^{\sqrt{y}}f(x,y)\,dx\bigg]dy +  \displaystyle\int_{1}^{\sqrt{2}}\bigg[\int_{-\sqrt{2 - y^{2}}}^{\sqrt{2-y^{2}}}f(x,y)\,dx\bigg]dy$

2.  $\displaystyle\int_{-1}^{0}\bigg[\int_{0}^{x + 1}f(x,y)\,dy \bigg] dx + \int_{0}^{2}\bigg[\int_{0}^{\frac{2-x}{2}}f(x,y)\,dy \bigg] dx$

3.  $\displaystyle\int_{0}^{1}\bigg[\int_{0}^{\sqrt{y}}f(x,y)\,dx\bigg]dy$

$\sqrt{6}.$

1. O limite não existe.

2. $0.$

3. Não.

4. Sim.

 $\displaystyle -\frac{4\sqrt{10}}{5}.$

1.  $\dfrac{9}{20}.$

2.  $\dfrac{3}{10}.$

1.  $\dfrac{1}{2}.$

2.  $\dfrac{1}{3}.$

Usando coordenadas esféricas, calcule a massa do sólido compreendido entre as esferas \(x^2+y^2+z^2=1\) e \(x^2+y^2+z^2=4\), com densidade \(\delta(x,y,z)=(x^2+y^2+z^2)^{-1/2}.\)

Seja $\mathbf{r} = x\mathbf{i} + y\mathbf{j} + z\mathbf{k}$ e $r=|\mathbf{r}|$. Verifique a identidade $\nabla{r} = \dfrac{\mathbf{r}}{r}$.

$\nabla{r} = \left(\dfrac{x}{\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}},\dfrac{y}{\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}} ,\dfrac{z}{\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}} \right).$ (Note que: $r = \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}.$)

$\displaystyle\int_{C} {\bf F} \cdot d{\bf R} = \displaystyle\iint_{S} \mbox{rot} {\bf F} \cdot d{\bf S} = \pi.$

Encontre $f_{x}$, $f_{y}$ e $f_{z}$ para $f(x,y,z)=(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{-1/2}$.

$\begin{aligned}[t]f_{x} &= -x(x^{2} + y^{2} + z^{2})^{-3/2},\;\; f_{y} = -y(x^{2} + y^{2} + z^{2})^{-3/2}\;\;\text{e}\\f_{z} &= -z(x^{2} + y^{2} + z^{2})^{-3/2}.\end{aligned}$

$\dfrac{\pi(391\sqrt{17}+1)}{60}.$

 $\displaystyle \nabla f(x,y,z) = \frac{1}{\sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}}.$

Mostre que cada a equação a seguir define implicitamente pelo menos uma função diferenciável $z=z(x,y)$. 
Expresse $\partial z /\partial x$ e $\partial z/\partial y$ em termos de $x$, $y$ e $z.$
$x^{3}+y^{3}+z^{3}=x+y+z$

 $\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x} = -\frac{3x^{2} - 1}{3z^{2} - 1}$ e $\displaystyle \frac{\partial z}{\partial y} = -\frac{3y^{2} - 1}{3z^{2} - 1}.$

Mostre que a função $f(x,y) = xy - 5y^2$ é diferenciável achando os valores $\varepsilon_1$ e $\varepsilon_2$ que satisfaçam a Definição $7$ da Seção $14.4$ do Stewart.

$\epsilon_{1} = \Delta y$ e $\epsilon_{2} = -5\Delta y$.

Seja $W(s,t)=F(u(s,t),v(s,t))$, onde $F$, $u$ e $v$ são diferenciáveis, e $u(1,0)=2$, $u_{s}(1,0)=-2$, $u_{t}(1,0)=6$, $F_{u}(2,3)=-1$, $v(1,0)=3$, $v_{s}(1,0)=5$, $v_{t}(1,0)=4$, $F_{v}(2,3)=10.$ Determine $W_{s}(1,0)$ e $W_{t}(1,0).$

$W_{s}(1,0) = 52$ e $W_{t}(1,0) = 34.$

1. Na direção do vetor $(1,1).$ O valor da taxa máxima é $\sqrt{2}.$ 
   
2.  $ \displaystyle \frac{7}{5}.$
   

Utilize a integral dupla para determinar a área da região: cortada do primeiro quadrante pela curva $r=2(2-\sin(2\theta))^{1/2}.$

$2(\pi - 1).$

Calcule a integral de superfície $\displaystyle\iint\limits_{S}y dS$, onde $S$ é a superfície com equações paramétricas $x=u$, $y=v$, $z=1-u^{2}$, $0\leq u\leq 1$, $0\leq v\leq \sqrt{u}.$

Utilize a integral dupla para determinar a área da região: um laço da rosácea $r=\cos(3\theta).$

$\displaystyle \frac{\pi}{12}.$

$\frac{2}{7}.$

Note que $\mbox{rot} (f\nabla g) = \nabla f \times \nabla g.$

Calcule a integral de linha $\displaystyle\int_{C}\,dx+\,dy$, onde $C$ é a poligonal de vértices $A_{0}=(0,0)$, $A_{1}=(1,2)$, $A_{2}=(-1,3)$, $A_{3}=(-2,1)$ e $A_{4}=(-1,-1)$, sendo $C$ orientada de $A_{0}$ para $A_{4}.$

$\displaystyle -2.$

Determine a função vetorial que representa a curva obtida pela intersecção do cone $z = \sqrt{x^2 + y^2}$ com o plano $z = 1 + y$.

Calcule utilizando coordenadas esféricas. $\displaystyle\iiint\limits_{E}xyz\,dV$, onde $E$ está entre as esferas $\rho=2$ e $\rho=4$ e acima do cone $\phi=\pi/3.$

$0.$

Determine a área da superfície dada pela parte do paraboloide hiperbólico $z=y^{2}-x^{2}$ que está entre os cilindros $x^{2}+y^{2}=1$ e $x^{2}+y^{2}=4.$

Temos que $z=f(x,y)=y^{2}-x^{2}$ com $1\leq x^{2}+y^{2}\leq 4$. Então,

$$A(S)=\iint\limits_{ D}\sqrt{1+\bigg(\frac{\partial z}{\partial x}\bigg)^{2}+\bigg(\frac{\partial z}{\partial y}\bigg)^{2}}\,dA$$

$$=\iint\limits_{ D}\sqrt{1+(2y)^{2}+(-2x)^{2}}\,dA=\iint\limits_{ D}\sqrt{1+4y^{2}+4x^{2}}\,dA.$$

Usando coordenadas polares temos que

$$x=r\,\cos \theta,\,\,\,\,\, y=r\,\sin \theta \Rightarrow 0\leq \theta\leq \frac{\pi}{2}\,\, \mbox{e}\,\, 1\leq r \leq 2.$$

Assim,

$$A(S)=\int_{0}^{2\pi}\int_{1}^{2}\sqrt{1+4r^{2}}\,r\,dr\,d\theta=\int_{0}^{2\pi}d\theta \cdot \underbrace{\int_{1}^{2}\sqrt{1+4r^{2}}r\,dr}_{\substack{u=1+4r^{2}\\ du=8r\,dr}}$$

$$=\theta\bigg|_{0}^{2\pi}\cdot \int_{5}^{17}u^{1/2}\cdot r\cdot \frac{du}{8r}=2\pi\cdot \frac{1}{8}\int_{5}^{17}u^{1/2}\,du=\frac{\pi}{4}\cdot \frac{2}{3}u^{3/2}\bigg|_{5}^{17}$$

$$=\frac{\pi}{6}\cdot(17^{3/2}-5^{3/2}).$$

Determine uma equação do plano tangente à superfície parametrizada dada no ponto especificado. ${\bf r}(u,v)=(\arctan (uv),e^{u^{2}-v^{2}},u-v)$, no ponto ${\bf r}(1,-1).$

$(x,y,z) = \left(-\dfrac{\pi}{4},1,2\right) + s\left(-\dfrac{1}{2},2,1\right) + t\left(\dfrac{1}{2},2,-1\right),$ $s,t \in \mathbb{R}.$

$\displaystyle \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \int_{3}^{6} f(r\cos(\theta),r\sin(\theta)) r  d r d \theta.$

$-3.$

1.  (...)

2.  $e - 2.$

Determine $\partial z/\partial x$ e $\partial z/\partial y$, sendo $z=f(x)+g(y)$.

$\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x} =  f'(x)$

$\frac{\partial z}{\partial y} = g'(y)$.

Determine os pontos da superfície $y^{2}=9+xz$ que estão mais próximos da origem.

$(0,3,0)$ e $(0,-3,0).$

1.  $0.$

2.  $\dfrac{16}{3}.$

Ponto de máximo: $\displaystyle \left( \frac{6}{\sqrt{38}}, \frac{1}{\sqrt{38}} \right)$; ponto de mínimo: $\displaystyle \left( -\frac{6}{\sqrt{38}}, -\frac{1}{\sqrt{38}} \right)$.

 Se ${\bf u}(t)=(\sin{t}, \cos{t}, t)$ e ${\bf v}(t)=(t,t\cos{t},\sin{t})$, use a Fórmula $$\dfrac{d}{dt}\left[{\bf u}(t)\times{\bf v}(t)\right]={\bf u}'(t)\times{\bf v}(t)+{\bf u}(t)\times{\bf v}'(t)$$ para  encontrar $$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}[{\bf u}(t)\times {\bf v}(t)].$$

$\left\{t^2 \sin (t)-\sin ^2(t)+\cos ^2(t)-2 t \cos (t),2 t-2 \sin (t) \cos (t),-t \sin^2(t)+t \sin (t)+t \cos ^2(t)-\cos (t)+\sin (t) \cos (t)\right\}$

$f(x,y,z)$ e $g(x,y)$ são funções diferenciáveis tais que, para todo $(x,y)$ no domínio de $g,f(x,y,g(x,y))=0$. 
Suponha $g(1,1)=3$, $\dfrac{\partial f}{\partial x}(1,1,3)=2$, $\dfrac{\partial f}{\partial y}(1,1,3)=5$ e $\dfrac{\partial f}{\partial z}(1,1,3)=10.$ 
Determine a equação do plano tangente ao gráfico de $g$ no ponto $(1,1,3).$

$\displaystyle z - 3 = -\frac{1}{5}(x - 1) - \frac{1}{2} (y-1).$

Calcule a área da superfície dada por: ${\bf r}(u,v)=(u,v,2-u-v)$ e $u^{2}+v^{2}\leq 1.$. (Sugerimos ao leitor desenhar a imagem da superfície.)

$\pi \sqrt{3}.$

Existe um campo vetorial $\bf{G}$ em $\mathbb{R}^3$ tal que $\text{rot }{\bf{G}} = (x\sin{y},\cos{y},z-xy)$? Justifique.

Suponha que existe um campo vetorial $\bf G$ tal que $\text{rot } G= (x\,\sin y, \cos y,z-xy)$. Vamos calcular $\text{div } \text{rot } {\bf G}.$

Temos que

$$\text{div } \text{rot } {\bf G}=\frac{\partial (x\,\sin y) }{\partial x}+\frac{\partial (\cos{y})}{\partial y}+\frac{\partial (z-xy)}{\partial z}$$

$$=\sin y- \sin y +1=1.$$

Sabemos que se ${\bf F}=P\,{\bf i}+Q\,{\bf j}+R\,{\bf k}$ é um campo vetorial sobre $\mathbb{R}^{3}$ e $P$, $Q$ e $R$ têm derivadas parciais de segunda ordem contínuas, então $\text{div } \text{rot } {\bf F}=0.$

Como $\text{div } \text{rot } {\bf G}\neq 0$, pela contrapositiva do resultado acima, temos que ${\bf G}$ não é um campo vetorial do $\mathbb{R}^{3}.$

Use o método dos multiplicadores de Lagrange para determinar o ponto sobre a parábola $y = x^2$ que se encontra mais próximo do ponto $(0,1) \in \mathbb{R}^2.$

$\displaystyle \left(\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{2} \right)$ e $\displaystyle \left(-\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{2} \right).$

Mostre que a curva com equações paramétricas $x = t \cos{t}, \ y = t \sin{t}, \ z = t$ está no cone $z^2 = x^2 + y^2$ e use esse fato para esboçar a curva.

1. Use multiplicadores de Lagrange para maximizar $f(a,b,c) = a^{2}b^{2}c^{2}$ sujeita a restrição $a^{2} + b^{2} + c^{2} = r^{2}.$

2. Como $(\sqrt{a},\sqrt{b},\sqrt{c})$ está na esfera $a + b + c = r^{2},$ pelo item 1 segue que $abc = f(\sqrt{a},\sqrt{b},\sqrt{c}) \leq \left(\dfrac{r^{2}}{3}\right)^{3} = \left(\dfrac{a + b + c}{3}\right)^{3}.$

$\displaystyle \frac{dz}{dt} = \frac{2xe^{2t} - 2ye^{2t}}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}.$

1. $\nabla f(x,y) = (y/x,\ln(x)).$
   
2. $\nabla f(1,-3) = (-3,0).$
   
3. $\displaystyle \frac{12}{5}.$
   

Encontre o centro de massa de uma lâmina em forma de triângulo retângulo isósceles, com os lados iguais tendo comprimento $a$, se a densidade em qualquer ponto for proporcional ao quadrado da distância do vértice oposto à hipotenusa.

$\displaystyle \left(\frac{2a}{5}, \frac{2a}{5} \right).$

Valor máximo: $4;$ valor mínimo: $-4.$

Passe para coordenadas polares e calcule: $\displaystyle\iint\limits_{R}\cos(x^{2}+y^{2})\,dA$, onde $R$ é a região acima do eixo do $x$ e dentro da circunferência $x^{2}+y^{2}=9.$

$\displaystyle \frac{\pi}{2} \sin(9).$

Determine os pontos da superfície $xyz = 1$ que estão mais próximos da origem.

$(1,1,1),$ $(1,-1,-1),$ $(-1,1,-1)$ e $(-1,-1,1).$

Ponto de mínimo: $\displaystyle \left(-1,1 \right)$

Calcule $\displaystyle \lim_{(x,y) \to (0,0)} \dfrac{xy}{y - x^3}$, caso exista.

Não existe.

Calcule o limite $\displaystyle \lim_{t \rightarrow 0}\left( \arctan(t), e^{-2t}, \dfrac{\ln{t}}{t} \right)$.

Tomando
${\bf r}(t)=\left(arctg(t), e^{-2t},\frac{\ln t}{t}\right)$, temos que
$\lim\limits_{t\to 0}{\bf r}(t)=\lim\limits_{t\to 0}\left(arctg(t),e^{-2t},\frac{\ln t}{t}\right)=\left(\lim\limits_{t\to 0}arctg(t),\lim\limits_{t\to 0}e^{-2t},\lim\limits_{t\to 0}\frac{\ln t}{t}\right)$
Assim,
$\bullet \lim\limits_{t\rightarrow 0}arctg(t)=0$.
$\bullet \lim\limits_{t\to 0}e^{-2t}=1$.
$\bullet \lim\limits_{t\to 0}\dfrac{\ln t}{t}$ não existe.

Portanto, $\lim\limits_{t\to 0}\left(arctg(t),e^{-2t},\frac{\ln t}{t}\right)$ não existe.

Calcule a integral em coordenadas esféricas. $\displaystyle\int_{0}^{3\pi/2}\int_{0}^{\pi}\int_{0}^{1}5\rho^{3}\sin^{3}{\phi}\,d\rho d\phi d\theta$.

$\dfrac{5\pi}{2}.$

$108\pi.$

Esboce o gráfico da função $f(x,y)=y^{2}+1$.

$z = y^{2} + 1$

Identifique e faça um esboço da imagem da superfície parametrizada dada por ${\bf r}(u,v)=(v\,\cos u,v\sin u,v)$, $0\leq u\leq 2\pi$,\, $0\leq v \leq h$, onde $h>0$ é um real dado.

Face lateral do cone $\sqrt{x^{2} + y^{2}} \leq z \leq h$.

$8.$

Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função $f(x,y)=x^{2}+y^{3}+xy-3x-4y+5$.

Ponto de mínimo : $\displaystyle \left( 1,1\right);$ ponto de sela: $\displaystyle \left(\frac{23}{12},-\frac{5}{6}\right).$

1. $\dfrac{1}{2}.$

2. $\dfrac{3}{8}.$

3. $\dfrac{5}{48}$.

Calcule a integral, transformando para coordenadas esféricas. $\displaystyle\int_{-a}^{a}\int_{-\sqrt{a^{2}-y^{2}}}^{\sqrt{a^{2}-y^{2}}}\int_{-\sqrt{a^{2}-x^{2}-y^{2}}}^{\sqrt{a-x^{2}-y^{2}}}(x^{2}z+y^{2}z+z^{3})\,dzdxdy$.

$0.$

Encontre $\partial f/\partial x$ e $\partial f/\partial y$ para $f(x,y)=1/(x+y)$.

$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial f}{\partial y} = -\frac{1}{(x^{2} + y^{2})^{2}}$.

A função $f(x,y) = \begin{cases}\dfrac{x^2 - y^2}{x^2 + y^2}, & \quad \text{se } (x,y) \neq (0,0),\\0, & \quad \text{se } (x,y) = (0,0)\\\end{cases}$ é diferenciável em $(0,0)$? Justifique.

Não.

Esboce a região de integração para a integral iterada $\displaystyle\int_{0}^{1}\!\!\int_{\sqrt{y}}^{3\sqrt{y}}f(x,y)\,dx dy$.

Use um software de apoio computacional para mostrar que o volume \(V\) sob a superfície \(z=xy^3\sin(xy)\) e acima do retângulo \([0,\pi]\times[0,1]\) no plano \(xy\)  é dado por \(V=3/\pi\).

Encontre a área da parte da esfera $x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}$ que está dentro do cilindro $x^{2}+y^{2}=ax.$

$2a^2 (\pi - 2).$

Determine as derivadas parciais de $z=\dfrac{x\sin{y}}{\cos(x^{2}+y^{2})}$.

$\begin{aligned}[t]\frac{\partial z}{\partial x} &= \frac{\sin y ( \cos(x^{2} + y^{2}) + 2x^{2} \sin(x^{2} + y^{2}))}{(\cos(x^{2} + y^{2}))^{2}}\;\;\;\;\;\;\text{e}\\\frac{\partial z}{\partial y} &= \frac{x \cos y \cos(x^{2} + y^{2}) + 2xy \sin y \sin(x^{2} + y^{2})}{(\cos(x^{2} + y^{2}))^{2}}.\end{aligned}$

Determine a derivada parcial $f_{x}(3,4)$, onde $f(x,y)=\ln(x+\sqrt{x^{2}+y^{2}}).$

$f_{x}(3,4) = \frac{1}{5}$.

Dada a expressão $g(x,y)=-f(x,y)$, escreva como o gráfico de $g$ é obtido a partir do gráfico de $f.$

Gráfico de $f$ refletido sobre o plano $xy.$

$\displaystyle \frac{\partial w}{\partial x} = \frac{\partial w}{\partial r}\frac{\partial r}{\partial x} + \frac{\partial w}{\partial s}\frac{\partial s}{\partial x} + \frac{\partial w}{\partial t}\frac{\partial t}{\partial x}$ e $\displaystyle \frac{\partial w}{\partial y} = \frac{\partial w}{\partial r}\frac{\partial r}{\partial y} + \frac{\partial w}{\partial s}\frac{\partial s}{\partial y} + \frac{\partial w}{\partial t}\frac{\partial t}{\partial y}$

$\displaystyle \left(\frac{3\sqrt{2}}{5}, - \frac{1}{5\sqrt{2}}, \frac{\sqrt{2}}{5} \right)$ e $\displaystyle \left(-\frac{3\sqrt{2}}{5}, \frac{1}{5\sqrt{2}}, -\frac{\sqrt{2}}{5} \right).$

Se $f$ é uma função constante, $f(x,y) = k$, e $R = [a,b] \times [c,d],$ mostre que $\iint \limits_{R} k \, dA = k(b-a)(d-c).$

Note que se $R$ for dividida em $mn$ subretângulos, vale $$ \sum^{m}_{i = 1} \sum^{n}_{j = 1} f(x_{ij}^{*}, y_{ij}^{*}) \Delta A = k \sum^{m}_{i = 1} \sum^{n}_{j = 1} \Delta A = k (b - a) (d - c), $$ independentemente dos pontos amostrais $(x_{ij}^{*}, y_{ij}^{*})$ escolhidos.

Calcule a área sob um arco da cicloide $x = t-\sin{t}$, $y = 1-\cos{t}$.

Queremos determinar a área da região $R$ mostrada na figura abaixo.

Sabemos que, se $y = f(x)$, então a integral $\int_{a}^{b}f(x)dx$ calcula a área que está abaixo do gráfico de $f$ e acima do eixo $x$, com $x$ variando entre $a$ e $b$. A princípio, poderíamos tentar encontrar uma expressão que relacionasse $x(t)$ e $y(t)$ na parametrização da cicloide, mas esse parece ser um trabalho difícil. Usaremos então o que foi provado no exercício anterior. Temos que
$$A(R) = \oint_{C}x\, dy,$$
em que $C = C_1 \cup C_2$ é a curva descrita na figura a seguir.

Uma parametrização de $C_1$ é $r_1(t) = (x_1(t),y_1(t)) = (t,0)$, em que $0 \leq t \leq 2\pi$. Nesse caso, $y_1'(t) = 0$. Logo,
$$\oint_{C_1}x\, dy = \int_{0}^{2\pi}(t)(0)\, dt = 0.$$
Uma parametrização de $C_2$ é $r_2(t) = (x_2(t),y_2(t)) = (t-\sin{t},1-\cos{t})$, em que $t$ varia de $2\pi$ a $0$. Nesse caso, $y_2'(t) = \sin{t}$. Logo,
$$\begin{array}{rcl}\displaystyle \oint_{C_2}x\, dy & = & \displaystyle \int_{2\pi}^{0}(t-\sin{t}) (\sin{t})\, dt \\ & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi}(\sin^2{t} - t\sin{t}) \, dt \\ & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi}\frac{1-\cos(2t)}{2}\, dt - \int_{0}^{2\pi}t\sin{t} \, dt \\ & = & \pi + 2\pi = 3\pi.\end{array}$$
Portanto, a área da região é $3\pi$.
(Observe que, para resolver a integral $\int_{0}^{2\pi}t\sin{t} \, dt$, usamos integração por partes com $u=t$ e $dv=\sin{t}\,dt$.)

Determine o maior conjunto de pontos em que a função $f(x,y) = \begin{cases}e^{\dfrac{1}{x^2 + y^2 - 1}}, & \quad \text{se } x^2 + y^2 < 1,\\0, & \quad \text{se } x^2 + y^2 \geq 1\end{cases}$ é diferenciável. Justifique.

$\mathbb{R}^{2}$.

1. $4.$

2. $\mathbb{R}^{2}.$

3. $[0,\infty).$

1. Queremos calcular $f(2,0)$ sabendo que $f(x,y)=x^{2}e^{3xy}$. Basta substituir os valores na expressão, assim temos
   \[
   f(2,0)=2^{2}e^{3 \cdot 2 \cdot 0}=4e^{0}=4 \cdot 1=4.
   \]
2. Por definição, o domínio da função $f$ é o conjunto dos pontos de $\mathbb{R}^{2}$ em que a função está bem definida. Em nosso caso, o domínio é o conjunto de pontos em que a função $f(x,y)=x^{2}e^{3xy}$ está bem definida. Portanto, o domínio de $f$ é $\mathbb{R}^2$.
3. A imagem da função $f$ é o conjunto dos pontos $\{ z\in \mathbb{R} | z = f(x,y) \text{ e } (x,y)\in D\}$, onde $D$ é o domínio de $f$. Observe que $x^{2} \geq 0$ e $e^{3xy}> 0$ para todo $(x,y)\in \mathbb{R}^{2}$, logo $x^{2}e^{3xy}\geq 0$ para todo $(x,y)\in \mathbb{R}^{2}$. Por exemplo, se fixarmos $x=1$ temos que a imagem da função são os pontos da forma $e^{3y}$ com $y\in \mathbb{R}$, ou seja, é todo o intervalo $(0,\infty)$. Agora, quando colocamos $x=0$ a imagem é $0$. Portanto, a imagem de $f$ é o conjunto $[0,\infty]$.
   

1. $\dfrac{\pi}{12}.$

2. $\dfrac{(e^{2} - 3)}{2}.$

Consideremos ${\bf r}(t)=\bigg(\frac{e^{t}-1}{t},\frac{\sqrt{1+t}-1}{t},\frac{3}{t+1}\bigg).$

Temos que o limite de ${\bf r}$ é o vetor cujas componentes são os limites das funções componentes de ${\bf r}$, se esses limites existirem.

Então,

$\lim\limits_{t \to 0}{\bf r}(t)=\lim\limits_{t \to 0}\left(\frac{e^{t}-1}{t},\frac{\sqrt{1+t}-1}{t},\frac{3}{t+1}\right)=\left(\lim\limits_{ t\to 0}\frac{e^{t}-1}{t},\lim\limits_{t \to 0}\frac{\sqrt{1+t}-1}{t},\lim\limits_{t \to 0}\frac{3}{t+1}\right)$

Assim,

$\bullet \lim\limits_{t\rightarrow 0}\dfrac{e^{t}-1}{t}=1$.

$\bullet \lim\limits_{t\to 0}\frac{\sqrt{1+t}-1}{t}=\lim\limits_{t\to 0}\frac{(\sqrt{1+t}-1)(\sqrt{1+t}+1)}{t(\sqrt{1+t}+1)}=\lim\limits_{t\to 0}\frac{1+t-1}{t(\sqrt{1+t}+1)}=\lim\limits_{t\to 0}\frac{t}{t(\sqrt{1+t}+1)}=\lim\limits_{t\to 0}\frac{1}{\sqrt{1+t}+1}=\frac{1}{2}$.

$\bullet \lim\limits_{t\to 0}\dfrac{3}{t+1}=3$.

Portanto,

$\lim\limits_{t\to 0}\bigg(\frac{e^{t}-1}{t},\frac{\sqrt{1+t}-1}{t},\frac{3}{t+1}\bigg)=\bigg(1,\frac{1}{2},3\bigg).$

1. $D_{f} = \mathbb{R}^{2}$.

2. $Im(f) = \left\lbrace z \in \mathbb{R};\; 0 < z \leq 1 \right\rbrace.$

3. As curvas de nível são as os círculos $x^{2} + y^{2} = C$ com $C > 0$ e a origem.

1. $D_{f} = \mathbb{R}^{2}$.

2. $Im(f) = \mathbb{R}.$

3. As curvas de nível são as retas $y - x = C.$

$\dfrac{4\pi}{3}.$

Determine se ${\bf F}(x,y)=e^{x}\,\cos y\,{\bf i}+e^{x}\,\sin y\,{\bf j}.$ é ou não um campo vetorial conservativo. Se for, determine uma função $f$ tal que ${\bf F}=\nabla f.$

Não.

Calcule utilizando coordenadas esféricas. $\displaystyle\iiint\limits_{B}\sqrt{x+y}\sqrt[3]{x+2y-z}\,dxdydz$, onde $B$ é a região $1\leq x+y\leq 2$, $0\leq x+2y-z\leq 1$ e $0\leq z\leq 1.$

$\sqrt{2} - \dfrac{1}{2}.$

Calcule a integral tripla $\displaystyle\iiint\limits_{B}xyz^{2}\,dV$, onde $B$ é a caixa retangular dada por $B=\{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3|\;0\leq x\leq 1,\;-1\leq y\leq 2,\;0\leq z\leq 3\}$, integrando primeiro em relação a $y$, depois a $z$ e então a $x$.

$\dfrac{27}{4}.$

1. $0.$

2. $0.$

Determine as derivadas parciais de primeira ordem da função $f(x,y)=\dfrac{x-y}{x+y}$.

$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x} = \frac{2y}{(x + y)^{2}}\;\;\;\text{e}\;\;\; \frac{\partial f}{\partial y} = -\frac{2x}{(x + y)^{2}}$.

Calcule a integral dupla usando coordenadas polares: $\displaystyle\iint\limits_{R}\sqrt{x^{2}+y^{2}}\,dA$, onde $R$ é limitado pelo círculo $y=\sqrt{2x-x^{2}}$ e pela reta $y=x.$

$\displaystyle \frac{8}{9}(2 - \frac{5}{4}\sqrt{2}).$

Determine $\int_{0}^{5}f(x,y)\,dx$ e $\int_{0}^{1}f(x,y)\,dy$, sendo $f(x,y)=12x^{2}y^{3}.$

$\int_{0}^{5} 12x^{2}y^{3} \,dx = 500y^{3}$ e $\int_{0}^{1} 12x^{2}y^{3} \,dy = 3x^{2}.$

Calcule a integral de linha $\int_{C}{\bf F}\cdot d{\bf r}$, onde ${\bf F}(x,y)=e^{x-1}\,{\bf i}+xy\,{\bf j}$ e $C$ é dada por ${\bf r}(t)=t^{2}\,{\bf i}+t^{3}\,{\bf j},   0\leq t\leq 1.$

$\displaystyle \frac{11}{8} - \frac{1}{e}.$

Temos que o conjunto $D=\{(x,y)|\,x\neq 0\}$ consiste de todos os pontos, exceto para aqueles que encontram-se sobre o eixo y. Então:

1. $D$ é aberto.

2. Os pontos em lados opostos do eixo $y$ não podem ser conectados por um caminho que se encontra totalmente em $D$, então $D$ não é conexo.

3. $D$ não é simplesmente conexo, pois não é conexo.

Calcule $\displaystyle\int_{C}y\,dx+x^{2}\,dy$, onde $C$ é a curva cuja imagem é o segmento de extremidades $(1,1)$ e $(2,2)$, orientada de $(1,1)$ para $(2,2).$

$\dfrac{23}{6}.$

Usando coordenadas esféricas, determine o centroide e o momento de inércia em relação a um diâmetro de sua base do hemisfério sólido homogêneo de raio $a.$

Centróide: $\left(0,0,\dfrac{3a}{8} \right);$ momento de inércia: $\dfrac{4 K a^5 \pi}{15},$ onde $K$ é a densidade constante.

1.  $\dfrac{16}{15}.$

2.  $\dfrac{\pi}{2}.$

Considere a função $f(x,y) = x \ \phi\left(\frac{x}{y}\right)$, em que $\phi(u)$ é uma função derivável de uma variável. Mostre que os planos tangentes ao gráfico de $f$ passam pela origem.

Note que $x \frac{\partial f}{\partial x} (x,y) + y \frac{\partial f}{\partial y}(x,y) = f(x,y).$

Determine se ${\bf F}(x,y)=(e^{x}\,\sin y)\,{\bf i}+(e^{x}\,\cos y)\,{\bf j}.$ é ou não um campo vetorial conservativo. Se for, determine uma função $f$ tal que ${\bf F}=\nabla f.$

Sim. $f(x,y) = e^{x}\sin(y) + K.$

1.  $10.$

2.  $\dfrac{116}{3}.$

1. ...

2.  $\dfrac{2(e - 1)}{3}.$

$\dfrac{5\pi}{2}.$

1.  $\displaystyle\int_{0}^{1}\bigg[\displaystyle\int_{y}^{1}f(x,y)\,dx\bigg]dy$

2.  $\displaystyle\int_{0}^{1}\bigg[\int_{y}^{\sqrt{y}}f(x,y)\,dx\bigg]dy$

3.  $\displaystyle\int_{-1}^{1}\bigg[\int_{x^2}^{1}f(x,y)\,dy\bigg]dx$

Cresce: $(3,3)$; descresce: $(-3,-3).$

1. $1.$

2. $3a + 2x.$

3. $3.$

4. $2.$

Calcule $\displaystyle \lim_{(x,y) \to (0,0)} \dfrac{x}{\sqrt{x^2 + y^2}}$, caso exista.

Não existe.

1.  $2 - \dfrac{\pi}{2}.$

2.  $\dfrac{2(2\sqrt{2} - 1)}{9}.$

3.  $\dfrac{13}{6}.$

4.  $\dfrac{3 \ln(2)}{2}.$

Calcule a integral, efetuando uma mudança de variáveis apropriada. $\displaystyle\iint\limits_{R} x^2 \, dA$, em que $R$ é o conjunto de todos $(x,y)$ tais que $4x^2 + y^2 \leq 1$.

$\dfrac{\pi}{32}.$

1. Sim.

2. $\ln(10) + 2\ln(2).$

1.  $\dfrac{3}{\pi}.$

2.  $3\arctan(3) - 4\arctan(2) - \ln(2) + \dfrac{\ln(5)}{2} + \dfrac{\pi}{4}.$

Considerando um campo vetorial $\mathbf{F}$ que representa a velocidade em um fluido, a interpretação do rotacional é que partículas em um ponto $(x,y,z)$ de um fluido tendem a rodar em torno do eixo que aponta na direção de $\text{rot }\mathbf{F}(x,y,z)$. Se $\mathbf{F}$ representar a velocidade da corrente de um rio calmo, que corre somente da direção montante à jusante, podemos dizer que $\text{rot } \mathbf{F}$ é igual ou diferente de zero? Por quê? Para auxiliar na interpretação, faça um esboço do gráfico de $\mathbf{F}$ assumindo que ele não varia na direção $z$.

Igual a zero.

1. Note que $$\displaystyle\iint\limits_{D_{a}}e^{-(x^{2}+y^{2})}\,dA =\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{a} r e^{-r^2} dr d\theta = \pi (1 - e^{-a^2})$$ para cada $a.$

2. Note que $$\int\limits_{S_{a}}e^{-(x^{2}+y^{2})}\,dA = \int_{-a}^{a} \int_{-a}^{a} e^{-x^2} e^{-y^2} dxdy = \left(\int_{-a}^{a} e^{-x^2} dx\right) \left(\int_{-a}^{a} e^{-y^2} dy\right) $$ para cada $a.$

3. Troque $y$ por $x$ no item (b).

4. Note que fazendo a mudança de variável sugerida, $$\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^{2}/2} dx= \frac{1}{\sqrt{2}}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-t^{2}/2} dt = \sqrt{\pi}.$$

$-\dfrac{11}{6}.$

Lembre que $D_{n} f = \nabla f \cdot {\bf b}$ e $\mbox{div} (\nabla f) = \nabla^{2} f.$

$\dfrac{8\sqrt{2}\pi}{3}.$

Determine as derivadas parciais de primeira ordem da função $u=\sqrt{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdot \cdot \cdot +x_{n}^{2}}$.

$\displaystyle \frac{\partial u}{\partial x_{i}}= \frac{x_{i}}{\sqrt{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdot \cdot \cdot +x_{n}^{2}}}$ para todo $i = 1, \cdots, n$.

Não existe.

Esboce o gráfico da função $f(x,y)=e^{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}$. Em geral, se $g$ é uma função de uma variável, como saber o gráfico de $f(x,y)=g(\sqrt{x^{2}+y^{2}})$ a partir do gráfico de $g$?

O gráfico de $f(x,y) = g(\sqrt{x^{2} + y^{2}})$ pode ser obtido rotacionando o gráfico de $g$ no plano $xz$ ao redor do eixo $z.$

1. $\displaystyle \int^{2\pi}_{0}\int_{0}^{2} \sqrt{4b^2 u^4 \cos^{2}v + 4a^2 u^4 \sin^{2} v + a^2 b^2 u^2} dudv.$

2. $\displaystyle \int_{-2a}^{2a} \int^{b \sqrt{4 - \frac{x^2}{a^2}}}_{-b \sqrt{4 - \frac{x^2}{a^2}}} \sqrt{1 + \left(2\frac{x}{a^2}\right)^{2} + \left(2\frac{y}{b^2} \right)^{2}} dydx.$

1. $(x,y) = (1,3) + \lambda (-6,2),$ $\lambda \in \mathbb{R}.$
   
2. $\gamma(t) = (\sqrt{10} \cos(t), \sqrt{10} \sin(t)).$
   

$\displaystyle \frac{dz}{dt} (t) = -4\sin(t)\cos(t).$

1. $\text{grad }{(\text{div }{f})}$ não tem significado, pois $f$ é um campo escalar.

2. $\text{div }{(\text{div }{\mathbf{F}})}$ não tem significado pois $\text{div } \bf{F}$ é um campo escalar.

3. $\text{div }{(\text{rot }{(\text{grad }{f})})}$ é um campo escalar.

Prove a seguinte identidade \[ \iint\limits_\sigma\mathrm{rot\,}\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,dS = 0, \] supondo que \(\mathbf{F}\) e \(\sigma\) satisfaçam as hipóteses do Teorema da Divergência.

Determine se o campo vetorial $\mathbf{F}(x,y,z) = y\cos{xy}\mathbf{i} + x\cos{xy}\mathbf{j} - \sin{z}\mathbf{k}$ é conservativo ou não. Se for conservativo, determine uma função $f$ tal que $\mathbf{F} = \nabla{f}$.

$\mathbf{F}$ é conservativo. $f(x,y,z) = \sin(xy) + \cos(z).$

Esboce a região de integração e calcule a integral $\displaystyle\int_{0}^{3}\!\!\int_{0}^{2}(4-y^{2})\,dy dx$.

$16.$

Identifique a superfície que tem equação paramétrica ${\bf r}(u,v)=2\,\sin u\,{\bf i}+3\,\cos u\,{\bf j}+v\,{\bf k}$, $0\leq v\leq 2.$.

$\dfrac{x^2}{4} + \dfrac{y^{2}}{9} = 1,$ com $0\leq z \leq 2.$

Esboce a região cuja área é dada pela integral e calcule-a, sendo: $\displaystyle\int_{\pi}^{2\pi}  \int_{4}^{7}   r \, dr d\theta.$

$\displaystyle \frac{33\pi}{2};$ região de integração:

Calcule $\displaystyle\iint \limits_{S}{\bf u}\cdot {\bf n}\,dS$, sendo $B=\{(x,y,z)\in \mathbb{R}^{3}|\,x^{2}+y^{2}+z^{2}\leq 1$ e $z\geq x+y\}$ e ${\bf u}=-2xy\,{\bf i}+y^{2}\,{\bf j}+3z\,{\bf k}.$

1. Sim.

2. $0.$

Mostre que se \(f_x(x,y)=0\) e \(f_y(x,y)=0\) em toda uma região circular, então \(f(x,y)\) é constante nessa região.

 $0$.

1. $1.$

2. $\cos(1) - \cos(2).$

Determine o rotacional e o divergente do campo vetorial $\mathbf{F}(x,y,z) = \dfrac{1}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}(x\mathbf{i} + y\mathbf{j} + z\mathbf{k})$.

$\text{rot } \mathbf{F} = \bf{0}.$ $\text{div } \mathbf{F} = \dfrac{2}{\sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}}.$

 $\displaystyle D_{\bf{\left(\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}} \right)}}f(3,3) = 0.$

Utilize a transformação dada para calcular a integral. $\displaystyle\iint\limits_{R} x^2 \, dA$, em que $R$ é a região limitada pela elipse $9x^2 + 4y^2 = 36$; $x = 2u$, $y = 3v$.

$6\pi.$

1. ...

2.  $\displaystyle \int_{0}^{1} \int_{x}^{2 - x} x^{2} + y^{2}\;dy\; dx$

3.  $\dfrac{4}{3}.$

$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x} = -2xe^{-x^{2} - y^{2}}\;\;\;\;\;\;\text{e}\;\;\;\;\; \frac{\partial f}{\partial y} = -2ye^{-x^{2} - y^{2}}.$

Dentre as coordenadas cilíndricas ou esféricas, utilize a que lhe parecer mais apropriada para determinar o volume e o centroide do sólido $E$ que está acima do cone $z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ e abaixo da esfera $x^{2}+y^{2}+z^{2}=1.$

Volume: $\dfrac{\pi(2 - \sqrt{2})}{3};$ centróide: $\left(0,0, \dfrac{3}{8(2 - \sqrt{2})} \right).$

$\pi$.

Calcule $\displaystyle\int_{C}\dfrac{-y}{x^{2}+y^{2}}\,dx+\dfrac{x}{x^{2}+y^{2}}\,dy$ onde $C:[0,1]\rightarrow \mathbb{R}^{2}$ é uma curva de classe $C^{1}$ por partes, com imagem contida no semiplano $y>0$, tal que $C(0)=(1,1)$ e $C(1)=(-2,3).$

$\pi.$

1. $\displaystyle w(u,v) = u^{2} - v^{2} + 2u^{2}v,$$\displaystyle \frac{\partial w}{\partial u}(u,v) = 2u + 4uv$ e $\displaystyle \frac{\partial w}{\partial v}(u,v) = -2v + 2u^{2}.$
   
2. $\displaystyle \frac{\partial w}{\partial u}(-2,0) = 3$ e $\displaystyle \frac{\partial w}{\partial v}(-2,0) = -\frac{3}{2}.$
   

Passe para coordenadas polares e calcule: $\displaystyle\iint\limits_{R}xy\,dx dy$, onde $R$ é o círculo $x^{2}+y^{2}-2y\leq 0$, $x\geq 0.$

$\displaystyle \frac{2}{3}.$

Determine a área da superfície dada pela parte de baixo da esfera $x^{2}+y^{2}+z^{2}=2$ cortada pelo cone $z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}.$

Sejam

$$\left \{\begin{array}{cc}x=r\,\sin \phi\,\cos \theta\\y=r\,\sin \phi\,\sin \theta\\z=r\,\cos \phi\\\end{array}\right. \Rightarrow r=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}=\sqrt{2},\, \mbox{na\,esfera}.$$

Temos que

$$x^{2}+y^{2}+z^{2}=2    \mbox{e}\,\,\,\, z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}\Rightarrow z^{2}+z^{2}=2\Rightarrow z^{2}=1\Rightarrow z=1\,(\mbox{pois}\, z\geq 0).$$

Logo, $\phi=\frac{\pi}{4}.$ Para a parte inferior da esfera cortado pelo cone, temos que $\phi=\pi.$

Então,

$$r(\phi,\theta)=(\sqrt{2}\,\sin \phi,\,\cos\theta)\,{\bf i}+(\sqrt{2}\,\sin \phi\,\sin \theta)\,{\bf j}+(\sqrt{2}\,\cos \phi)\,{\bf k},$$

$$\frac{\pi}{4}\leq \phi\leq \pi\,\,\,\, \mbox{e}\,\,\,\, 0\leq \theta \leq 2\pi.$$

Isso implica que

$$r_{\phi}(\phi,\theta)=(\sqrt{2}\,\cos \phi,\,\cos\theta)\,{\bf i}+(\sqrt{2}\,\cos \phi\,\sin \theta)\,{\bf j}-(\sqrt{2}\,\sin \phi)\,{\bf k}$$

e

$$r_{\theta}(\phi,\theta)=(-\sqrt{2}\,\sin \phi,\,\sin\theta)\,{\bf i}+(\sqrt{2}\,\sin \phi\,\cos \theta)\,{\bf j}+0\,{\bf k}$$

Logo,

$$\begin{array}{rcl}r_{\phi}\times r_{\theta}&=&\left|\begin{array}{ccc}{\bf i}&{\bf j}&{\bf k}\\\sqrt{2}\,\cos \phi\,\cos \theta & \sqrt{2}\,\cos \phi\,\sin \theta& -\sqrt{2}\,\sin \phi\\-\sqrt{2}\,\sin \phi\,\sin \theta & \sqrt{2}\,\sin \phi\,\cos \theta & 0\end{array}\right|\\&=&(2\,\sin^{2}\phi\,\cos \theta)\,{\bf i}+(2\sin^{2}\phi\,\sin \theta)\,{\bf j}+(2\,\sin \phi \,\cos \phi)\,{\bf k}.\\\end{array}$$

Isso resulta que

$$\begin{array}{rcl}|r_{\phi}\times r_{\theta}|&=&\sqrt{4\sin^{2}\phi\,\cos^{2}\theta+4\,\sin^{4}\,\sin^{2}\theta+4\sin^{2}\phi\,\cos^{2}\phi}\\&=&\sqrt{4\,\sin^{2}\phi}=2|\sin\phi|=2\sin \phi   \bigg(\mbox{pois},\, \frac{\pi}{4}\leq \phi \leq \pi\bigg).\end{array}$$

Assim,

$$A=\iint\limits_{ D}|r_{\phi}\times r_{\theta}|\,dA=\int_{\frac{\pi}{4}}^{\pi}\int_{0}^{2\pi}2\sin \phi\, d\theta d \phi=2\int_{\frac{\pi}{4}}^{\pi}\sin \phi\,d\phi \cdot \int_{0}^{2\pi}d\theta$$

$$=2\cdot (-\cos \phi)\bigg|_{\frac{\pi}{4}}^{\pi}\cdot \theta\bigg|_{0}^{2\pi}=2\cdot \bigg(1-\frac{\sqrt{2}}{2}\bigg)\cdot 2\pi=4\pi\bigg(1-\frac{\sqrt{2}}{2}\bigg)=\pi(4-2\sqrt{2})$$

Calcule a integral de linha $\displaystyle\int_{C}{\bf F}\cdot d{\bf r}$, onde ${\bf F}(x,y,z)=(yz,xz,xy+2y)$ e $C$ é o segmento de reta que liga o ponto $(1,0,1)$ ao ponto $(-2,2,2).$

$-6.$

Ponto de máximo: $\displaystyle \left( 2,0 \right)$; pontos de mínimo: $\displaystyle \left( \frac{2}{3}, \frac{2\sqrt{2}}{3} \right)$ e $\displaystyle \left( \frac{2}{3}, \frac{-2\sqrt{2}}{3} \right)$.

Utilize a transformação dada para calcular a integral. $\displaystyle\iint\limits_{R} xy \, dA$, em que $R$ é a região do primeiro quadrante limitada pelas retas $y = x$ e $y = 3x$ e pelas hipérboles $xy = 1$, $xy = 3$; $x = \dfrac{u}{v}$, $y = v$.

$2 \ln 3.$

Quatro números positivos, cada um menor que $50$, são arredondados até a primeira casa decimal e depois multiplicados. Utilize os diferenciais para estimar o máximo erro possível no cálculo do produto que pode resultar do arredondamento.

Se $x,y,z,w$ são os quatro números e $p(x,y,z,w) = xyzw,$ temos $\Delta p \leq 25000.$

$4.$

1.  $\dfrac{8}{3e}.$

2.  $\dfrac{16\pi}{3}.$

Se $u=f(x,y)$, onde $x=e^{s}\cos{t}$ e $y=e^{s}\sin{t}$, mostre que
$$\bigg(\dfrac{\partial u}{\partial x}\bigg)^{2}+ \bigg(\dfrac{\partial u}{\partial y}\bigg)^{2}=
e^{-2s}\bigg[ \bigg(\dfrac{\partial u}{\partial s}\bigg)^{2}+\bigg(\dfrac{\partial u}{\partial t}\bigg)^{2}\bigg].$$

Note que $\displaystyle \frac{\partial u}{\partial s} = e^{s} \cos(t) \frac{\partial u}{\partial x}  + e^{s} \sin(t) \frac{\partial u}{\partial y} $e
$\displaystyle \frac{\partial u}{\partial t} = -e^{s} \sin(t) \frac{\partial u}{\partial x}  + e^{s} \cos(t) \frac{\partial u}{\partial y} .$

Valor máximo: $\dfrac{9}{4};$ valor mínimo: $-\dfrac{1}{4}.$

Determine a curva de nível de $f(x,y) = x^2 + 16y^2$ que seja tangente à curva $xy = 1$, $x>0$ e $y>0$. Qual o ponto de tangência?

$x^{2} + 16 y^{2} = 8;$ o ponto de tangência é $\displaystyle \left( 2, \frac{1}{2} \right).$

Existe uma direção $\bf{u}$ na qual a taxa de variação de $f(x,y) = x^2 - 3xy + 4y^2$ em $P = (1,2)$ é igual a 14? Justifique sua resposta.

 Não, já que $|\nabla f(1,2)| = \sqrt{185} < 14.$

Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função $f(x,y)=\sqrt[3]{x^{2}+2xy+4y^{2}-6x-12y}$.

Ponto de mínimo: $\displaystyle \left( 2,1\right).$

1. $f(x,y,z) = xy^{2} \cos(z);$

2. $0.$

1.  $\dfrac{1}{6}.$

2.  $\dfrac{\pi(1 - \sqrt{2})}{8} + \dfrac{1}{3}.$

Calcule a integral de linha, onde $C$ é a curva dada.
$\displaystyle\int_{C}xy^{3}\,ds$,   $C:\,x=4\,\sin t,\, y=4\,\cos t,\, z=3t,\, 0\leq t\leq \pi/2.$

$320.$

Se \(x=x(u,v,w)\), \(y=y(u,v,w)\) e \(z=z(u,v,w)\) for uma transformação injetora, então \(u=u(x,y,z)\), \(v=v(x,y,z)\) e \(w=w(x,y,z)\). Supondo a diferenciabilidade das funções, mostre que \[\dfrac{\partial(x,y,z)}{\partial(u,v,w)}\cdot\dfrac{\partial(u,v,w)}{\partial(x,y,z)} = 1.\] Use este resultado para mostrar que o volume \(V\) do paralelepípedo oblíquo limitado pelos planos \(x+y+2z=\pm 3\), \(x-2y+z=\pm 2\), \(4x+y+z=\pm 6\) é dado por \(V=16\).

Valor máximo: $6;$ valor mínimo: $-3.$

Esboce o campo vetorial ${\bf F}(x,y)=(x-y)\textbf{i} + x \textbf{j}$, desenhando um diagrama.

Note que $\oint_{C} f(\nabla{g}) \cdot \mathbf{n} \, ds = \iint\limits_{ D} \text{div }(f \nabla g) \, dA = \iint\limits_{ D} f\text{div }(\nabla g) + \nabla{f} \cdot \nabla{g} \, dA.$

Calcule todas as derivadas parciais de $2^{\underline{a}}$ ordem de $f(x,y)=x^{3}y^{2}$.

$\displaystyle \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}= 2xy^{2},\;\;\;\;\; \frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}= 2x^{3}\;\;\;\;\;\text{e}\;\;\;\;\; \frac{\partial^{2} f}{\partial x\partial y}= \frac{\partial^{2} f}{\partial y\partial x}= 6x^{2}y.$

$0.$

Mostre que a curva com equações paramétricas $x = t^2$, $y = 1 - 3t$, $z = 1 + t^3$ passa pelos pontos $(1,4,0)$ e $(9,-8,28)$, mas não passa pelo ponto $(4,7,-6).$

$y - 2 = -2(x - 1).$

$2.$

 $\nabla g(1,2) = (1,2) = (-2,4);$ reta tangente à curva de nível $g(x,y) = 1$ em $(1,2)$: $-x + 2y = 3.$

Esboce o campo vetorial $\textbf{F}= y\textbf{i} + \dfrac{1}{2}\textbf{j}$, desenhando um diagrama.

1.  $\displaystyle \left(0,0\right).$

2.  $\displaystyle \left(\frac{5}{7},\frac{9}{7}\right).$

3.  $\displaystyle \left(0, \frac{45}{14\pi} \right).$

Mostre que cada a equação a seguir define implicitamente pelo menos uma função diferenciável $z=z(x,y)$. 
Expresse $\partial z /\partial x$ e $\partial z/\partial y$ em termos de $x$, $y$ e $z.$
$e^{x+y+z}+xyz=1$

 $\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x} = - \frac{e^{x + y + z} + yz}{e^{x + y + z} + xy}$ e $\displaystyle \frac{\partial z}{\partial y} = - \frac{e^{x + y + z} + xz}{e^{x + y + z} + xy}.$

1. $D_{f} = \left\lbrace (x,y);\; (x,y) \neq (0,y) \right\rbrace$.

2. $Im(f) =\mathbb{R}.$

3. As curvas de nível são as parábolas $y = C x^{2}$ sem a origem se $C \neq 0$ e o eixo $x$ se $C \neq 0.$

a) $f_{y},$ b) $f_{x},$ c) $f$.

1.  $D = \left\lbrace (x,y); 1 \leq x^{2} + y^{2} \leq 2, x \geq 0, y \geq 0 \right\rbrace.$

2.  $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \int_{1}^{2} re^{r^2}  dr d\theta.$

3.  $\dfrac{\pi}{4}(e^4 - 1).$

Determine se o campo vetorial $\mathbf{F}(x,y,z) = y^2z^3\mathbf{i} + 2xyz^3\mathbf{j} + 3xy^2z^2\mathbf{k}$ é conservativo ou não. Se for conservativo, determine uma função $f$ tal que $\mathbf{F} = \nabla{f}$.

$\mathbf{F}$ é conservativo. $f(x,y,z) = xy^2 z^3.$

1.  $\dfrac{2(2\sqrt{2} - 1)}{9}.$

2.  $\dfrac{2}{3} \sin^{2}\left(\dfrac{1}{2} \right).$

Use o Teorema do Divergente para calcular o fluxo de ${\bf F}$ através de $S,$ onde ${\bf F}(x,y,z)=3xy^{2}\,{\bf i}+xe^{z}\,{\bf j}+z^{3}\,{\bf k}$, $S$ é a superfície do sólido delimitado pelo cilindro $y^{2}+z^{2}=1$ e pelos planos $x=-1$ e $x=2.$

Mostre que se \(f\), \(f_x\) e \(f_y\) são contínuas numa região circular contendo os pontos \(A=(x_0,y_0)\) e \(B=(x_1,y_1)\), então existe um ponto \((x^\ast,y^\ast)\) no segmento que une \(A\) e \(B\) tal que \[ f(x_1,y_1)-f(x_0,y_0) = f_x(x^\ast,y^\ast)(x_1-x_0)+f_y(x^\ast,y^\ast)(y_1-y_0). \] Este resultado é a versão bidimensional do Teorema do Valor Médio. [Sugestão: expresse o segmento de reta  unindo \(A\) e \(B\) na forma paramétrica e use o Teorema do Valor Médio para funções de uma variável.]

1.  $60.$

2.  $3.$

Determine o maior conjunto no qual a função $f(x,y) = \begin{cases}\dfrac{xy}{x^2 + xy + y^2}, & \quad \text{se } (x,y) \neq (0,0), \\0, & \quad \text{se } (x,y) = (0,0)\end{cases}$ é contínua.

$\left\lbrace (x,y);\; (x,y) \neq (0,0) \right\rbrace.$

Dica: Note que $\displaystyle\iiint\limits_{E}{\mbox{div} {\bf F}}\, dV = \iiint \limits_{E}{3}\,dV$.

Determine as derivadas parciais de primeira ordem da função $f(r,s)=r\ln(r^{2}+s^{2})$.

Sendo $f(r,s)=r\cdot \ln(r^{2}+s^{2})$, temos que as derivadas parciais em relação a $r$ e $s$, respectivamente, são:

$\bullet f_{r}(r,s)=1\cdot \ln(r^{2}+s^{2})+r\cdot \dfrac{1}{r^{2}+s^{2}}\cdot 2r=\ln(r^{2}+s^{2})+\dfrac{2r^{2}}{r^{2}+s^{2}}.$

$\bullet f_{s}(r,s)=0\cdot \ln(r^{2}+s^{2})+r\cdot \dfrac{1}{r^{2}+s^{2}}\cdot 2s=\dfrac{2rs}{r^{2}+s^{2}}.$

$1.$

Use uma integral dupla para calcular a área da região \(R\) entre a parábola \(y=\dfrac{1}{2}x^2\) e a reta \(y = 2x\).

Denotando por \(A(R)\) a área de \(R\), teremos que \begin{align*} A(R) & = \iint_R\,dA = \int_0^4\int_{x^2/2}^{2x}\,dydx = \int_0^4\left[y\right]_{y=x^2/2}^{2x}\,dx \\  & = \int_0^4\left(2x-\dfrac{1}{2}x^2\right)\,dx = \left[x^2-\dfrac{x^3}{6}\right]_0^4= \dfrac{16}{3}. \end{align*} De outra forma, fixando primeiro a variável \(y\), teríamos \begin{align*} A(R) & = \iint_R\,dA = \int_0^8\int_{y/2}^{\sqrt{2y}}\,dxdy = \int_0^8\left[x\right]_{x=y/2}^{\sqrt{2y}}\,dy \\  & = \int_0^8\left(2y-\dfrac{1}{2}y\right)\,dy = \left[\dfrac{2\sqrt{2}}{3}y^{3/2}-\dfrac{y^2}{4}\right]_0^8= \dfrac{16}{3}. \end{align*}

 $\displaystyle D_{\bf{(3,4)}}f(1,1) = -\frac{2}{5}.$ 

$k = 0.$

Esboce o gráfico da função $f(x,y)=10-4x-5y$.

$z = 10 - 4x - 5y.$

Calcule a massa do cilindro $x^{2}+y^{2}\leq 4$ e $0\leq z \leq 2$, sabendo que a densidade no ponto $(x,y,z)$ é o dobro da distância do ponto ao plano $z=0.$

$16\pi.$

Determine o volume do sólido que está abaixo do paraboloide elíptico $x^{2}/4+y^{2}/9+z=1$ e acima do retângulo $R=[-1,1]\times [-2,2].$

$\dfrac{166}{27}.$

$\displaystyle 2\arctan(2) + \arctan\left(\frac{1}{2} \right) - \arctan\left(\frac{1}{3} \right).$

Determine se os pontos $P(7,10,4)$ e $Q(5,22,5)$ estão na superfície ${\bf r}(u,v)=(2u+3v,1+5u-v,2+u+v)$.

$P$ não está na superfície; $Q$ está na superfície.

O da esquerda corresponde ao cone e o da direita ao paraboloide.

Note que $\displaystyle\iint\limits_{S}(f\nabla g)\cdot {\bf n}\,dS=\displaystyle\iiint\limits_{E} \mbox{div} (f\nabla g)\,dV.$

$\begin{aligned}[t]\frac{\partial z }{\partial x} &= \frac{e^{x}}{e^{x} + e^{y}},\;\;\; \frac{\partial z }{\partial y} = \frac{e^{y}}{e^{x} + e^{y}},\\\frac{\partial^{2} z }{\partial x^{2}} &= \frac{\partial^{2} z }{\partial y^{2}} = \frac{e^{x + y}}{(e^{x} + e^{y})^{2}},\;\;\; \frac{\partial^{2} z }{\partial x \partial y} = -\frac{e^{x + y}}{(e^{x} + e^{y})^{2}}.\end{aligned}$

Identifique e faça um esboço da imagem da superfície parametrizada dada por ${\bf r}(u,v)=(u,v,1-u-v)$, $u\geq 0$, $v\geq 0$ e $u+v\leq 1.$

Região triangular do plano $x + y + z = 1:$ $0 \leq x \leq 1, $ $0 \leq y \leq 1,$ $0 \leq z \leq 1.$

1. $\text{grad }{f}$ é um campo gradiente.

2. $\text{rot }{(\text{grad }{f})}$ é um campo vetorial.

3. $\text{grad }{(\text{div }{\mathbf{F}})}$ é um campo vetorial.

$\displaystyle \frac{17}{3}.$

Sabemos que $|{\bf r}(t)|^{2}={\bf r}(t)\cdot {\bf r}(t)$ ou $|{\bf r}(t)|= ({\bf r}(t)\cdot {\bf r}(t))^{1/2}.$ Então

\begin{eqnarray*}
\frac{d}{dt}|{\bf r}(t)|&=&\frac{d}{dt}[({\bf r}(t)\cdot {\bf r}(t))^{1/2}]\\
&=&\frac{1}{2}[{\bf r}(t)\cdot {\bf r}(t)]^{-1/2}[{\bf r}'(t)\cdot {\bf r}(t)+{\bf r}(t)\cdot {\bf r}'(t)]\\
&=& \frac{1}{2}[{\bf r}(t)\cdot {\bf r}(t)]^{-1/2}[2\,{\bf r}(t)\cdot {\bf r}'(t)]\\
&=&\frac{1}{2}\frac{1}{[{\bf r}(t)\cdot {\bf r}(t)]}[2\,{\bf r}(t)\cdot {\bf r}'(t)]\\
&=&\frac{1}{|{\bf r}(t)|}\,{\bf r}(t)\cdot {\bf r}'(t).
\end{eqnarray*}

$24.$

Se $z=f(x,y)$ com $x=u+v$ e $y=u-v$, demonstre que 
$$\frac{\partial z}{\partial u}+\frac{\partial z}{\partial v}=2 \frac{\partial f}{\partial x}.$$

Note que $\displaystyle \frac{\partial z}{\partial u} = \frac{\partial f}{\partial x} + \frac{\partial f}{\partial y}$ e $\displaystyle \frac{\partial z}{\partial v} = \frac{\partial f}{\partial x} - \frac{\partial f}{\partial y}.$

1.  $384\pi$.

2. $0$.

3. $\dfrac{65\pi}{4}$.

$\dfrac{1}{2A}\oint_{C}x^2 \, dy = \dfrac{1}{2A} \iint_{D} 2x \, dA = \bar{x}$ e $-\dfrac{1}{2A}\oint_{C}y^2 \, dx = -\dfrac{1}{2A}\iint_{D} (-2y) \, dA = \bar{y}$

1.  $\dfrac{7\pi}{2}.$

2.  $0.$

Explique por que a função é diferenciável no ponto dado. $f(x,y) = x\sqrt{y}, \quad (1,4)$.

As derivadas $f_{x}$ e $f_{y}$ de cada $f$ existem e são contínuas no ponto dado, logo $f$ é diferenciável.

1.  $2 \sin(4).$

2.  $3e - 6.$

3.  $4.$

Determine o jacobiano da transformação dada por: $x = uv, \quad y = vw, \quad z = uw$.

$2uvw.$

1. $19.$

2. $35.$

3. $27.$

Calcule utilizando coordenadas esféricas. $\displaystyle\iiint\limits_{B}x\,dxdydz$, onde $B$ é o conjunto $\dfrac{x^{2}}{4}+\dfrac{y^{2}}{9}+z^{2}\leq 1$ e $x\geq 0.$

$3\pi.$

Usando coordenadas esféricas, determine o volume e o centroide do sólido que está acima do cone $\phi=\pi/3$ e abaixo da esfera $\rho=4\cos{\phi}.$

Volume: $10\pi;$ centróide: $(0,0,2,1).$

Use o Teorema de Stokes para calcular $\displaystyle\int_C {\bf F} \cdot d{\bf r}$, com ${\bf F} (x,y,z) = yz{\bf i} + 2xz{ \bf j} + e^{xy} {\bf k} $ e $C$ é a circunferência $x^2+y^2 = 16$, $z=5$, orientada no sentido anti-horário quando vista de cima.

Seja $\mathbf{r} = x\mathbf{i} + y\mathbf{j} + z\mathbf{k}$ e $r=|\mathbf{r}|$. Verifique a identidade $\nabla \cdot (r\mathbf{r}) = 4r$.

$\nabla \cdot (r\mathbf{r}) = \left( \dfrac{x^{2}}{\sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}} + \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}} \right) + \left( \dfrac{x^{2}}{\sqrt{y^{2} + y^{2} + z^{2}}} + \sqrt{y^{2} + y^{2} + z^{2}} \right)\\ + \left( \dfrac{z^{2}}{\sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}} + \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}} \right)$ (Note que: $r = \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}.$)

Mostre que $f(x,y) = \ln{(x^2+y^2)}$ satisfaz a equação de Laplace $\nabla^2f = 0$, exceto no ponto $(0,0).$

Note que se $(x,y) \neq (0,0),$  $\nabla^2f = \dfrac{\partial}{\partial x} \left[ \dfrac{2x}{x^{2} + y^{2}} \right] + \dfrac{\partial}{\partial y} \left[ \dfrac{2y}{x^{2} + y^{2}} \right].$

Passe para coordenadas polares e calcule: $\displaystyle\iint\limits_{D}e^{-x^{2}-y^{2}}\,dA$, onde $D$ é a região delimitada pelo semicírculo $x=\sqrt{4-y^{2}}$ e o eixo $y.$

$\displaystyle \frac{\pi}{2} (1 - e^{-4}).$

Calcule a área da superfície dada por: ${\bf r}(u,v)=(\cos u,v,\sin u)$ e $u^{2}+4v^{2}\leq 1.$. (Sugerimos ao leitor desenhar a imagem da superfície.)

$\dfrac{\pi}{2}.$

Determine o maior conjunto de pontos em que a função $f(x,y) = \begin{cases}\dfrac{xy^3}{x^2 + y^2}, & \quad \text{se } (x,y) \neq (0,0),\\0, & \quad \text{se } (x,y) = 0\end{cases}$ é diferenciável. Justifique.

$\mathbb{R}^{2}$.

Verifique que a função $u=1/\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}$ é uma solução da equação de Laplace tridimensional $u_{xx}+u_{yy}+u_{zz}=0.$

$\displaystyle u_{xx} = \frac{2x^{2} - y^{2} - z^{2}}{(x^{2} + y^{2} + z^{2})^{5/2}},\;\;\; u_{yy} = \frac{2y^{2} - x^{2} - z^{2}}{(x^{2} + y^{2} + z^{2})^{5/2}}\;\;\;\text{e}\;\;\;u_{zz} = \frac{2z^{2} - x^{2} - y^{2}}{(x^{2} + y^{2} + z^{2})^{5/2}}$.

Utilize coordenadas polares para determinar o volume do sólido dado: uma esfera de raio $a.$

$\displaystyle \frac{4\pi}{3}a^3.$

1. Gráfico de $f$:
   
   
2. $\displaystyle f_{x} = \frac{x^{4}y + 4x^{2}y^{3} - y^{5}}{(x^{2} + y^{2})^{2}}\;\;\text{e}\;\;f_{y} = \frac{x^{5} - 4x^{3}y^{2} - xy^{4} }{(x^{2} + y^{2})^{2}}$ quando $(x,y)\neq (0,0).$
3. $f_{x}(0,0) = f_{y}(0,0) = 0$.
4. Use $\displaystyle f_{xy}(0,0)= \lim_{h \to 0} \frac{f_{x}(0,h) - f_{x}(0,0)}{h}\;\;\text{e}\;\;f_{yx}(0,0)= \lim_{h \to 0} \frac{f_{y}(h,0) - f_{y}(0,0)}{h}$.
5. Para $(x,y) \neq (0,0),$ $\displaystyle f_{xy} = {x^{6} + 9x^{4}y^{2} - 9x^{2}y^{4} - y^{6}}{(x^{2} + y^{2})^{3}}.$ Como $f_{xy}$ não é contínua na origem, não há uma contradição com o Teorema de Clairaut. Os gráficos de $f_{xy}$ e $f_{yx}$ são idênticos, exceto na origem:
   
   
   
   

1. Dica: tome a parametrização do círculo $C$ dada por $x = cos(t)$ e $y = \sin(t),$ com $t \in [0,2\pi]$ e considere um campo constante arbitrário ${\bf F} = (a,b).$ Segue que $W = \int_{C} F\cdot d\textbf{r} = 0.$

2. Sim. Realize o mesmo cálculo com ${\bf F}(x,y) = (k x, ky).$

Dada a expressão $g(x,y)=2f(x,y)$, escreva como o gráfico de $g$ é obtido a partir do gráfico de $f.$

Gráfico de $f$ esticado verticalmente ao dobro.

Marque o ponto cujas coordenadas esféricas é $(1,0,0)$ e encontre as coordenadas retangulares do ponto.

$(0,0,1).$

Calcule a integral dupla usando coordenadas polares: $\displaystyle\iint\limits_{R}\sqrt{x^{2}+y^{2}}\,dA$, onde $R$ é limitado pelo triângulo de vértices $(0,0)$, $(3,0)$ e $(3,3).$

$\displaystyle \frac{9}{2} (\sqrt{2} + \ln(\sqrt{2} + 1)).$

Mostre que a curva com equações paramétricas $x = \sin{t}, \ y = \cos{t}, \ z = \sin^2t$ é a curva de intersecção das superfícies $z = x^2$ e $x^2 + y^2 = 1$. Use esse fato para esboçar a curva.

$\dfrac{2\pi a^4}{3}.$

1. 

2. $\dfrac{1 - \cos(1)}{12}$.

Encontre a área da superfície $z=1+3x+3y^{2}$ que está acima do triângulo com vértices $(0,0)$, $(0,1)$ e $(2,1).$

$\dfrac{1}{54}\left(46\sqrt{46} - 10\sqrt{10} \right).$

Determine a aproximação linear da função $f(x,y,z) = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$ em $(3,2,6)$ e use-a para aproximar o número $\sqrt{(3,02)^2 + (1,97)^2 + (5,99)^2}$.

Vamos determinar a aproximação  linear da função $f$ em $(3,2,6)$. Primeiramente, calculamos as derivadas parcias $f_{x}$, $f_{y}$ e $f_{z}$, para todo $(x,y,z).$
$\bullet f_{x}(x,y,z)=\dfrac{1}{2}(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{-1/2}\cdot 2x=\dfrac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}.$
$\bullet f_{y}(x,y,z)=\dfrac{1}{2}(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{-1/2}\cdot 2y=\dfrac{y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}.$
$\bullet f_{z}(x,y,z)=\dfrac{1}{2}(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{-1/2}\cdot 2z=\dfrac{z}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}.$
Agora, calculamos as derivadas parciais de $f$ no ponto $(3,2,6)$, então
$\bullet f_{x}(3,2,6)=\dfrac{3}{\sqrt{3^{2}+2^{2}+6^{2}}}=\dfrac{3}{7}.$
$\bullet f_{x}(3,2,6)=\dfrac{2}{\sqrt{3^{2}+2^{2}+6^{2}}}=\dfrac{2}{7}.$
$\bullet f_{x}(3,2,6)=\dfrac{6}{\sqrt{3^{2}+2^{2}+6^{2}}}=\dfrac{6}{7}.$
Assim, a aproximação linear da função $f$ em $(3,2,6)$ é
\begin{array}{rcl}f(x,y,z)&\approx & f(3,2,6)+f_{x}(3,2,6)(x-3)+f_{y}(3,2,6)(y-2)+f_{z}(3,2,6)(z-6)\\&=&7+\dfrac{3}{7}(x-3)+\frac{2}{7}(y-2)+\frac{6}{7}(z-6)\\&=&\dfrac{3}{7}x+\frac{2}{7}y+\frac{6}{7}z+\bigg(7-\dfrac{9}{7}-\dfrac{4}{7}-\dfrac{36}{7}\bigg)\\&=&\dfrac{3}{7}x+\frac{2}{7}y+\frac{6}{7}z.\end{array}
Agora, vamos aproximar o número $\sqrt{(3,02)^2 + (1,97)^2 + (5,99)^2}.$ Assim,
\begin{array}{rcl}\sqrt{(3,02)^2 + (1,97)^2 + (5,99)^2}&=&f(3,02\,,\,1,97\,,\,5,99)\\&\approx& \frac{3}{7}(3,02)+\frac{2}{7}(1,97)+\frac{6}{7}(5,99)\\&\approx& 6,9914.\end{array}

Faça o mapa de contorno da função $f(x,y)=(y-2x)^{2}$  mostrando várias de suas curvas de nível.

$y=2x\pm \sqrt{C}, C \geq0.$

Calcule $\int_{C}\mathbf{F} \cdot \mathbf{n} \, ds$ ($\mathbf{n}$ é unitário), onde $\mathbf{F}(x,y) = x\mathbf{i} + y\mathbf{j}$, $C$ dada por $\mathbf{r}(t) = (t,t^2)$, $0 \leq t \leq 1$ e $\mathbf{n}$ a normal com componente $y < 0$.

$\dfrac{1}{3}$.

Esboce o gráfico da função $f(x,y)=g(\sqrt{x^{2}+y^{2}})$. Em geral, se $g$ é uma função de uma variável, como saber o gráfico de $f(x,y)=g(\sqrt{x^{2}+y^{2}})$ a partir do gráfico de $g$?

O gráfico de $f(x,y) = g(\sqrt{x^{2} + y^{2}})$ pode ser obtido rotacionando o gráfico de $g$ no plano $xz$ ao redor do eixo $z.$

Valor máximo: $1;$ valor mínimo: $\dfrac{1}{3}.$

Verifique que $\dfrac{\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}+\dfrac{\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}=0$, onde $f(x,y)=\ln(x^{2}+y^{2}).$

$\displaystyle \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}= \frac{2 y^{2} - 2 x^{2}}{(x^{2} + y^{2})^{2}}\;\;\;\;\;\text{e}\;\;\;\;\; \frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}= \frac{2 x^{2} - 2 y^{2}}{(x^{2} + y^{2})^{2}}.$

$z = y$.

$2\pi^{2}.$

$\displaystyle \frac{dz}{dt} = 4(2xy + y^{2} )^{3} - 3 (x^{2} + 2xy)t^{2}.$

Note que $\textbf{B}$ é tangente a qualquer círculo que está no plano perpendicular ao fio. Logo, $\textbf{B} = |\textbf{B}| \textbf{T},$ onde $\textbf{T}$ é a tangente unitária ao círculo $\textbf{C}$ parametrizado por $x = r \cos(\theta),$ $y = r \sin(\theta).$ Daí,
$\textbf{B} = |\textbf{B}| \left(-\sin(\theta),\cos(\theta) \right)$ e
$$\int_{C} \textbf{B} \cdot d\textbf{r} = \int_{0}^{2\pi} |\textbf{B}| \left( -\sin(\theta), \cos(\theta)\right)\cdot (\left(-r \sin(\theta), r\cos(\theta) \right)  d\theta = 2\pi r |\textbf{B}|.$$

1. $D_{f} = \mathbb{R}^{2}$ e $Im(f) = \left\lbrace z \in \mathbb{R};\; z > 0 \right\rbrace.$

2. $xy = C.$

Encontre uma equação para a curva de nível da função $f(x,y)=\sqrt{x^{2}-1}$ que passa pelo ponto $(1,0)$.

$x = 1$ ou $x = -1.$

Encontre um campo de vetores $\textbf{G} = P(x,y)\textbf{i} + Q(x,y)\textbf{j}$ no plano $xy$ com a propriedade de que, em qualquer ponto $(a,b) \neq (0,0)$, $\textbf{G}$ é um vetor de magnitude $\sqrt{x^2+y^2}$ tangente à circunferência $x^2+y^2=a^2+b^2$ e aponta no sentido horário. (O campo é indefinido em (0,0).)

$\displaystyle \textbf{G} = \frac{y \textbf{i} - x \textbf{j}}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}.$

Encontre o volume do sólido delimitado pelo parabolóide $z=2+x^{2}+(y-2)^{2}$ e pelos planos $z=1$, $x=1$, $x=-1$, $y=0$ e $y=4.$

Observe que o sólido $E$ está abaixo da superfície $z = 2+x^2+(y-2)^2$ e acima do retângulo $[-1,1]\times [0,4]$ em $z=1$ (ver figura abaixo). 

Algebricamente, $$E = \{(x,y,z) \in\mathbb{R}^3: -1 \leq x \leq 1, 0 \leq y \leq 4 \mbox{ e } 1 \leq z \leq 2 + x^2 + (y-2)^2\}.$$ Logo, o volume é dado por $$V = \iint\limits_{R}(2+x^2+(y-2)^2)\,dA - \iint\limits_{ R}\,dA,$$ em que $R = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2; -1 \leq x \leq 1 \mbox{ e } 0 \leq y \leq 4 \}$. Assim, \begin{eqnarray*} V & = & \displaystyle\int_{-1}^{1}\int_{0}^{4}(x^2+y^2-4y+5)\,dy dx \\   & = & \displaystyle\int_{-1}^{1} \left.\left(x^2y+\frac{y^3}{3}-2y^2+5y \right|_{y=0}^{y=4} \right) \,dx \\     & = & \displaystyle\int_{-1}^{1} \left(4x^2+\frac{28}{3}\right) \,dx \\     & = & \left.\frac{4x^3}{3}+\frac{28x}{3} \right|_{x=-1}^{x=1} = \frac{64}{3}. \end{eqnarray*} Observe que, pelo Teorema de Fubini, podemos optar por calcular a integral $$\int_{0}^{4}\!\int_{-1}^{1}(x^2+y^2-4y+5)\,dy dx,$$ obtendo o mesmo resultado.

$\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x} (1,1,1) = -2$.

Determine uma representação paramétrica para a superfície descrita a seguir. O paraboloide $z=9-x^{2}-y^{2}$, $z\geq 0.$

$x = r \cos(\theta),$ $y = r \sin(\theta),$ $z = 9 - r^2,$ onde $0 \leq r \leq 3$ e $0\leq \theta \leq 2\pi.$

Não há valor máximo; valor mínimo: $2.$

Escreva seis integrais triplas iteradas diferentes para o volume do sólido retangular no  primeiro octante limitado pelos planos coordenados e pelos planos $x=1$, $y=2$ e $z=3$. Calcule uma das integrais.

$$\begin{split} 6 &= \int_{0}^{1}\int_{0}^{2}\int_{0}^{3} dz dy dx = \int_{0}^{2}\int_{0}^{1}\int_{0}^{3} dz dx dy = \int_{0}^{3}\int_{0}^{2}\int_{0}^{1} dx dy dz\\ &= \int_{0}^{2}\int_{0}^{3}\int_{0}^{1} dx dz dy = \int_{0}^{3}\int_{0}^{1}\int_{0}^{2} dy dx dz = \int_{0}^{1}\int_{0}^{3}\int_{0}^{2} dy dx dx. \end{split} $$

1. $(1,2)$ e $(-1,0).$

2. $f(1,2) = f(-1,0) = 0.$ Note que $f(x,y) \leq 0,$ o que implica que $(1,2)$ e $(-1,0)$ são pontos de máximo.

Plano tangente: $6x + 3y + z = 9$,
Reta normal: $(x,y,z) = \left(\frac{1}{2},1,3\right) + \lambda (6,3,1),$ $\lambda \in \mathbb{R}.$

$f_{x}(0,0) = f_{y}(0,0) = 0,$ mas $\lim_{(x,y) \to (0,0)} f(x,y)$ não existe, logo $f$ é discontínua em $(0,0)$ e portanto não é diferenciável neste ponto.

Calcule \(\displaystyle \lim_{(x,y)\to (-1,2)} \dfrac{xy}{x^2+y^2}\).

Como a função \(\displaystyle f(x,y)=\dfrac{xy}{x^2+y^2}\) é contínua no ponto \((-1,2)\) (de acumulação), basta avaliá-la neste mesmo ponto. Ou seja, \[ \lim_{(x,y)\to (-1,2)}\dfrac{xy}{x^2+y^2} = \dfrac{(-1)2}{(-1)^2+2^2} = -\dfrac{2}{5}. \]

$\displaystyle \frac{dz}{dt} (t) = 0.$

Passe para coordenadas polares e calcule: $\displaystyle\int_{0}^{a} \int_{0}^{\sqrt{a^{2}-x^{2}}}\,dy dx$

$\dfrac{\pi a^2}{4}.$

Encontre uma equação para a superfície de nível da função $f(x,y,z)=\sqrt{x-y}-\ln z$ que passa pelo ponto $(3,-1,1)$.

$\sqrt{x - y} - \ln(z) = 2.$

Calcule a área da superfície dada por: ${\bf r}(u,v)=\bigg(u,v,\dfrac{1}{2}u^{2}\bigg)$,$0\leq v\leq u$ e $u\leq 2.$. (Sugerimos ao leitor desenhar a imagem da superfície.)

$\dfrac{1}{3}\left(5\sqrt{5} - 1  \right).$

Calcule $\displaystyle\int_{(1,1)}^{(2,2)} y\,dx+x\,dy$.

$3.$

Temos que

$$A(R) = \iint\limits_{R} 1 \, dA.$$

A fim de utilizar o Teorema de Green, devemos encontrar funções $P$ e $Q$    que tenham derivadas de primeira ordem contínuas em um aberto que contenha a curva $C$ e o interior de $C$ e que satisfaçam a relação $\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = 1$. Observe que a curva $C$ já satisfaz as hipóteses desse teorema e $C$ é a fronteira de $R$. Um exemplo de funções $P$ e $Q$ é $P(x,y) = 0$ e $Q(x,y) = x$. Portanto, pelo Teorema de Green,

$$\iint\limits_{R} 1 \, dA = \oint_{C}0 \, dx + x\, dy = \oint_{C}x\, dy.$$

1.  $\displaystyle \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{1} \int_{0}^{\sqrt{4 - r^2}} r dz dr d\theta.$

2.  $\displaystyle \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{\sqrt{3}} \int_{0}^{1} r  drdzd\theta +  \int_{0}^{2\pi} \int_{\sqrt{3}}^{2} \int_{0}^{\sqrt{4 - z^2}} r  drdzd\theta.$

3.  $\displaystyle \int_{0}^{1} \int_{0}^{\sqrt{4 - r^2}} \int_{0}^{2\pi} r  d\theta dzdr.$

 Uma casca cilíndrica tem $20$ cm de comprimento, com raio interno de 6 cm e raio externo de $7$ cm. Escreva desigualdades que descrevam a casca em um sistema de coordenadas adequado. Explique como você posicionou o sistema de coordenadas em relação à casca.

$6 \leq r \leq 7,$ $0 \leq \theta \leq 2\pi,$ $0 \leq z \leq 20.$

1. $\text{rot }{f}$ não tem significado, pois $f$ é um campo escalar.

2. $\text{div }{\mathbf{F}}$ é um campo escalar.

3. $\text{grad }{\mathbf{F}}$ não tem sifnificado, pois $\bf{F}$ não é um campo escalar.

$\displaystyle 32\sqrt{3}\pi.$

1. $x = b\cos(\theta) + a\cos(\alpha)\cos(\theta),$ $y = b\sin(\theta) + a\cos(\alpha)\sin(\theta),$ $z = a\sin(\alpha),$ onde $0 \leq \alpha \leq 2\pi,$ $0 \leq \theta \leq 2\pi.$

2. $4\pi^2 ab.$

Um fluido tem densidade $870kg/m^{3}$ e escoa com velocidade $v=z{\bf i}+y^{2}{\bf j}+x^{2}{\bf k},$ onde $x$, $y$ e $z$ são medidos em metros e as componentes de $v$ em metros por segundo. Encontre a vazão para fora do cilindro $x^{2}+y^{2}=4$, $0\leq z\leq 1.$

$0$ kg/s.

Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função $f(x,y)=xy+2x-\ln(x^{2}y)$.

Ponto de mínimo: $\displaystyle \left(\frac{1}{2},2\right).$

Use a derivação implicíta para determinar $\partial z/\partial x$ e $\partial z/\partial y$ na expressão $x-z=\arctan(yz)$.

$\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{1 + y^{2}z^{2}}{1 + y + y^{2}z^{2}}$

$\displaystyle \frac{\partial z}{\partial y} = -\frac{z}{1 + y + y^{2}z^{2}}$.

Calcule a integral, efetuando uma mudança de variáveis apropriada. $\displaystyle\iint\limits_{R}\dfrac{1}{\sqrt{xy}}\, dA$, em que $R$ é a região limitada pela curva $x+y = 1$ e pelos eixos coordenados.

$\pi.$

Identifique e faça um esboço da imagem da superfície parametrizada dada por ${\bf r}(u,v)=(u,v,u^{2}+v^{2})$, $(u,v)\in \mathbb{R}^{2}.$.

Paraboloide de rotação $z = x^2 + y^2.$

1. $f(x,y)$ é contínua em $(x_{0},y_{0}) \in D_{f}$ se

   $$\lim_{(x,y) \to (x_{0},y_{0})} f(x,y) = f(x_{0},y_{0}).$$

2. $L = 0.$

Passe para coordenadas polares e calcule: $\displaystyle\iint\limits_{R}\,dx dy$, onde $R$ é a região, no plano $xy$, limitada pela curva (dada em coordenadas polares) $\rho=\cos(2\theta)$, $\dfrac{\pi}{8}\leq \theta \leq \dfrac{\pi}{4}.$

 $\displaystyle \frac{3\pi + 2}{32}.$

1. $g$ possui um ponto de sela em $(0,2).$

2. $g$ possui um ponto de máximo local em $(0,2).$

3. Não se pode afirmar algo sobre $g$ pelo Teste da Segunda Derivada.

Para fazer essa análise sobre $g$ iremos utilizar o Teste da Segunda Derivada.

Temos que

1. \[ D=g_{xx}(0,2)g_{yy}(0,2)-g_{xy} ^2(0,2)=-1\cdot 1-6^2=-1-36=-37<0. \] Logo, pelo Teste da Segunda Derivada, segue que $(0,2)$ é um ponto de sela de $g$.
2. Temos que \[ D=g_{xx}(0,2)g_{yy}(0,2)-g_{xy} ^2(0,2)=(-1)\cdot (-8)-2^2=8-4=4>0. \] Como $D>0$ e $g_{xx}(0,2)<0$, pelo Teste da Segunda Derivada, segue que $(0,2)$ é um ponto de máximo de $g$.
3. Temos que \[ D=g_{xx}(0,2)g_{yy}(0,2)-g_{xy} ^2(0,2)=4\cdot 9-6^2=36-36=0. \] Como $D=0$ o Teste da Segunda Derivada não nos fornece nenhuma informação sobre $g$.

Uma caixa de papelão sem tampa deve ter um volume de $32000\;cm^{3}$. Determine as dimensões que minimizem a quantidade de papelão utilizado. 

$40$cm $\times$ $40$cm $\times$ $20$cm.

$\dfrac{15\pi}{16}.$

Determine e faça o esboço do domínio da função $f(x,y)=\sqrt{x+y}$.

$\left\lbrace (x,y);\; y \geq -x \right\rbrace$

Determine as equações do plano tangente e da reta normal ao gráfico da função dada, no ponto dado. $f(x,y) = \arctan{(x - 2y)}$ em $\left(2, \dfrac{1}{2},f\left(2,\dfrac{1}{2}\right)\right)$.

Plano tangente: $4z = 2x - 4y + (\pi - 2)$

Reta normal: $(x,y,z) = \left(2,\frac{1}{2},\frac{\pi}{4} \right) + \lambda \left(\frac{1}{2},-1,-1 \right)$.

$\displaystyle \frac{\partial t}{\partial p} = \frac{\partial t}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial p} + \frac{\partial t}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial p} + \frac{\partial t}{\partial w}\frac{\partial w}{\partial p},$ $\displaystyle \frac{\partial t}{\partial q} = \frac{\partial t}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial q} + \frac{\partial t}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial q} + \frac{\partial t}{\partial w}\frac{\partial w}{\partial q},$

$\displaystyle \frac{\partial t}{\partial r} = \frac{\partial t}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial r} + \frac{\partial t}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial r} + \frac{\partial t}{\partial w}\frac{\partial w}{\partial r}$ e $\displaystyle \frac{\partial t}{\partial s} = \frac{\partial t}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial s} + \frac{\partial t}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial s} + \frac{\partial t}{\partial w}\frac{\partial w}{\partial s}.$

Use o Teorema de Green para calcular a integral de linha ao longo da curva dada com orientação positiva. $\displaystyle\int_{C}e^y \, dx + 2xe^y \, dy$, $C$ é o quadrado de lados $x=0$, $x=1$, $y=0$ e $y=1$.

$e - 1.$

A fórmula de Taylor de primeira ordem para $f(\vec{a} + \vec{v})$ pode ser escrita como $ f(\vec{a}) + \nabla f(\vec{a}) \cdot \vec{v}$, já desconsiderando o termo de erro. Calcule-a para $f(x,y) = x^2 + y^2$, $\vec{a} = (1,0)$ e $\vec{v} = (2,1)$. Calcule também o erro cometido, dizendo se é um erro pequeno ou grande e por quê.

Utilize a integral dupla para determinar a área da região: no interior do círculo $x^{2}+(y-1)^{2}=1$ e fora do círculo $x^{2}+y^{2}=1.$

$\displaystyle \frac{\pi}{3} + \frac{\sqrt{3}}{2}.$

 $\displaystyle D_{\bf{(1,1)}}f(1,1) = \sqrt{2}.$ 

Utilize a Equação
$$ \dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{\dfrac{\partial F}{\partial x}}{\dfrac{\partial F}{\partial y}}=-\dfrac{F_x}{F_y}$$
para determinar $\mathrm{d}y/\mathrm{d}x$.
$\cos(x-y)=xe^{y}$

$\displaystyle \frac{dy}{dx} = \frac{\sin(x - y) + e^{y} }{\sin(x - y) -x e^{y}} .$

1. $\displaystyle \frac{dw}{dt}(t) = 0.$
   
2. $\displaystyle \frac{dw}{dt}(\pi) = 0.$
   

$\dfrac{13\sqrt{2}}{12}.$

1. Temos que a região de integração é $$R=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2|\, 0\leq x \leq 1\,\mbox{e}\, 1-\sqrt{1-x^{2}}\leq y \leq 1+\sqrt{1-x^{2}}\}.$$
   

   

   Passando para coordenadas polares temos que: $$\left\{ \begin{array}{cc} x=r\,\cos\theta \\ y=r\,\sin\theta \\ dy\,dx=r\,dr\,d\theta \\ \end{array} \right.$$ Agora, \begin{eqnarray*}  x^{2}+y^{2}=2y&\Rightarrow & r^{2}\,\cos^2 \theta+r^{2}\,\sin^{2}\theta=2r\,\sin\theta\\  &\Rightarrow & r^{2}=2r \,\sin\theta\\  &\Rightarrow & r(r-2\sin\theta )=0 \\  &\Rightarrow& r=0 \mbox{ou}  r=2\sin\theta.\end{eqnarray*} Logo, $\displaystyle 0\leq r \leq 2\,\sin\theta$ e $\displaystyle 0\leq\theta \leq\dfrac{\pi}{2}.$  Então, $$\int_{0}^{1}\int_{1-\sqrt{1-x^2}}^{1+\sqrt{1-x^2}}xy\,dy\,dx  =\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\int_{0}^{2\,\sin\theta}(r\,\cos\theta)(r\,\sin\theta)r\,dr d\theta $$
   $$ =\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\int_{0}^{2\,\sin\theta}r^3\,\sin\theta\, \cos\theta\,dr d\theta =\int_{0}^{\dfrac{\pi}{2}}\bigg[\frac{r^{4}} {4}\sin\theta\,\cos\theta\bigg]\bigg|_{0}^{2\,\sin\theta}\,d\theta $$  $$ =\int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{(2\,\sin\theta)^4}{4}\,\sin\theta\,\cos\theta\,d\theta  =4\int_{0}^\frac{\pi}{2}\sin^5\theta\,\cos\theta\, d\theta.$$ Tomando, $u=\sin\theta \Rightarrow du=\cos\theta\, d\theta$ e sendo $\theta =0 \Rightarrow u=0$ e $\theta=\frac{\pi}{2}\Rightarrow u=1.$ Assim,  $$\int_{0}^{1}\int_{1-\sqrt{1-x^{2}}}^{1+\sqrt{1-x^{2}}}xy\,dy dx=4\int_{0}^{1}u^{5}\,du$$  $$=4\cdot \frac{u^{6}}{6}\bigg|_{0}^{1}=\frac{2}{3}.$$

2. Temos que a região de integração é $$R=\{(x,y)\in \mathbb{R}|\, -a\leq x \leq a,\, -\sqrt{a^{2}-x^{2}}\leq y \leq \sqrt{a^{2}-x^{2}}\}.$$       

   

   Passando para coordenadas polares temos que  $$\left\{ \begin{array}{cc}  x=r\,\cos\theta \\  y=r\,\sin\theta\\  dy\,dx=r\,dr\,d\theta\\ \end{array} \right. $$ Como $x^{2}+y^{2}=a^{2}\Rightarrow r^{2}\,\cos^{2}\theta+r^{2}\,\sin{2}\theta=a^{2}\Rightarrow  r^{2}=a^{2}\Rightarrow r=\pm a.$ Como o raio  deve ser sempre maior ou igual a zero, logo  $$0\leq r\leq a  \mbox{e}  0\leq \theta \leq 2\pi.$$  Então,  $$\int_{-a}^{a}\int_{-\sqrt{a^{2}-x^{2}}}^{\sqrt{a^{2}-x^{2}}}dy\,dx=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{a}r\,dr\,d \theta=\int_{0}^{2\pi}d\theta \cdot \int_{0}^{a}r\,dr$$   $$=\theta\bigg |_{0}^{2\pi}\cdot \frac{r^{2}}{2}\bigg |_{0}^{a}=(2\pi)\cdot \bigg(\frac{a^{2}}{2}\bigg)=a^{2}\pi.$$

Calcule as derivadas parciais de $s = f(x,y,z,w)$ dada por $s = xw \ln{(x^2 + y^2 + z^2 + w^2)}$.

$\begin{aligned}[t]\frac{\partial s}{\partial x} &= w \left( \frac{2x^{2}}{x^{2} + y^{2} + z^{2} + w^{2}} + \ln (x^{2} + y^{2} + z^{2} + w^{2})\right),\\\frac{\partial s}{\partial y} &= \frac{2xyw}{x^{2} + y^{2} + z^{2} + w^{2}},\;\;\;\; \frac{\partial s}{\partial z} = w \frac{2xzw}{x^{2} + y^{2} + z^{2} + w^{2}}\;\;\;\;\;\text{e}\\\frac{\partial s}{\partial w} &= x \left( \frac{2w^{2}}{x^{2} + y^{2} + z^{2} + w^{2}} + \ln (x^{2} + y^{2} + z^{2} + w^{2})\right).\end{aligned}$

Determine os valores de máximo e mínimo de $f(x,y,z) = x^2 - yz$ em pontos da esfera $x^2 + y^2 + z^2 = 1$.

Valor máximo: $1;$ valor mínimo: $\displaystyle -\frac{1}{2}.$

Enuncie o Teorema da Divergência e o Teorema de Stokes, incluindo todas as hipóteses envolvidas.

1.  $\dfrac{1}{6}$.

2.  $\dfrac{13}{3}$.

3.  $0$.

4.  $\dfrac{1}{6}$.

Esboce a região cuja área é dada pela integral e calcule-a:  $\displaystyle\int_{0}^{\pi/2}  \int_{0}^{4\cos{\theta}}   r \, dr d\theta$

$2\pi;$ região de integração:

Temos que o conjunto $D=\{(x,y)|\,x^{2}+y^{2}\leq 1\,$ ou\, $4\leq x^{2}+y^{2}\leq 9\}$ consiste dos pontos que estão sobre ou dentro do círculo $x^{2}+y^{2}\leq 1$ juntamente com os pontos que estão em ou entre os círculos $x^{2}+y^{2}=4$ e $x^{2}+y^{2}=9$.

1. $D$ não é aberto pois qualquer disco centrado em $(0,1)$ contém pontos que não estão em $D$.

2. $D$ não é conexo pois não existe um caminho em $D$ conectando, por exemplo, os pontos $(1,0)$ e $(2,0)$.

3. $D$ não é simplesmente conexo porque possui um buraco. Com efeito, a região delimitada pela curva simples e fechada $x^2+y^2=(5/2)^2$, contém pontos que não pertencem a $D$, por exemplo, o ponto $(0,3/2)$.

1.  $\dfrac{4}{15}.$

2.  $\pi a^4.$

3.  $\dfrac{71\pi}{54}.$

4.  $\dfrac{7\pi}{12}.$

Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função $f(x,y)=x^{3}-3x^{2}+27y$.

Pontos de sela: $\displaystyle \left(3,\frac{3}{2}\right)$ e $\displaystyle \left(-3,-\frac{3}{2}\right).$

Considere o campo vetorial \(\mathbf{F}(x,y,z)=x^2\mathbf{i} + y^2\mathbf{j}+z^2\mathbf{k}\) e a superfície \(\sigma\) descrita como sendo a porção do cone \(z=\sqrt{x^2+y^2}\) abaixo do plano \(z=1\) e tendo orientação para cima. Verifique o Teorema de Stokes calculando, separadamente, a integral de linha e a integral dupla e, em seguida, comparando os valores.

Note que$\displaystyle \frac{\partial F}{\partial x} = \frac{1}{y}\frac{\partial f}{\partial x}\left(\frac{x}{y}, \frac{y}{x} \right) - \frac{y}{x^{2}} \frac{\partial f}{\partial y}\left(\frac{x}{y}, \frac{y}{x} \right)$ e $\displaystyle \frac{\partial F}{\partial y} = -\frac{x}{y^{2}} \frac{\partial f}{\partial x}\left(\frac{x}{y}, \frac{y}{x} \right) + \frac{1}{x} \frac{\partial f}{\partial y}\left(\frac{x}{y}, \frac{y}{x} \right).$ 

Note que pela primeira identidade de Green,

$$\iint\limits_{ D} (f\nabla^2g - g\nabla^2f)\, dA = \oint_{C}(f\nabla{g} \cdot \mathbf{n} - g\nabla{f} \cdot \mathbf{n}) \, ds, + \iint\limits_{ D} (\nabla f \cdot \nabla g - \nabla g \cdot \nabla f)\, dA.$$

Um arame fino é entortado no formato da semicircunferência $x^{2}+y^{2}=4$, $x\geq 0$. Se a densidade linear for uma constante $k$, determine a massa e o centro de massa do arame.

Massa: $k2\pi;$ centro de massa: $\displaystyle \left( \frac{4}{\pi},0 \right).$

Determine as derivadas parciais indicadas. $w=\dfrac{x}{y+2z}$; \;\;\;\;$\dfrac{\partial^{3}w}{\partial z\partial y \partial x}$, \;\;\;\;$\dfrac{\partial^{3}w}{\partial x^{2}\partial y}$.

$\displaystyle \frac{\partial^{3}w}{\partial z\partial y \partial x} = \frac{4}{(y + 2z)^{3}}\;\;\;\text{e} \;\;\;\; \frac{\partial^{3}w}{\partial x^{2}\partial y} = 0$.

Determine o jacobiano da transformação dada por: $x = 5u - v, \quad y = u + 3v$.

$16.$

A superfície de um lago é representada por uma região $D$ no plano $xy$, tal que a profundidade (em pés) sob o ponto correspondente a $(x,y)$ é dada por
$$f(x,y) = 300 - 2x^2 - 3y^2.$$
Se um nadador está no ponto $(4,9)$, em que direção deve nadar para que a profundidade sob ele decresça mais rapidamente?

 Na direção dada pelo vetor $(16,54).$

Note que o plano tangente no ponto $(1,2,5)$ é $z = 2x + 4y - 5$.

Encontre a constante $a$ tal que $$\int_{0}^{1}\int_{0}^{4-a-x^{2}}\int_{a}^{4-x^{2}-y}\;dz dy dx=\frac{4}{15}.$$

$\dfrac{13}{3}$ ou $3.$

1.  $2.$

2.  $3 - 6\sqrt[3]{2} - 2\sqrt{2} + 6 \sqrt[6]{2^5}.$

Determine uma representação paramétrica para a superfície descrita a seguir. A parte do paraboloide elíptico $x+y^{2}+2z^{2}=4$ que está em frente ao plano $x=0.$

$y = u,$ $z = v,$ $x = 4 - u^2 - 2v^2,$ onde $u^{2} + 2v^2 \leq 4.$

Determine uma equação do plano tangente à superfície parametrizada dada no ponto especificado. $x=u+v$, $y=3u^{2}$, $z=u-v$; $(2,3,0).$

$3x - y + 3z = 3.$

$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x} (0,0) = \frac{\partial f}{\partial y} (0,0) = 1$.

Pontos de mínimo: $(-1,1)$ e $(-1,-1);$ ponto de máximo: $(0,0);$ pontos de sela: $(0,1), (0,-1), (1,0)$ e $(-1,0).$

Quando o tamanho das moléculas e suas forças de atração são levadas em conta, a pressão $P$, o volume $V$ e a temperatura $T$ 
de um mol de gás confinado estão relacionados pela {\it equação de van der Waals}
$$\bigg(P+\frac{a}{V^{2}}\bigg)(V-b)=kT,$$
em que $a$, $b$ e $k$ são constantes positivas. Se $t$ é o tempo, estabeleça uma fórmula para $\mathrm{d}T/ \mathrm{d}t$ em termos de $\mathrm{d}P/\mathrm{d} t$, 
$\mathrm{d} V/\mathrm{d}t$, $P$ e $V$.

$\displaystyle \frac{dT}{dt} = \frac{1}{k} \left( \left(\frac{dP}{dt} - \frac{2a}{V^{3}} \frac{dV}{dt}\right)(V - b) + \left( P + \frac{a}{V^{2}} \right) \frac{dV}{dt} \right).$

Suponha que $\displaystyle \lim_{(x,y) \to (3,1)}f(x,y) = 6$. O que podemos dizer do valor de $f(3,1)$? E se a função $f$ for contínua?

Nada se pode afirmar. Se $f$ for contínua em $(x_{0},y_{0}),$ $f(3,1) = 6.$

1.  $162\pi.$

2.  $(0,0,15)$.

Notemos que ${\bf F}$ é um campo vetorial conservativo, pois: ${\bf F}$ é definido em todo $\mathbb{R}^{2}$; $P(x,y)=e^{x}\,\cos y+y$ e $Q(x,y)=x-e^{x}\,\sin y$ possuem derivadas parciais de primeira ordem contínuas;  $\dfrac{\partial P}{\partial y}(x,y)=1-e^{x}\,\sin y=\dfrac{\partial Q}{\partial x}(x,y).$

Sendo $F$ conservativo, existe $f$ tal que $\nabla f={\bf F}.$ Vamos encontrar $f$. Temos que 

$$f_{x}(x,y)=P(x,y)     \mbox{ e }      f_{y}(x,y)=Q(x,y).$$

Então,

$$\label{(2)}f_{x}(x,y)=e^{x}\,\cos y+y\Rightarrow f(x,y)=e^{x}\,\cos y+y+g(y).$$

Logo,  temos que

$$f_{y}(x,y)=-e^{x}\,\sin y+x+g'(y).$$

Como $f_{y}(x,y)=Q(x,y)$, obtemos que

$$-e^{x}\,\sin y+x+g'(y)=x-e^{x}\,\sin y\Rightarrow g'(y)=0\Rightarrow g(y)=C.$$

Assim, tomando $C=0$ segue que

$$f(x,y)=e^{x}\,\cos y+xy.$$

Do resultado acima e pelo Teorema Fundamental da Integral de Linha, temos que

$$\int_{C}{\bf F}\cdot d{\bf r}=f(1,0)-f\bigg(-\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}\bigg)=e-e^{-\frac{\sqrt{2}}{2}}\,\cdot\cos\bigg(\frac{\sqrt{2}}{2}\bigg)+\frac{1}{2}.$$

Prove a seguinte identidade \[ \iint\limits_\sigma\nabla f\cdot\mathbf{n}\,dS = \iiint\limits_G\Delta f\,dV, \] supondo que \(\sigma\) e \(G\) satisfaçam as hipóteses do Teorema da Diverência e que \(f(x,y,z)\) cumpra os requisitos de diferenciabilidade necessários. Acima, \(\displaystyle \Delta f= \dfrac{\partial^2f}{\partial x^2}+\dfrac{\partial^2f}{\partial y^2}+\dfrac{\partial^2f}{\partial z^2}\) é denominado Laplaciano de \(f\).

$\displaystyle \frac{dz}{dx} = \frac{yz + \sin(x + y + z)}{xy + \sin(x + y + z)}$ e $\displaystyle \frac{dz}{dy} = \frac{xz + \sin(x + y + z)}{xy + \sin(x + y + z)}.$

$f$ possui um ponto de sela em $(0,0)$ e um mínimo local em $(1,1).$

$\overline{z} = \dfrac{9}{16}.$

Encontre $\partial f/\partial x$ e $\partial f/\partial y$ para $f(x,y)=(xy-1)^{2}$.

$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x} = 2y(xy - 1)\;\;\;\;\text{e}\;\;\;\; \frac{\partial f}{\partial y} = 2x (xy - 1)$.

Dica: Note que $\mbox{div} {\bf a} = 0.$

Determine se ${\bf F}(x,y)=y\,{\bf i}+x\,{\bf j}$ é ou não um campo vetorial conservativo. Se for, determine uma função $f$ tal que ${\bf F}=\nabla f.$

Sim. $f(x,y) = xy + K.$

Encontre $\partial f/\partial x$ e $\partial f/\partial y$ para $f(x,y)=e^{xy}\ln{y}$.

$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x} = ye^{xy}\ln y\;\;\;\;\text{e}\;\;\;\; \frac{\partial f}{\partial y} = x e^{xy} \ln y + \frac{e^{xy}}{y}$.

Determine as equações do plano tangente e da reta normal ao gráfico da função dada, no ponto dado. $f(x,y) = x^2 + y^2$ em $(0,1,f(0,1))$.

Plano tangente: $z = 2y - 1$

Reta normal: $(x,y,z) = \left(0,1,1 \right) + \lambda \left(0,2,-1 \right)$.

$\displaystyle \frac{\partial w}{\partial r}(x(1,-1),y(1,-1),z(-1,1)) = 12.$

Determine a massa e o centro de massa da lâmina que ocupa a região $\displaystyle D = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2: 0 \leq x \leq 2, \ -1 \leq y \leq 1\}$ e tem função densidade $\rho(x,y) = xy^2.$

Massa: $\dfrac{4}{3};$ centro de massa: $\displaystyle \left(\frac{4}{3},0 \right).$

1. $\dfrac{\partial P}{\partial y}= \dfrac{y^{2} - x^{2}}{(x^{2} + y^{2})^{2}} = \dfrac{\partial Q}{\partial x}.$

2. Tome $C_{1}$ a curva parametrizada por $\mathbf{r_{1}}(t) = (\cos(t), \sin(t)),$ $0 \leq t \leq \pi$ e $C_{2}$ a curva parametrizada por $\mathbf{r_{2}}(t) = (\cos(t), \sin(t)),$ de $t = 2\pi$ a $t = \pi.$ Segue que $\int_{C_{1}} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{r}  = \pi \neq -\pi = \int_{C_{2}} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{r}.$ Como o domínio de $\mathbf{F}$ é $\mathbb{R}^{2} \setminus \left\lbrace (0,0) \right\rbrace$ que não é simplesmente conexo, o resultado não contradiz o Teorema 6.

$\dfrac{\sqrt{14}}{12}\left(e^{6} - 1 \right).$

Mostre que cada a equação a seguir define implicitamente pelo  menos uma função diferenciável $y=y(x).$ 
$y^{4}+x^{2}y^{2}+x^{4}=3$
 

$\displaystyle \frac{d y}{d x} = - \frac{2xy^{2} + 4x^{3}}{4y^{3} + 2x^{2}y}.$

Para resolvermos a integral tripla, vamos desenhar dois diagramas: um da região sólida $T$ (Figura 1) e o outro a sua projeção $D$ no plano $xy$ (Figura 2). 

A fronteira inferior do tetraedro $T$ é o plano $z=0$ e a superior é o plano $x+y+z=1$ (ou $z=1-x-y$). 

Notemos que os planos $x+y+z=1$ e $z=0$ se interceptam na reta $x+y=1$ (ou $y=1-x$) no plano $xy.$ 

Logo a projeção de $T$ é a região triangular da Figura 2 e temos 

$$T=\{(x,y,z)|\,0\leq x \leq 1,\, 0\leq y \leq 1-x,\, 0\leq z \leq 1-x-y\}.$$

Assim, 

$$\int\int\int\limits_{T}x^{2}\,dV=\int_{0}^{1}\int_{0}^{1-x}\int_{0}^{1-x-z}x^{2}\,dz\,dy\,dx=\int_{0}^{1}\int_{0}^{1-x}x^{2}z\bigg|_{0}^{1-x-y}\,dy\,dx$$

$$=\int_{0}^{1}\int_{0}^{1-x}x^{2}(1-x-y)\,dy\,dx=\int_{0}^{1}\int_{0}^{1-x}(x^{2}-x^{3}-x^{2}y)\,dy\,dx$$

$$=\int_{0}^{1}\bigg(x^{2}y-x^{3}y-x^{2}\frac{y^{2}}{2}\bigg)\bigg|_{0}^{1-x}\,dx=\int_{0}^{1}\bigg(x^{2}(1-x)-x^{3}(1-x)-\frac{x^{2}}{2}(1-x)^{2}\bigg)dx$$

$$=\int_{0}^{1}\bigg(\frac{x^{2}}{2}-x^{3}+\frac{x^{4}}{2}\bigg)\,dx =\bigg[\frac{1}{2}\cdot\frac{x^{3}}{3}-\frac{x^{4}}{4}+\frac{1}{2}\cdot\frac{x^{5}}{5}\bigg]\bigg|_{0}^{1}=\frac{1}{60}.$$

Calcule a integral, efetuando uma mudança de variáveis apropriada. $\displaystyle\iint\limits_{R} \sin{(9x^2 + 4y^2)} \, dA$, em que $R$ é a região do primeiro quadrante limitada pela elipse $9x^2 + 4y^2 = 1$.

$\dfrac{\pi}{24}(1 - \cos(1)).$

Note que $\text{div } \mathbf{F} = 0.$

Esboce o sólido descrito por $\rho \leq 2$, $0\leq \phi \leq \pi/2$ e $0\leq \theta \leq \pi/2.$

$\displaystyle \int_{0}^{\frac{3\pi}{2}} \int_{0}^{4} f(r\cos(\theta),r\sin(\theta)) r  d r d \theta.$

Primeiramente, vamos calcular $\dfrac{\partial z}{\partial x}$ e $\dfrac{\partial z}{\partial }.$ Assim,\\

$\bullet $ $\dfrac{\partial z}{\partial x}=$ $\dfrac{\partial}{\partial x}\bigg[x\cdot \sin\bigg(\dfrac{x}{y}\bigg)\bigg]=

1\cdot \sin\bigg(\dfrac{x}{y}\bigg)+x\cdot \cos \bigg(\dfrac{x}{y}\bigg)\cdot \dfrac{1}{y}$

$$=\sin\bigg(\frac{x}{y}\bigg)+\frac{x}{y}\cdot \cos\bigg(\frac{x}{y}\bigg)$$

$\bullet $ $\dfrac{\partial z}{\partial y}=$ $\dfrac{\partial}{\partial y}\bigg[x\cdot \sin\bigg(\dfrac{x}{y}\bigg)\bigg]=

0\cdot \sin\bigg(\dfrac{x}{y}\bigg)+x\cdot \cos \bigg(\dfrac{x}{y}\bigg)\cdot \bigg(-\dfrac{x}{y^{2}}\bigg)$

$$=-\frac{x^{2}}{y^{2}}\cdot \cos\bigg(\frac{x}{y}\bigg).$$

Então,

$$x\cdot \frac{\partial z}{\partial x}+y\frac{\partial z}{\partial y}=x\cdot \bigg[\sin\bigg(\frac{x}{y}\bigg)+\frac{x}{y}\cdot \cos\bigg(\frac{x}{y}\bigg)\bigg] +

y\cdot\bigg[ -\frac{x^{2}}{y^{2}}\cdot \cos\bigg(\frac{x}{y}\bigg)\bigg]$$

$$=x\cdot \sin\bigg(\frac{x}{y}\bigg)+\frac{x^{2}}{y}\cos\bigg(\frac{x}{y}\bigg)-\frac{x^{2}}{y}\cdot \cos\bigg(\frac{x}{y}\bigg)$$

$$x\cdot \sin\bigg(\frac{x}{y}\bigg)=z.$$

$\dfrac{9}{2}.$

1.  Note que $$\iint_\limits{\mathbb{R}^2} f(x,y)\,dA = \int_{0}^{1} \int_{0}^{1} 4xy\, dydx = 1. $$

2.  (i) $\dfrac{3}{4}.$               (ii) $\dfrac{3}{16}.$

3.  $\dfrac{3}{16}.$

 $\displaystyle \nabla f(x,y) = \left(\frac{y }{x^{2} + y^{2}}, -\frac{x}{x^{2} + y^{2}} \right).$

Calcule a integral iterada $\int_{-3}^{3} \int_{0}^{\sqrt{9-x^2}}\sin(x^{2}+y^{2})\,dy dx$, convertendo-a antes para coordenadas polares.

$\displaystyle \frac{\pi}{2}(1 - \cos(9)).$

A temperatura aumenta a uma taxa de $2º$C/s.

Calcule a integral de linha $\displaystyle\int_{C}(x-y)\,dx+e^{x+y}\, dy$, onde $C$ é a fronteira do triângulo de vértices $(0,0)$, $(0,1)$ e $(1,2)$, orientada no sentido anti-horário.

$\displaystyle \frac{e^{3}}{6} - \frac{e}{2} + \frac{5}{6}.$

$\displaystyle \frac{\partial z}{\partial u}(u,v) = \frac{\partial f}{\partial x}(u + 2v,u^{2} - v) + 2u \frac{\partial f}{\partial y}(u + 2v,u^{2} - v)$ e\\ $\displaystyle \frac{\partial z}{\partial v}(u,v) = 2 \frac{\partial f}{\partial x}(u + 2v,u^{2} - v) - \frac{\partial f}{\partial y}(u + 2v,u^{2} - v).$

Se $z = x^2 - xy + 3y^2$ e $(x,y)$ varia de $(3;-1)$ a $(2,96;-0,95)$, compare os valores de $\Delta z$ e $dz$.

$\Delta z = -0.7189$ e $dz = -0.73$.

Calcule $\displaystyle \lim_{(x,y) \to (0,0)} \dfrac{x + y}{x - y}$, caso exista.

Não existe.

1. $(e^{-1} - 1)^2.$

2. $1 - 2e^{-1}.$

$3\pi a^4.$

$\displaystyle \frac{dz}{dx} = \frac{1}{y(x+z)-1}$ e $\displaystyle \frac{dz}{dy} = \frac{z(x+z)}{y(x+z)-1}.$

Determine $\dfrac{ \partial f}{\partial x}$ e $\dfrac{\partial f}{\partial y}$, sendo $f(x,y)= \begin{cases}\dfrac{x+y^{4}}{x^{2}+y^{2}}, & \quad \text{se } (x,y)\neq (0,0),\\0, & \quad \text{se } (x,y)=(0,0).\\\end{cases}$

$\begin{aligned}[t]\frac{\partial f}{\partial x} &= \begin{cases}\dfrac{y^{2} - x^{2} - 2xy^{4}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}, & \quad \text{se } (x,y)\neq (0,0),\\\text{não existe} & \quad \text{se } (x,y)=(0,0)\\\end{cases} \;\;\;\; \text{e}\\\frac{\partial f}{\partial y} &= \begin{cases}\dfrac{4x^{2}y^{3} + 2y^{5} - 2xy}{x^{2}+y^{2}}, & \quad \text{se } (x,y)\neq (0,0),\\0, & \quad \text{se } (x,y)=(0,0).\\\end{cases}\end{aligned}$

1. Positivo.

2. $\text{rot } \bf{F} = \bf{0}.$

1. $D_{f} = \left\lbrace (x,y) \in \mathbb{R}^{2};\; x^{2} -9y^{2} < 9 \right\rbrace$.
   
   
   
   
2. $\displaystyle f_{x} = \frac{-2x}{9 - x^{2} - 9y^{2}}  \;\;\;\text{e}\;\;\;f_{y} = \frac{-18y}{9 - x^{2} - 9y^{2}}$.
   

Esboce o gráfico da função $f(x,y)=\cos{x}$.

$z = \cos(x)$

$0.$

Faça o mapa de contorno da função $f(x,y)=ye^{x}$ mostrando várias de suas curvas de nível.

$y = Ce^{-x}.$

$\approx 181559$ cm$^{2}/$h.

Calcule as derivadas parciais de $f(x,y,z) = xe^{x - y - z}$.

$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x} = (1 + x)e^{x - y - z},\;\;\;\; \frac{\partial f}{\partial y} = -x e^{x - y - z}\;\;\;\;\;\text{e}\;\;\;\;\;\frac{\partial f}{\partial z} = -x e^{x - y - z}.$

Valor máximo: $\dfrac{3}{2};$ valor mínimo: $\dfrac{1}{2}.$

Determine uma representação paramétrica para a superfície descrita a seguir. A porção da esfera $x^{2}+y^{2}+z^{2}=3$ entre os planos $z=\sqrt{3}/2$ e $z=-\sqrt{3}/2.$

$x = \sqrt{3}\sin(\phi)\cos(\theta),$ $y = \sqrt{3}\sin(\phi)\sin(\theta),$ $z = \sqrt{3}\cos(\phi),$ onde $\dfrac{\pi}{3} \leq \phi \leq \dfrac{2\pi}{3}$ e $0 \leq \theta \leq 2\pi.$

Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função $f(x,y)=\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{y}+xy$, $x>0$ e $y>0$.

Ponto de mínimo: $\displaystyle \left( 2^{2/5}, 2^{-1/5} \right).$

Determine se ${\bf F}(x,y,z)=x\,{\bf i}+y\,{\bf j}+z\,{\bf k}$ é ou não um campo vetorial conservativo. Se for, determine uma função $f$ tal que ${\bf F}=\nabla f.$

Sim. $f(x,y,z) = \dfrac{x^{2} + y^{2} + z^{2}}{2} + K.$

Valor máximo: $\displaystyle 0;$ valor mínimo: $-2.$

Determine o sólido $E$ para o qual a integral $$ \iiint\limits_{  E}(1-x^{2}-2y^{2}-3z^{2})\,dV$$ é máxima.

$E = \left\{ (x,y,z);  x^2 + 2y^2 + 3z^2 \leq 1 \right\}.$

Determine se ${\bf F}(x,y,z)=\dfrac{x}{(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{2}}\,{\bf i}+\dfrac{y}{(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{2}}\,{\bf j}+\dfrac{z}{(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{2}}\,{\bf k}$ é ou não um campo vetorial conservativo. Se for, determine uma função $f$ tal que ${\bf F}=\nabla f.$

Sim. $f(x,y,z) = -\dfrac{1}{2(x^2 + y^{2} +z^{2})} + K.$

Calcule utilizando coordenadas esféricas. $\displaystyle\iiint\limits_{B}(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{2}\,dV$, onde $B$ é a bola com centro na origem e raio $5.$

$\dfrac{312500\pi}{7}.$

Determine as equações do plano tangente e da reta normal ao gráfico da função dada, no ponto dado. $f(x,y) = 3x^3y - xy$ em $(1,-1,f(1,-1))$.

Plano tangente: $z = -8x + 2y + 8$

Reta normal: $(x,y,z) = \left(1,-1,-2 \right) + \lambda \left(-8,2,-1 \right)$.

1.  $4.$

2.  $\dfrac{65}{28}.$

Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função $f(x,y)=e^{4y-x^{2}-y^{2}}$.

Ponto de máximo: $\displaystyle \left(0,2 \right).$

Calcule a integral dupla usando coordenadas polares: $\displaystyle\iint\limits_{R}(x^{2}+y^{2})^{3/2}\,dA$, onde $R$ é limitado pelo círculo $x^{2}+y^{2}=4.$

$\displaystyle \frac{64\pi}{5}.$

1. $\partial T/\partial x$ é a taxa de variação da temperatura quando a longitude muda, mas a latitude e o tempo são constantes;
   $\partial T/\partial y$ é a taxa de variação da temperatura quando a latitude muda, mas a longitude e o tempo são constantes;
   $\partial T/\partial t$ é a taxa de variação da temperatura quando o tempo muda, mas a longitude e a latitude são constantes.
2. $f_{x}(158,21,9) > 0,$ $f_{y}(158,21,9) < 0$ e $f_{t}(158,21,9) > 0.$
   

Usando coordenadas esféricas, determine o volume do sólido que está acima do cone $\phi=\pi/3$ e abaixo da esfera $\rho=4\cos{\phi}.$

$10\pi.$

Uma carga elétrica é distribuída sobre o retângulo $1 \leq x \leq 3$, $0 \leq y \leq 2$, de modo que a densidade de carga em $(x,y)$ é $\sigma(x,y) = 2xy + y^2$ (medida em coulombs por metro quadrado). Determine a carga total no retângulo.

$\displaystyle \frac{64}{3}$ Coulombs.

Seja $f$ uma função de três variáveis independentes $x,y$ e $z$. Mostre que $D_{\bf{i}}f = f_x$, $D_{\bf{j}}f = f_y$ e $D_{\bf{k}}f = f_z$.

Lembre que $\bf{i} = (1,0,0),$ $\bf{j} = (0,1,0),$ $\bf{k} = (0,0,1)$ e $D_{\bf{u}}f = \nabla f \cdot \bf{u}.$

Use coordenadas esféricas para encontrar o volume do sólido: limitado acima pela esfera \(\rho=4\) e abaixo pelo cone \(\phi=\pi/3\).

\(\dfrac{64\pi}{3}\)

$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x} = \frac{-x^{2} + y^{2} + z^{2}}{(x^{2} + y^{2} + z^{2})^{2}},\;\;\;\; \frac{\partial f}{\partial y} = \frac{-2xy}{(x^{2} + y^{2} + z^{2})^{2}} \;\;\;\;\;\text{e}\;\;\;\;\;\frac{\partial f}{\partial z} = \frac{-2xz}{(x^{2} + y^{2} + z^{2})^{2}}.$

1. $1.$

2. $\dfrac{4^{10} - 2^{11}}{180}.$

Determine o volume do sólido limitado pelo cilindro $x^2 + y^2 = 4$ e pelos planos $z = 0$ e $y + z = 3$.

$12\pi.$

$\displaystyle \nabla f(x,y,z) = \left(\frac{yz}{x^{2} + y^{2}},-\frac{xz}{x^{2} + y^{2}},\arctan\left(\frac{x}{y}\right) \right).$

\(\dfrac{14}{3}\) \({}^\circ\)C

Passe para coordenadas polares e calcule: $\displaystyle\int_{0}^{\ln 2}  \int_{0}^{\sqrt{(\ln 2)^{2}-y^{2}}}e^{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}\,dx dy$

$\displaystyle \frac{\pi(2\ln(2) - 1)}{2}.$

Determine as derivadas parciais de $z=\cos(xy)$.

$\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x} = -y\sin(xy)\;\;\;\;\;\;\text{e}\;\;\;\;\; \frac{\partial z}{\partial y} = -x\sin(xy).$

Encontre uma equação para a superfície de nível da função $f(x,y)=\ln (x^{2}+y^{2}+z^{2})$ que passa pelo ponto $(-1,2,1)$.

$x^{2} + y + z^{2} = 6.$

Calcule a integral em coordenadas esféricas. $\displaystyle\int_{0}^{\pi}\int_{0}^{\pi}\int_{0}^{2\,\sin{\phi}}\rho^{2}\sin{\phi}\,d\rho d\phi d\theta$.

$\pi^2.$

Encontre o volume do sólido no primeiro octante limitado pelo cilindro $z=16-x^{2}$ e pelo plano $y=5.$

 $\dfrac{640}{3}.$

Utilize coordenadas polares para determinar o volume do sólido dado: abaixo do cone $z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ e acima do disco $x^{2}+y^{2}\leq 4.$

$\displaystyle \frac{16\pi}{3}.$

Calcule a integral de linha, onde $C$ é a curva dada. $\displaystyle\int_{C}x\,dx-y\,dy$, $C$ é o segmento de extremidades $(1,1)$ e $(2,3)$, percorrido no sentido de $(1,1)$ para $(2,3).$

Uma representação paramétrica para o segmento de reta $C$ é

$$\begin{array}{lr}x=1+t \\y=1+2t\\\end{array}\;\;\;\; 0\leq t \leq 1.$$

Logo,

$$\begin{array}{lr}dx=dt \\dy=2\,dt\\\end{array}$$

Assim,

$$\int_{C}x\,dx-y\,dy=\int_{0}^{1}(1+t)\cdot (dt)+(1+2t)\cdot(2\,dt)=\int_{0}^{1}(1+t+2+4t)\,dt$$

$$=\int_{0}^{1}(3+5t)\,dt=\bigg(3t+\frac{5}{2}t^{2}\bigg)\bigg|_{0}^{1}=3+\frac{5}{2}=\frac{11}{2}.$$

1.  $2\pi.$

2.  $\dfrac{e - 1}{2}.$

$\displaystyle \frac{\partial z}{\partial s} = e^{x + st}\left(\frac{1}{t} - \frac{2t}{s^{2}} \right) $ e $\displaystyle \frac{\partial z}{\partial t} = e^{x + st}\left(\frac{2}{s} - \frac{s}{t^{2}} \right) $.

Se $f$ for contínua em $(x_{0},y_{0}),$ então o limite é igual a $f(x_{0},y_{0}) = 3.$ Se não for contínua em $(x_{0},y_{0}),$ então o limite pode ter qualquer valor diferente de $3.$

Encontre o trabalho realizado pelo campo de forças \[ \mathbf{F}(x,y)= y^2\mathbf{i} + xy\mathbf{j} \] para mover uma partícula de \((0,0)\) até \((1,1)\) ao longo da parábola \(y=x^2\).

Esboce a região de integração e mude a ordem de integração. $\displaystyle\int_{0}^{1}\!\!\int_{\arctan{x}}^{\pi/4}\!f(x,y)\,dy dx$.

As curvas ${\bf r}_{1}(t)=(t,t^{2},t^{3})$ e ${\bf r}_{2}(t)=(\sin{t},\sin{2t},t)$ se interceptam na origem. Determine o ângulo 
de intersecção destas com precisão de um grau.

$\displaystyle \nabla f(x,y,z) = (x^{2} + y^{2} + 1)^{z^{2}-1}\left(2xz^{2},2yz^{2},2z(x^{2} + y^{2} + 1)\ln(x^{2} + y^{2} + 1)\right).$

Determine uma reta que seja tangente à curva $x^2 + xy + y^2 = 7$ e paralela à reta $4x + 5y = 17$.

 $\displaystyle y - 2 = -\frac{4}{5} (x - 1)$ ou $\displaystyle y + 2 = -\frac{4}{5} (x + 1).$

Identifique a superfície cuja equação é $\rho=\sin{\theta}\sin{\phi}.$

Esfera de raio $\dfrac{1}{2}$ centrada no ponto $\left(0,\dfrac{1}{2},0\right).$

1. $\nabla f(x,y,z) = (e^{yz}, 2xze^{2yz}, 2xye^{2yz}).$
   
2. $\nabla f(3,0,2) = (1,12,0).$
   
3. $\displaystyle -\frac{22}{3}.$
   

$\displaystyle -6.$

Determine se o campo vetorial $\mathbf{F}(x,y,z) = ye^{-x}\mathbf{i} + e^{-x}\mathbf{j} + 2z\mathbf{k}$ é conservativo ou não. Se for conservativo, determine uma função $f$ tal que $\mathbf{F} = \nabla{f}$.

$\mathbf{F}$ não é conservativo.

Valor máximo: $\displaystyle \frac{8\sqrt{10}}{10};$ valor mínimo: $-\sqrt{10}.$

A força em um ponto $(x,y,z)$ em três dimensões é dada por ${\bf F}(x,y,z)=y\,{\bf i}+z\,{\bf j}+x\,{\bf k}$. Ache o trabalho realizado por ${\bf F}(x,y,z)$ ao longo da cúbica reversa $x=t$, $y=t^{2}$, $z=t^{3}$ de $(0,0,0)$ a $(2,4,8).$

$\dfrac{412}{15}.$

Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função $f(x,y)=x^{2}+y^{2}+x^{2}y+4$.

Pontos de mínimo: $(1,1)$ e $(-1,-1);$ ponto de sela: $(0,0).$

Determine se ${\bf F}(x,y)=(\ln y+2xy^{3})\,{\bf i}+(3x^{2}y^{2}+x/y)\,{\bf j}.$ é ou não um campo vetorial conservativo. Se for, determine uma função $f$ tal que ${\bf F}=\nabla f.$

Sim. $f(x,y) = x^{2}y + xy^{-2} + K.$

Determine o conjunto dos pontos de continuidade da função $f(x,y) = \sqrt{6 - 2x^2 - 3y^2}$. Justifique sua resposta.

$\left\lbrace (x,y);\; 2x^{2} + 3y^{2} \leq 6 \right\rbrace.$

$4\pi$.

Pontos de máximo: $\displaystyle \left(2,1\right)$ e $(-2,-1)$; pontos de mínimo: $\displaystyle \left(-2,1\right)$ e $(2,-1)$.

Determine uma equação do plano tangente à superfície parametrizada dada no ponto especificado. $x=u^{2}$, $y=v^{2}$, $z=uv$; $u=1$, $v=1.$

$x + y - 2z = 0.$

 Determine um plano que seja tangente à superfície $x^2 + 3y^2 + 2z^2 = \dfrac{11}{6}$ e paralelo ao plano $x + y + z = 10$.

 $\displaystyle x + y + z = \frac{11}{6}$ ou $\displaystyle x + y + z = -\frac{11}{6}.$

Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função $f(x,y)=-x^{2}+y^{2}+2xy+4x-2y$.

Ponto de sela: $\displaystyle \left(\frac{3}{2},-\frac{1}{2}\right).$

Seja $A=\{(0,y,z)\in \mathbb{R}^{3}| z^{2}+(y-2)^{2}=1\}$; ache a área da superfície gerada pela rotação em torno do eixo $Oz$ do conjunto $A.$

$8\pi^2.$

Identifique a superfície cuja equação é dada por $z = 4 - r^2$.

$z = 4 - x^2 - y^2,$ o parabolóide circular com vértice $(0,0,4)$.

Mostre que se \(f\) é diferenciável e \(z=xf(x/y)\), então todos os pontos planos tangentes ao gráfico dessa equação passam pela origem.

Passe para coordenadas polares e calcule: $\displaystyle\int_{0}^{6}  \int_{0}^{y}x\,dx dy$

$36.$

Valor máximo: $\displaystyle  4;$ valor mínimo: $-4.$

Entre todos os pontos do gráfico de $z=10-x^{2}-y^{2}$ que estão acima do plano $x+2y+3z=0$, encontre o ponto mais afastado do plano.

$\displaystyle \left( \frac{1}{6}, \frac{1}{3}, \frac{355}{36} \right).$

1.  $\dfrac{2\pi}{5}$.

2.  $0.$

3.  $0.$

Suponha que $T(x,y)=4-x^{2}-y^{2}$ represente uma distribuição de temperatura em uma região que pode ser aproximada por um plano. Seja $D=\{(x,y)\in \mathbb{R}^2: x\geq 0,\;y\geq x\;\text{e}\;2y+x\leq 4\}$. Determine o ponto de $D$ de menor temperatura.

$(0,2).$

Esboce o gráfico da função $f(x,y)=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$. Em geral, se $g$ é uma função de uma variável, como saber o gráfico de $f(x,y)=g(\sqrt{x^{2}+y^{2}})$ a partir do gráfico de $g$?

O gráfico de $f(x,y) = g(\sqrt{x^{2} + y^{2}})$ pode ser obtido rotacionando o gráfico de $g$ no plano $xz$ ao redor do eixo $z.$

1. $D_{f} = \left\lbrace (x,y);\; x \leq y \right\rbrace$.

2. $Im(f) = \left\lbrace z \in \mathbb{R};\; z \geq 0 \right\rbrace.$

3. As curvas de nível são as retas $y - x = C,$ com $C \geq 0.$

Determine o rotacional e o divergente do campo vetorial $\mathbf{F}(x,y,z) = e^{xy}\sin{z}\mathbf{j} + y\tan^{-1}(x/z)\mathbf{k}$.

$\text{rot } \mathbf{F} = (\arctan(x/z) - e^{xy}\cos(z))\mathbf{i} - \dfrac{yz}{x^{2} + z^{2}} \mathbf{j} + ye^{xy}\sin(z) \mathbf{k}.$ $\text{div } \mathbf{F} = xe^{xy}\sin(z) - \dfrac{xy}{x^{2} + z^{2}}.$

Esboce a região de integração e calcule a integral $\displaystyle\int_{0}^{\pi}\!\!\int_{0}^{x}x\sin{y}\,dy dx$.

$\dfrac{\pi^{2}}{2} + 2.$

Uma carga elétrica é distribuída sobre um disco $x^2 + y^2 \leq 4$ de modo que a densidade de carga em $(x,y)$ é $\sigma(x,y) = x + y + x^2 + y^2$ (medida em coulombs por metro quadrado). Determine a carga total do disco.

Como a carga elétrica é distribuída sobre o disco $x^2 + y^2 \leq 4$, em coordenadas polares temos que $0\leq r \leq 2$ e $0\leq \theta \leq 2\pi.$ Temos que $$Q=\iint\limits_{D}\sigma(x,y)\,dA=\iint\limits_{D}(x+y+x^{2}+y^{2})\,dA$$ $$=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{2}(r\,\cos \theta+r\,\sin \theta+r^{2})r\,dr\, d \theta=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{2}(r^{2}\,\cos \theta+r^{2}\,\sin \theta+r^{3})\,dr\, d \theta$$ $$=\int_{0}^{2\pi}\bigg(\frac{r^{3}}{3}\cos \theta+\frac{r^{3}}{3}\sin \theta +\frac{r^{4}}{4}\bigg)\bigg|_{0}^{2}\,d\theta= \int_{0}^{2\pi}\bigg(\frac{8}{3}\cos \theta+\frac{8}{3}\sin \theta+4\bigg)\,d\theta$$ $$=\bigg(\frac{8}{3}\sin\theta-\frac{8}{3}\cos\theta+4\theta\bigg)\bigg|_{0}^{2\pi}=\bigg(-\frac{8}{3}+8\pi\bigg)-\bigg(-\frac{8}{3}\bigg)$$ $$=-\frac{8}{3}+8\pi+\frac{8}{3}=8\pi.$$

Encontre a área da superfície descrita como sendo a parte do cone \(z^2=4x^2+4y^2\) que está acima da região do primeiro quadrante limitada pela reta \(y=x\) e a parábola \(y=x^2\).

\( \dfrac{\sqrt{5}}{6}\)

Encontre $f_{x}$, $f_{y}$ e $f_{z}$ para $f(x,y,z)=1+xy^{2}-2z^{2}$.

$\displaystyle f_{x} = 1+ y^{2} ,\;\;\;\; f_{y} = 2xy \;\;\;\;\text{e}\;\;\;\; f_{z} = -4z$.

Expresse $\partial z/\partial t$ em termos das derivadas parciais de $f$, sendo $z=f(x,y)$ e $x=\sin{3t}$ e $y=\cos{2t}.$

 $\displaystyle \frac{dz}{dt} (t) = 3 \cos(3t) \frac{\partial f}{\partial x}(\sin(3t),\cos(2t)) - 2\sin(2t) \frac{\partial f}{\partial y}(\sin(3t),\cos(2t)).$

1. $x = \dfrac{2v - u}{5},$ $y = \dfrac{v - 3u}{5}.$

2. Região delimitada pelas retas $x = 2y,$ $x = 2y + 4,$ $y = 3x - 1$ e $3x - 8.$

3. $\dfrac{8 \ln(8)}{5}.$

Calcule a área da parte da superfície cilíndrica $z^{2}+x^{2}=4$ que se encontra dentro do cilindro $x^{2}+y^{2}\leq 4$ e acima do plano $xy.$

$16.$

Esboce o sólido descrito pelas desigualdades $0 \leq r \leq 2$, $-\pi/2 \leq \theta \leq \pi/2$ e $0 \leq z \leq 1$.

$\displaystyle \lim_{(x,y) \to (0,0)} y\sin\left(\frac{1}{x} \right) = 0.$

$0.$

$\dfrac{6}{5} - \cos(1) - \sin(1).$

Utilizando a fórmula de Heron temos que a área e um triânulo é

$$A=\sqrt{s(s-x)(s-y)(s-z)},$$

com $s=p/2$ e $x,\,y,\,z$ lados do triângulo.

Mas a álgebra fica mais simples se maximizarmos o quadrado da área, isto é,

$$A^{2}=f(x,y,z)=s(s-x)(s-y)(s-z).$$

A restrição é que o triângulo têm perímetro constante $p$, ou seja,

$$g(x,y,z)=x+y+z=p.$$

De acordo com o método dos multiplicadores de Lagrange, resolvemos $\nabla f=\lambda \nabla g$ e $g=p.$ Então

$$\nabla f(x,y,z)=(\,-s(s-y)(s-z),\, -s(s-x)(s-z),\,-s(s-x)(s-y)\,)$$

e

$$\lambda \nabla g(x,y,z)=\lambda (1,1,1)=(\lambda, \lambda, \lambda).$$

Logo temos as seguintes equações

\begin{array}{rcl}-s(s-y)(s-z)&=&\lambda\\-s(s-x)(s-z)&=&\lambda\\-s(s-x)(s-y)&=&\lambda\\x+y+z&=&p\end{array}

Assim, das três primeiras equações, temos que

$$-s(s-y)(s-z)=-s(s-x)(s-z)=-s(s-x)(s-y).$$

Da primeira igualdade obtemos que $s-y=s-x\Rightarrow y=x$ e da segunda igualdade obtemos que $s-z=s-y\Rightarrow z=y$, resultando que $x=y=z.$

Portanto, o triângulo com área máxima e perímetro constante $p$ é um triângulo equilátero.

Esboce o campo vetorial $\textbf{F}=\dfrac{1}{2}(\textbf{i} + \textbf{j})$, desenhando um diagrama.

Mostre que uma função diferenciável $f$ decresce mais rapidamente em $\bf{x}$ na direção oposta à do vetor gradiente, ou seja, na direção de $-\nabla f(\bf{x})$.

Se $\bf{u}$ é um versor e $\theta$ é o ângulo entre $\nabla f$ e $\bf{u},$ então
$$
D_{\bf{u} f} = \nabla f \cdot \bf{u} = |\nabla f||\bf u| \cos(\theta) = |\nabla f|\cos(\theta).
$$
O valor mínimo de $\cos(\theta)$ é $-1$ e isto ocorre quando $\theta = \pi.$ Portanto o valor mínimo de $D_{\bf{u}} f$ é $-|\nabla f|$ e ocorre quando $\theta = \pi,$ ou seja, quando $\bf{u}$ tem a direção oposta à de $\nabla f.$

Identifique e faça um esboço da imagem da superfície parametrizada dada por ${\bf r}(u,v)=(1,u,v)$, $0\leq u\leq 1$, $0\leq v \leq 1.$

Região quadrada do plano $x = 1:$ $0 \leq y \leq 1$ e $0 \leq z \leq 1.$

$0.$

Determine a imagem do conjunto $S$ sob a transformação dada. $S$ é a região triangular com vértices $(0,0), (1,1), (0,1)$;$x = u^2$, $y = v$.

A região limitada pela reta $y = 1,$ pelo eixo $y$ e por $y = \sqrt{x}.$

$-\dfrac{1}{6}.$

Calcule a área da parte da superfície esférica $x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$ que se encontra dentro do cone $z\geq \sqrt{x^{2}+y^{2}}.$

$\pi(2 - \sqrt{2}).$

1. $\dfrac{21}{2} \ln(2).$

2. $\dfrac{(e^{3} - 1)^{2}}{3}.$

$\displaystyle\int_{C} {\bf F} \cdot d{\bf R} = \displaystyle\iint_{S} \mbox{rot} {\bf F} \cdot d{\bf S} = -\pi$.

Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função $f(x,y)=xy-2x-y$.

Ponto de mínimo: $(2,1);$ ponto de sela: $(0,0).$

Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função $f(x,y)=x^{4}+xy+y^{2}-6x-5y$.

Ponto de mínimo: $\displaystyle \left( 1,2\right).$

Utilize as diferenciais para estimar a quantidade de estanho em uma lata cilíndrica fechada com $8$ cm de diâmetro e $12$ cm de altura se a espessura da folha de estanho for de $0,04$ cm.

Para $V = \pi r^{2}h$ o volume da lata de raio $r$ e altura $h,$ temos $\Delta V \approx 16$ cm$^{3}.$

Uma piscina circular tem diâmetro de 10 metros. A profundidade é constante ao longo das retas de leste a oeste e cresce linearmente de 1 metro na extremidade sul para dois metros na extremidade norte. Encontre o volume de água da piscina.

$1800 \pi$ m$^3.$

Se $z=f(x,y)$, onde $x=r^{2}+s^{2}$ e $y=2rs$, determine $\partial^{2}z/\partial r\partial s.$ 

$\displaystyle \frac{\partial^{2}z}{\partial r\partial s} = 4rs \frac{\partial^{2}z}{\partial x^{2}} + 4rs \frac{\partial^{2}z}{\partial y^{2}} + (4r^{2} + 4s^{2}) \frac{\partial^{2}z}{\partial x\partial y} +  2 \frac{\partial z}{\partial y}.$ 

Esboce a região de integração e calcule a integral $\displaystyle\int_{1}^{\ln 8}\!\!\!\int_{0}^{\ln y}e^{x+y}\,dx dy$.

$8 \ln(8) - 16 + e.$

Use a integral tripla para determinar o volume do sólido dado por $x^{2}+y^{2}\leq z\leq \sqrt{4-3x^{2}-3y^{2}}.$

Primeiramente, vamos determinar a projeção no plano $xy$ da interseção de \begin{eqnarray*} z&=&\sqrt{4-3x^{2}-3y^{2}}\\ z&=&x^{2}+y^{2}. \end{eqnarray*} Da primeira equação temos que \begin{eqnarray*} \label{1}z=\sqrt{4-3x^{2}-3y^{2}}\Leftrightarrow z^{2}=4-3x^{2}-3y^{2}\Leftrightarrow z^{2}=4-3(x^{2}+y^{2}). \end{eqnarray*} Substituindo a segunda equação  na primeira, obtemos que $$z^{2}=4-z\Leftrightarrow z^{2}+3z-4=0\Leftrightarrow (z-1)(z-4)=0.$$ Logo, $z=-4$ e $z=1.$ Notemos que $z=-4$ não satisfaz as duas primeiras equações acima, então a projeção $D$ no plano $xy$ é o círculo de raio 1, isto é, $D=\{(x,y)\in \mathbb{R};\;\, x^{2}+y^{2}\leq 1\}.$ Assim, o volume, $V$, do sólido é: $$V=\iint\limits_{D}\bigg[\int_{x^{2}+y^{2}}^{\sqrt{4-3x^{2}-3y^{2}}}1\, dz\bigg]\,dA = \iint\limits_{ D}\sqrt{4-3x^{2}-3y^{2}}-(x^{2}+y^{2})\,dA.$$ Passando para coordenadas polares temos que \begin{eqnarray*}  x=r\cos \theta\\ y=r\sin \theta\\ dA=r\,dr\,d\theta\\ 0\leq r\leq 1\\ 0\leq \theta \leq 2\pi.\\ \end{eqnarray*} Então, $$V=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1}(\sqrt{4-3r^{2}}-r^{2})r\,dr\,d \theta=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1}(r\sqrt{4-3r^{2}}-r^{3})\,dr\,d\theta$$ $$=\int_{0}^{2\pi}\,d\theta\cdot \bigg[\bigg(\underbrace{\int_{0}^{1}r\sqrt{4-3r^{2}}\,dr}_{\substack{ u=4-3r^{2}\\ du=-6r\,dr}}\bigg)-\bigg(\int_{0}^{1}r^{3}\,dr\bigg)\bigg]$$ $$=\theta\bigg|_{0}^{2\pi}\cdot \bigg[\bigg(\int_{4}^{1}r\cdot u^{1/2}\frac{du}{-6r}\bigg)-\bigg(\frac{r^{4}}{4}\bigg|_{0}^{1}\bigg)\bigg]$$ $$=2\pi\cdot \bigg[\bigg(-\frac{1}{6}\int_{4}^{1}u^{1/2}\,du\bigg)-\frac{1}{4}\bigg]=2\pi \cdot \bigg[\bigg(-\frac{1}{6}\cdot \frac{2}{3}u^{3/2}\bigg|_{4}^{1}\bigg)-\frac{1}{4}\bigg]$$ $$=2\pi \cdot \bigg[-\frac{1}{9}+\frac{1}{9}\cdot 8-\frac{1}{4}\bigg]=2\pi \cdot \frac{19}{36}=\frac{19\pi}{18}.$$

1. $\nabla f(x,y) = (5y^{2} - 12x^{2}y, 10xy - 4x^{3}).$
   
2. $\nabla f(1,2) = (-4, 16).$
   
3. $\displaystyle \frac{172}{13}.$
   

Utilize coordenadas polares para determinar o volume do sólido dado: delimitado pelo cone $z^2=x^2+y^2$ e pelo cilindro $x^2+y^2=2x.$

$\dfrac{8}{9}.$

1. $f(x,y,z) = xyz + z^{2};$

2. $77.$

Explique por que a função é diferenciável no ponto dado. $f(x,y) = e^{-xy} \cos{y}, \quad (\pi,0)$.

As derivadas $f_{x}$ e $f_{y}$ de cada $f$ existem e são contínuas no ponto dado, logo $f$ é diferenciável.