Hexágono é um polígono que possui seis lados delimitados por segmentados de reta. Essa figura plana é formada pela junção de seis triângulos equiláteros.
Quando o hexágono é regular todos os lados possuem a mesma medida e seus ângulos internos são de 120º. Por isso, a área do hexágono é seis vezes a área de um triângulo equilátero que o compõe.
Como calcular a área do hexágono regular?
A fórmula para calcular a área do hexágono é:
Onde, é área e L é a medida do lado hexágono.
Dessa forma a área do hexágono só depende da medida do lado.
Veja a seguir os passos para chegar nessa fórmula.
O triângulo equilátero possui três lados com a mesma medida. Quando traçamos uma linha, representando a altura (h), dividimos um triângulo equilátero em outros dois triângulos.
Aplicando o Teorema de Pitágoras, encontramos a altura do triângulo da seguinte forma:
A fórmula para calcular a área do triângulo é:
Substituindo os termos, temos:
Como o hexágono é formado por seis triângulos equiláteros, a área do hexágono é seis vezes a área do triângulo. Veja:
Exercício resolvido
Para fazer um hexágono Pedro cortou uma cartolina. Com uma régua mediu e verificou que todos os lados tinham 10 cm. Qual a área do hexágono que Pedro criou?
Ver Resposta
Resposta correta:
Para resolver esse exemplo basta apenas substituir a medida do lado, 10 cm, na fórmula para calcular a área.
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Como calcular a área de um hexágono a partir do apótema
Outra forma de calcular a área de um hexágono é utilizando o perímetro e o apótema. A fórmula utilizada é:
Sendo
O perímetro (p) corresponde à soma dos lados do polígono, já o apótema () é encontrado traçando uma linha entre o centro do hexágono e o ponto médio de um dos lados da figura.
Quando um hexágono regular está inscrito em uma circunferência, os seis vértices da figura dividem a circunferência em seis partes iguais. Neste caso, o raio da circunferência (r) coincide com o lado do hexágono (l), pois formam um triângulo equilátero .
Sendo , aplicamos o Teorema de Pitágoras e encontramos a fórmula para calcular o apótema da seguinte forma:
Exercício resolvido
Em uma circunferência cujo raio mede 10 cm, foi desenhado um hexágono regular. Calcule as medidas de lado, apótema e área do polígono desenhado.
Ver Resposta
Como o hexágono está inscrito na circunferência, seu lado coincide com o raio, que é de 10 cm.
O apótema é calculado da seguinte forma:
Utilizando a fórmula que relaciona o perímetro e o apótema do hexágono, encontramos a sua área.
Calculando o perímetro, temos:
Aplicamos o valor do perímetro e do apótema na fórmula.
Aprenda mais sobre o hexágono.
Confira como calcular a área de outras figuras planas:
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- Área do Trapézio
Professor de Matemática licenciado e pós-graduado em Ensino da Matemática e Física (Fundamental II e Médio), com formação em Magistério (Fundamental I). Engenheiro Mecânico pela UERJ, produtor e revisor de conteúdos educacionais.
ANUNCIOS
Un hexágono es un polígono de seis lados. El cálculo del área de un hexágono es diferente dependiendo de si el hexágono es regular o irregular.
Área de un hexágono regular
El área de un hexágono regular se calcula como la mitad del producto del perímetro y la apotema (ap), utilizando la fórmula del área del poligono regular.
Al ser su perímetro seis veces la longitud (L) de uno de sus lados, el área será:
Como la apotema del hexágono regular se calcula con esta fórmula (a partir de la apotema de un polígono regular):
Donde α es el ángulo interior del hexágono. Así, la fórmula del área del hexágono regular se puede expresar así:
En la que, agrupando las constantes, con aproximación a dos decimales, se queda así:
Área de un hexágono irregular
El área de un hexágono irregular requiere ser claculada por métodos alternativos de cálculo de áreas. El más común es dividir el hexágono en seis triángulos y calcular el área sumando las seis áreas de los triángulos.
El área del hexágono irregular se puede calcular mediante dos procedimientos alternativos: el método de triangulación o el determinante de Gauss.
Triangulación del hexágono irregular
Sea P un hexágono irregular. Se desea calcular su área (A).
El método de triangulación consiste en dividir el hexágono en figuras más fáciles de calcular el área. En este caso se divide en seis triángulos y el área del hexágono será la suma del área de esos seis triángulos.
- Se divide el hexágono en seis triángulos (T1, T2, T3, T4, T5 y T6) . Estos triángulos cumplen que uno de sus lados es un lado del hexágono y que todos confluyen en un mismo punto interior del hexágono.
- Se miden las alturas (h1, h2,…, h6) de los triángulos. La altura de cada triángulo será el segmento de recta perpendicular al lado del hexágono que va desde ese mismo lado hasta el punto interior.
- Se calculan las áreas de los seis triángulos. El área del primer
triángulo es:
Utilizamos la misma fórmula para calcular el área de los otros cinco triángulos.
- Sumamos las seis áreas y obtenemos el área del hexágono irregular:
Determinante de Gauss
Un procedimiento muy útil para hallar el área de cualquier polígono irregular es a través del determinante de Gauss.
Supone dibujar la figura sobre un plano cartesiano, fijando las coordenadas de cada uno de los vértices del polígono.
Se elige al azar cualquiera de ellos y se colocan los pares en la siguiente fórmula. Se ha de recorrer el polígono en el sentido contrario al de las agujas del reloj, teniendo en cuenta que el primer par de coordenadas corresponden al vértice elegido y, después de recorrer en sentido antihorario todos los vértices, el último par debe volver a ser el par inicial.
Sean los vértices del hexágono: (x1,y1), (x2,y2),…, (x6,y6). La fórmula es la siguiente:
Resolviéndolo por el procedimiento conocido, habremos hallado rápidamente el área del hexágono irregular.
Este método es aplicable a cualquier polígono con cualquier número de lados, tanto en el caso de polígonos cóncavos como en los convexos.
Ejercicio del área de un hexágono regular
Sea un hexágono regular con los seis lados (N=6) de la misma longitud L=3,1 cm.
La apotema (distancia del centro del hexágono al punto medio de un lado) se puede calcular mediante el ángulo central (resolución del polígono regular trigonométricamente).
Sea el ángulo central:
Mediante las razones trigonométricas y el ángulo central se calcula la apotema:
Y la apotema es ap=2,68 cm.
Se aplica la fórmula del área del hexágono regular:
Y se obtiene que el área es 24,92 cm2.
AUTOR: Bernat Requena Serra