Documento: pdf (1040 páginas) 36.6 MB  Os autores e a editora empenharam-se para citar adequadamente e dar o devido crédito a todos os detentores dos direitos autorais de qualquer material utilizado neste livro, dispondo-se a possíveis acertos caso, inadvertidamente, a identificação de algum deles tenha sido omitida. Não é responsabilidade da editora nem dos autores a ocorrência de eventuais perdas ou danos a pessoas ou bens que tenham origem no uso desta publicação. Apesar dos melhores esforços dos autores, da tradutora, do editor e dos revisores, é inevitável que surjam erros no texto. Assim, são bem- vindas as comunicações de usuários sobre correções ou sugestões referentes ao conteúdo ou ao nível pedagógico que auxiliem o aprimoramento de edições futuras. Os comentários dos leitores podem ser encaminhados à LTC — Livros Técnicos e Científicos Editora pelo e-mail . Traduzido de ELEMENTARY DIFFERENTIAL EQUATIONS AND BOUNDARY VALUE PROBLEMS, TENTH EDITION Copyright © 2012 John Wiley & Sons, Inc. All Rights Reserved. This translation published under license with the original publisher John Wiley & Sons, Inc. ISBN: 978-0-470-45831-0 Direitos exclusivos para a língua portuguesa Copyright © 2015 by LTC — Livros Técnicos e Científicos Editora Ltda. Uma editora integrante do GEN | Grupo Editorial Nacional Reservados todos os direitos. É proibida a duplicação ou reprodução deste volume, no todo ou em parte, sob quaisquer formas ou por quaisquer meios (eletrônico, mecânico, gravação, fotocópia, distribuição na internet ou outros), sem permissão expressa da editora. Travessa do Ouvidor, 11 Rio de Janeiro, RJ − CEP 20040-040 Tels.: 21-3543-0770 / 11-5080-0770 Fax: 21-3543-0896 www.ltceditora.com.br Design de capa: Madelyn Lesure Ilustração de capa: Norm Christiansen Produção digital: Geethik CIP-BRASIL. CATALOGAÇÃO-NA-FONTE SINDICATO NACIONAL DOS EDITORES DE LIVROS, RJ B784e 10. ed. Boyce, William E., 1930- Equações diferenciais elementares e problemas de valores de contorno / William E. Boyce, Richard C. DiPrima ; tradução e revisão técnica Valéria de Magalhães Iorio. - 10. ed. - Rio de Janeiro : LTC, 2015. il. ; 28 cm. Tradução de: Elementary differential equations and boundary value problems Apêndice Inclui bibliografia e índice ISBN 978-85-216-2832-3 1. Equações diferenciais. 2. Problemas de valores de contorno. I. Título. 14-18458 CDD: 515.35 CDU: 517.9 Ebooks completos para download em formato PDF. Acesse: https://livros-pdf-ciencias-exatas.blogspot.com.br/ Para Elsa e, em memória, para Maureen Para Siobhan, James, Richard, Jr., Carolyn e Ann E para a próxima geração: Charles, Aidan, Stephanie, Veronica e Deirdre Os Autores William E. Boyce recebeu o bacharelado (B.A.) em Matemática pelo Rhodes College, e seu mestrado (M.S.) e doutorado (Ph.D.) em Matemática pela Carnegie-Mellon University. É membro da Sociedade Americana de Matemática (American Mathematical Society), da Associação Matemática da América (Mathematical Association of America) e da Sociedade para a Matemática Industrial e Aplicada (Society for Industrial and Applied Mathematics). É, atualmente, Professor Emérito de Educação em Ciência Edward P. Hamilton (Departamento de Ciências Matemáticas) em Rensselaer. É autor de diversos artigos técnicos sobre problemas de valores de contorno e equações diferenciais aleatórias e suas aplicações. É autor de diversos livros-textos, incluindo dois sobre equações diferenciais, e coautor (com M. H. Holmes, J. G. Ecker e W. L. Siegmann) de um texto usando o programa Maple para explorar o Cálculo. Também é coautor (com R. L. Borrelli e C. S. Coleman) de Differential equations laboratory workbook (Wiley, 1992), e recebeu o prêmio Educom de Melhor Inovação Curricular em Matemática em 1993. Professor Boyce foi, também, um membro do Codee (Consórcio para Experiências em Equações Diferenciais Ordinárias), patrocinado pela NSF (National Science Foundation) e que gerou ODE Architect (Arquiteto de EDO), muito recomendado. Atuou, também, na inovação e reforma dos currículos. Entre outras coisas, Boyce começou o projeto “Computadores em Cálculo”, em Rensselaer, com auxílio parcial da NSF. Recebeu, em 1991, o prêmio William H. Wiley Distinguished Faculty Award, oferecido por Rensselaer. Richard C. DiPrima (falecido) recebeu seu bacharelado (B.S.), seu mestrado (M.S.) e seu doutorado (Ph.D.) em Matemática pela Carnegie-Mellon University. Juntou-se ao corpo docente do Instituto Politécnico Rensselaer depois de ter tido posições de pesquisa no MIT (Massachussets Institut of Technology), em Harvard e em Hughes Aircraft. Teve a posição Eliza Ricketts Foundation Professorship of Mathematics em Rensselaer, foi membro da Sociedade Americana de Engenheiros Mecânicos (American Society of Mechanical Engineers, ASME), da Academia Americana de Mecânica (American Academy of Mechanics) e da Sociedade Americana de Física (American Physical Society). Foi, também, membro da Sociedade Americana de Matemática, da Associação Matemática da América e da Sociedade de Matemática Industrial e Aplicada. Serviu como Chefe do Departamento de Ciências Matemáticas em Rensselaer, como Presidente da Sociedade de Matemática Industrial e Aplicada e como Presidente do Comitê Executivo da Divisão de Mecânica Aplicada da ASME. Em 1980, recebeu o prêmio William H. Wiley Distinguished Faculty Award, oferecido por Rensselaer. Recebeu bolsas da Fulbright em 1964- 1965 e em 1983 e uma bolsa Guggenheim em 1982-1983. Foi autor de diversos artigos técnicos sobre estabilidade hidrodinâmica e teoria de lubrificação, e de dois livros sobre equações diferenciais e problemas de valores de contorno. O professor DiPrima morreu em 10 de setembro de 1984. PREFÁCIO Esta edição, como as anteriores, foi escrita do ponto de vista do matemático aplicado, cujo interesse em equações diferenciais pode ser, às vezes, altamente teórico, outras vezes intensamente prático, ou, com frequência, algo no meio. Procuramos combinar uma exposição correta e precisa (mas não abstrata) da teoria elementar das equações diferenciais com bastante material sobre métodos de solução, análise e aproximação que tenham se mostrado úteis em uma ampla gama de aplicações. O livro foi escrito, principalmente, para o aluno de graduação em matemática, ciência ou engenharia, o qual, tipicamente, faz um curso sobre equações diferenciais durante seu primeiro ou segundo ano de estudo. O principal pré-requisito para ler este livro é saber trabalhar com cálculo, o que pode ser obtido através de uma sequência de dois ou três semestres ou equivalente. Nos capítulos sobre sistemas de equações diferenciais, alguma familiaridade com matrizes pode ajudar. Para que um livro-texto seja amplamente utilizado, ele precisa se adaptar a diversas estratégias curriculares. Isso implica pelo menos duas coisas: A primeira é que instrutores devem ter a maior flexibilidade possível para escolher tanto os tópicos a serem cobertos, quanto a ordem em que serão estudados. A segunda é que o livro deve ter utilidade para os alunos que têm acesso a uma grande variedade de tecnologias diferentes. Em relação ao conteúdo, fornecemos essa flexibilidade garantindo que, na medida do possível, os capítulos sejam independentes entre si. Assim, depois de completar as partes básicas dos três primeiros capítulos (grosso modo, as Seções 1.1 até 1.3, 2.1 até 2.5 e 3.1 até 3.5), o instrutor pode decidir os tópicos adicionais a serem cobertos, além da ordem e profundidade em que serão estudados. Os capítulos de 4 a 11 são essencialmente independentes entre si, exceto que o Capítulo 7 deve ser dado antes do Capítulo 9 e o Capítulo 10 deve vir antes do Capítulo 11. Isso significa que existem caminhos diversos para se percorrer o livro, e muitas combinações diferentes foram usadas com sucesso em edições anteriores. Com relação à tecnologia, observamos, repetidamente, no texto que computadores são extremamente úteis para investigar equações diferenciais e suas soluções, e muitos problemas devem ser resolvidos com assistência computacional. Apesar disso, o livro pode ser adaptado para disciplinas com diferentes níveis de envolvimento computacional, variando de pouco ou nenhum até intenso. O texto é independente de qualquer plataforma computacional ou programa específicos. Muitos problemas estão marcados com o símbolo para indicar que o consideramos particularmente apropriado para utilização de tecnologia computacional. Os computadores têm pelo menos três utilidades importantes em uma disciplina de equações diferenciais. A primeira é simplesmente trabalhar com números, gerando assim aproximações numéricas precisas de soluções. A segunda é efetuar manipulações simbólicas que seriam enfadonhas e tomariam muito tempo se feitas à mão. Finalmente, talvez a mais importante de todas é a habilidade de traduzir os resultados numéricos ou simbólicos em forma gráfica, de modo que o comportamento das soluções possa ser visualizado facilmente. Tipicamente, os problemas marcados envolvem uma ou mais dessas características. Naturalmente, a designação de um problema como particularmente apropriado para utilização de computadores é um julgamento um tanto subjetivo, e o objetivo do símbolo é servir como guia. Muitos dos problemas marcados assim podem ser resolvidos, pelo menos em parte, sem ajuda computacional, e um computador também pode ser usado de maneira eficaz em muitos dos problemas que não estão marcados. Do ponto de vista de um aluno, os problemas para casa e os que aparecem nas avaliações é que determinam a disciplina. Acreditamos que a característica mais marcante deste livro é o número, e, acima de tudo, a variedade e amplitude, dos problemas que contém. Muitos problemas são exercícios simples, mas muitos outros são mais desafiadores, e alguns são bastante gerais, podendo servir como base para projetos de estudos independentes. Existem muito mais problemas do que qualquer instrutor pode usar em uma disciplina específica, e isso dá aos professores muitas possibilidades de escolha ao adaptar o curso aos seus objetivos e às necessidades dos alunos. A motivação para resolver a maioria das equações diferenciais é o desejo de aprender alguma coisa sobre o processo físico subjacente modelado pela equação. A importância das equações diferenciais reside no fato de que mesmo as equações mais simples correspondem a modelos físicos úteis, tais como crescimento e decaimento exponenciais, sistemas mola-massa ou circuitos elétricos. A compreensão de um processo natural complexo é obtida, em geral, pela combinação de modelos mais simples e mais básicos. Portanto, um conhecimento amplo desses modelos básicos, formado pelas equações que os descrevem e suas soluções, é o primeiro passo indispensável para a solução de problemas mais complexos e realistas. Descrevemos esse processo de modelagem em detalhe nas Seções 1.1, 1.2 e 2.3. Construções cuidadosas de alguns modelos também aparecem nas Seções 2.5 e 3.7 e nos apêndices do Capítulo 10. As equações diferenciais resultantes do processo de modelagem aparecem com frequência ao longo do livro, especialmente nos problemas. A principal razão para incluir material razoavelmente extenso sobre aplicações e modelagem matemática em um livro de equações diferenciais é convencer os estudantes de que a modelagem matemática leva, com frequência, a equações diferenciais e que as equações diferenciais fazem parte da investigação de problemas em uma grande variedade de outros campos de conhecimento. Enfatizamos, também, a facilidade de utilização do conhecimento matemático: uma vez compreendido, um método particular de solução pode ser usado em qualquer campo de aplicação no qual aparece uma equação 1. 2. 3. diferencial apropriada. Se esses pontos forem incorporados pelos estudantes, acreditamos não ser necessário fornecer aplicações específicas para todos os métodos de solução ou todos os tipos de equação que considerarmos. Isso ajuda a manter o livro com um tamanho razoável; de qualquer forma, o tempo para discutir modelagem e aplicações na maioria das disciplinas de equações diferenciais é limitado. Problemas não rotineiros precisam, muitas vezes, usar diversas ferramentas, tanto analíticas quanto numéricas. Métodos usando lápis e papel precisam ser combinados, com frequência, com a utilização eficaz de um computador. Resultados quantitativos e gráficos, produzidos em geral por computadores, servem para ilustrar e tornar claras conclusões difíceis de entender através de expressões analíticas complicadas. Por outro lado, a implementação de um procedimento numérico eficiente depende, em geral, de muita análise preliminar para determinar as características qualitativas das soluções como guia para a computação, investigar casos limites ou especiais, ou descobrir o intervalo no qual as variáveis ou parâmetros podem variar ou que vão precisar de atenção especial. Assim, um estudante deve começar a compreender que a investigação de um problema difícil pode precisar tanto de análise quanto de computação; que é preciso bom senso para determinar a ferramenta mais apropriada para uma tarefa particular; e que resultados podem ser apresentados, muitas vezes, de diversas formas. Acreditamos que é importante os estudantes compreenderem que o objetivo de resolver uma equação diferencial raramente é obter uma solução (com a possível exceção de disciplinas de equações diferenciais). Em vez disso, o interesse na solução é para compreender o comportamento do processo supostamente modelado pela equação. Em outras palavras, a solução não é o objetivo final. Por isso, incluímos muitos problemas, além de alguns exemplos no texto, que pedem para concluir alguma coisa sobre a solução. Algumas vezes, isso corresponde a encontrar o valor de uma variável independente no qual a solução satisfaz certa propriedade, ou a determinar o valor crítico de um parâmetro no qual a solução muda substancialmente. Tais problemas são típicos dos que aparecem em aplicações de equações diferenciais, e, dependendo dos objetivos da disciplina, um professor tem a opção de mandar os alunos fazerem alguns ou muitos desses problemas. Leitores familiares com a edição precedente observarão que a estrutura geral do livro permanece inalterada. As revisões feitas nesta edição são, muitas vezes, o resultado de sugestões de usuários de edições anteriores. O objetivo é melhorar a clareza e a legibilidade de nossa apresentação de material básico sobre equações diferenciais e suas aplicações. Especificamente, as revisões mais importantes incluem as seguintes: As Seções 8.5 e 8.6 tiveram a ordem trocada, de modo que os tópicos mais avançados aparecem no final do capítulo. Deduções e demonstrações em diversos capítulos foram expandidas ou reescritas para fornecer mais detalhes. O fato de que as partes real e imaginária de uma solução complexa de um problema real também são soluções aparece agora como um teorema nas Seções 3.2 e 7.4. 4. 5. 6. 7. 8. O tratamento de autovetores generalizados na Seção 7.8 foi expandido tanto no texto quanto nos problemas. Existem cerca de vinte problemas novos ou revistos espalhados pelo livro. Há exemplos novos nas Seções 2.1, 3.8 e 7.5. Cerca de uma dúzia de figuras foram modificadas, principalmente pelo uso de cor para tornar mais evidente a característica essencial da figura. Além disso, foram expandidas diversas legendas para tornar mais claro o propósito da figura sem que o leitor tenha que procurar no texto em torno da figura. Há diversas notas de rodapé históricas novas, e outras foram expandidas. Os autores descobriram que as equações diferenciais fornecem uma fonte inesgotável de resultados e fenômenos interessantes e, algumas vezes, surpreendentes. Esperamos que os usuários deste livro, tanto estudantes quanto professores, irão compartilhar de nosso entusiasmo pelo assunto. William E. Boyce Grafton, Nova York 13 de março de 2012 ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ Material Suplementar Este livro conta com os seguintes materiais suplementares: Folhas de Revisão do Capítulo: Conteúdo em forma de tópicos, definições, teoremas, habilidades a serem exploradas e aplicações relevantes dos capítulos em (.pdf) (acesso livre). Instructor’s Solutions Manual: Manual de soluções em inglês em (.pdf) (acesso restrito a docentes). Lecture Note PowerPoint Slides: Apresentações para uso em sala de aula em inglês em (.ppt) (acesso restrito a docentes). Maple Technology Resources: Arquivos do Maple em inglês (acesso livre). Mathematica Technology Resources: Arquivos do Mathematica em inglês (acesso livre). MATLAB Technology Resources: Recursos para uso do Matlab (HTML) em inglês (acesso livre). Projetos: Projetos a serem desenvolvidos com base no conteúdo de capítulos do livro-texto em (.pdf) (acesso livre). Slides em PowerPoint: Ilustrações da obra em formato de apresentação (acesso restrito a docentes). Student Solutions Manual: Manual de soluções de exercícios selecionados para o estudante em inglês em (.pdf) (acesso restrito a docentes). O acesso aos materiais suplementares é gratuito, bastando que o leitor se cadastre em: http://gen- io.grupogen.com.br AGRADECIMENTO É um prazer expressar meus agradecimentos às muitas pessoas que ajudaram de diversas maneiras, generosamente, na preparação deste livro. Aos indivíduos listados a seguir, que revisaram o manuscrito e/ou deram muitas sugestões valiosas para melhorá-lo: Vincent Bonini, California Polytechnic State University, San Luis Obispo Fengxin Chen, University of Texas San Antonio Carmen Chicone, University of Missouri Matthew Fahy, Northern Arizona University Isaac Goldbring, University of California at Los Angeles Anton Gorodetski, University of California Irvine Mansoor Haider, North Carolina State University David Handron, Carnegie-Mellon University Thalia D. Jeffres, Wichita State University Akhtar Khan, Rochester Institute of Technology Joseph Koebbe, Utah State University Ilya Kudish, Kettering University Tong Li, University of Iowa Wen-Xiu Ma, University of South Florida Aldo Manfroi, University of Illinois Urbana-Champaign Will Murray, California State University Long Beach Harold R. Parks, Oregon State University William Paulsen, Arkansas State University Shagi-Di Shih, University of Wyoming John Starrett, New Mexico Institute of Mining and Technology David S. Torain II, Hampton University George Yates, Youngstown State University Nung Kwan (Aaron) Yip, Purdue University Yue Zhao, University of Central Florida Aos meus colegas e estudantes em Rensselaer, cujas sugestões e reações através dos anos contribuíram muito para afiar meus conhecimentos de equações diferenciais, assim como minhas ideias de como apresentar o assunto. Aos leitores da edição precedente que me alertaram sobre erros ou omissões. A Tamas Wiandt (Rochester Institute of Technology), a responsável principal pela revisão do Manual de Soluções para o Instrutor e do Manual de Soluções para o Estudante, e a Charles Haines (Rochester Institute of Technology) que auxiliou nesta tarefa. A Tom Polaski (Winthrop University), que verificou se estavam corretas as respostas no final do livro e no Manual de Soluções para o Instrutor. A David Ryeburn (Simon Fraser University), que leu cuidadosamente o manuscrito inteiro e as provas tipográficas pelo menos quatro vezes, e é responsável por muitas correções e melhoramentos. A Douglas Meade (University of South Carolina), cujo auxílio imprescindível tomou muitas formas: lendo o manuscrito em um estágio inicial e oferecendo diversas sugestões; auxiliando na expansão das notas de rodapé históricas e atualizando as referências; e assumindo a responsabilidade principal pela verificação da correção das provas tipográficas. Ao corpo editorial e de produção da John Wiley and Sons, que sempre estiveram prontos para ajudar e mostraram um altíssimo padrão de profissionalismo. Finalmente, e o mais importante, à minha esposa Elsa por discutir questões tanto matemá... 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