Como provar que duas retas são paralelas no espaço

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1. 1. Geometria de Posição
2. 2. 1º) Em uma reta, bem como fora dela, existem infinitos pontos; 2º) Por um ponto passam infinitas retas; 3º) Dois pontos distintos determinam uma única reta;
3. 3. 4º) Um ponto qualquer de uma reta divide em duas semirretas.
4. 4. 1º) Em um plano, bem como fora dele, existem infinitos pontos;
5. 5. 2º) Se uma reta possui dois pontos distintos num plano, então ela está contida nesse plano;
6. 6. 3º) Três pontos não colineares determinam um único plano que passa por eles; A B C
7. 7. 4º) Uma reta qualquer de um plano o divide em dois semiplanos;
8. 8. 5º) Um plano qualquer divide o espaço em duas regiões que denominamos semi-espaços;
9. 9. 6º) Por uma reta passam infinitos planos.
10. 10.  Três pontos distintos não colineares;
11. 11.  Uma reta e um ponto fora dela; AA B C
12. 12.  Duas retas concorrentes; P A B
13. 13.  Duas retas paralelas e distintas; A B C
14. 14. 1) Classifique em V ou F conforme as sentenças sejam verdadeiras ou falsas e justifique sua resposta: ( ) Por um ponto passam infinitas retas; ( ) Três pontos distintos quaisquer determinam um plano; ( ) Por dois pontos A e B passa uma única reta; ( ) Por dois pontos A e B passam infinitos planos;
15. 15.  Entre duas retas: 1º) Coincidentes: Duas retas possuem todos os pontos em comum.
16. 16. 2º) Concorrentes: Duas retas que tem apenas um ponto em comum. Indica-se r X s e r∩ s = {P}.
17. 17. 3º) Paralelas: Duas retas que não tem ponto em comum. Indica-se r // s e r ∩ s = { }. Obs.: As duas retas devem estar no mesmo plano.
18. 18. 4º) Reversas: Não possuem ponto em comum e estão em planos diferentes. Obs.: quando duas retas reversas formam ângulo de 90º são chamadas de ortogonais.
19. 19.  Entre reta e plano: 1º) Reta contida no plano: Uma reta está contida num plano quando todos os seus pontos pertencem ao plano.
20. 20. 2º) Reta e plano concorrentes: São concorrentes quando tem um único ponto em comum.
21. 21. 3º) Reta e plano paralelos: São paralelos quando não tem ponto em comum. r
22. 22.  Entre dois planos: 1º) Planos coincidentes: Todos os pontos são comuns.
23. 23. 2º) Planos concorrentes ou secantes: São distintos e tem intersecção não vazia. Essa intersecção é sempre determinada por uma reta.
24. 24. 3º) Planos paralelos: Não tem pontos em comum.
25. 25. 1) Classifique em verdadeiro ou falso as sentenças abaixo: ( ) Duas retas que possuem um único ponto em comum são coincidentes; ( ) Duas retas distintas sem ponto em comum são paralelas; ( ) Duas retas que determinam um plano ou são concorrentes ou são paralelas;
26. 26. ( ) Três retas que passam por um único ponto P podem ser perpendiculares entre si. R: F – F – V – V 2) O que se pode afirmar sobre a posição entre a reta r e o plano α em cada caso? a) r ∩ α = r b) r ∩ α = ∅ c) r ∩ α = {P} a)r contida em α b)r paralela a α c)r concorrente a α
27. 27.  Considerando um plano α e um ponto P fora do plano, podemos traçar por P infinitas retas que interceptam α. Dessas, uma única reta é perpendicular ao plano, e as demais são denominadas retas oblíquas ao plano.
28. 28.  Se uma reta r é perpendicular a um plano α, então r forma um ângulo de 90º com qualquer reta contida em α.
29. 29.  Projeção de um ponto
30. 30.  Projeção de uma reta 1º caso: Reta perpendicular ao plano
31. 31. 2º caso: A reta oblíqua ao plano
32. 32. 3º caso: A reta paralela ao plano
33. 33.  Diedro  Triedro
34. 34. 1) Coloque V ou F para as sentenças abaixo: a) Se uma reta r for perpendicular a duas retas, s e t, concorrentes de um plano, então essa reta será perpendicular ao plano. b) Se uma reta r for perpendicular a um plano α, sua projeção será um segmento de reta. c) Se uma reta r for oblíqua a um plano, sua projeção ortogonal poderá ser um segmento de reta.
35. 35. R: V – F – V 2) Duas retas paralelas r e s são projetadas ortogonalmente sobre o plano α. Quais são as posições relativas das projeções? R: Duas retas, uma reta, dois pontos.
36. 36. FIM

Dando continuidade ao estudo da reta na geometria analítica, vamos falar um pouco sobre as retas paralelas.

Não deixe de ver também nossos conteúdos sobre os outros tópicos da geometria analítica.

Bom estudo!

Dizemos que duas retas são paralelas quando ocupam o mesmo plano e não possuem nenhum ponto em comum.

A linguagem matemática utilizada para informar que as retas r e s são paralelas é r ⁄ ⁄ s.

Na figura é possível observar que as retas são paralelas porque possuem a mesma inclinação, ou seja, possuem os mesmos coeficientes angulares.

Utilizando a linguagem matemática, temos que:

r ⁄ ⁄ s ⇔ α1 = α2

Conclusão: A maneira mais rápida de identificarmos duas retas paralelas é comparando o coeficiente angular. Caso sejam iguais, as retas serão paralelas, caso contrário, serão concorrentes.

Obs: Devemos descartar os casos onde os coeficientes angulares são iguais assim como as equações reduzidas das retas, pois neste caso as retas serão coincidentes.

Exemplo 1. Verificar se as retas r: x + 5y + 1 = 0 e s: 2x – y + 4 = 0 são paralelas.

Calculando o coeficiente angular de cada uma das retas:

Reta r

x + 5y + 1 = 0

5y = -x – 1

y = -x/5 – 1/5

m = -1/5

Reta s

2x – y + 4 = 0

y = 2x + 4

m = 2

Conclusão: Os coeficientes angulares das retas r e s são diferentes, ou seja, as retas NÃO são paralelas.

Exemplo 2. Verificar se as retas r: 3x – 2y + 6 = 0 e s: -6x + 4y + 10 = 0 são paralelas.

Calculando o coeficiente angular de cada uma das retas:

Reta r

3x – 2y + 6 = 0

2y = 3x + 6

y = (3x + 6) / 2

y = (3/2)x + 3

m = 3/2

Reta s

-6x + 4y + 10 = 0

4y = 6x – 10

y = (6x – 10) / 4

y = (6/4)x – 10/4

y = (3/2)x – 5/2

m = 3/2

Conclusão: As retas r e s possuem o mesmo coeficiente angular e são paralelas.

Exemplo 3. Determinar a equação geral da reta r que passa pelo ponto P(1, 1) e é paralela à reta s: 3x – y + 5  = 0.

Podemos determinar a equação da reta apenas conhecendo um de seus pontos e a inclinação. A questão nos informou que a reta r passa pelo ponto (1 ,1) e que deve ser paralela a reta s, ou seja, deve possuir a mesma inclinação. Nosso primeiro objetivo será calcular a inclinação (coeficiente angular) da reta s.

3x – y + 5 = 0

y = 3x + 5

m = 3

Como a reta s possui coeficiente angular igual a 3, este também deve ser o coeficiente angular da reta r.

Determinando a equação da reta r, sabendo que m = 3 e que (1, 1) ∈ r:

y – y0 = m(x – x0)

y – 1 = 3.(x – 1)

y – 1 = 3x – 3

3x – y – 3 + 1 = 0

3x – y – 2 = 0

Daí, a equação da reta que passa pelo ponto (1, 1) e que é paralela à reta 3x – y + 5 = 0 é 3x – y – 2 = 0.

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