Matem�tica EssencialEnsino Fundamental, M�dio e Superior no BrasilEnsino Fundamental Show
Fra��es Patr�cia E.Silva e Ulysses Sodr� Material desta p�gina
1 Elementos Hist�ricos sobre fra��esH� \(3000\) antes de Cristo, ge�metras dos fara�s do Egito realizavam marca��o das terras que ficavam �s margens do rio Nilo, para a sua popula��o. Mas, no per�odo de junho a setembro, o rio inundava essas terras levando parte de suas marca��es. Logo os propriet�rios das terras tinham que marc�-las novamente e para isso, eles utilizavam uma marca��o com cordas, que seria uma esp�cie de medida, denominada estiradores de cordas. As pessoas usavam cordas, esticando-as e assim verificavam quantas vezes aquela unidade de medida estava contida nos lados do terreno, mas raramente a medida dava correta no terreno, isto �, n�o cabia um n�mero inteiro de vezes nos lados do terreno; sendo assim eles sentiram a necessidade de criar um novo tipo de n�mero: o n�mero fracion�rio, onde eles utilizavam as fra��es. 2 Introdu��o ao conceito de fra��o�s vezes, ao tentar partir algo em peda�os, como por exemplo, uma pizza, n�s a cortamos em partes que n�o s�o do mesmo tamanho. Logo isso daria uma grande confus�o, pois quem ficaria com a parte maior? Ou quem ficaria com a parte menor? � l�gico que algu�m sairia no preju�zo. Pensemos neste exemplo: Dois irm�os foram juntos comprar chocolate. Eles compraram duas barras de chocolate iguais, uma para cada um. Iam come�ar a comer quando chegou uma de suas melhores amigas e vieram as perguntas: Quem daria um peda�o para a amiga? Qual deveria ser o tamanho do peda�o? Eles discutiram e chegaram � seguinte conclus�o: Para que nenhum dos dois comesse menos, cada um daria metade do chocolate para a amiga.
3 Elementos gerais para a constru��o de fra��esPara representar os elementos que n�o s�o tomados como partes inteiras de alguma coisa, utilizamos o objeto matem�tico denominado fra��o. O conjunto dos n�meros naturais, algumas vezes inclui o zero e outras vezes n�o, tendo em vista que zero foi um n�mero criado para dar sentido nulo a algo. Assim, o conjunto \(N\) ser� representado por: \[N=\{1,2,3,4,5,6,7,...\}\] Logo, todos os n�meros naturais representam partes inteiras. Os n�meros que n�o representam partes inteiras, mas que s�o partes de inteiros, constituem os n�meros racionais n�o-negativos, aqui representados por \(Q_{+}\), onde esta letra \(Q\) significa quociente ou divis�o de dois n�meros inteiros naturais. \[Q_+ = \{0,...,\frac14,...,\frac12,...,1,...,2,...\}\] Numeral: Relativo a n�mero ou indicativo de n�mero. N�mero: Palavra ou s�mbolo que expressa quantidade. 4 Defini��o de fra��oOs numerais que representam n�meros racionais n�o-negativos s�o as fra��es, que s�o formas matem�ticas onde aparece um n�mero que fica em cima de um tra�o (numerador) e outro n�mero que fica embaixo do mesmo tra�o (denominador). \[\frac{\text{numerador}}{\text{denominador}}\] Quando o denominador � um n�mero natural, o numerador indica quantas partes s�o tomadas do denominador, sendo que o denominador indica em quantas partes o n�mero inteiro foi dividido. Nota: A linguagem HTML n�o proporciona ainda um m�todo simples para implementar a barra de fra��o, raz�o pela qual, �s vezes usamos a barra \(/\) ou mesmo o sinal \(\div\), para entender a divis�o de dois n�meros. Exemplo: A fra��o \(1/4\), que pode ser escrita como: \[\frac14\] Em linguagem matem�tica, as frac�es podem ser escritas tanto como no exemplo acima ou mesmo como \(1/4\), considerada mais comum. \[1= \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline \color{red}{1/4} & 1/4 & 1/4 & 1/4 \\ \hline \end{array}\] A unidade foi dividida em quatro partes iguais. A fra��o pode ser visualizada atrav�s da figura anexada, sendo que ficou em cor vermelha uma dessas partes. 5 Leitura de fra��esEm todos os casos, consideramos a fra��o na forma \(1/d=\frac{1}{d}\). 5.1 Denominador � maior que 1 e menor que 10
5.2 Denominador � maior que 10Em geral, lemos: 1, o denominador e a palavra avos. Avos � um substantivo masculino usado na leitura das fra��es, designa cada uma das partes iguais em que foi dividida a unidade e se cujo denominador � maior do que dez. Nota: N�o existe h� explica��o clara sobre a palavra avos, mas esta palavra pode ter aparecido na sequ�ncia: \(1/2, 1/4, 1/8\) e a �ltima fra��o pode ser lida como algo em Latim: 1 octavos como uma variante de: 1 octo avos.
5.3 Denominador � m�ltiplo de 10
Nota: A fra��o \(1/3597\) pode ser lida como: um, tr�s mil quinhentos e noventa e sete avos. 6 Tipos de fra��esA representa��o gr�fica mostra a fra��o \(3/4\) que � uma fra��o cujo numerador � um n�mero natural menor do que o denominador. \[\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline \color{red}{1/4} & \color{red}{1/4} & \color{red}{1/4} & 1/4 \\ \hline \end{array}\] A fra��o cujo numerador � menor que o denominador, isto �, a parte � tomada dentro do inteiro, � uma fra��o pr�pria. A fra��o cujo numerador � maior do que o denominador, isto �, representa mais do que um inteiro dividido em partes iguais � uma fra��o impr�pria. Por exemplo: \[\frac53 = \frac33 + \frac23 = 1+\frac23\] \[3/3=\begin{array}{|c|c|c|} \hline \color{red}{1/3} & \color{red}{1/3} & \color{red}{1/3} \\ \hline \end{array}\] \[2/3=\begin{array}{|c|c|c|} \hline \color{red}{1/3} & \color{red}{1/3} & 1/3 \\ \hline \end{array}\] Fra��o aparente: � aquela cujo numerador � um m�ltiplo do denominador e aparenta ser uma fra��o mas n�o �, pois representa um n�mero inteiro. Como um caso particular, o zero � m�ltiplo de todo n�mero inteiro, assim as fra��es \(0/3\), \(0/8\), \(15/3\) s�o aparentes, pois s�o n�meros inteiros. Fra��es Equivalentes: S�o as que representam a mesma parte do inteiro. Multiplicando os termos (numerador e denominador) de uma fra��o sucessivamente pelos n�meros naturais, obtemos um conjunto infinito de fra��es que constitui um conjunto conhecido como a classe de equival�ncia da fra��o dada. \[\,\;1\;\;= \begin{array}{|c|} \hline \;\quad\qquad\qquad\qquad\qquad 1 \;\,\quad\qquad\qquad\qquad\qquad \\ \hline \end{array}\] \[1/2= \begin{array}{|c|c|} \hline \qquad\quad\;\;\, \color{red}{1/2} \qquad\quad\;\;\; & \qquad\quad\;\;\; 1/2 \qquad\quad\;\;\, \\ \hline \end{array}\] \[2/4= \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline \quad\; \color{red}{1/4} \quad\; & \quad\, \color{red}{1/4} \quad\; & \quad\; 1/4 \quad\; & \quad\, 1/4 \quad\; \\ \hline \end{array}\] \[3/6= \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline \;\; \color{red}{1/6} \; & \;\; \color{red}{1/6} \; & \;\; \color{red}{1/6} \; & \;\;\, 1/6 & \;\; 1/6 \; & \;\;\, 1/6 \; \\ \hline \end{array}\] \[4/8= \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \color{red}{1/8} & \color{red}{1/8} & \color{red}{1/8} & \color{red}{1/8} & 1/8 & 1/8 & 1/8 & 1/8\\ \hline \end{array}\] 7 Propriedades fundamentais
\[\frac12 = \frac{1{\times}2}{2{\times}2} = \frac24\]
\[\frac{12}{16} = \frac{12�2}{16�2} = \frac{6}{8} = \frac{6�2}{8�2} = \frac34\] 8 A fra��o como uma classe de equival�nciaA classe de equival�ncia de uma fra��o � o conjunto de todas as fra��es equivalentes � fra��o dada. Ao inv�s de trabalhar com todos os elementos deste conjunto infinito, simplesmente poderemos tomar a fra��o mais simples deste conjunto que ser� a representante desta classe. Esta fra��o recebe o nome de n�mero racional. Aplicando a propriedade fundamental, podemos escrever o conjunto das fra��es equivalentes a \(1/3\), como: \[C\left(\frac13\right)=\left\{\frac13,\frac26,\frac39,\frac4{12}, \frac5{15},\frac{6}{18},...\right\}\] 9 N�mero MistoQuando o numerador de uma fra��o � maior que o denominador, podemos realizar uma opera��o de decomposi��o desta fra��o em uma parte inteira e uma parte fracion�ria e o resultado � denominado n�mero misto. Transforma��o de uma fra��o impr�pria em um n�mero misto \[\frac{17}4=\frac{16+1}4 = \frac{16}{4} + \frac14 = 4 + \frac14 = 4\frac14\] Transforma��o de um n�mero misto em uma fra��o impr�pria \[4\frac14 = 4 + \frac14 = \frac{16}4 + \frac14 = \frac{17}4\] 10 Simplifica��o de Fra��esSimplificar fra��es � o mesmo que escrev�-la em uma forma mais simples, para que a mesma se torne mais f�cil de ser manipulada. O objetivo de simplificar uma fra��o e tornar a mesma uma fra��o irredut�vel, isto �, uma fra��o para a qual o M�ximo Divisor Comum entre o numerador e o denominador seja 1, ou seja, o numerador e o denominador devem ser primos entre si. Tal simplifica��o pode ser feita atrav�s de divis�o sucessiva e pela fatora��o. A divis�o sucessiva corresponde a dividir os dois termos da fra��o por um mesmo n�mero (fator comum ) at� que ela se torne irredut�vel. \[\frac{36}{60}=\frac{36�2}{60�2}=\frac{18}{30} =\frac{18�2}{30�2}=\frac{9}{15}=\frac{9�3}{15�3}=\frac35\] Respectivamente, dividimos os termos das fra��es por \(2\), \(2\) e \(3\). Nota: Outro modo para dividir fra��es � obter o M�ximo Divisor Comum (MDC) entre os termos da fra��o e simplificar a fra��o diretamente por esse valor. Exemplo: Simplificamos a fra��o \(\frac{54}{72}\) usando o M�ximo Divisor Comum. Como \(MDC(54,72)=18\), ent�o \[\frac{54}{72} = \frac{54�18}{72�18} = \frac34\] 11 Compara��o de duas fra��es11.1 Por redu��o ao mesmo denominadorSe duas fra��es possuem denominadores iguais, a maior fra��o � a que possui maior numerador. Por exemplo: \[\frac35 < \frac45\] 11.2 Os termos das fra��es s�o diferentesReduzimos ambas as fra��es a um mesmo denominador e o processo depende do c�lculo do M�nimo M�ltiplo Comum (MMC) entre os dois denominadores que � o denominador comum �s duas fra��es. Na sequ�ncia, divide-se o denominador comum pelo denominador de cada fra��o e multiplica-se o resultado obtido pelo respectivo numerador. Exemplo: Vamos comparar as fra��es \(\frac23\) e \(\frac35\). Como os denominadores s�o \(3\) e \(5\), temos que \(MMC(3,5)=15\). Reduzindo ambas as fra��es ao mesmo denominador comum \(15\), aplica-se a regra de dividir o denominador comum pelo denominador de cada fra��o e na sequ�ncia multiplica-se esse respectivo n�mero pelo numerador. \[\frac23 \quad ? \quad \frac35\] Multiplicando os termos da primeira fra��o por \(5\) e multiplicando os termos da segunda fra��o por \(3\) obtemos: \[\frac23 = \frac{2{\times}5}{3{\times}5} \quad ? \quad \frac{3{\times}3}{5{\times}3} = \frac35\] Temos ent�o os mesmos denominadores, logo: \[\frac23 = \frac{10}{15} \quad ? \quad \frac{9}{15} = \frac35\] e podemos garantir que \[\frac23 = \frac{10}{15} > \frac{9}{15} = \frac35\] 11.3 As fra��es possuem o mesmo numeradorSe os numeradores das fra��es s�o iguais, a fra��o maior � a que tem o denominador menor. Exemplo: Uma representa��o gr�fica para a desigualdade \[\frac34 > \frac38\] que � igual a \[\frac68 > \frac38\] pode ser dada geometricamente por: \[\frac68= \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \color{red}{1/8} & \color{red}{1/8} & \color{red}{1/8} & \color{red}{1/8} & \color{red}{1/8} & \color{red}{1/8} & 1/8 & 1/8\\ \hline \end{array}\] \[\frac38= \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \color{red}{1/8} & \color{red}{1/8} & \color{red}{1/8} & 1/8 & 1/8 & 1/8 & 1/8 & 1/8\\ \hline \end{array}\] A �rea marcada em \(\color{red}{vermelho}\) � maior na primeira figura, assim \[\frac34 = \frac68 > \frac38\] 12 Divis�o de fra��esConsideremos inicialmente uma divis�o \(D\) de duas fra��es, denotada por: \[D = \frac12 \div \frac23\] Um modo f�cil para explicar esta divis�o � tomar as duas fra��es com o mesmo denominador e realizar a divis�o do primeiro numerador pelo segundo numerador, isto �: \[D = \frac12 \div \frac23 = \frac36 \div \frac46\] pois \(1/2=3/6\) e \(2/3=4/6\). O desenho abaixo mostra as fra��es \(1/2\) e \(2/3\), atrav�s de suas formas equivalentes: \(3/6\) e \(4/6\). \[1/2=3/6= \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline \color{red}{1/6} & \color{red}{1/6} & \color{red}{1/6} & 1/6 & 1/6 & 1/6 \\ \hline \end{array}\] \[2/3=4/6= \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline \color{red}{1/6} & \color{red}{1/6} & \color{red}{1/6} & \color{red}{1/6} & 1/6 & 1/6 \\ \hline \end{array}\] Realizar a divis�o entre dois n�meros fracion�rios ou n�o fracion�rios, \(A\) e \(B\), � o mesmo que procurar saber quantas partes de \(B\) est�o ocupadas por \(A\). Quantas partes da fra��o \(4/6\) est�o ocupadas pela fra��o \(3/6\)? Nas figuras, os numeradores das fra��es est�o em cor vermelha. Como temos 3 partes em vermelho na primeira fra��o e 4 partes em vermelho na segunda fra��o, a divis�o corresponde � fra��o \(\frac34\), ou seja, em cada 4 partes vermelhas, 3 est�o ocupadas. Este argumento justifica a divis�o de duas fra��es pela multiplica��o da primeira fra��o pelo inverso da segunda fra��o e observamos que de fato isto funciona neste caso: \[D=\frac12 \div \frac23 = \frac36 {\times} \frac64 = \frac{18}{24} =\frac34\] Na verdade, h� um tratamento mais geral deste caso particular. A divis�o de um n�mero real \(\frac{a}{b}\) pelo n�mero real \(\frac{c}{d}\) �, a multiplica��o do n�mero \(\frac{a}{b}\) pelo inverso de \(\frac{c}{d}\). Mas, o inverso de \(\frac{c}{d}\) � a fra��o \(\frac{d}{c}\), assim: \[\frac{a}{b}\div\frac{c}{d}=\frac{a}{b}\times\frac{d}{c}=\frac{a{\times}d}{b{\times}c}\] É verdade que todo número que pode ser escrito na forma de fração de inteiros e racional?Qualquer fração é um número racional, pois naturalmente já está escrita na forma necessária para isso. Qualquer número inteiro pode ser escrito na forma de fração. Para tanto, basta dividi-lo por 1, pois todo número dividido por 1 é igual a si mesmo.
Quais são os números inteiros?Os número inteiros correspondem aos números positivos, negativos e o 0 (zero). Eles formam um conjunto numérico representado pela letra Z, em referência a palavra alemã Zahlen (números ou algarismos), Z = {... -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4...}.
Como são chamados os números que podem ser colocados na forma de fração?Os números racionais são os números que podem ser escritos na forma de fração. Esses números podem também ter representação decimal finita ou decimal infinita e periódica.. Racionais não-positivos. ... . Racionais positivos. ... . Racionais negativos.. Quais são os números inteiros e racionais?Números racionais são os números que podem ser representados por frações de números inteiros, contanto que o denominador seja qualquer número diferente de zero (0). Eles também são formados por elementos pertencentes aos conjuntos dos Números Reais (R), e Números Irracionais (I).
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