Em que prazo um empréstimo de $30.000 00 pode ser quitado em um único pagamento de $51.310 18 Sabendo

CAPITALIZA��O COMPOSTA

CAPITALIZA��O COMPOSTA: MONTANTE E VALOR ATUAL PARA PAGAMENTO �NICO

Capitaliza��o composta � aquela em que a taxa de juros incide sobre o capital inicial, acrescido dos juros acumulados at� o per�odo anterior. Neste regime de capitaliza��o a taxa varia exponencialmente em fun��o do tempo.

O conceito de montante � o mesmo definido para capitaliza��o simples, ou seja, � a soma do capital aplicado ou devido mais o valor dos juros correspondentes ao prazo da aplica��o ou da d�vida.

A simbologia usada ser� VF para valor futuro ou montante, VP para valor presente ou capital inicial, n para o prazo ou per�odo de capitaliza��o e i para a taxa.

A dedu��o da equa��o para calcular o montante para um �nico pagamento � pouco mais complexa que a capitaliza��o simples. Para facilitar o entendimento, vamos admitir o seguinte problema:

Calcular o montante de um capital de $ 1.000,00, aplicado � taxa de 4% ao m�s, durante 5 meses.

Dados:

VP = 1.000,00

n = 5 meses

i = 4% ao m�s = 0,04

VF = ?

Logo o montante ser� de R$ 1.216,65

Algebricamente podemos deduzir que:

VF0 = VP =>montante no momento zero (hoje).

Temos que Montante � Capital mais juros => VF = VP + VP.i, ent�o:

VF1 = VP + VP x i = VP(1+i) => montante no final do primeiro per�odo;

VF2 = VP(1+i) + VP(1+i) x i = VP(1+i)(1+i) = VP(1 + i)2

VF3 = VP(1 + i)2+ VP(1 + i)2 xi = VP(1 + i)2 (1+i) = VP(1 + i)3

VF4 = VP(1 + i)3 �+ VP(1 + i)3 x i= VP(1 + i)3 (1+i) = VP(1 + i)4

.

.

VFn = VP(1 + i)n + VP(1 + i)nx i = VP(1 + i)n(1+i) = VP(1 + i)n

Para simplificar vamos fazer VFn = VF. Assim, a f�rmula final do montante � dada pela equa��o:

VF = VP(1+i)n

No exerc�cio anterior podemos fazer:

VF= 1.000 (1+0,04 )5 = 1.216,65, que confere com o valor determinado anteriormente.

Situa��o Problema:

1.    Calcular o montante de uma aplica��o de $ 15.000,00, pelo prazo de 6 meses, � taxa de 3% ao m�s.

Dados:

VP = 15.000,00

n = 6 meses

i = 3% ao m�s =0,03

VF=?

Solu��o:

VF = P(1+i)n

VF =15000(1+0,03)6 = $ 17.910,78

C�lculo do Juro

Para calcular somente o juro, temos que J = VF � VP => J = VP(1+i)n � VP resultando:

Situa��o Problema

2.    Qual o juro pago no caso do empr�stimo de $ 1.000,00 � taxa de juros compostos de 2% a.m. e pelo prazo de 10 meses?

Dados:

VP = 1.000

i = 2% a .m.

n = 10 meses

Solu��o:

J = VP[(1+i)n-1]

J = 1000[(1+0,02)-1] = $ 218,99

Situa��o problema

3.    No final de dois anos, devo efetuar um pagamento de $ 200.000,00 referente ao valor de um empr�stimo contra�do hoje, sabendo que a taxa acordada foi de 4% ao m�s com capitaliza��o mensal, pergunta-se: Qual o valor emprestado?

Dados:

VF = 200.000,00

n = 2 anos = 24 meses

� = 4% ao m�s = 0,04

VP = ?

Solu��o:

VP = VF / (1+i)n

Substituindo os termos temos:

VP = 200000 / (1+0,04)24 = $ 78.024,29

Situa��o problema

4.    Uma determinada loja financia a venda de uma mercadoria no valor de $ 1.299,99, sem entrada, para pagamento em uma �nica presta��o de $ 2.151,48 no final de 8 meses. Qual a taxa mensal cobrada pela loja?

Dados:

VF = 2.151,48

VP = 1.299,99

n = 8 meses

i =?

Solu��o:

Isolando a taxa ( i ) na equa��o VP = VF / (1+i)n, temos i = (VF/VP)1/n � 1

Substituindo os termos temos:

i = (2151,48 /1299,99)1/8 � 1 = 0,065 => 6,5% ao m�s

�Situa��o problema

5.    Em que prazo um empr�stimo de $ 20.000,00 pode ser quitado em um �nico pagamento de $ 41.578,56, sabendo-se que a taxa contratada � de 5% ao m�s?

Dados:

VF = 41.578,56

VP = 20.000,00

� = 5% ao m�s = 0,05

n =?

Solu��o:

Isolando-se o prazo ( n ) na equa��o VP = VF / (1+i)n, chegamos que n = log(VF/VP) / log(1 + i)

Substituindo os termos temos:

n = log(41578,56/20000)/log(1+0,05) = 15 meses, pois a taxa est� em m�s.

6.    Um t�tulo de renda fixa dever� ser resgatado por $ 10.000,00 no seu vencimento, que ocorrer� dentro de tr�s meses. Sabendo-se que o rendimento desse t�tulo � de 15% ao ano, determinar o seu valor presente.

Dados:

VF = 10.000,00

n = 3 meses

� = 15% ao ano

VP = ?

Neste caso o per�odo est� em meses e a taxa em ano, na capitaliza��o composta � taxa n�o pode ser dividida para se adequar ao per�odo, para adequar a taxa ao per�odo temos que fazer equival�ncia de taxa, ou adequar o per�odo a taxa.

VEJA EQUIVAL�NCIA DE TAXA NO MENU AO LADO.