No lançamento de dois dados calcule a probabilidade de se obter soma igual a 8

Probabilidade condicional refere-se à probabilidade de um evento ocorrer com base em um evento anterior. Evidentemente, esses dois eventos precisam ser conjuntos não vazios pertencentes a um espaço amostral finito.

Em um lançamento simultâneo de dois dados, por exemplo, obtêm-se números em suas faces superiores. Qual é a probabilidade de que a soma desses números seja 8, desde que ambos os resultados sejam ímpares?

Veja que a probabilidade de a soma desses números ser 8 está condicionada a resultados ímpares nos dois dados. Logo, lançamentos que apresentam um ou dois números pares na face superior podem ser descartados e, por isso, há uma redução no espaço amostral.

O novo espaço amostral é composto pelos pares:

{1,1}; {1,3}; {1,5}; {3,1}; {3,3}; {3,5}; {5,1}; {5,3} e {5,5}

Desses, apenas {3,5} e {5,3} possuem soma 8. Logo, a probabilidade de que se obtenha soma 8 no lançamento de dois dados, dado que os resultados obtidos são ambos ímpares, é de:

2
9

Fórmula da probabilidade condicional

Seja K um espaço amostral que contém os eventos A e B não vazios. A probabilidade de A acontecer, dado que B já aconteceu, é representada por P(A|B) e é calculada pela seguinte expressão:

P(A|B) = P(A∩B)
             P(B)

Caso seja necessário calcular a probabilidade da intersecção entre dois eventos, pode-se utilizar a seguinte expressão:

P(A∩B) = P(A|B)·P(B)

Exemplos

Calcule a probabilidade de obter soma 8 no lançamento de dois dados em que o resultado do lançamento foi dois números ímpares.

Solução:

Seja A = Obter soma 8 e B = Obter dois números ímpares.

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P(A∩B) é a probabilidade de se obter apenas números ímpares que somam 8 no lançamento de dois dados. As únicas combinações das 36 possíveis são:

{3,5} e {5,3}

Portanto,

P(A∩B) = 2
               36

Já P(B) é a probabilidade de obter somente números ímpares no lançamento de dois dados. As únicas combinações dentro das 36 possíveis são:

{1,1}; {1,3}; {1,5}; {3,1}; {3,3}; {3,5}; {5,1}; {5,3} e {5,5}

Logo,

P(B) = 9
          36

Utilizando a fórmula para probabilidade condicional, teremos:

P(A|B) = P(A∩B)
             P(B)

               2 
P(A|B) =     36    
               9  
             36

P(A|B) = 2 · 36
            36   9

P(A|B) = 2
             9

Qual é a probabilidade de extrair uma carta de um baralho comum de 52 cartas e obter um Ás, sabendo que ela é uma carta de copas?

Solução:

A = Obter um Ás

B = Obter uma carta de copas

Como só existe um ás de copas no baralho,

P(A∩B) = 1
               52

A probabilidade de se obter uma carta de copas é:

P(B) = 13
           52

Então, a probabilidade de se obter um às de copas é:

P(A|B) = P(A∩B)
             P(B)

                1   
P(A|B) =      52     
                  13     
             52

P(A|B) =  1 · 52
             52  13

P(A|B) = 1
             13

A probabilidade da união de dois eventos é a probabilidade de um primeiro ou de um segundo evento ocorrer. No âmbito da probabilidade, estudamos a chance de determinados eventos ocorrerem, e em alguns casos é necessário calcular a probabilidade da união de dois eventos. Por exemplo, a probabilidade de um número sorteado ser ímpar ou primo.

Dados dois eventos, A e B, em um mesmo espaço amostral, para calcular a probabilidade da união de dois eventos, utilizamos a fórmula:

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)

Portanto, a probabilidade da união de dois eventos é igual à soma da probabilidade de cada um desses eventos ocorrerem menos a intersecção entre esses os dois. Quando os eventos são mutuamente excludentes, ou seja, a intersecção entre eles é vazia, então a probabilidade da união é a soma das probabilidades de ocorrência de cada um deles.

Leia também: Os três erros mais cometidos no cálculo de probabilidade

Tópicos deste artigo

• 1 - Resumo da probabilidade da união de dois eventos
• 2 - Qual a fórmula da probabilidade da união de dois eventos?
• 3 - Como calcular a probabilidade da união de dois eventos?
• 4 - Videoaula: Como resolver questões de probabilidade no Enem?
• 5 - Exercícios resolvidos sobre probabilidade da união de dois eventos

Resumo da probabilidade da união de dois eventos

• A probabilidade da união de dois eventos A e B em um mesmo espaço amostral é calculada por: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)

• A probabilidade da união de dois eventos é a chance do primeiro ou do segundo evento ocorrer.

• Quando os eventos são mutuamente exclusivos, a probabilidade da união é calculada por: P(A ∪ B) = P(A) + P(B).

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Qual a fórmula da probabilidade da união de dois eventos?

Dados dois eventos, A e B, todos em um mesmo espaço amostral Ω (lê-se: ômega), então a probabilidade da união desses eventos, ou seja, P(A ∪ B), é calculada por:

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)

A fórmula diz que a probabilidade da união entre os eventos A e B é igual à probabilidade do evento A ocorrer, mais a probabilidade do evento B ocorrer, menos a probabilidade da intersecção entre os eventos A e B.

Existem casos em que os eventos são mutuamente exclusivos, ou seja, possuem intersecção vazia. Nesses casos, consequentemente, a probabilidade da intersecção será igual a zero, ou seja, P(A ∩ B) = 0. Portanto, quando os eventos são mutuamente exclusivos, a probabilidade da união desses eventos é calculada por:

Leia também: Probabilidade condicional — veja como calculá-la

Como calcular a probabilidade da união de dois eventos?

Para calcular a probabilidade da união de dois conjuntos, é necessário encontrar os dados para calcular cada uma das probabilidades. São eles:

• n(A) → número de elementos correspondentes ao evento A;

• n(B) → número de elementos correspondentes ao evento B;

• n(Ω) → número de elementos no espaço amostral;

• n(A ∩ B) → número de elementos na intersecção entre os eventos A e B.

Munidos desses dados, basta substituirmos na fórmula da probabilidade da união de dois eventos cada uma das probabilidades.

Exemplo 1

Em uma sala de aula, há 25 alunos, sendo que 15 deles são meninas e 10, meninos. Durante as aulas de matemática, o professor resolveu fazer um sorteio entre os alunos que se saíram melhor no teste. Sabendo que nessa sala há 8 alunos que usam óculos e que 3 deles são meninas, calcule a probabilidade de o sorteado ser uma menina ou alguém que usa óculos.

Resolução:

Inicialmente, vamos definir os eventos:

• A → o sorteado é uma menina.

• B → o sorteado usa óculos.

Sabemos que:

• n(A) é igual ao número de meninas.

  • n(A) = 15

• n(B) é igual ao número de alunos que usam óculos.

  • n(B) = 8

• n(Ω) → número de alunos.

  • n(Ω) = 25

• n(A ∩ B) → número de meninas que usam óculos.

  • n(A ∩ B) = 3

Então, temos que:

Exemplo 2:

Uma moeda foi lançada três vezes consecutivas. Qual é a probabilidade de se obter, exatamente, duas caras ou duas coroas?

Resolução:

Ao se lançar a moeda três vezes consecutivas, teremos os seguintes resultados possíveis:

Ω = {(cara, cara, cara); (cara, cara, coroa); (cara, coroa, cara); (coroa, cara, cara); (coroa, coroa, coroa); (coroa, coroa, cara); (coroa, cara, coroa); (cara, coroa, coroa)}

Logo, n (Ω) = 8.

• Evento A → Se obter exatamente duas caras.

A = {(cara, cara, coroa); (cara, coroa, cara); (coroa, cara, cara)}

n(A) = 3

• Evento B → Se obter exatamente duas coroas.

B = {(coroa, coroa, cara); (coroa, cara, coroa); (cara, coroa, coroa)}

n(B) = 3

Analisando os conjuntos A e B, é possível perceber que não há nenhum elemento em comum aos dois conjuntos. Logo, esses conjuntos são mutuamente excludentes. Desse modo, n(A ∩ B) = 0. Por fim, temos que:

Videoaula: Como resolver questões de probabilidade no Enem?

Exercícios resolvidos sobre probabilidade da união de dois eventos

Questão 1

(Fepese) Sejam dois eventos, A e B, mutuamente exclusivos. A probabilidade de ocorrência de A vale 0,2. A probabilidade de ocorrência de B vale 0,4.

Quanto vale a probabilidade de ocorrência do evento A união B?

A) 0,08

B) 0,4

C) 0,48

D) 0,52

E) 0,6

Resolução:

Alternativa E

Sabemos que:

• P(A) = 0,2

• P(B) = 0,4

Como os eventos são mutuamente exclusivos, P(A ∩ B) = 0.

P(A ∪ B) = P(A) + P(B)

P(A ∪ B) = 0,2 + 0,4

P(A ∪ B) = 0,6

Questão 2

Dois dados são lançados simultaneamente, e o resultado é a soma das faces superiores. A probabilidade do resultado do lançamento ser maior que 9 ou um número primo é de:

A) 0,50

B) 0,58

C) 0,61

D) 0,65

Alternativa C

Primeiramente, vamos construir o espaço amostral por meio de uma tabela:

Note que há 36 resultados distintos na tabela. Logo, n(Ω) = 36.

Agora, vamos definir os eventos:

• A → ser maior que 9

Analisando a tabela, há 6 resultados maiores que 9, então temos que n(A) = 9.

• B → ser um número primo

Analisando a tabela, os números primos são 2, 3, 5, 7 e 11. Calculando a quantidade de vezes em que cada um aparece, temos que n(B) = 15.

Analisando a intersecção, sabemos que 11 está sendo contado nos dois conjuntos, pois ele é um número primo e, também, maior que 9. Há duas maneiras diferentes de se chegar a 11 como resultado. Dessa forma, temos que:

n(A ∩ B) = 2

Então, calculando a probabilidade:

Por Raul Rodrigues de Oliveira
Professor de Matemática

Qual a probabilidade de se obter soma 8 no lançamento de dois dados?

Qual a probabilidade de se obter soma 8 no lançamento de dois dados em que o resultado do lançamento foi dois números ímpares?

Qual a probabilidade de se obter uma soma igual a 5 ou 8?

Qual a probabilidade do lançamento de dois dados?