Clique para aprender o que são posições relativas entre circunferências e descubra a diferença entre disjuntas, secantes e tangentes. Show
Quando duas circunferências são definidas em um mesmo plano, podemos analisar as posições que uma delas ocupa com relação à outra. Assim, as posições relativas entre duas circunferências são: disjuntas, tangentes e secantes. Circunferências disjuntas Duas circunferências são chamadas de disjuntas quando não possuem pontos em comum. Existem dois casos a considerar a respeito dessa posição relativa entre as circunferências: 1 – Circunferências disjuntas externas Duas circunferências são disjuntas externas quando não possuem nenhum ponto em comum e, ao mesmo tempo, quando uma delas está na região externa da outra. A figura a seguir mostra exemplos circunferências disjuntas externas. A distância entre os centros das circunferências disjuntas externas sempre será maior que a soma de seus raios. Caso essa distância seja igual ou inferior à soma dos raios, as circunferências passam a ter pontos em comum. 2 – Circunferências disjuntas internas Duas circunferências são disjuntas internas quando não possuem pontos em comum e, ao mesmo tempo, quando uma está na região interna da outra, como mostra a figura a seguir. A diferença entre os raios dessas circunferências sempre será maior que a distância entre os centros das duas. Circunferências tangentes Duas circunferências são chamadas de tangentes quando possuem um único ponto em comum. As circunferências tangentes também podem ser classificadas como internas ou externas. 1 – Duas circunferências são tangentes externas quando possuem um único ponto em comum e, além disso, uma delas está na região externa da outra. 2 – Duas circunferências são tangentes internas quando possuem um único ponto em comum e, além disso, uma delas está na região interna da outra. A imagem a seguir mostra exemplos de circunferências tangentes internas e tangentes externas. Observe que as circunferências tangentes externas possuem a seguinte característica: a soma de seus raios é igual à distância entre seus centros. Nas tangentes internas, a diferença entre seus raios é igual à distância entre seus centros. Circunferências secantes Duas circunferências são chamadas de secantes quando possuem apenas dois pontos em comum. Matemática Professor de Matemática e Ciências Antonio Carlos Carneiro Barroso Colégio Estadual Dinah Gonçalves Blog HTTP://ensinodematemtica.blogspot.com http://accbarrosogestar.blogspot.com.brA importância da circunferênciaA circunferência possui características não comumente encontradas em outras figuras planas, como o fato de ser a única figura plana que pode ser rodada em torno de um ponto sem modificar sua posição aparente. É também a única figura que é simétrica em relação a um número infinito de eixos de simetria. A circunferência é importante em praticamente todas as áreas do conhecimento como nas Engenharias, Matemática, Física, Quimica, Biologia, Arquitetura, Astronomia, Artes e também é muito utilizado na indústria e bastante utilizada nas residências das pessoas. Circunferência e CírculoCircunferência: A circunferência é o lugar geométrico de todos os pontos de um plano que estão localizados a uma mesma distância r de um ponto fixo denominado o centro da circunferência. Esta talvez seja a curva mais importante no contexto das aplicações. Pontos exteriores: Os pontos exteriores a um círculo são os pontos localizados fora do círculo. Raio, corda e diâmetroRaio: Raio de uma circunferência (ou de um círculo) é um segmento de reta com uma extremidade no centro da circunferência e a outra extremidade num ponto qualquer da circunferência. Na figura, os segmentos de reta OA, OB e OC são raios. Corda: Corda de uma circunferência é um segmento de reta cujas extremidades pertencem à circunferência. Na figura, os segmentos de reta AC e DE são cordas. Posições relativas de uma reta e uma circunferênciaReta secante: Uma reta é secante a uma circunferência se essa reta intercepta a circunferência em dois pontos quaisquer, podemos dizer também que é a reta que contém uma corda Reta tangente: Uma reta tangente a uma circunferência é uma reta que intercepta a circunferência em um único ponto P. Este ponto é conhecido como ponto de tangência ou ponto de contato. Na figura ao lado, o ponto P é o ponto de tangência e a reta que passa pelos pontos E e F é uma reta tangente à circunferência. Observações:Raios e diâmetros são nomes de segmentos de retas mas às vezes são também usados como os comprimentos desses segmentos. Por exemplo, podemos dizer que ON é o raio da circunferência, mas é usual dizer que o raio ON da circunferência mede 10cm ou que o raio ON tem 10cm. Tangentes e secantes são nomes de retas, mas também são usados para denotar segmentos de retas ou semi-retas. Por exemplo, "A tangente PQ" pode significar a reta tangente à circunferência que passa pelos pontos P e Q mas também pode ser o segmento de reta tangente à circunferência que liga os pontos P e Q. Do mesmo modo, a "secante AC" pode significar a reta que contém a corda BC e também pode ser o segmento de reta ligando o ponto A ao ponto C. Propriedades das secantes e tangentesSe uma reta s, secante a uma circunferência de centro O, intercepta a circunferência em dois pontos distintos A e B e se M é o ponto médio da corda AB, então o segmento de reta OM é perpendicular à reta secante s. Se uma reta s, secante a uma circunferência de centro O, intercepta a circunferência em dois pontos distintos A e B, a perpendicular à reta s que passa pelo centro O da circunferência, passa também pelo ponto médio da corda AB. Seja OP um raio de uma circunferência, onde O é o centro e P um ponto da circunferência. Toda reta perpendicular ao raio OP é tangente à circunferência no ponto de tangência P. Toda reta tangente a uma circunferência é perpendicular ao raio no ponto de tangência. Posições relativas de duas circunferênciasReta tangente comum: Uma reta que é tangente a duas circunferências ao mesmo tempo é denominada uma tangente comum. Há duas possíveis retas tangentes comuns: a interna e a externa. Tangente comum internaTangente comum externaAo traçar uma reta ligando os centros de duas circunferências no plano, esta reta separa o plano em dois semi-planos. Se os pontos de tangência, um em cada circunferência, estão no mesmo semi-plano, temos uma reta tangente comum externa. Se os pontos de tangência, um em cada circunferência, estão em semi-planos diferentes, temos uma reta tangente comum interna. Circunferências internasUma circunferência C1 é interna a uma circunferência C2, se todos os pontos do círculo C1 estão contidos no círculo C2. Uma circunferência é externa à outra se todos os seus pontos são pontos externos à outra. Circunferências concêntricasDuas ou mais circunferências com o mesmo centro mas com raios diferentes são circunferências concêntricas. Circunferências tangenteDuas circunferências que estão no mesmo plano, são tangentes uma à outra, se elas são tangentes à mesma reta no mesmo ponto de tangência. Circunf. tangentes externasCircunf. tangentes internasAs circunferências são tangentes externas uma à outra se os seus centros estão em lados opostos da reta tangente comum e elas são tangentes internas uma à outra se os seus centros estão do mesmo lado da reta tangente comum. Circunferências secantes: são aquelas que possuem somente dois pontos distintos em comum. Polígonos circunscritosPolígono circunscrito a uma circunferência é o que possui seus lados tangentes à circunferência. Ao mesmo tempo, dizemos que esta circunferência está inscrita no polígono. Quadrilátero circunscritoTriângulo circunscritoPropriedade dos quadriláteros circunscritos: Se um quadrilátero é circunscrito a uma circunferência, a soma de dois lados opostos é igual a soma dos outros dois lados. Arco de circunferência e ângulo centralSeja a circunferência de centro O traçada ao lado. Pela definição de circunferência temos que OP=OQ=OR=... e isto indica que os raios de uma circunferência são segmentos congruentes. Circunferências congruentesSão circunferências que possuem raios congruentes. Aqui a palavra raio refere-se ao segmento de reta e não a um número. Ângulo centralEm uma circunferência, o ângulo central é aquele cujo vértice coincide com o centro da circunferência. Na figura, o ângulo a é um ângulo central. Se numa circunferência de centro O, um ângulo central determina um arco AB, dizemos que AB é o arco correspondente ao ângulo AÔB. Arco menorÉ um arco que reúne dois pontos da circunferência que não são extremos de um diâmetro e todos os pontos da circunferência que estão dentro do ângulo central cujos lados contém os dois pontos. Na figura, a linha vermelha indica o arco menor AB ou arco menor ACB. Arco maiorÉ um arco que liga dois pontos da circunferência que não são extremos de um diâmetro e todos os pontos da circunferência que estão fora do ângulo central cujos lados contém os dois pontos. Na figura a parte azul é o arco maior, o ponto D está no arco maior ADB enquanto o ponto C não está no arco maior mas está no arco menor AB, assim é frequentemente usado três letras para representar o arco maior. SemicircunferênciaÉ um arco obtido pela reunião dos pontos extremos de um diâmetro com todos os pontos da circunferência que estão em um dos lados do diâmetro. O arco RTS é uma semicircunferência da circunferência de centro P e o arco RUS é outra. Observações: Em uma circunferência dada, temos que:A medida do arco menor é a medida do ângulo central correspondente a m(AÔB) e a medida do arco maior é 360 graus menos a medida do arco menor m(AÔB). A medida da semicircunferência é 180 graus ou Pi radianos. Em uma circunferência, se um ponto E está entre os pontos D e F, que são extremidades de um arco menor, então: m(DE)+m(EF)=m(DF). Se o ponto E está entre os pontos D e F, extremidades de um arco maior: m(DE)+m(EF)=m(DEF). Propriedades de arcos e cordasUma corda de uma circunferência é um segmento de reta que une dois pontos da circunferência. Se os extremos de uma corda não são extremos de um diâmetro eles são extremos de dois arcos de circunferência sendo um deles um arco menor e o outro um arco maior. Quando não for especificada, a expressão arco de uma corda se referirá ao arco menor e quanto ao arco maior sempre teremos que especificar. ObservaçõesSe um ponto X está em um arco AB e o arco AX é congruente ao arco XB, o ponto X é o ponto médio do arco AB. Além disso, qualquer segmento de reta que contém o ponto X é um segmento
bissetor do arco AB. O ponto médio do arco não é o centro do arco, o centro do arco é o centro da circunferência que contém o arco. Em uma mesma circunferência ou em circunferências congruentes, cordas
congruentes possuem arcos congruentes e arcos congruentes possuem cordas congruentes. (Situação 1). Situação 1Situação 2Situação 3Polígonos inscritos na circunferênciaUm polígono é inscrito em uma circunferência se cada vértice do polígono é um ponto da circunferência e neste caso dizemos que a circunferência é circunscrita ao polígono. Propriedade dos quadriláteros inscritosSe um quadrilátero está inscrito em uma circunferência então os ângulos opostos são suplementares, isto é a soma dos ângulos opostos é 180 graus e a soma de todos os quatro ângulos é 360 graus. Â + Î = 180
graus Ângulos inscritosÂngulo inscritoRelativo a uma circunferência é um ângulo com o vértice na circunferência e os lados secantes a ela. Na figura à esquerda abaixo, o ângulo AVB é inscrito e AB é o arco correspondente. Medida do ângulo inscritoA medida de um ângulo inscrito em uma circunferência é igual à metade da respectiva medida do ângulo central, ou seja, a metade de seu arco correspondente, isto é: Ângulo reto inscrito na circunferênciaO arco correspondente a um ângulo reto inscrito em uma circunferência é a semi-circunferência. Se um triângulo inscrito numa semi-circunferência tem um lado igual ao diâmetro, então ele é um triângulo retângulo e esse diâmetro é a hipotenusa do triângulo. Ângulo semi-inscrito e arco capazÂngulo semi-inscrito: Ângulo semi-inscrito ou ângulo de segmento é um ângulo que possui um dos lados tangente à circunferência, o outro lado secante à circunferência e o vértice na circunferência. Este ângulo determina um arco (menor) sobre a circunferência. No gráfico ao lado, a reta secante passa pelos pontos A e B e o arco correspondente ao ângulo semi-inscrito BAC é o arco AXB onde X é um ponto sobre o arco. ObservaçãoA medida do ângulo semi-inscrito é a metade da medida do arco interceptado. Na figura, a medida do ângulo BÂC é igual a metade da medida do arco AXB. Arco capazDado um segmento AB e um ângulo k, pergunta-se: Qual é o lugar geométrico de todos os pontos do plano que contém os vértices dos ângulos cujos lados passam pelos pontos A e B sendo todos os ângulos congruentes ao ângulo k? Este lugar geométrico é um arco de circunferência denominado arco capaz. Construção do arco capaz com régua e compasso:Traçar um segmento de reta AB; Na figura acima à direita, o arco capaz relativo ao ângulo semi-inscrito m de vértice em A é o arco AVB. Se n é ângulo central então a medida de m é o dobro da medida de n, isto é: Outras propriedades com cordas e segmentosAgora apresentaremos alguns resultados que fazem a conexão entre segmentos e cordas, que não são evidentes à primeira vista. Se a reta AB é tangente à circunferência no ponto B então o segmento AB é o segmento tangente de A até a circunferência. Se a reta RT é uma reta secante que intercepta a circunferência em S e T e R é um ponto exterior a circunferência, então RT é um segmento secante e RS é a parte externa do segmento secante. Na sequência,
usaremos a notação (PZ) para representar a medida do segmento PZ, em função das dificuldades que a linguagem HTML proporciona para a apresentação de materiais de Matemática. (AP).(PB) = (CP).(PD)Potência de ponto (1)A partir de um ponto fixo P dentro de uma circunferência, tem-se que (PA).(PB) é constante qualquer que seja a corda AB passando por este ponto P. Este produto (PA).(PB) é denominado a potência do ponto P em relação a esta circunferência. Secantes interceptando fora da circunferênciaConsideremos duas retas secantes a uma mesma circunferência
que se interceptam em um ponto P localizado fora da circunferência. (PA).(PB)=(PC).(PD)Potência de ponto (2)Se P é um ponto fixo fora da circunferência, o produto (PA).(PB) é constante qualquer que seja a reta secante à circunferência passando por P. Este produto (PA).(PB) é também denominado a potência do ponto P em relação à circunferência. Secante e tangente interceptando fora da circunferênciaSe uma reta secante e uma reta tangente a uma mesma circunferência se interceptam em um ponto P fora da circunferência, a reta secante passando pelos pontos A e B e a reta tangente passando pelo ponto T de tangência à circunferência, então o quadrado da medida do segmento tangente PT é igual ao produto da medida do segmento secante PA pela medida da sua parte exterior PB. (PT)2 = (PA).(PB)Exemplo: Consideremos a figura ao lado com as cordas AB e CD tendo interseção no ponto P, com (AP) = 5cm, (PB) = 8cm, (CD) = 14cm. Iremos obter a medida do segmento PD. Tomaremos (PD)=x, para podermos
escrever que (CP) = 14-x e somente utilizaremos a unidade de medida no final. Fonte: pessoal.sercomtel.com.br - Equação Reduzida Da Circunferência - Circunferência -
Posição Relativa Entre Uma Reta E Uma Circunferência -
Circunferência - Construções Geométricas De Tangentes Com Régua E Compasso (parte 2) . Quais são os tipos de circunferência?Vamos analisar cada caso.. Circunferências tangentes. a) Tangentes externas. ... . Circunferências externas. Duas circunferências são consideradas externas quando não possuem pontos em comum. ... . Circunferências secantes. ... . Circunferências internas. ... . Circunferências concêntricas.. O que é uma circunferência concêntrica?Circunferências concêntricas: Duas ou mais circunferências com o mesmo centro mas com raios diferentes são circunferências concêntricas. Circunferências tangentes: Duas circunferências que estão no mesmo plano, são tangentes uma à outra, se elas são tangentes à mesma reta no mesmo ponto de tangência.
Quando duas circunferências são concêntricas?Questão 2 – Duas circunferências são concêntricas se elas possuem o mesmo centro.
O que todos os pontos de uma circunferência têm em comum?A propriedade comum a todos os pontos de uma circunferência é a equidistância de todos os pontos em relação a um único ponto (centro). A partir dessa característica, podemos determinar uma circunferência.
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