Qual a medida de um ângulo interno de um polígono regular de 170 diagonais?

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• Qual polígono que tem 170 diagonais?
• Qual é a medida do ângulo interno do polígono regular?
• Qual polígono regular tem ângulo interno de 180 graus?
• Quantos lados tem um polígono convexo?

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MATEMÁTICA 
Turma: Pré – Militar 
Geometria 
Data: __/__/__ 
Nome: ________________________________ 
Resolve Educação – Transformando SONHOS em RESULTADOS! 
 
TÍTULO: Polígonos 
 
 
CAPÍTULO 03 – Polígono 
1. Definição de polígonos 
Uma linha poligonal é uma sequência finita de 
segmentos de reta encadeados continuamente que se 
cruzam apenas nos extremos. Além disso, os pontos de 
cruzamento pertencem a exatamente dois segmentos. 
Uma linha poligonal é fechada quando todas as 
extremidades dos segmentos pertencem a cruzamentos. 
Uma linha poligonal fechada é um polígono. Finalmente, 
os segmentos são denominados lados da poligonal ou do 
polígono. 
2. Elementos de um polígono 
 
𝐴𝐵̅̅ ̅̅ , 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ , 𝐶𝐷̅̅ ̅̅ , ... = lados 
𝐴, 𝐵, 𝐶, ... = vértices do polígono 
𝑎, 𝑏, 𝑐, ... = ângulos internos 
𝑎1, 𝑏1, 𝑐1, ... = ângulos externos 
𝐴𝐶̅̅ ̅̅ , 𝐴𝐷̅̅ ̅̅ , 𝐵𝐷̅̅ ̅̅ , 𝐵𝐸̅̅ ̅̅ , 𝐶𝐸̅̅ ̅̅ , ... = diagonais 
Obs.: Diagonal de um polígono convexo é qualquer 
segmento de reta que une dois vértices não 
consecutivos. 
Como no capítulo anterior, podemos notar que em 
cada vértice, o ângulo interno e o ângulo externo são 
suplementares, pois como podemos perceber eles 
formam um ângulo raso. 
 
3. Polígono Côncavo ou não-Convexo 
É o polígono que tem a seguinte propriedade: 
“Existe pelo menos uma reta do plano que não contém 
nenhum lado do polígono que intercepta o polígono 
em mais de 2 pontos”. 
 
 
4. Polígono Convexo 
É o polígono que tem a seguinte propriedade: 
“Qualquer reta do plano que não contém nenhum lado 
do polígono intercepta o polígono em no máximo 2 
pontos”. Neste capítulo daremos uma atenção especial 
a esse tipo de polígono. 
 
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4.1. Nomenclatura 
De acordo com o número n de lados, os 
polígonos convexos recebem nomes especiais. 
 
 
4.2. Soma dos ângulos Internos 
A soma das medidas dos ângulos internos ( 𝑆𝑖 ) 
de um polígono convexo é dada por: 
𝑆𝑖 = 180° . (𝑛 − 2) 
 
 
4.3. Soma dos ângulos externos 
Para qualquer polígono convexo, a soma das 
medidas dos ângulos externos ( 𝑆𝑒 ) é dada por: 
𝑆𝑒 = 360° 
 
4.4. Soma dos ângulos centrais 
Ângulo central é o ângulo cujo vértice é o centro 
do polígono e cujos lados contém vértices consecutivos 
do polígono. 
Para qualquer polígono convexo, a soma das 
medidas dos ângulos centrais ( 𝑆𝑐 ) é dada por: 
𝑆𝐶 = 360° 
 
4.5. Número de diagonais que partem de 
um vértice 
Em todo polígono convexo de n lados, o número 
de diagonais que partem de apenas um vértice ( 𝐷𝑣 ) é 
dado por: 
𝐷𝑣 = (𝑛 − 3) 
 
4.6. Número de diagonais 
Em todo polígono convexo de n lados, o número 
total de diagonais ( 𝐷 ) é dado por: 
𝐷 =
𝑛. (𝑛 − 3)
2
 
 
5. Polígono Convexo Regular 
Polígono convexo regular é todo polígono que 
possui todos os lados iguais (equilátero) e todos os 
ângulos também com medidas iguais (equiângulo). 
 
 
 
 
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5.1. Nomenclatura dos polígonos regulares 
 
 
5.2. Medida de um ângulo interno de um 
polígono regular 
Em um polígono regular todos os ângulos 
internos tem a mesma medida, então podemos calcular 
a medida de apenas um ângulo interno ( 𝑎𝑖 ) da 
seguinte maneira: 
𝑎𝑖 =
𝑆𝑖
𝑛
=
180° . (𝑛 − 2)
𝑛
 
 
5.3. Medida de um ângulo externo de um 
polígono regular 
Em um polígono regular todos os ângulos 
externos tem a mesma medida, então podemos 
calcular a medida de apenas um ângulo externo ( 𝑎𝑒 ) 
da seguinte maneira: 
𝑎𝑒 =
𝑆𝑒
𝑛
=
360°
𝑛
 
 
5.4. Medida de um ângulo central de um 
polígono regular 
Em um polígono regular todos os ângulos 
centrais tem a mesma medida, então podemos calcular 
a medida de apenas um ângulo central ( 𝑎𝑐 ) da 
seguinte maneira: 
𝑎𝑐 =
𝑆𝑐
𝑛
=
360°
𝑛
 
 
5.5. Número de diagonais que passam pelo 
centro do polígono 
O número de diagonais que passam pelo centro 
de um polígono ( 𝐷𝑐 ) depende do número de lados (n) 
do polígono. 
• Se 𝑛 for par: 𝐷𝑐 =
𝑛
2
 
• Se 𝑛 for ímpar : 𝐷𝑐 = 0 
 
6. Relação entre o número de lados (n) e o 
número de diagonais (D). 
 
 
 
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Exercícios Resolvidos 
 
01. (PUC-PR) A soma dos ângulos internos de um 
hexágono regular é: 
Resolução 
A soma dos ângulos internos de um polígono 
regular é dada por: 
𝑆𝑖 = 180°(𝑛 − 2) 
Como o polígono é um hexágono, temos n = 6. 
Portanto, 
𝑆𝑖 = 180° (6 − 2) 
𝑆𝑖 = 180° × 4 = 720° 
Logo, a soma dos ângulos internos de um 
hexágono é igual a 720°. 
 
 
02. (PUC-SP) O ângulo interno de um polígono com 
170 diagonais é: 
Resolução: 
Dado: D = 170 
O número de diagonais de um polígono é dado por: 
𝐷 =
𝑛(𝑛 − 3)
2
 
Substituindo o número de diagonais podemos 
encontrar o número de lados desse polígono. 
170 =
𝑛(𝑛 − 3)
2
 
340 = 𝑛(𝑛 − 3) 
340 = 𝑛2 − 3𝑛 
𝑛2 − 3𝑛 − 340 = 0 
(𝑛 + 17). (𝑛 − 20) = 0 
𝑛 = −17 𝑜𝑢 𝑛 = 20 
Portanto, trata-se de um icoságono. 
 
Para calcular o ângulo interno de um icoságono, 
utilizaremos a seguinte fórmula: 
𝑎𝑖 =
180° (𝑛 − 2)
𝑛
 
𝑎𝑖 =
180° (20 − 2)
20
=
180° × 18
20
= 9 × 18 = 162° 
O ângulo interno de um polígono que possui 170 
diagonais é 162°. 
 
03. (UNIFEI-MG) Achar dois polígonos regulares cuja 
razão entre os ângulos internos é 3/5 e a razão entre o 
número de lados é 1/3. 
Resolução: 
Dado: 
• 
𝑎𝑖1
𝑎𝑖2
=
3
5
 
• 
𝑛1
𝑛2
=
1
3
→ 𝑛2 = 3 × 𝑛1 
Sendo, 
𝑎𝑖1: â𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑛𝑜 𝑑𝑜 𝑝𝑜𝑙í𝑔𝑜𝑛𝑜 1 
𝑛1: 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑑𝑜 𝑝𝑜𝑙í𝑔𝑜𝑛𝑜 1 
𝑎𝑖2: â𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑛𝑜 𝑑𝑜 𝑝𝑜𝑙í𝑔𝑜𝑛𝑜 2 
𝑛2: 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑑𝑜 𝑝𝑜𝑙í𝑔𝑜𝑛𝑜 2 
𝑎𝑖1
𝑎𝑖2
=
180° (𝑛1−2)
𝑛1
180° (𝑛2−2)
𝑛2
= 
=
180° (𝑛1 − 2)
𝑛1
×
𝑛2
180° (𝑛2 − 2)
= 
𝑛2 × (𝑛1 − 2)
𝑛1 × (𝑛2 − 2)
=
3
5
 
(𝑛1 − 2)
(𝑛2 − 2)
=
3 × 𝑛1
5 × 𝑛2
 
(𝑛1 − 2)
(3𝑛1 − 2)
=
3
5
×
1
3
 
(𝑛1 − 2)
(3𝑛1 − 2)
=
1
5
 
 
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3𝑛1 − 2 = 5 × (𝑛1 − 2 ) 
3𝑛1 − 2 = 5𝑛1 − 10 
3𝑛1 − 5𝑛1 = −10 + 2 
−2𝑛1 = −8 
𝑛1 =
8
2
 
𝒏𝟏 = 𝟒 
 
Como 𝒏𝟐 = 𝟑 × 𝒏𝟏 = 𝟑 × 𝟒 = 𝟏𝟐 
Um polígono é o quadrado e outro é o 
dodecágono. 
 
04. (PUC-SP) Qual é o polígono regular em que o 
número de diagonais é o dobro do número de lados? 
(a) Dodecágono 
(b) Pentágono 
(c) Octógono 
(d) Heptágono 
(e) Hexágono 
Resolução 
𝐷 = 2 × 𝑛 
𝑛(𝑛 − 3)
2
= 2 × 𝑛 
𝑛 − 3
2
= 2 
𝑛 − 3 = 4 
𝒏 = 𝟕 → 𝑯𝒆𝒑𝒕á𝒈𝒐𝒏𝒐 
 
05. Um polígono ABCDE... é regular. As bissetrizes 
internas NA e CN formam um ângulo N que é igual aos 
dois terços do ângulo interno do polígono. Calcular o 
número de lados do polígono. 
Resolução 
ai = ângulo interno 
ae = ângulo externo 
A figura ABCN é um quadrilátero e a soma dos ângulos 
internos de um quadrilátero é igual a 360°. Portanto, 
 
𝑎𝑖
2
+ 𝑎𝑖 +
𝑎𝑖
2
+
2𝑎𝑖
3
= 360° 
3𝑎𝑖 + 6𝑎𝑖 + 3𝑎𝑖 + 4𝑎𝑖
6
= 360° 
16𝑎𝑖
6
= 360° 
16𝑎𝑖 = 360° × 6 
𝑎𝑖 =
2160°
16
= 135° 
Como um ângulo interno é suplementar ao seu ângulo 
externo adjacente, temos que: 
𝑎𝑒 = 45° 
O polígono cuja medida de um ângulo externo é igual a 
45° é: 
𝒂𝒆 =
𝟑𝟔𝟎°
𝒏
 
𝟒𝟓° =
𝟑𝟔𝟎°
𝒏
 
𝒏 =
𝟑𝟔𝟎°
𝟒𝟓°
= 𝟖 → 𝑶𝒄𝒕ó𝒈𝒐𝒏𝒐 
 
 
 
 
 
 
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Exercícios de Fixação 
01. (MACKENZIE) Os ângulos externos de um 
polígono regular medem 20°. Então, o número de 
diagonais desse polígono é: 
(a) 90 
(b) 104 
(c) 119 
9d) 135 
(e) 152 
 
02. Qual o polígono convexo em que a soma dos 
ângulos internos é 1080°? 
 
03. (UNICAMP) O polígono convexo cuja soma dos 
ângulos internos mede 1440° tem exatamente: 
(a) 15 diagonais 
(b) 20 diagonais 
(c) 25 diagonais 
(d) 30 diagonais

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Qual polígono que tem 170 diagonais?

Qual é a medida do ângulo interno do polígono regular?

Qual polígono regular tem ângulo interno de 180 graus?

Quantos lados tem um polígono convexo?