Qual é a probabilidade de ganhar, se o primeiro dado der o número 1?

Ganhar na loteria é o sonho de todo apostador, basta acertar os números sorteados. Frases como “só ganha quem joga” são ditas pelos apostadores convictos de embolsar os prêmios milionários oferecidos pelas loterias existentes no país.

Mas você já pensou na probabilidade de acertar os números que serão sorteados?

Veja como calcular as chances de ganhar na Mega-Sena e na Quina.

Mega-Sena

A Mega-Sena consiste num jogo de 60 números (1 a 60) no qual é permitido apostar de 6 a 15 números (valor das apostas tende a aumentar conforme a quantidade de números assinalados por jogo), podendo ganhar acertando 6 dezenas, 5 dezenas ou 4 dezenas, sendo que o prêmio principal é pago para quem acertar as 6 dezenas (sena), e proporcional a quem acertar 5 dezenas (quina) ou 4 dezenas (quadra).

A possibilidade de acerto das 6 dezenas é calculado aplicando uma combinação simples de 60 elementos tomados 6 a 6.

Lembrando que fatorial (!) significa multiplicar o número por todos os seus antecessores naturais, com ausência do zero).

Cn, p =          n!        
              p! (n - p)!

C60,6 =          60!         
               6! (60 - 6)!

C60,6 =          60!         
               6! 54!

C60,6 =   60*59*58*57*56*55*54!  
               6! 54!

C60,6 =    60*59*58*57*56*55  
              6*5*4*3*2*1

C60,6 =    36.045.979.200  
               720

C60,6 = 50.063.860

Os cálculos nos mostram que existem 50.063.860 combinações possíveis. Por exemplo:

01 – 02 – 03 – 04 – 05 – 06
01 – 02 – 03 – 04 – 05 – 07
01 – 02 – 03 – 04 – 05 – 08
20 – 23 – 32 – 45 – 48 – 59
10 – 15 – 25 – 36 – 45 – 50
02 – 03 – 15 – 16 – 25 – 40

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Se apostarmos 1 jogo de seis dezenas, a probabilidade de ganharmos é de 1 em 50.063.860, que corresponde a 0,000002% de chance de ganhar.

Quina

Na Quina, você pode apostar jogando 5, 6 ou 7 números (valor da aposta tende a aumentar conforme a quantidade de números jogados) dentre os 80 existentes.

A possibilidade de acerto de 5 dezenas também é calculada aplicando a definição de combinação simples, só que agora temos 80 números tomados 5 a 5.

Cn, p =          n!        
              p! (n - p)!

C80,5 =          80!         
             5! (80 - 5)!

C80,5 =          80!         
            5! 75!

C80,5 =   80*79*78*77*76*75!  
            5! 75!

C80,5 =    80*79*78*77*76   
             5*4*3*2*1

C80,5 =    2.884.801.920  
             120

C80,5 = 24.040.016

Então, se apostarmos 1 jogo de 5 dezenas, a probabilidade de ganhar é de 1 em 24.040.016, correspondente a 0,0000042% de chance de ganhar.

*Crédito das imagens: Gabriel_Ramos | Shutterstock

Conhecemos como probabilidade condicional a probabilidade de um determinado evento ocorrer, sabendo que um evento condicionante já aconteceu. Dados dois eventos A e B, inicialmente com o mesmo espaço amostral, a probabilidade condicional é representada por P(A|B) e significa a probabilidade do evento A ocorrer, dado que o evento B ocorreu. Existe uma fórmula específica que ajuda a resolver problemas de probabilidade condicional.

Leia também: Os três erros mais cometidos no cálculo de probabilidade

Tópicos deste artigo

• 1 - Resumo sobre a probabilidade condicional
• 2 - Videoaula sobre probabilidade condicional
• 3 - Espaço amostral
• 4 - Evento
• 5 - O que é probabilidade condicional?
• 6 - Fórmula para calcular a probabilidade condicional
• 7 - Como se calcula a probabilidade condicional?
• 8 - Exercícios resolvidos sobre probabilidade condicional

Resumo sobre a probabilidade condicional

• A probabilidade condicional é a chance de o evento A acontecer, dado que B já aconteceu.

• O evento B é conhecido como condicionante, então, calculamos a chance de o evento A acontecer na condição de o evento B ter acontecido.

• Existem duas fórmulas para calcular a probabilidade condicional.

→ A primeira fórmula da probabilidade condicional é:

→ Podemos calcular a probabilidade condicional também pela fórmula:

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Videoaula sobre probabilidade condicional

Espaço amostral

Para compreender o que é a probabilidade condicional, é importante relembrar o que é o espaço amostral. Em um experimento aleatório, conhecemos como espaço amostral o conjunto com todos os resultados possíveis para esse experimento.

Exemplo 1:

Quando lançamos um dado comum e observamos o resultado da face superior, nosso espaço amostral são os números {1, 2, 3, 4, 5, 6}. O espaço amostral é normalmente representado pelo símbolo Ω (lê-se: ômega), ou seja, nesse caso, Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

Exemplo 2:

Ao realizar o lançamento de uma moeda comum três vezes consecutivas, teremos o seguinte espaço amostral:

Ω = {(cara, cara, cara); (cara, cara, coroa); (cara, coroa, cara); (coroa, cara, cara); (coroa, coroa, cara); (coroa, cara, coroa); (cara, coroa, coroa); (coroa, coroa, coroa)}

Evento

Conhecemos como evento um determinado conjunto de resultados que queremos que ocorra no experimento aleatório, o evento é sempre um subconjunto do espaço amostral.

Exemplo 1:

Ao lançar o dado, queremos que o resultado seja um número primo.

Então, nesse caso, o evento é sair um número primo, e os resultados favoráveis são A = {2, 3, 5}.

Exemplo 2:

Ao lançar o dado, queremos que o resultado seja um número par.

Então, nesse caso, o evento é sair um número par e os resultados favoráveis são B = {2, 4, 6}.

Exemplo 3:

No lançamento da moeda por três vezes sucessivas, queremos que o resultado seja sair cara somente uma vez. Nesse evento, os casos favoráveis são C = {(cara, coroa, coroa); (coroa, cara, coroa); (coroa, coroa, cara)}.

Veja também: O que é o princípio fundamental da contagem?

O que é probabilidade condicional?

A probabilidade condicional é a chance de um determinado evento acontecer tendo como base que um evento aconteceu anteriormente; ambos os eventos possuem o mesmo espaço amostral. Esse evento que ocorreu anteriormente é conhecido como condicionante.

Dizemos que a probabilidade de o evento A acontecer, sabendo que o evento B aconteceu, é conhecida como probabilidade condicional do evento A dado B, representada por P(A|B) (lê-se: probabilidade de A dado B). Essa probabilidade só existe se os eventos possuírem o mesmo espaço amostral (diferente do vazio) e se B não for um evento impossível.

Exemplo 1:

Durante o lançamento de dois dados, queremos calcular a probabilidade de o resultado da soma das faces superiores ser igual a 6, sabendo que o resultado do lançamento dos dados são dois números pares.

Perceba que há dois eventos:

B → As duas faces são números pares.

A → A soma das faces superiores é igual a 6.

Então, queremos a probabilidade P(A|B): P(A soma das faces superiores é 6 | As duas faces são números pares).

Exemplo 2:

Em um conjunto de pessoas, entre homens e mulheres, uma delas será sorteada aleatoriamente. Uma possível probabilidade condicional é a probabilidade de a pessoa sorteada usar óculos, sabendo que o sorteado foi um homem.

B → O sorteado é um homem.

A → O sorteado usa óculos.

P(A|B) = P(O sorteado usa óculos | O sorteado é um homem)

Agora que conhecemos as situações que envolvem a probabilidade, veremos a fórmula utilizada para calcular a probabilidade condicional.

Fórmula para calcular a probabilidade condicional

Para calcular a probabilidade P(A|B), utilizamos a fórmula:

Analisando a fórmula, é possível simplificá-la para calcular a probabilidade condicional:

Como se calcula a probabilidade condicional?

Para calcular a probabilidade condicional, podemos utilizar qualquer uma das fórmulas supracitadas.

Exemplo:

Uma moeda comum foi lançada três vezes e o resultado foi anotado. Qual é a probabilidade de se obter exatamente duas caras sabendo que o primeiro resultado foi cara?

Primeiro identificamos o evento B, lembrando que ele é condicionante.

B → O primeiro lançamento é cara.

B = {(cara, coroa, coroa); (cara, cara coroa); (cara, coroa cara); (cara, cara, cara)}

n(B) = 4

Agora identificaremos o evento A∩B:

A → O resultado possui exatamente duas caras.

A∩B → O resultado possui exatamente duas caras, e o primeiro resultado é cara.

{(cara, cara coroa); (cara, coroa cara)}

n(A∩B) = 2

Então, P(A|B) pode ser calculado por:

Exercícios resolvidos sobre probabilidade condicional

Questão 1 - (Enem) O diretor de um colégio leu numa revista que os pés das mulheres estavam aumentando. Há alguns anos, a média do tamanho dos calçados das mulheres era de 35,5, e, hoje, é de 37,0. Embora não fosse uma informação científica, ele ficou curioso e fez uma pesquisa com as funcionárias do seu colégio, obtendo o quadro a seguir:

Escolhendo uma funcionária ao acaso e sabendo que ela tem calçado maior que 36,0, a probabilidade de ela calçar 38,0 é:

A) 1/3

B) 1/5

C) 2/5

D) 5/7

E) 5/14

Resolução

Alternativa D

Note que esse problema envolve uma probabilidade condicional. Queremos calcular a probabilidade de a funcionária escolhida calçar 38,0 dado que ela calça mais que 36.

B → Calçar mais que 36

A → Calçar 38

A∩B → A intersecção é o conjunto formado pelas pessoas que calçam mais que 36 e que calçam 38, logo, ele é formado exclusivamente pelas 10 funcionárias que calçam 38.

n(B) = 3 + 10 + 1 = 14

n(A∩B) = 10

Então, temos que:

Questão 2 - Em uma sala de aula, o professor construiu a tabela a seguir com as características dos seus alunos:

Se um estudante for sorteado ao acaso, qual é a probabilidade de ele ser um homem sabendo que esse estudante não usa óculos?

A) 4%
B) 10%
C) 15%
D) 40%
E) 60%

Resolução

Alternativa D

Os eventos são:

B → O sorteado usa óculos.

A → O sorteado é um homem.

A∩B → O sorteado usa óculos e é um homem.

Sabemos que o sorteado usa óculos, então: n(B) = 10 + 15 = 25.

Também temos que n(A∩B) = 10

Dessa forma, podemos calcular a probabilidade condicional:

Sabemos que 0,4 = 40%.

Por Raul Rodrigues de Oliveira
Professor de Matemática

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