1 – Introdução Show
Chama-se experimento aleatório àquele cujo resultado é imprevisível, porém pertence necessariamente a um conjunto de resultados possíveis denominado espaço amostral. Por exemplo, no lançamento de um dado, o nosso espaço amostral seria U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Exemplos de eventos no espaço amostral U: Nota: O espaço amostral é também denominado espaço de prova. Em oposição aos fenômenos aleatórios, existem os fenômenos determinísticos, que são aqueles cujos resultados são previsíveis, ou seja, temos certeza dos resultados a serem obtidos. Normalmente existem diversas possibilidades possíveis de ocorrência de um fenômeno aleatório, sendo a medida numérica da ocorrência de cada uma dessas possibilidades, denominada Probabilidade. Consideremos uma urna que contenha 49 bolas azuis e 1 bola branca. Para uma retirada, teremos duas possibilidades: bola azul ou bola branca. Percebemos entretanto que será muito mais frequente obtermos numa retirada, uma bola azul, resultando daí, podermos afirmar que o evento "sair bola azul" tem maior probabilidade de ocorrer, do que o evento "sair bola branca". 2 – Conceito elementar de Probabilidade Seja U um espaço amostral finito e equiprovável e A um determinado evento ou seja, um subconjunto de U. A probabilidade p(A) de ocorrência do evento A será calculada pela fórmula p(A) = n(A) / n(U) onde: Vamos utilizar a fórmula simples acima, para resolver os seguintes exercícios introdutórios: 1.1 - Considere o lançamento de um dado. Calcule a probabilidade de: a) sair o número 3: b) sair um número par: agora o evento é A = {2, 4, 6} com 3 elementos; logo a probabilidade procurada será p(A) = 3/6 = 1/2. c) sair um múltiplo de 3: agora o evento A = {3, 6} com 2 elementos; logo a probabilidade procurada será p(A) = 2/6 = 1/3. d) sair um número menor do que 3: agora, o evento A = {1, 2} com dois elementos. Portanto,p(A) = 2/6 = 1/3. e) sair um quadrado perfeito: agora o evento A = {1,4} com dois elementos. Portanto, p(A) = 2/6 = 1/3. 1.2 - Considere o lançamento de dois dados. Calcule a probabilidade de: a) sair a soma 8 b) sair a soma 12 1.3 – Uma urna possui 6 bolas azuis, 10 bolas vermelhas e 4 bolas amarelas. Tirando-se uma bola com reposição, calcule as probabilidades seguintes: a) sair bola azul b) sair bola vermelha c) sair bola amarela Vemos no exemplo acima, que as probabilidades podem ser expressas como porcentagem. Esta forma é conveniente, pois permite a estimativa do número de ocorrências para um número elevado de experimentos. Por exemplo, se o experimento acima for repetido diversas vezes, podemos afirmar que em aproximadamente 30% dos casos, sairá bola azul, 50% dos casos sairá bola vermelha e 20% dos casos sairá bola amarela. Quanto maior a quantidade de experimentos, tanto mais a distribuição do número de ocorrências se aproximará dos percentuais indicados. 3 – Propriedades P1: A
probabilidade do evento impossível é nula. P2: A probabilidade do evento certo é igual a unidade. P3: A probabilidade de um evento qualquer é um número real situado no intervalo real [0, 1]. P4: A soma das probabilidades de um evento e do seu evento complementar é igual a unidade. P5: Sendo A e B dois eventos, podemos escrever: Com efeito, já sabemos da
Teoria dos Conjuntos que Exemplo: SOLUÇÃO: A interpretação do resultado é a seguinte: escolhendo-se ao acaso uma pessoa da comunidade, a probabilidade de que ela seja assinante de ambos os jornais é de aproximadamente 14%.(contra 86% de probabilidade de não ser). 4 – Probabilidade condicional Considere que desejamos calcular a probabilidade da ocorrência de um evento A, sabendo-se de antemão que ocorreu um certo evento B. Pela definição de probabilidade vista anteriormente, sabemos que a probabilidade de A deverá ser calculada, dividindo-se o número de elementos de elementos de A que também pertencem a B, pelo número de elementos de B. A probabilidade de ocorrer A, sabendo-se que já ocorreu B, é denominada Probabilidade condicional e é indicada por p(A/B) – probabilidade de ocorrer A sabendo-se que já ocorreu B – daí, o nome de probabilidade condicional. Teremos então:
p(A/B) = n(A Ç B)/ n(B) onde A Ç B = interseção dos conjuntos A e B. Esta fórmula é importante, mas pode ser melhorada. Vejamos: Esta fórmula é denominada Lei das Probabilidades Compostas. Podemos então afirmar, que a probabilidade de ocorrência simultânea de eventos independentes, é igual ao produto das probabilidades dos eventos considerados. Exemplo: a) em duas retiradas, sem reposição da primeira bola retirada, sair uma bola vermelha (V) e depois uma bola branca (B). Solução: b) em duas retiradas, com reposição da primeira bola retirada, sair uma bola vermelha e depois uma bola branca. Solução: Observe atentamente a diferença entre as soluções dos itens (a) e (b) acima, para um entendimento perfeito daquilo que procuramos transmitir. Qual a probabilidade de se obter um número menor que 3?Para responder na forma de uma porcentagem, basta multiplicar por 100. Portanto, a probabilidade de sair um número menor que 3 é de 33%.
Qual é a probabilidade de se jogar um dado é obter o número 3 ou um número ímpar?A probabilidade de se obter o número 3 ou um número ímpar é 50%.
Qual é a probabilidade de no lançamento de um dado sair um número ímpar ou um número menor que 3?Resposta correta: 0,1666 ou 16,66%. 1º passo: determinar o número de eventos possíveis. Como são dois dados jogados, cada face de um dos dados tem a possibilidade de ter um dos seis lados do outro dado como par, ou seja, cada dado tem 6 combinações possíveis para cada um de seus 6 lados.
Qual é a probabilidade de sair o número 3 no lançamento de um dado?a) sair o número 3: Temos U = {1, 2, 3, 4, 5, 6} [n(U) = 6] e A = {3} [n(A) = 1]. Portanto, a probabilidade procurada será igual a p(A) = 1/6.
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