Qual o número de faces de um sólido que apresenta 10 arestas e 6 vertices?

A Relação de Euler estabelece uma correspondência entre o número de vértices, faces e arestas de um poliedro.

O matemático suíço Leonhard Euler (1707-1783) encontrou uma relação entre os vértices, arestas e faces de qualquer poliedro convexo. Vamos então relembrar algumas definições:

• Poliedro: são sólidos formados pelo encontro de planos;

• Poliedro convexo: um poliedro é dito convexo se suas faces não formam nenhuma “cavidade”. Exemplo de um poliedro não convexo:

• Vértice: é formado pelo encontro de duas retas (arestas);

• Arestas: é a reta formada pelo encontro de duas faces;

• Face: é cada região plana do poliedro, delimitada por arestas.

No paralelepípedo a seguir, vamos identificar o número de faces, arestas e vértices:

No paralelogramo, há 6 “lados” retangulares que representam as faces, assim como a face rosa já contabilizada. Os 12 segmentos de reta pretos representam as arestas, e os 8 pontos vermelhos representam os vértices.

Vejamos o que acontece com um prisma de base pentagonal:

O prisma de base pentagonal possui 7 faces, 10 vértices e 15 arestas. Se você observar bem, nesses dois exemplos há uma relação entre o número de vértices e faces e o número de arestas. Vejamos:

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Paralelogramo → 8 V e 6 F ←→ 12 A

Prisma de Base Pentagonal → 10 V e 7 F ←→ 15 A

Some os números de vértices e faces e compare-os com o número de arestas. Você verá que a soma será duas unidades maior que o número de arestas. Se generalizarmos essa ideia, teremos:

V + F = A + 2

Essa equação representa a Relação de Euler. Verifiquemos se ela é válida para outros poliedros:

Seja um poliedro com 4 vértices e 4 faces, qual sua quantidade de arestas?

• V + F = A + 2

• 4 + 4 = A + 2

• A + 2 = 8

• A = 8 – 2

  A = 6 arestas

Tome um poliedro com 6 vértices e 9 arestas, qual seu número de faces?

V + F = A + 2

6 + F = 9 + 2

6 + F = 11

F = 11 – 6

F = 5 faces

*Créditos da imagem: Shutterstock e William Perugini

Aproveite para conferir nossas videoaulas sobre o assunto:

Matemática

Poliedros são sólidos geométricos ou figuras geométricas espaciais formadas por três elementos básicos: faces, arestas e vértices.

Os Poliedros podem ser convexos e não convexos.

Ao estudarmos os poliedros convexos verificamos uma importante relação existente entre o número de faces, arestas e vértices. Leonhard Euler foi um matemático suíço que, dentre várias contribuições para a Matemática, desenvolveu uma relação que calcula o número de arestas (A), faces (F) e vértices (V) de um poliedro, desde que haja dois valores.

Relação de Euler: V – A + F = 2 ou V + F = A + 2
Exemplo 1
Calcule o número de arestas de um sólido que possui 8 vértices e 6 faces.

V – A + F = 2
8 – A + 6 = 2
A = 14 – 2
A = 12

Exemplo 2
Um sólido geométrico tem 6 vértices e 10 arestas. Calcule o número de faces desse sólido.

V – A + F = 2
6 – 10 + F = 2
F = 2 + 4
F = 6

Poliedros de PlatãoTodo poliedro considerado de Platão deve obedecer algumas condições:

O número de arestas tem que ser igual ao número de faces.
Os ângulos do poliedro devem possuir o mesmo número de arestas.
A equação de Euler precisa ser aplicada e aceita.

Poliedros regulares
Todas as faces iguais e regulares
Os ângulos poliédricos precisam possuir o mesmo valor.

Temos a certeza da existência de cinco poliedros regulares, os chamados poliedros de Platão: tetraedro, hexaedro ou cubo, dodecaedro, octaedro e icosaedro.

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