A combinação de n elementos tomados p a p, se diferenciará do arranjo quando a ordem dos elementos dentro de cada sequência formada não importar. Geralmente nos problemas de combinação aparecerão as seguintes palavras:
- combinação (obviamente);
- grupos ou agrupamentos;
- comissões;
- conjunto ou subconjuntos;
- equipes ou time, etc.
Na maioria dos casos em que a ordem dos elementos não importar estamos diante de um problema de combinação. Se ainda não ficou claro, então acompanhe a situação 1 abaixo.
Uma empresa deseja formar uma comissão de três membros e dispõe de dez funcionários. Quantas comissões podem ser formadas?
Resolução:
Imagine que cada um dos 10 funcionários desta empresa está representado por uma letra de nosso alfabeto, ou seja:
E = {a, b, c, d, e ,f, g, h, i, j}.
Note que, cada comissão que será formada é um subconjunto de três elementos que serão retirados do conjunto E. Por exemplo, podemos formar a comissão {a, b, c}. O fundamental, agora, é você entender que a ordem dos elementos em cada comissão não importará, isto é, as comissões {a, b, c}, {b, a, c} e {c, a b} são iguais. A posição dos elementos em cada comissão não importa e nem gerará novas configurações, quando isso acontece, estamos diante de um problema de combinação.
Neste caso, queremos combinar 10 elementos, tomados 3 a 3, ou seja, n = 10 e p = 3. Então, pela relação da combinação, temos
Observe que tudo funciona como se as comiss�es possu�ssem 10 elementos e os grupos fossem formados de 3 elementos, j� que, dois elementos j� foram escolhidos previamente e s�o fixos em todos os agrupamentos poss�veis.
Clique AQUI , para rever An�lise Combinat�ria. Para retornar, clique em VOLTAR no seu browser.
No exerc�cio anterior, quantas comiss�es podem ser formadas de modo que em nenhuma delas figure o presidente e o vice-presidente?Ora, excluindo-se o presidente e o vice-presidente, restam 12 - 2 = 10 membros, que dever�o ser agrupados de cinco em cinco.
Logo, o n�mero procurado � igual a C12-2,5 = C10,5 que calculado � igual a:
C10,5 = 10! /[5! . (10 - 5)!] = 10! / 5!.5! = 10.9.8.7.6.5! / 5.4.3.2.1.5! = 10.9.8.7.6 / 5.4.3.2.1 = 720.7.6 / 120 = 6.7.6 = 252
Portanto, podem ser formadas 252 comiss�es distintas, nas quais n�o participem o presidente e o vice-presidente.
Ora, o n�mero de comiss�es incluindo no m�nimo um f�sico, significa que as comiss�es dever�o possuir um, ou dois, ou tr�s, ou quatro, ou cinco, ou seis, ou sete, ou oito f�sicos. Logo, para determinar o n�mero total de comiss�es, tal qual especificado no enunciado do problema, deveremos retirar do n�mero total de comiss�es, aquelas nas quais n�o participam nenhum f�sico. O c�lculo � o seguinte:
N�mero total de comiss�es de 5 membros, entre os 40 cientistas = C40,5
N�mero total de comiss�es de 5 membros, entre os 40 - 8 = 32 cientistas restantes (excluindo-se os 8 f�sicos) = C32,5
Portanto, o n�mero procurado ser� igual a: C40,5 - C32,5 = 456.632 comiss�es. (Fa�a as contas!).
O n�mero 68275 ser� precedido pelos n�meros das formas:
a) 2xxxx, 5xxxx que d�o um total de
4! + 4! = 48 permuta��es
b) 62xxx, 65xxx, 67xxx que d�o um total de 3.3! = 18 permuta��es
c) 6825x que d� um total de 1! = 1 permuta��o.
Logo o n�mero 68275 ser� precedido por 48+18+1 = 67 n�meros. Logo, sua posi��o ser� a de n�mero 68.
Supondo que as pessoas A e B fiquem sentadas juntas , podemos considerar que os agrupamentos poss�veis ser�o das seguintes formas:
a) (AB)XYZWK...........................P'n = (6-1)! = 120
b) (BA)XYZWK...........................P'n = (6-1)! = 120
Logo o n�mero total ser�: 120+120 = 240.
Trata-se de um problema de arranjos simples, cuja solu��o � encontrada calculando-se
A9,7 = 9!/(9-7)! = 9!/2! = (9.8.7.6.5.4.3.2!)/2! = 181.440
Poder�amos tamb�m resolver aplicando a regra do produto , com o seguinte racioc�nio:
A primeira pessoa tinha 9 op��es para sentar-se, a segunda, 8 , a terceira,7 , a quarta,6 , a quinta,5 , a sexta, 4 e finalmente a s�tima, 3. Logo, o n�mero total de possibilidades ser� igual a 9.8.7.6.5.4.3 = 181.440
A palavra dada possui 5 consoantes e 4 vogais. Colocando uma das consoantes, por exemplo, N , no in�cio da palavra, podemos dispor em correspond�ncia, cada uma das 4 vogais no final. Eis o esquema correspondente:
(N.............U) (N.............I) (N.............E) (N.............A)
Podemos fazer o mesmo racioc�nio para as demais consoantes. Resultam 5.4=20 esquemas do tipo acima. Permutando-se as 7 letras restantes situadas entre a consoante e a vogal, de todos os modos poss�veis, obteremos em cada esquema 7! anagramas. O n�mero pedido ser� pois igual a 20.7! = 20.7.6.5.4.3.2.1 = 100.800.
Como um dos 3 integrantes � sempre A, resta determinar os dois outros, com a condi��o de que n�o seja B. Logo, dos 12, excluindo A(que tem presen�a garantida) e B (que n�o pode participar junto com A) restam 10 pessoas que dever�o ser agrupadas duas a duas. Portanto, o n�mero procurado � C10,2 = 10! /(10-2)!.2! = 45.
Numa assembl�ia h� 57 deputados sendo 31 governistas e os demais, oposicionistas. Quantas comiss�es de 7 deputados podem ser formadas com 4 membros do governo e 3 da oposi��o?Escolhidos 3 deputados oposicionistas, com eles podemos formar tantas comiss�es quantas s�o as combina��es dos 31 deputados do governo tomados 4 a 4 (taxa 4), isto �: C31,4. Podemos escolher 3 oposicionistas, entre os 26 existentes, de C26,3 maneiras distintas; portanto o n�mero total de comiss�es � igual a C26,3 . C31,4 = 818.090.000.
Quantas anagramas podem ser formados com as letras da palavra ARARA?Observe que a palavra ARARA possui 5 letras por�m com repeti��o. Se as 5 letras fossem distintas ter�amos 5! = 120 anagramas. Como existem letras repetidas, precisamos "descontar" todas as trocas de posi��es entre letras iguais. O total de anagramas ser� portanto igual a P = 5!/(3!.2!) = 10.
� �bvio que podemos tamb�m calcular diretamente usando a f�rmula de permuta��es com repeti��o. Para revisar, clique AQUI. Para RETORNAR, clique em VOLTAR no seu browser.
Quantas solu��es inteiras e n�o negativas podemos encontrar resolvendo a equa��o x+y+z+w = 5?Por exemplo, (1,2,1,1) � solu��o pois 1+2+1+1=5.An�logamente, (2,1,1,1), (0,1,2,2), (5,0,0,0) etc s�o solu��es.
Racioc�nio: Temos que dividir 5 unidades em 4 partes ordenadas, ou seja, das formas:
|| . | . | .. | . || ou || . | .. | . | . || ou || ... | . | . | || , etc.
Temos ent�o 8 s�mbolos (5 pontos[.] e 3 tra�os[ | ] ) que devem ser permutados, por�m com repeti��o. Logo, teremos:
PR = 8! / 5!.3! = 56
Portanto, a equa��o dada possui 56 solu��es inteiras e n�o negativas.
Outra forma de resolver o problema, seria atrav�s da aplica��o da f�rmula vista em Exerc�cios de An�lise Combinat�ria III. Clique AQUI para ver. Para retornar, clique em VOLTAR no seu browser.