Quantas pessoas precisamos ter para garantir que ao menos 3 delas façam aniversário no mesmo mês?

O Principio da Casa dos Pombos nos diz que se tivermos n casas de pombos e pelo menos n + 1 pombos forem colocados nelas, pelo menos uma casa vai conter mais de um pombo.Com base no Princıpio da Casa dos Pombos, determine se as afirmacoes abaixo sao VERDADEIRAS ou FALSAS e assinale a unica alternativa correta.

I. Entre voce e 12 de seus amigos, pelo menos dois de voces tem o aniversario durante o mesmo mes.

II. A populacao de uma certa cidade e mais ou menos 1.900.000 pessoas. Se pessoas tem no maximo 1.000.000 cabelos nas cabecas entao t em que existir duas pessoas da cidade com exatamente o mesmo numero de cabelos na cabeca.

III. Um unico dado de seis lados precisa ser lancado no mınimo 6 vezes para termos certeza de

que obtivemos algum valor duas vezes.

(a) Apenas a afirmacao I e verdadeira. 

(b) Apenas a afirmacao III e verdadeira. 

(c) Apenas as afirmacoes  I e III sao verdadeiras. 

(d) Apenas as afirmacoes  I e II sao verdadeiras. 

(e) Todas as afirmações I, II e III sao verdadeiras. 

Um grupo tem que conter quantas pessoas para se garantir que tres pessoas no grupo fazem aniversario no mesmo mês? Assinale a unica alternativa correta. 

(a) 13

(b) 14

(c) 15

(d) 24

(e) 25

3 resposta(s)

Paulo Zanluqui

Há mais de um mês

Resposta:

Vamos pensar nos formatos:

São quatro formatos. Imagine que são quatro casas de pombos, quantos pombos serão necessários para garantir que haverá alguma casa com pelo menos 4 pombos?

A pior das hipóteses, seria colocar 3 pombos em cada casa. Asim, com 3 x 4 = 12 pombos, não podemos garantir que haverá alguma casa com pelo menos 4 pombos. Mas, com a chegada do 13º pombo, teremos certeza que em alguma casa haverá pelo menos 4 pombos.

Perguntas recomendadas

Problemas

Problema 1

Qual o número mínimo de pessoas que devemos reunir para que tenhamos certeza de que duas entre elas fazem aniversário no mesmo mês?
Resposta: O número mínimo de pessoas é 13.
Justificativa: Para este problema temos:

◆ casas: meses do ano (12);
◆ pombos: pessoas (13);
◆ relação: associamos cada pessoa ao seu mês de nascimento.

Pelo Princípio das Casas dos Pombos, como temos 12 casas e 13 pombos, uma das casas receberá, pelo menos, 2 pombos, ou seja, um dos meses terá dois aniversariantes.

Problema 2

Uma caixa contém 3 tipos de bolas (azuis, verdes, amarelas). Qual o número mínimo de bolas que devemos retirar da caixa para garantirmos que temos duas bolas da mesma cor?
Solução: Devemos retirar 4 bolas.
Justificativa: Para este problema escolhemos:

◆ casas: uma caixa azul, uma caixa verde e uma caixa amarela (3);
◆ pombos: bolas (4);
◆ relação: associamos a cada bola a sua cor.

Pelo Princípio das Casas dos Pombos, como temos 3 casas e 4 pombos, uma das casas receberá, pelo menos, 2 pombos, ou seja, uma das caixas conterá, pelo menos, duas bolas. Dessa forma, pelos menos duas bolas retiradas têm a mesma cor.
Vamos explicitar o raciocínio garantido pelo Princípio:
Ao retirarmos três bolas da caixa, a pior hipótese é que cada uma seja de uma cor.

Problema 3

Em uma floresta existem 106 jaqueiras. É conhecido que cada uma dessas jaqueiras não produz anualmente mais do que 92 frutos. Prove que existem 2 jaqueiras na floresta que têm a mesma quantidade de frutos.
Solução:
Para este problema temos:

◆ casas: quantidade de frutos (0, 1, 2, 3, …, 92);
◆ pombos: jaqueiras (106);
◆ relação: associamos cada jaqueira a quantidade de frutos que ela contém.

Temos 106 jaqueiras e 93 casas identificadas pelos números 0; 1; 2; 3; … ; 92. O número k associado a cada casa significa que nela serão colocadas jaqueiras que têm exatamente k frutos.
Como [tex]106 > 94 = 93 + 1[/tex], o Princípio das Casas de Pombos nos garante que existem, pelo menos, duas jaqueiras com a mesma quantidade de frutos.

Problema 4

São escolhidos cinco pontos, ao acaso, sobre a superfície de um quadrado de lado 2. Mostre que pelo menos um dos segmentos determinados por dois desses pontos tem comprimento, no máximo, igual a [tex] \sqrt{2}[/tex].
Solução:
Inicialmente, vamos dividir o quadrado em quatro quadrados de lado 1:

Com isso, façamos:

◆ casas: os quadrados menores (4);
◆ pombos: pontos (5);
◆ relação: associamos cada ponto ao quadrado a que ele pertence.

Pelo Princípio das Casas de Pombos, a superfície de um dos quadrados contém, pelo menos, dois dos cinco pontos dados.
Observe que, para cada quadrado, a distância máxima entre dois pontos sobre a sua superfície é igual ao comprimento de sua diagonal, que mede [tex] \sqrt{2}[/tex], veja:

assim, os dois pontos que estão sobre a superfície de um mesmo quadrado estão a uma distância de no máximo [tex]\sqrt{2}[/tex].
Dessa forma, dados cinco pontos, como pelo menos dois estarão em uma mesma “casa”, eles determinam um segmento de comprimento, no máximo, igual a [tex] \sqrt{2}[/tex].

Problema 5

Em uma festa de aniversário com 25 crianças, é verdade que pelo menos três delas nasceram no mesmo mês?

Problema 6

Existem duas potências de 7 cuja diferença é divisível por 2013?

Problema 7

Considere seis pontos distintos do espaço tais que não há três deles alinhados.
Cada par desses pontos é ligado por um segmento de reta e cada um desses segmentos é pintado de vermelho ou de azul.
Podemos afirmar que existe um triângulo determinado por três desses pontos cujos três lados têm a mesma cor?

Problema 8

Todos os pontos de um plano são pintados de azul ou de vermelho. É possível encontrar dois pontos da mesma cor que distam exatamente 7 cm?

Problema 9

Em um grupo de cinco cartas de baralho, pelo menos duas são do mesmo naipe?

Problema 10

Considere oito números naturais distintos, que não excedam 15. É possível garantir que, pelo menos, três pares deles têm a mesma diferença positiva?

Problema 11

Leia esta reportagem.
Podemos garantir que em Campo Grande, capital de Mato Grosso do Sul, existem, pelo menos, três pessoas com a mesma quantidade de cabelos?

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Quantas pessoas devo reunir no mínimo para garantir que 3 façam aniversário no mesmo dia da semana e no mesmo mês?

Quantas pessoas são necessárias para que possa garantir que pelo menos duas delas tenham nascido no mesmo mês?

Quantas pessoas precisam para ter as probabilidades de 2 pessoas terem o mesmo aniversário?

Qual a probabilidade de duas pessoas fazerem aniversário no mesmo mês?