Grátis 6 pág.
Pré-visualização | Página 1 de 2ESTATÍSTICA E PROBABILIDADE - GST1079 8 - PROBABILIDADES 8.1 Conceitos Preliminares O estudo de probabilidades diz respeito a experiências aleatórias, cujo resultado não po- de ser conhecido "a priori" antes que a experiência seja efetivamente realizada e o seu resultado observado. Embora o resultado de uma experiência aleatória seja imprevisível existe um certo tipo de regularidade presente neste tipo de experiência, e isto nos permite criar modelos para representar fenômenos aleatórios. 8.2 Experimento Aleatório ( ) Experimentos cujos resultados podem apresentar variações, mesmo quando realizados em condições praticamente iguais. Ex.: 1 = lançamento de um dado 2 = observação do sexo de recém-nascidos 3 = lançamento de uma moeda 4 = contagem de chamadas telefônicas por hora, em determinado aparelho 5 = jogar duas moedas 8.3 Espaço Amostral ( S ) Conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório . Ex.: S1 = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 } S2 = { M, F } S3 = { C , K } onde, C = cara K= coroa S4 = { 0 , 1 , 2 , 3 ,... } S5 = { CC, CK, KC, KK } Obs.:1) os resultados do experimento aleatório podem ser de natureza quantitativa e qua- litativa. 2) os espaços amostrais podem ser finitos ou infinitos, em relação ao número de elementos. Os espaços amostrais finitos contêm 2n resultados possíveis, sendo n os di- ferentes elementos. Dois tipos de conjuntos infinitos: enumeráveis (ou contáveis) e não enumeráveis. A={ 2,4,6,8,....} B={1,1/2,1/4,1/8,...} = contáveis C={x : 0 x 1} = não é contável Quaisquer intervalos de números reais são conjuntos não enumeráveis 8.4 Evento É qualquer subconjunto do espaço amostral, geralmente denotado por letras maiúsculas. Ex.: = lançamento de um dado S = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 } A = sair face par S A ESTATÍSTICA E PROBABILIDADE - GST1079 a) Evento Simples: formado apenas por um elemento do espaço amostral. Ex.: B = sair face 4 b) Evento Composto: formado por dois ou mais elementos do espaço amostral. Ex.: C = sair face maior que 3 c) Evento Certo: ocorre em qualquer das realizações do experimento. Ex.: D = sair face menor que 7 d) Evento Impossível: não ocorre em qualquer realização do experimento. Ex.: E = sair face maior que 6 e) Evento Complementar: dado um evento A qualquer, chamamos de complementar de A o evento formado pelos elementos do espaço amostral que não pertencem a A. f) União: é o evento que consiste dos elementos de A, ou de B, ou de ambos. g) Interseção: é o evento que consiste de todos elementos contidos simultaneamente em A e B. S AC A S A B S A B ESTATÍSTICA E PROBABILIDADE - GST1079 h) Eventos Mutuamente Exclusivos ou Excludentes: quando dois eventos, A e B, não possuem elementos em comum. Obs.: todos os eventos complementares são necessariamente excludentes, mas a recíproca não é verdadeira. Ex.: Um experimento consiste em se jogar uma moeda e jogá-la pela segunda vez, caso ocorra uma cara. Se uma coroa ocorre no primeiro lançamento, então um dado é lançado uma única vez. Listar os elementos de S. Ex.: Lançam-se três moedas. Enumerar o espaço amostral e os eventos: a) faces iguais; b) cara na 1ª. moeda; c) coroa na 2ª. e 3ª. moedas. 8.5 Definição de Probabilidades Suponha que uma experiência aleatória tem apenas um número finito de resultados pos- síveis. Seja A um evento associado a essa experiência aleatória. Então a probabilidade do evento A é dada por: P ( A ) = N.º de casos favoráveis à ocorrência do evento A N. º total de casos possíveis 8.6 AXIOMAS (verdades inquestionáveis, universalmente válidas, muitas vezes utilizadas como princí- pios na construção de uma teoria ou como base para uma argumentação) Seja S o espaço amostral e A um subconjunto qualquer deste espaço. Uma função de probabilidade que atua sobre este espaço amostral satisfaz: a) 0 P(A) 1 b) P(S) = 1 c) P() = 0 d) P(A1 A2 A3 ...) = P(A1 ) + P (A2 ) + P(A3 ) + ... onde os Ai são mutuamente excludentes e) Se AC é o complemento de A, então: P (AC) = 1 - P (A) S A B ESTATÍSTICA E PROBABILIDADE - GST1079 Ex.: Retira-se uma carta de um baralho completo de 52 cartas. Qual a probabilidade de sair um Às? Ex.: Seja = jogar uma moeda duas vezes e observar o resultado. Qual a probabilidade de se obter pelo menos 1 cara ? Ex.: Um dado é construído de tal forma que um número par é duas vezes mais provável de acontecer do que um ímpar. Seja A = um número menor que 4 ocorre. Calcular P(A). 8.7 Teorema da Soma P (A+B) = P (A) + P(B) - P (A B) , se A B P (A+B) = P (A) + P(B) , se A B = Ex.: Retira-se uma carta de um baralho completo de 52 cartas. Qual a probabilidade de sair rei ou uma carta de espadas? Ex.: Uma caixa com bolas contém 6 vermelhas, 4 azuis e três pretas. Se uma pessoa es- colhe aleatoriamente 1 destas bolas, ache a probabilidade de escolher: a) 1 vermelha b) 1 azul ou 1 preta Ex.: A probabilidade de Paulo passar em Matemática é 2/3 e a probabilidade de passar em Inglês é 4/9. Se a probabilidade de Paulo passar em ambas as disciplinas é 1/4, qual a probabilidade de que Paulo passe em pelo menos uma das duas disciplinas? 8.8 Probabilidade Condicional Sejam A e B eventos pertencentes ao mesmo espaço amostral. Definimos probabilidade condicional de A dado que B ocorre (A/B) como: P(A/B) = )B(P )BA(P , se P(B) 0 ESTATÍSTICA E PROBABILIDADE - GST1079 Beventodoocorrênciaàfavoráveiscasosdenúmero BAeventodoocorrênciaàfavoráveiscasosdenúmero )B/A(P Ex.: Seja o experimento lançar um dado e verificar o resultado. Sejam os eventos: A= {sair o número 3} e B = {sair um número ímpar} Calcular P(A), dado que já ocorreu o evento B. 8.9 Eventos Independentes Sejam A e B eventos pertencentes ao mesmo espaço amostral. Se A e B são indepen- dentes, então: P(A/B) = P(A) e P(B/A) = P(B) DEFINIÇÃO: A e B são eventos independentes se P(A B) = P(A).P(B). Obs.: Para verificar se 3 eventos A, B e C são independentes, as 4 suposições deverão ser satis- feitas: 1- P(ABC) = P(A). P(B). P(C) 2- P(AB) = P(A). P(B) 3- P(AC) = P(A). P(C) 4- P(BC) = P(B) . P(C) Se apenas uma não for satisfeita, os eventos não são independentes. Se A e B são mutuamente exclusivos, então A e B são dependentes, pois se A ocorre, B não ocorre, isto é, a ocorrência de um evento condiciona a não ocorrência do outro. Ex.: Sendo S = {1, 2, 3, 4} um espaço amostral equiprovável Sejam A = {1, 2} B = {2, 3} C = {4}, três eventos de S. Verificar quais eventos são independentes. Ex.: Lança-se um par de dados não-viciados. Determine: a) A probabilidade de ocorrer face dois em qualquer um deles. b) A probabilidade da soma das faces ser 6. c) Se a soma é 6, qual a probabilidade de ter ocorrido a face 2 em qualquer um deles? d) Os eventos soma 6 e face 2 em qualquer um deles, são independentes? ESTATÍSTICA E PROBABILIDADE - GST1079 8.10 Teorema do Produto Sejam A e B eventos que pertencem ao mesmo espaço amostral. Então: P(A B) = P(A). P(B/A) Página12 Quantos elementos têm o espaço amostral no lançamento de três moedas?Temos um espaço amostral de 12 elementos, dos quais 3 são primos.
Quantos elementos possui o espaço amostral?Espaço amostral é o nome dado ao conjunto de resultados possíveis de um evento aleatório. Dentro do espaço amostral são colocados TODOS os resultados possíveis. No lançamento de um dado, por exemplo, o espaço amostral é composto pelos números naturais de 1 a 6 e possui 6 elementos.
Quantos elementos possui o espaço amostral no lançamento de dois dados?Evento é um conjunto de resultados possíveis. O lançamento de dois dados é um experimento aleatório. c) Incorreta! Como foi dito anteriormente, o espaço amostral possui 36 elementos.
Quantos elementos têm o espaço amostral no lançamento de uma moeda é um dado?Espaço amostral é o conjunto estabelecido por todos os possíveis resultados de um experimento. Por exemplo, no lançamento de uma moeda, o espaço amostral é dado por “cara” ou “coroa”. No lançamento de um dado, o espaço amostral é representado pelas faces enumeradas 1, 2, 3, 4, 5 e 6.
|