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//4.bp.blogspot.com/_s3q2XueN0tE/TNLog8lQ7xI/AAAAAAAAAHw/3tstswZj7UA/s1600/0002.jpg //1.bp.blogspot.com/_s3q2XueN0tE/TNLozYdPoKI/AAAAAAAAAH4/ZDMSAW-K40A/s1600/0003.jpg //3.bp.blogspot.com/_s3q2XueN0tE/TNLpHD8ORZI/AAAAAAAAAIA/I6XAghjKNEM/s1600/0004.jpg //4.bp.blogspot.com/_s3q2XueN0tE/TNLqOF5zXzI/AAAAAAAAAII/vM-cryQcXPk/s1600/0005.jpg //2.bp.blogspot.com/_s3q2XueN0tE/TNLrv8dymaI/AAAAAAAAAIY/_cTkLlQo9-0/s1600/0006.jpg 17 b - base ou comprimento h - altura ou largura Perímetro = 2b + 2h = 2(b + h) Perímetro dos polígonos regulares Triângulo equilátero Quadrado P = l+ l + l P = 3 · l P = l + l + l+ l P = 4 · l Pentágono Hexágono P = l + l + l + l + l P = 5 · P = l + l + l + l + l + l P = 6 · l l - medida do lado do polígono regular P - perímetro do polígono regular Para um polígono de n lados, temos: P = n · l Comprimento da Circunferência Um pneu tem 40cm de diâmetro, conforme a figura. Pergunta-se: Cada volta completa deste pneu corresponde na horizontal a quantos centímetros? Envolva a roda com um barbante. Marque o início e o fim desta volta no barbante. Estique o bastante e meça o comprimento da circunferência correspondente à roda. Medindo essa dimensão você encontrará aproximadamente 125,6cm, que é um valor um pouco superior a 3 vezes o seu diâmetro. Vamos ver como determinar este comprimento por um processo não experimental. Você provavelmente já ouviu falar de uma antiga descoberta matemática: Dividindo o comprimento de uma circunferência (C) pela medida do seu diâmetro (D), encontramos sempre um valor aproximadamente igual a 3,14. Assim: O número 3,141592... corresponde em matemática à letra grega (lê-se "pi"), que é a primeira lera da palavra grega perímetro. Costuma-se considera = 3,14. Logo: Utilizando essa fórmula, podemos determinar o comprimento de qualquer circunferência. Podemos agora conferir com auxílio da fórmula o comprimento da toda obtido experimentalmente. C = 2 r C = 2 3,14 · 20 · C = 125,6 cm 3,1415 92... Área do Polígono O cálculo de área é uma atividade cotidiana na vida de todos nós. Sempre nos vemos envolvidos em alguma situação em que há a necessidade de se calcular a área de uma forma geométrica plana. 18 Seja na aquisição de um terreno, na reforma de um imóvel ou na busca de reduzir custos com embalagens, o uso do conhecimento de cálculo de áreas se faz presente. É uma atividade muito simples, mas às vezes deixamos algumas questões passarem despercebidas. Um professor de matemática, durante a aula de geometria plana, fez a seguinte indagação aos seus alunos: Temos um retângulo com área de x metros quadrados. Se duplicarmos as medidas dos lados desse retângulo, o que ocorrerá com o valor da área? Um dos alunos imediatamente respondeu: a área dobrará de tamanho, ou seja, será de 2x metros quadrados! O professor imediatamente retrucou: De forma alguma, será mais que o dobro. Vejamos a explicação de tal fato. Primeiro, faremos um exemplo conhecendo as medidas do retângulo, depois faremos a generalização. Exemplo 1. Considere o retângulo abaixo: Sua área será de: A1 = 10 x 3 = 30 cm 2 Agora, vamos duplicar as medidas dos lados. A área desse novo retângulo será de: A2 = 20 x 6 = 120 cm 2 Observe que ao dobrar as medidas dos lados do retângulo sua área mais que dobrou, na verdade quadruplicou. Mas será que isso ocorre para qualquer retângulo? Vejamos, agora, um caso genérico, a fim de verificar essa propriedade para todo retângulo. Vamos considerar um retângulo de base b e altura h, como mostra a figura. Sua área é dada por: A1 = a x h Agora, vamos dobrar as suas medidas, ou seja, a base será 2b e a altura, 2h. A área desse retângulo será dada por: A2 = 2b x 2h = 4(b x h) = 4A1. 19 Observe que para qualquer retângulo, se dobrarmos as medidas de seus lados, a área quadruplicará. Vamos fazer a análise dessa situação para outras figuras planas. Circunferência: Numa circunferência de raio r, a área será de: πr 2 . Se dobrarmos a medida do raio, ou seja, o raio sendo 2r, a área será de: π(2r) 2 = π4r 2 = 4πr 2 . Podemos observar que ao dobrar o valor do raio, a área da circunferência também quadruplica. Triângulo Equilátero Num triângulo equilátero de lado L, sua área será de: Ao dobrarmos a medida do lado, ou seja, o triângulo possuir lado medindo 2L, a área passará a ser de: Concluímos que ao dobrar as medidas dos lados de um triângulo equilátero, sua área quadruplica. De maneira geral, a conclusão é que, ao dobrar a medida das dimensões de uma figura plana, sua área tem o valor mais que duplicado. Área do Circulo A área do círculo é diretamente proporcional ao raio, que é a distância entre o centro e a sua extremidade. Para calcularmos a área do círculo, utilizamos a expressão matemática que relaciona o raio e a letra grega π (pi), que corresponde a, aproximadamente, 3,14. A = π * r² O círculo é determinado de acordo com o aumento do número de lados de um polígono. Quanto mais lados um polígono apresenta, mais ele se assemelha a um círculo. Observe as figuras na seguinte ordem: hexágono (6 lados), octógono (8 lados), dodecágono (12 lados) e icoságono (20 lados). Vamos determinar a área de algumas regiões circulares. Exemplo 1 Determine quantos metros quadrados de grama são necessários para preencher uma praça circular com raio medindo 20 metros. A = π * r² A = 3,14 * 20² A = 3,14 * 400 A = 1256 m² Serão necessários 1256 m² de grama. Exemplo 2 Determine a área da região em destaque representada pela figura a seguir. Considerando que a região maior possui raio medindo 10 metros, e a região menor, raio medindo 3 metros. 20 Área da região com raio medindo 10 metros A = π * r² A = 3,14 * 10² A = 3,14 * 100 A = 314 m² Área da região com raio medindo 3 metros A = π * r² A = 3,14 * 3² A = 3,14 * 9 A = 28,26 m² Área da região em destaque A = 314 – 28,26 A = 285,74 m² Exemplo 3 Deseja–se ladrilhar uma área no formato circular de 12 metros de diâmetro. Ao realizar o orçamento da obra, o pedreiro aumenta em 10% a quantidade de metros quadrados de ladrilhos, afirmando algumas perdas na construção. Determine quantos metros quadrados de ladrilhos devem ser comprados. Diâmetro igual a 12, então o raio equivale a 6 metros. A = π * r² A = 3,14 * 6² A = 3,14 * 36 A = 113,04 m² Calculando 10% 10% = 10/100 10/100 * 113,04 11,30 Total de ladrilhos a serem comprados 113,04 + 11,30 124,34 m² Será preciso comprar 124,34 m² de ladrilhos. Volume de Sólidos Dizemos que o volume de um corpo é o espaço que ele ocupa. Esses corpos possuem capacidade de acordo com o tamanho de suas dimensões. Observe as principais medidas de volume e sua correspondência com a capacidade: 1m³ (metro cúbico) = 1 000 litros 1dm³ (decímetro cúbico) = 1 litro 1cm³ (centímetro cúbico) = 1 mililitro Para determinarmos o volume de um corpo precisamos multiplicar a área da base e a altura. Lembrando que a base de uma figura pode assumir variadas dimensões (triângulos, quadriláteros, pentágonos, hexágonos, heptágonos entre outros). Alguns sólidos recebem nomes e possuem fórmula definida para o cálculo do volume. Prisma Os prismas são sólidos em que o volume depende do formato da base. Para isso precisamos saber qual a fórmula indicada para calcular, primeiramente, a área da base de um prisma e, posteriormente, determinar o volume.