Quantos números inteiros há entre 1000 e 9999 com algarismos distintos?
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Resolução:
Números entre 1000 e 9999 têm 4 algarismos.
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a.b.c.d
a: não pode ser o zero, pois começa em 1000. Logo, temos 9 opções.
b: seriam 10 opções, mas já foi uma opção na unidade de milhar (a), restando 9 opções.
c: seriam 10 opções, mas já foram 2 (a e b), restando 8 opções.
d: seriam 10 opções, mas já foram 3 (a,b e c), restando 7 opções.
Temos, então:
_ _ _ _
9.9.8.7 = 4.536
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Quantos numeros inteiros entre 100 e 999 são impares e possuem tres algarismos distintos?
combinações possíveis que terminam em {0,2,4,6,8} o número começa com 1 logo o 0 está excluído como 1º algarismo , logo o 1º algarismo par tem 4 possibilidades ímpar, ímpar , par , —> 5.4.5 =100 ímpar, par , par = ,—> 5.5.4 =100 par, ímpar, par = —> 4.5.4 =80 par, par , par —> , 4.4.3 = 48 total = 100+100+80+48 = 328 328 números pares e distintos
Problema
Quantos números entre 100 e 999 são ímpares e possuem três dígitos distintos?
(a) 500.
(b) 450.
(c) 360.
(d) 320.
(e) Nenhuma das respostas anteriores.
Solução
Seja n = XYZ o número em questão, sendo Z o algarismo das unidades, Y o algarismo das
dezenas e X o das centenas.
(Observação: A notação n = XYZ não indica um produto e sim a representação de um número de três algarismos no sistema decimal.)
Sabemos que:
- os três algarismos são distintos;
- n é ímpar, logo Z = 1 , 3 , 5 , 7 , ou 9 ;
- 1 ≤ X ≤ 9 ; 0 ≤ Y ≤ 9 .
Dessa forma, podemos concluir que:
- Escolhendo, inicialmente, o algarismo Z , podemos fazê-lo de 5 maneiras distintas.
- Para X , a princípio, teríamos 9 possibilidades de escolha; mas como Z já foi escolhido e X ≠ Z , então restam 8 modos diferentes para escolhermos X .
- Finalmente, para a escolha de Y temos 8 das 10 possibilidades iniciais, uma vez que Y ≠ Z e Y ≠ X .
Assim, pelo Princípio Fundamental da Contagem, teremos 8 × 8 × 5 maneiras de definirmos n, ou seja, existem 320 números satisfazendo as hipóteses do problema.
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.
Segunda Gincana de 2014 – Clubes de Matemática da OBMEP
Nível C – Questão Fácil
Ajuda, se precisar!
✏Princípio Fundamental da Contagem, ou Princípio Multiplicativo, para três eventos:
Se
- um evento E1 puder ocorrer de [tex] m_1 [/tex] maneiras,
- um evento E2 puder ocorrer de [tex]m_2 [/tex] maneiras,
- um evento E3 puder ocorrer de [tex]m_3 \, [/tex] maneiras,
e todos esses eventos forem independentes entre si, isto é, a ocorrência de um não muda a quantidade de possibilidades para a ocorrência de outro, então a quantidade de maneiras em que os três eventos ocorrem ao mesmo tempo é
[tex]\qquad \qquad \boxed{m_1\times m_2 \times m_3} \,.[/tex]
(Se você não se lembra desse Princípio, seria interessante dar uma passadinha
nesta Sala de Estudo.)
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Morgado -
Combinatória
Quantos números inteiros entre 100 e 999 são ímpares e possuem três dígitos distintos?
resposta:
Re: Morgado - Combinatória
O último algarismo pode ser escolhido de 5 modos (1,3,5, 7 ou 9), o primeiro, de 8 modos (deve ser diferente do último e diferente de 0) e, por fim, o do meio, de 8 modos (deve ser diferente dos outros dois algarismos, mas o 0 pode entrar aqui)
A resposta é 5 x 8 x 8 = 320
Re: Morgado - Combinatória
Victor Luz escreveu:Muito obrigado, Mestre!
Por nada, mas acho que você confundiu meu nome com o do Élcio
Abraço
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