Soma dos termos de uma PG fórmula

A soma dos termos de uma progressão geométrica finita é dada pela expressão:

Exemplo 1

Determine a soma dos elementos da seguinte PG:

Exemplo 2

A expressão matemática da soma dos termos de uma PG infinita é recomendada na obtenção da fração geratriz de uma dízima periódica simples ou composta. Observe a demonstração.
Considerando a dízima periódica simples 0,222222 ..., vamos determinar sua fração geratriz.

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Exemplo 3

Vamos determinar a fração que origina o seguinte número decimal 0,231313..., classificado como uma dízima periódica composta.

Exemplo 4

Determine a soma dos elementos da progressão geométrica dada por (0,3; 0,03; 0,003; 0,0003; ...).

Por Marcos Noé
Graduado em Matemática
Equipe Brasil Escola

Progressões - Matemática - Brasil Escola

O estudo das progressões está pautado nas sequências que possuem um padrão matemático. De acordo com este padrão é possível determinar diversos elementos de uma sequência apenas sabendo seu primeiro elemento e a razão dessa sequência.

Em determinadas situações é necessário calcularmos a somatória dos termos de uma determinada sequência. Nas sequências do tipo de progressão geométrica, podemos encontrar dois tipos de somatória, a somatória de termos finitos e a somatória de termos infinitos - Soma dos Termos de uma PG Infinita . Veremos então a expressão para calcularmos a soma de finitos termos de uma P.G, utilizando apenas o termo a1 e a razão q.

Sendo assim, vejamos a demonstração da expressão da Soma da P.G. finita.

Seja (a1, a2, …, an) uma P.G, na qual sua razão é: q ≠ 1

Portanto, a expressão que representa a soma destes n termos é dada da seguinte forma:

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Façamos uma multiplicação por q em toda a expressão, ou seja, devemos multiplicar os dois lados da igualdade:

Façamos a subtração da expressão (2) pela expressão (1):

Veja que para utilizarmos esta expressão, devemos ter uma razão diferente de 1.

Vale ressaltar que poderíamos ter subtraído a expressão 1 da expressão 2. Se fizermos isto, iremos obter a seguinte expressão:

Com isso basta aprendermos a utilizar estas expressões (que são iguais, cabe a você decidir qual utilizar) para resolvermos questões que envolvem esse conceito.

Por Gabriel Alessandro de Oliveira
Graduado em Matemática
Equipe BrasilEscola