A matriz transposta da matriz M é a matriz Mt. Trata-se da matriz que vamos obter quando reescrevemos a matriz M trocando de posição as linhas e colunas, transformando a primeira linha de M na primeira coluna de Mt, a segunda linha de M na segunda coluna de Mt, e assim sucessivamente. Show Se a matriz M possui m linhas e n colunas, a sua matriz transposta, ou seja, Mt, vai possuir n linhas e m colunas. Existem propriedades específicas para a matriz transposta. Leia também: O que é uma matriz triangular? Tópicos deste artigo
Como é obtida a matriz transposta?Dada uma matriz Am x n, conhecemos como a matriz transposta de A a matriz Atn x m. Para encontrar a matriz transposta, basta trocar a posição das linhas e colunas da matriz A. O que for a primeira linha da matriz A será a primeira coluna da matriz transposta At, a segunda linha da matriz A será a segunda coluna da matriz At, e assim sucessivamente. De forma algébrica, seja M = (mij)m x n , a matriz transposta de M é Mt = (mji) n x m. Exemplo: Encontre a matriz transposta da matriz: A matriz M é uma matriz 3x5, então a sua transposta será 5x3. Para encontrar a matriz transposta, faremos com que a primeira linha da matriz M seja a primeira coluna da matriz Mt. A segunda linha da matriz M será a segunda coluna da matriz transposta: Por fim, a terceira linha da matriz M se tornará a terceira coluna da matriz Mt: Matriz simétricaCom base no conceito de matriz transposta, é possível definir o que é uma matriz simétrica. Uma matriz é conhecida como simétrica quando ela é igual à sua matriz transposta, ou seja, dada a matriz M, M = Mt. Para que isso aconteça, a matriz precisa ser quadrada, o que significa que, para que a matriz seja simétrica, o número de linhas deve ser igual ao número de colunas. Não pare agora... Tem mais depois da publicidade ;) Exemplo: Quando analisamos os termos acima da diagonal principal e os termos abaixo da diagonal principal da matriz S, é possível perceber que há termos que são iguais, o que faz com que ela seja conhecida como simétrica exatamente pela simetria da matriz em relação à diagonal principal. Se encontrarmos a transposta da matriz S, é possível perceber que St é igual a S. Como S = St, essa matriz é uma simétrica. Veja também: Como resolver os sistemas lineares? Propriedades da matriz transposta
(Mt)t = M
(M + N)t = Mt + Nt
(M · N)t = Mt · Nt
det(M) = det(Mt)
(kA)t = kAt Matriz inversaO conceito de matriz inversa é bem diferente do conceito de matriz transposta, e é importante ressaltar a diferença entre eles. A matriz inversa de uma matriz M é a matriz M-1, em que o produto entre as matrizes M e M-1 é igual à matriz identidade. Exemplo: Para conhecer melhor esse tipo de matriz, leia o nosso texto: Matriz inversa. Matriz opostaSendo outro caso de matriz especial, a matriz oposta da matriz M é a matriz -M. Conhecemos como matriz oposta de M = (mij) a matriz -M = (-mij). A matriz oposta é composta pelos termos opostos da matriz M. Exercícios resolvidosQuestão 1 – (Cesgranrio) Considere as matrizes: Denotamos por At a matriz transposta de A. A matriz (AtA) – (B+Bt) é: Resolução Alternativa C Primeiro encontraremos a matriz At e a matriz Bt: Então, temos que: Agora calculamos B + Bt: Por fim calcularemos a diferença entre A· At e B + Bt: Questão 2 – (Cotec – adaptada) Dada as matrizes A e B multiplicando A · Bt,obtemos: Resolução Alternativa C Primeiro encontraremos a matriz transposta de B: O produto entre as matrizes A e Bt é igual a: Por Raul Rodrigues de Oliveira Qual a matriz transposta de A?A transposta de uma matriz A é uma matriz que apresenta os mesmos elementos de A, só que colocados em uma posição diferente. Ela é obtida transportando-se ordenadamente os elementos das linhas de A para as colunas da transposta. Portanto, dada uma matriz A = (aij)m x n a transposta de A é At = (a'ji) n x m.
Quais são os autovalores de uma matriz?Teorema: Os autovalores de uma matriz quadrada A de ordem n×n são zeros do polinômio característico de A, isto é, são escalares k para os quais f(k)=0.
Quantos autovalores tem uma matriz?Teorema: Os autovetores de uma matriz correspondentes a dois autovalores distintos são linearmente independente. Corolário: Se todos os autovalores de uma matriz de ordem n são diferentes, então os correspondentes autovetores desta matriz formam uma base no espaço n-dimensional.
Como descobrir autovalores?Para se encontrar os autovetores basta substituir o valor do autovalor na equação original e encontrar o autovetor. O autovalor será, então, associado ao autovetor encontrado. Na verdade, o autovetor encontrado forma uma base para o espaço de solução da equação (III), dado o respectivo autovalor.
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