Como fazer o quadrado da diferença de dois termos?

Algumas expressões algébricas possuem características comuns ao serem desenvolvidas, elas recebem o nome de produtos notáveis. Esse tipo de expressão respeita uma lógica matemática na sua resolução. Os produtos podem ser resolvidos através da propriedade distributiva da multiplicação ou por uma regra prática. Daremos ênfase à utilização da regra prática, pois através dela reduzimos os cálculos, propiciando dinamismo e praticidade na resolução das situações resolutivas.

Quadrado da soma: (a + b)² ou (a +b)(a + b)

“O primeiro termo elevado ao quadrado, adicionado ao dobro do primeiro (termo) vezes o segundo (termo), adicionado ao segundo (termo) elevado ao quadrado”.

Exemplo:

(2x + 6)² = (2x)² + 2 * 2x * 6 + (6)² = 4x² + 24x + 36

(9x + 5) = (9x)² + 2 * 9x * 5 + (5)² = 81x² + 91x + 25

(4x² + 3) = (4x²)² + 2 * 4x² * 3 + (3)² = 16x4 + 24x² + 9

(12x + 6y)² = (12x)² + 2 * 12x * 6y + (6y)² = 144x² + 144xy + 36y²

(10x³ + x) = (10x³)² + 2 * 10x³ * x + (x)² = 100x6 + 20x4 + x²

Quadrado da diferença: (a – b)² ou (a – b)(a – b)

“O primeiro termo elevado ao quadrado, subtraído do dobro do primeiro (termo) vezes o segundo (termo), subtraído do segundo (termo) elevado ao quadrado”.

(7x – 8)² = (7x)² – 2 * 7x * 8 + (8)² = 49x² – 112x + 64

(3x – 4)² = (3x)² – 2 * 3x * 4 + (4)² = 9x² – 24x + 16

(6y – 5)² = (6y)² – 2 * 6y * 5 + (5)² = 36y² – 60y + 25

(8a – 7b)² = (8a)² – 2 * 8a * 7b + (7b)² = 64a² – 112ab + 49b²

(12z – 3)² = (12z)² – 2 * 12z * 3 + (3)² = 144z² – 72z + 9

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Antes de entendermos o que são produtos notáveis, devemos saber o que são expressões algébricas, isto é, equações que possuem letras e números. Veja alguns exemplos:

2x + 3 = 4
-y + 2x + 1 = 0
z2 + ax + 2y = 3

Os produtos notáveis possuem fórmulas gerais, que, por sua vez, são a simplificação de produtos algébricos. Veja:

(x + 2) . (x + 2) =
(y – 3) . (y – 3) =
(z + 4 ). ( z – 4) =

Cinco casos de Produtos Notáveis

Há cinco casos distintos de produtos notáveis, a saber:

Primeiro Caso: Quadrado da soma de dois termos.

• quadrado = expoente 2;

• Soma de dois termos = a + b;

• Logo, o quadrado da soma de dois termos é: (a + b)2

Efetuando o produto do quadrado da soma, obtemos:

(a + b)2 = (a + b) . (a + b) =

= a2 + a . b + a . b + b2 =

= a2 + 2 . a . b + b2

Toda essa expressão, ao ser reduzida, forma o produto notável, que é dado por:

(a + b)2 = a2 + 2 . a . b + b2

Sendo assim, o quadrado da soma de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo, mais duas vezes o primeiro termo pelo segundo, mais o quadrado do segundo termo.

Exemplos:

(2 + a)2 =
= 22 + 2 . 2 . a + a2 =
= 4 + 4 . a + a2

(3x + y)2 =
= (3 x)2 + 2 . 3x . y + y2 =
= 9x2 +6 . x . y + y2

Segundo Caso: Quadrado da diferença de dois termos.

• Quadrado = expoente 2;

• Diferença de dois termos = a – b;

• Logo, o quadrado da diferença de dois termos é: (a - b)2.

Vamos efetuar os produtos por meio da propriedade distributiva:

(a - b)2 = (a – b) . (a – b)
= a2 – a . b – a . b + b2 =
= a2 – 2 .a . b + b2

Reduzindo essa expressão, obtemos o produto notável:

(a - b)2 = a2 – 2 .a . b + b2

Temos, então, que o quadrado da diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo, menos duas vezes o primeiro termo pelo segundo, mais o quadrado do segundo termo.

Exemplos:

(a – 5c)2 =
= a2 – 2 . a . 5c + (5c)2 =
= a2 – 10 . a . c + 25c2

(p – 2s) =
= p2 – 2 . p . 2s + (2s)2 =
= p2 – 4 . p . s + 4s2

Terceiro Caso: Produto da soma pela diferença de dois termos.

• Produto = operação de multiplicação;

• Soma de dois termos = a + b;

• Diferença de dois termos = a – b;

• O produto da soma pela diferença de dois termos é: (a + b) . (a – b)

Resolvendo o produto de (a + b) . (a – b), obtemos:

(a + b) . (a – b) =
= a2 - ab + ab - b2 =
= a2 + 0 + b2 = a2 - b2

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Reduzindo a expressão, obtemos o produto notável:

(a + b) . (a – b) = a2 - b2

Podemos concluir, portanto, que o produto da soma pela diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo menos o quadrado do segundo termo.

Exemplos:

(2 – c) . (2 + c) =
= 22 – c2 =
= 4 – c2

(3x2 – 1) . (3x2 + 1) =
= (3x2)2 – 12 =
= 9x4 - 1

Quarto caso: Cubo da soma de dois termos

• Cubo = expoente 3;

• Soma de dois termos = a + b;

• Logo, o cubo da soma de dois termos é: (a + b)3

Efetuando o produto por meio da propriedade distributiva, obtemos:

(a + b)3 = (a + b) . (a + b) . (a + b) =
= (a2 + a . b + a . b + b2) . (a + b) =
= ( a2 + 2 . a . b + b2 ) . ( a + b ) =
= a3 +2. a2 . b + a . b2 + a2 . b + 2 . a . b2 + b3 =
= a3 +3 . a2 . b + 3. a . b2 + b3

Reduzindo a expressão, obtemos o produto notável:

(a + b)3 = a3 + 3 . a2 . b + 3 . a . b2 + b3

O cubo da soma de dois termos é dado pelo cubo do primeiro, mais três vezes o primeiro termo ao quadrado pelo segundo termo, mais três vezes o primeiro termo pelo segundo ao quadrado, mais o cubo do segundo termo.

Exemplos

(3c + 2a)3 =
= (3c)3 + 3 . (3c)2 .2a + 3 . 3c . (2a)2 + (2a)3 =
= 27c3 + 54 . c2 . a + 36 . c . a2 + 8a3

Quinto caso: Cubo da diferença de dois termos

• Cubo = expoente 3;

• Diferença de dois termos = a – b;

• Logo, o cubo da diferença de dois termos é: ( a - b )3.

Efetuando os produtos, obtemos:

(a - b)3 = (a - b) . (a - b) . (a - b) =
= (a2 - a . b - a . b + b2) . (a - b) =
= (a2 - 2 . a . b + b2) . (a - b) =
= a3 - 2. a2 . b + a . b2 - a2 . b + 2 . a . b2 - b3 =
a3 - 3 . a2 . b + 3. a . b2 - b3

Reduzindo a expressão, obtemos o produto notável:

(a - b)3 = a3 - 3 . a2 . b + 3 . a . b2 - b3

O cubo da diferença de dois termos é dado pelo cubo do primeiro, menos três vezes o primeiro termo ao quadrado pelo segundo termo, mais três vezes o primeiro termo pelo segundo ao quadrado, menos o cubo do segundo termo.

Exemplo:

(x - 2y)3 =
= x3 - 3 . x2 . 2y + 3 . x . (2y)2 – (2y)3 =
x3 - 6 . x2 . y + 12 . x . y2 – 8y3

Por Naysa Oliveira
Graduada em Matemática

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