Construa o gráfico da função 1 e da função 2 usando um único plano cartesiano disponível a seguir

Suponha que o número de carteiros necessários para distribuir, em cada dia, as correspondências entre as residências de um bairro seja dado pela função $f(x)=\frac{22x}{500+2x}$, em que $x$ é o número de residências e $f(x)$ é o número de carteiros. Se foram necessários 6 carteiros para distribuir, em um dia, estas correspondências, qual o número de residências desse bairro, que as receberam?

Substituindo $f(x) = 6$ na expressão da função:

$6 = \dfrac{22 x}{500+2x}$
$\Rightarrow 6(500+2x) = 22x$
$\Rightarrow 3000 + 12x = 22x$
$\Rightarrow 10x = 3000$
$\Rightarrow x = 300$ residências.

Um funil de volume especificado deve ter a forma de um cone circular reto. Encontre a razão da altura pelo raio da base para que a quantidade de material empregado em sua fabricaçao seja a menor possível.

Se um corpo de peso $P$ é arrastado ao longo de um piso horizontal  por meio de uma força de grandeza $F$ e orientada segundo um  ângulo $\theta$ radianos com o plano do piso, então $F=\frac{kP}{k\sin \theta +\cos \theta}$, onde $k$ é  uma constante. Encontre $\cos \theta$, quando $F$ for mínimo.

$\left\{ x\geq 1\right\} $.

De acordo com a teoria da relatividade, o comprimento de um objeto parece, a um observador, depender da velocidade relativa entre este e o objeto. Se o observador estabelecer o comprimento do objeto, em repouso, como $L_0$, então o comprimento, a uma velocidade $v$, parecerá:
$L=L_0\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}$.
Esta equação é chamada Fórmula de Contração de Lorentz, sendo que $c$ é a velocidade da luz no vácuo, em torno de $3\times10^8m/s$. Qual o comportamento de $L$ conforme $v$ aumenta?
Determine $\lim\limits_{v\rightarrow c^- }L$. Por que o limite lateral à esquerda foi necessário, e como esta necessidade se relaciona com as Leis da Física?

Calcule o seguinte limite:
$\lim\limits_{x\rightarrow 0}\left( 1+2x\right) ^{\dfrac{1}{x}}$.

$e^2$.

Mostre que $x\neq y\Longrightarrow x^{2}+2xy<2x^{2}+2y^{2}$.

Note que $(x-y)^2+y^2>0$ sempre que $x\neq y$. Daí, $x^2-2xy+y^2+y^2>0$, que é equivalente a $2x^2+2y^2-x^2-2xy>0$, que, por sua vez, é equivalente a x^{2}+2xy<2x^{2}+2y^{2}$.

Na lei logística de crescimento admite-se que, no instante $t$, a taxa de crescimento $f'(t)$ de uma quantidade $f(t)$ seja dada por $f'(t)=Af(t)(B-f(t))$, com $A$ e $B$ constantes. Se $f(0)=C$, mostre que $f(t)=\dfrac{BC}{C+(B-C)e^{-ABt}}$.

1. 2
   
2. 0
   
3. Não existe
   
4. 1
   

A região no plano $xy$ limitada pela curva $y=x^2+1$ e pela reta $y=-x+3$ gira em torno do eixo $x$ gerando um sólido $S.$ Calcule o volume de $S.$

$sin(x)cos(x)+C$

Resolva a equação $\sqrt{9x+4} + \sqrt{3x-4} = 2 \sqrt{3x}$.

Mostre que a função \begin{align*} f\left( x\right) =\left\{ \begin{array}{cc} \dfrac{x^{3}-4x}{x^{2}-4}, & \text{se } x\neq \pm 2 \\ 2, & \text{se } x=2 \\ -3, & \text{se } x=-2 \end{array} \right. \end{align*} é contínua em todos os pontos, com exceção do ponto $x=-2$.

Uma página impressa deve ter $24cm^2$ de área reservada à parte escrita, uma margem de $1,5 cm$ nas partes superior e inferior e uma margem de $1cm$ nos lados. Quais as dimensões da página de menor área que preenche essas condições?

Obtenha as assíntotas verticais de $f(x)=\frac{x^2+1}{(x-1)^2}$.

As assíntotas verticais são os pontos $x$ tais que o limite é infinito.

Para $f(x)=\frac{x^2+1}{(x-1)^2}$ temos que:

$\lim \limits_{x \to 1} \frac{x^2+1}{(x-1)^2} = \infty$,

Logo $x=1$ é uma assíntota vertical de $f$. Como não há mais pontos no domínio de $f$ que podem levar a um limite infinito, esta é a única assíntota.

Avalie a seguinte integral indefinida:
  $\int 5e^\theta\  d\theta$

  $5e^\theta+C$

Calcule a derivada da seguinte função:
 $f\left(  x\right)  =3^{2x}\ln\left(  x^{2}\right)  .$

$2\ 3^{2 x} \log (3) \log \left(x^2\right)+\frac{2\ 3^{2 x}}{x}$

Suponha que para todo $x$, $\left| f\left( x\right) \right| \leq x^{4}$. Calcule $\lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{f\left( x\right) }{x}.$

A resposta do corpo humano a uma dose de um medicamento pode ser representada pela equação:
$$R=M^2\left(\dfrac{C}{2}-\dfrac{M}{3}\right),$$
onde $C$ é uma constante positiva e $M$ a quantidade de medicamento absorvida pelo sangue. Se $R$ for uma variação da pressão sanguínea, é medida em milímetros de mercúrio; se for variação de temperatura, é medida em graus. Determine a sensibilidade do organismo ao medicamento,  $dR/dM$.

$0$

Estude a função $f\left( x\right) =\dfrac{x^{3}}{x^{2}-1}$ com relação à concavidade, pontos de inflexão, máximos e mínimos, e esboce o seu gráfico.

Use a desigualdade triangular $\left| a+b\right| \leq \left| a\right|+\left| b\right| $\emph{ }para mostrar que $\left| x-y\right| \geq \left|x\right| -\left| y\right| $ para todo $x,y\in \mathbb{R}$. Em particular, conclua que $\left| x-y^{2}\right| \geq \left| x\right| -y^{2}.$

1.   \begin{array}{cc}
     x & f(x) \\ \hline
     2.9 & 132.857 \\
      2.99 & 12124.4 \\
       \end{array}
      A tabela parece indicar que $\lim\limits_{x\to3^-}f(x) =\infty$.
2.     \begin{array}{cc}
     x & f(x) \\ \hline
      3.1 & 108.039 \\
      3.01 & 11876.4 \\
       \end{array}
       A tabela parece indicar que $\lim\limits_{x\to3^+}f(x) =\infty$.
3.   As tabelas parecem indicar que $\lim\limits_{x\to3}f(x) =\infty$.
   

O que é um problema de valor inicial?

Se $ F(x)= { \int_1^xf(t)dt}$ e $ f(t)={ \int_{x^2}^1\frac{\sqrt{1+u^4}}{u}du}$, determine $F''(2)$.

Calcule a integral $\int x^{2}e^{x^{3}}dx$.

$\dfrac{e^{x^3}}{3}+C$.

Mostre que a equação $\sin x +\cos x =0$ tem exatamente duas raízes reais.

Prove que se $f$ for derivável em $p$, então $f$ será contínua em $p$. 

Veja Guidorizzi, volume $1$, página $152$.

 Assíntota horizontal em $y=0$; assíntotas verticais em $x=-1$ e $x=0$.

Sejam $x$ e $y$ dois números reais positivos. Demonstre que $\sqrt{xy}\leq \dfrac{x+y}{2}.$

Elevando ambos os membros da expressão $\sqrt{xy}\leq \dfrac{x+y}{2}$ ao quadrado obtemos $xy\leq \dfrac{x^2+2xy+y^2}{4}$. Simplificando chegamos a $x^2-2xy+y^2=(x-y)^2 \geq0$. Como a última expressão obtida é verdadeira e todas as expressões são equivalentes entre si, segue o resultado. Esse resultado diz que a média geométrica entre dois dois números reais positivos é sempre menor que, ou igual, à média aritmética entre eles.

1. $22$
   
2. $-7$
   
3. $0$
   
4. $b=-\frac{11}{18}a,\quad a\in\mathbb{R}$
   

$y=4x-4$.

Seja $h$ uma função definida em $[-1,1]$, sendo que $h(-1) = -10$ e $h(1) = 10$. Existe um valor $-1<c<1$ tal que $h(c) = 0$? Por quê?

Não é possível dizer: O Teorema do Valor Intermediário só se aplica para funções contínuas, e nada foi afirmado sobre a continuidade de $h$.

$f'(x)=e^x(x^2+2x)$.

Usando a regra da derivada do produto, temos que

\[f^\prime(x) = (x^2  e^x)^\prime = (x^2)' \cdot e^x + x^2 \cdot (e^x)^\prime.\]

Como $(x^2)^\prime = 2x$ e $(e^x)^\prime = e^x$, então

\[(x^2)' \cdot e^x + x^2 \cdot (e^x)^\prime = 2x e^x + x^2 e^x.\]

Colocando o fator comum $e^x$ em evidência, concluímos que

\[f^\prime (x) = e^x (x^2 + 2x).\]

Dados $f(x) = 2x^2+4x-3$ e $x_0 = -0,9$, escolha um valor inteiro próximo a $x_0$ tal que $f(x_0)$ e $f'(x_0)$ sejam fáceis de calcular, e calcule uma linearização da função neste ponto.

Esboce o gráfico da funçao $f\left( x\right) =\frac{x^{2}}{x-1}$, indicando domínio, limites laterais e no infinito, assíntotas verticais e inclinadas, intervalos de crescimento e decrescimento e estudo da concavidade.

Ache os pontos de máximo e de mínimo absolutos da função $f(x)=x+3x^{2/3}$.

Seja $f(x)=(x^3+1)/x$. Mostre que o gráfico de $y=f(x)$ tende à curva $y=x^2$ "assintotamente" no sentido de que $$ \lim_{x\to\pm\infty}\left[f(x)-x^2\right] = 0. $$ Esboce o gráfico de $y=f(x)$ mostrando o seu comportamento assintótico.

Seja $f(x)=x^n+5x^{n-1}+3$, onde $n>1$ é um inteiro. Prove que $f(x)$ não pode ser expressa como um produto de polinômios não constantes com coeficientes inteiros.

1. $96ft/s$.
   
2. $6s$.
   
3. $6s$.
   
4. Nunca, a altura máxima é $208ft$.
   

1. $4$
   
2. $2$
   
3. $4$
   
4. 2
   
5. $1$
   
6. 2
   

$f'(x) = e^x(\cos x - \sin x)$.

Usando a regra da derivada do produto, temos que

\[f^\prime(x) = (e^x \cos x)^\prime = (e^x)^\prime \cdot \cos(x) + e^x \cdot (\cos x)^\prime.\]

Como $(e^x)^\prime = e^x$ e $(\cos x)^\prime = -\sin x$, então

\[(e^x)^\prime \cdot \cos(x) + e^x \cdot (\cos x)^\prime = e^x \cos x + e^x (-\sin x) .\]

Colocando o fator comum $e^x$ em evidência, concluímos que

\[f^\prime (x) = e^x (\cos x- \sin x).\]

Demonstre que não é possível que o valor de $\int_0^1\sin(x^2)\ dx$ seja $2$. Depois, utilizando a desigualdade $\sin x \leq x$, válida para $x \geq 0$, determine um limitante superior para esta integral.

Sabemos que $\sin x \leq 1,\,\forall\,x\in\mathbb{R}$. Assim, como $\int_a^b f(x)dx \leq max\_{a \leq x \leq b} f(x) (b-a)$, podemos dizer que $\int_0^1\sin(x^2)\ dx \leq 1$.

Utilizando a desigualdade $\sin x \leq x$, podemos determinar de maneira ainda mais precisa um limitante superior para a integral.

 $\int_0^1\sin(x^2)\ dx \leq \int_0^1x^2\ dx = \frac{1}{3}x^3 \vert^1_0=\frac{1}{3}$

Temos duas possibilidades: $ax-b=r$ ou $ax-b=-r$. Da primeira equação obtemos $x=\dfrac{b+r}{a}$ e da segunda$x=\dfrac{b-r}{a}$. 

Use suas próprias palavras para definir o significado de $\int{f(x)}\ dx$.

O símbolo $\int{f(x)}\ dx$ é chamado integral indefinida de $f$ e corresponde ao conjunto de todas as antiderivadas da função $f$.

$f'(x)=ln(\pi)\pi^x$.

Calcule o limite $\lim_{x\rightarrow 1} \frac{\sqrt{x+1}-\sqrt{2}}{\sqrt{x^2+3}-2}$ ou prove que não existe.

Racionalizando e aplicando diferença de quadrados temos:
\begin{equation*}
\frac{\sqrt{x+1}-\sqrt{2}}{\sqrt{x^2+3}-2} = \frac{\sqrt{x+1}-\sqrt{2}}{\sqrt{x^2+3}-2}\cdot \frac{\sqrt{x+1}+\sqrt{2}}{\sqrt{x+1}+\sqrt{2}}\cdot \frac{\sqrt{x^2+3}+2}{\sqrt{x^2+3}+2} =
 \frac{x-1}{x^2-1}\cdot\frac{\sqrt{x^2+3}+2}{\sqrt{x+1}+\sqrt{2}}.
\end{equation*}
Logo,
$\lim_{x\rightarrow 1} \frac{\sqrt{x+1}-\sqrt{2}}{\sqrt{x^2+3}-2}=\lim_{x\rightarrow 1}\frac{x-1}{x^2-1}\cdot\frac{\sqrt{x^2+3}+2}{\sqrt{x+1}+\sqrt{2}}=\lim_{x\rightarrow 1}\frac{1}{x+1}\cdot\frac{\sqrt{x^2+3}+2}{\sqrt{x+1}+\sqrt{2}}= \frac{1}{\sqrt{2}}.$

Dados $f(x) = \dfrac{x}{x+1}$ e $x_0 = 1,3$, escolha um valor inteiro próximo a $x_0$ tal que $f(x_0)$ e $f'(x_0)$ sejam fáceis de calcular, e calcule uma linearização da função neste ponto.

Mostre que se $f$ é contínua e côncava para cima em $\left[a,b\right]$, então $f_{med}>f\left(\dfrac{a-b}{2}\right)$, onde $f_{med}$ é o valor médio da função $f$ no intervalo $\left[a,b\right]$.

Um caminhoneiro estava em uma estrada cujo limite de velocidade era de $100km/h$. Ao passar no segundo pedágio, distante $120km$ do primeiro, o caminhoneiro recebeu uma multa, pois levou $30$ minutos para ir do primeiro ao segundo pedágio. Ele tentou contestar a multa, mas não obteve sucesso. Por que a multa foi justa?

Calcule a derivada da seguinte função:
 $f\left(  x\right)  =\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}.$

 $f'\left(  x\right)  =\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}.$

$2$

Entre todos o cilindros retos que tem uma área total dada, ache o que tem volume máximo.

Resolva a equação $\left| {\frac{3x+8}{2x-3}}\right| =4$.

Temos duas possibilidades: $\frac{3x+8}{2x-3}=4$ ou $\frac{3x+8}{2x-3}=-4$. Da primeira equação obtemos $3x+8=8x-12$, i. e., $x=4$. Da segunda equação obtemos $3x+8=-8x+12$, que fornece $x=4/11$.

Suponha $g(x) \neq 0$, para todo $x \in Dom(g)$, $L \neq 0$ e $\lim\limits_{x \to p}g(x)=L$. Prove que $\lim\limits_{x \to p}\dfrac{1}{g(x)}=\dfrac{1}{L}$.

 Veja Guidorizzi, volume $1$, página $87$.

Seja $f$ uma função contínua e decrescente em $\left[a,b\right]$. Mostre que $f$ tem uma inversa decrescente em $\left[f(b),f(a)\right]$.

Utilize a fórmula
  \[
  S=\int_{a}^{b}2\pi f\left(  x\right)  \sqrt{1+\left(  f^{\prime}\left(
  x\right)  \right)  ^{2}}dx
  \]
  para mostrar que a superfície de uma esfera de raio $R$ é $4\pi
  R^{2}$.

Uma esfera de raio $R$ centrada na origem pode ser obtida pela rotação ao redor do eixo $x$ do semicírculo $x^{2}+y^{2}=R^{2}$ com $y\geq0$. Este semicírculo pode ser visto como o gráfico da função $f\left(  x\right)  =\sqrt{R^{2}-x^{2}}$, com $t\in\left[-R,R\right]  $.
  Considerando $f\left(  x\right)  =\sqrt{R^{2}-x^{2}}$ temos que:
  \[
  f^{\prime}\left(  x\right)  =-\frac{t}{\sqrt{R^{2}-x^{2}}}\text{.}%
  \]
  Usando a fórmula acima temos que:
  \begin{align*}
  S  & =\int_{-R}^{R}2\pi\sqrt{R^{2}-x^{2}}\sqrt{1+\left(  f^{\prime}\left(
  x\right)  \right)  ^{2}}dx\\
  & =\int_{-R}^{R}2\pi\sqrt{R^{2}-x^{2}}\sqrt{1+\frac{x^{2}}{R^{2}-x^{2}}}dx\\
  & =\int_{-R}^{R}2\pi\sqrt{R^{2}-x^{2}}\sqrt{\frac{\left(  R^{2}-x^{2}\right)
  +x^{2}}{R^{2}-x^{2}}}dx\\
  & =\int_{-R}^{R}2\pi\sqrt{R^{2}-x^{2}}\sqrt{\frac{R^{2}}{R^{2}-x^{2}}}dx\\
  & =\int_{-R}^{R}2\pi R\frac{\sqrt{R^{2}-x^{2}}}{\sqrt{R^{2}-x^{2}}}dx\\
  & =\int_{-R}^{R}2\pi Rdx
  \end{align*}
  Temos então que:
  \begin{align*}  S  & =\int_{-R}^{R}2\pi Rdx\\  & =\left.  2\pi Rx\right\vert _{-R}^{R}\\  & =4\pi R^{2}  \end{align*}

A região limitada pelo triângulo de vértices $(1,0),$ $(2,1)$ e $(1,1)$ gira em torno do eixo $y$ gerando um sólido $S.$ Calcule o volume de $S.$

Determine a derivada da seguinte função:
  $f\left( x\right) =\ln \left( 3\cos ^{5}\left( 4x\right)\right) .$

$f'(x) = -20\tan(4x)$.

Se uma função par $f(x)$ possui um valor máximo local em $x=c$, pode-se dizer algo sobre o valor de $f$ quando $x=-c$?

Ela também terá um máximo local em $x=-c$. É uma questão de simetria de seu gráfico em relação ao eixo das ordenadas.

Existe uma curva continuamente derivável $y=f(x)$ cujo comprimento ao longo do intervalo $0\leq x\leq a$ seja sempre $\sqrt{2}a$?

Calcule o limite $\lim\limits_{x \to \infty}\dfrac{x^n}{e^x}$.

$0$.

  $(-1,1)$

Encontre, se existirem, o valor máximo absoluto e o valor mínimo absoluto da função $f(x)= \sqrt[3]{x^3-x^2},$ no intervalo $[0,1].$

Observe que $-1 \leq \sin(x) \leq 1$ e, portanto, como $e^x \geq 0$, $-e^x \leq e^x \sin(x) \leq e^x$.

  Como $\lim\limits_{x \to -\infty} e^x = 0$ e $\lim\limits_{x \to -\infty} -e^x = 0$, então, pelo Teorema do Confronto temos $\lim\limits_{x \to -\infty} e^x \sin(x) = 0$

1. \begin{tabular}{cc}

   $x$ & $f(x)$ \\ \hline

   $2.9$ & $-335.64$ \\

   $2.99$ & $-30350.6$ \\

   \end{tabular}

   A tabela parece indicar que $\lim\limits_{x\to3^-}f(x) =-\infty$.

2. \begin{tabular}{cc}

   $x$ & $f(x)$ \\ \hline

   $ 3.1$ & $-265.61$ \\

   $3.01$ & $-29650.6$ \\

   \end{tabular}

   A tabela parece indicar que $\lim\limits_{x\to3^+}f(x) =-\infty$.

3. Ao analisar as duas tabelas, parece que $\lim\limits_{x\to3}f(x) =-\infty$.

Derive a função $f\left( x\right)  = \int_{x^{2}}^{e^{3x}}\cos t\sin tdt$.

Encontre $f(x)$ que satisfaça o seguinte problema de valor inicial:
  $f''(x) = 24x^2+2^x-\cos x$ e $f'(0)= 5$, $f(0) = 0$

$\frac{2 x^4 \ln ^2(2)+2^x+x \ln 2) (\ln 32-1)+\ln
     ^2(2) \cos (x)-1-\ln ^2(2)}{\ln ^2(2)}$

$f'(x)=\dfrac{1}{xln(a)}

É verdade que, ao se esticar um elástico puxando-o por suas extremidades em direções opostas, algum ponto do elástico permanecerá em sua posição inicial? Justifique sua resposta.

1. Dom$f=\left\{  x\in\mathbb{R}|x\neq\pm1\right\}  $

2. $f\left(  x\right)  =0$ se, e somente se, $x=0$

3. A função é par: $f\left(  -x\right)  =f\left(  x\right)  $

4. Usando L'Hopital ou colocando-se $x^{2}$ em evidêncai no numerador e
     denominador, obtemos que
     \[
     \lim_{x\rightarrow\infty}f\left(  x\right)  =\lim_{x\rightarrow-\infty
     }f\left(  x\right)  =2/3
     \]
     \begin{align*}
     \lim_{x\rightarrow-1^{+}}f\left(  x\right)    & =-\infty\\
     \lim_{x\rightarrow-1^{-}}f\left(  x\right)    & =\infty\\
     \lim_{x\rightarrow1^{+}}f\left(  x\right)    & =\infty\\
     \lim_{x\rightarrow1^{-}}f\left(  x\right)    & =-\infty
     \end{align*}

5. \begin{align*}
     f^{\prime}\left(  x\right)    & =\frac{4x\left(  3x^{2}-3\right)
     -2x^{2}\left(  6x\right)  }{\left(  3x^{2}-3\right)  ^{2}}\\
     & =\frac{-12x}{\left(  3x^{2}-3\right)  ^{2}}
     \end{align*}
     logo a derivada é positiva se $x<0$ e negativa se $x>0$, ou seja $f$ é crescente para $x<0$ e decrescente para $x>0$
   

6. $x=0$ é ponto de máximo da função.

7. A função não tem pontos de inflexão pois $\pm1\notin
     Dom\left(  f\right)  $
     \begin{align*}
     f"\left(  x\right)    & =\frac{-12\left(  3x^{2}-3\right)  ^{2}+12x2\left(
     3x^{2}-3\right)  6x}{\left(  3x^{2}-3\right)  ^{4}}\\
     & =\frac{-12\left(  3x^{2}-3\right)  +12x2\cdot6x}{\left(  3x^{2}-3\right)
     ^{3}}\\
     & =\frac{-36x^{2}+36+12^{2}x^{2}}{\left(  3x^{2}-3\right)  ^{3}}\\
     & =\frac{-12x^{2}+12+48x^{2}}{\left(  x^{2}-1\right)  ^{3}}\\
     & =12\frac{3x^{2}+1}{\left(  x^{2}-1\right)  ^{3}}
     \end{align*}
     Observando que $3x^{2}+1>0,\forall x$, temos que $f"\left(  x\right)  >0$ se, e somente se,
     $x^{2}-1>0$ se, e somente se, $x>1$ ou $x<-1$ logo $f$ tem concavidade para cima se
     $x\in(-\infty,-1)\cup\left(  1,\infty\right)  $ e concavidade par baixo se
     $x\in\left(  -1,1\right)  $.

8. Esboço do Gráfico:
   

   

Mostre que $\sqrt{xy}\leq {\frac{x+y}{2}}$$\forall x,y\geq 0$.

Elevando ambos os membros da expressão $\sqrt{xy}\leq \dfrac{x+y}{2}$ ao quadrado obtemos $xy\leq \dfrac{x^2+2xy+y^2}{4}$. Simplificando chegamos a $x^2-2xy+y^2=(x-y)^2 \geq0$. Como a última expressão obtida é verdadeira e todas as expressões são equivalentes entre si, segue o resultado. Esse resultado diz que a média geométrica entre dois dois números reais positivos é sempre menor que, ou igual, à média aritmética entre eles.

Um retângulo tem sua base no eixo $x$ e seus dois vértices superiores na parábola $y=-x^2$. Qual é a maior área que esse retângulo pode ter? Quais são suas dimensões?

Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada pela curva dada em torno do eixo especificado. Esboce a região e o sólido.
  $y=x^{2}-6x+10,y=-x^{2}+6x-6$, ao redor do eixo $y.$

Encontre os valores de $x$ para os quais cada o número $\sqrt{7x+9}$ é real.

Este número será real se o valor dentro da raiz for maior ou igual a zero.
$\begin{array}{rcl} 7x+9 &\geq& 0 \\ 7x &\geq& -9 \\ x &\geq& -\dfrac{9}{7}. \end{array}$
Portanto o conjunto dos valores de $x$ tais que $\sqrt{7x+9}$ é real é $\{x \in \mathbb{R} ; x \geq -9/7\}$.

Prove que $\displaystyle\int x^me^xdx=x^me^x-m \displaystyle\int x^{m-1}e^xdx$, para $m$ inteiro positivo.

Seja $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ uma função contínua no intervalo $\left[2,6 \right]$ com $f(2)=3$ e $f(6)=5$. Use o Teorema de Weierstrass e o Teorema do Valor Intermediário pra mostrar que a imagem de $f$ é um intervalo fechado.

Encontre a área da região limitada pela elipse $x^2+\frac{y^2}{4}=1.$

Primeiramente, escreve-se a equação da elipse na forma $y=\pm f(x)$: 

$y=\pm 2\sqrt{1-x^2}$

Observação: Nesta forma, é possível ver mais facilmente que a elipse não apresenta nenhum ponto com $\left\vert x\right\vert >1$.

Se denotarmos $f_1(x)= 2\sqrt{1-x^2}$ e $f_2(x)=- 2\sqrt{1-x^2} $, a área da região limitada pela elipse é portanto 

$\int_{-1}^{1}f_1(x)-f_2(x)\,dx=2\int_{-1}^{1}f_1(x)\,dx=2 \left(\sqrt{1-x^2} x+\sin ^{-1}(x)\right)=2\pi$

Avalie a seguinte integral indefinida:
  $\int (t^2+3)(t^3-2t)\  dt$

$t^6/6+t^4/4-3t^2+C$

1. Falso
   
2. Verdadeiro
   
3. Falso
   

Mostre que qualquer reta tangente ao gráfico da hipérbole $xy=a^2$ determina com as assíntotas um triângulo de área igual a $2a^2$.

Encontre a área da região no primeiro quadrante limitada pelos eixos coordenados e pela curva $y=\frac{\sqrt{9-x^2}}{3}.$

Seja $a>0$. Esboce o gráfico das funções $f(x) = \log_a x $ e $ f(x) = \log_\frac{1}{a} x$ num mesmo sistema cartesiano. Qual relação você observa entre os gráficos? Explique.

Considere o número inteiro $P = 100 \cdot 101 \cdot 102 \cdot \ldots \cdot 200$, produto de $101$ números inteiros sucessivos. Ao escrever-se $P$ como um produto de fatores primos, qual o número de vezes que o fator $7$ aparece?

Seja $f$ uma função definida num intervalo aberto $I$ e $p \in I$. Suponha que $f(x) \leq f(p)$ para todo $x \in I$. Prove que $\lim\limits_{x \to p}\dfrac{f(x)-f(p)}{x-p}=0$, desde que o limite exista.

Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada por $y=x-x^{2}$ e $y=0$ ao redor da reta $x=2$.

$(-\infty,0]$

Determine qual o último número $N$, escrito na sucessão dos números naturais $12345678910111213...N$, sabendo que foram escritos $3849$ algarismos.

1. $-\infty$
2. $\infty$
3. O limite não existe
4. $\infty$
5. $\infty$
6. $\infty$

Calcule a seguinte integral:
   $\int_{0}^{\pi }x^{2}senx dx$.

$\pi^2-4$

$x=0$.

Esboce neste mesmo gráfico a reta $y=2x+3$. Indique a região delimitada por esta reta e pelo gráfico de $f\left(x\right) $, para $2\leq x\leq 3$. Calcule a área desta região.

Calcule a integral $\int e^{x}\sin xdx$.

$\dfrac{1}{2}e^x(sinx-cosx)+C$.

1. $f(-x)=(-x)^{3}+(-x) = -x^3-x = -(x^3+x) = -f(x)$, logo a função é ímpar.

1. $f(-x)=(-x)^{4}+2(-x)^{3}+(-x)^{2} = x^4-2x^3+x^2$, que não é igual a $f(x)$ nem $-f(x)$, logo a função não é par nem ímpar.

Determine a derivada de $f\left( t\right) =t^{3}e^{-3t}$.

$-3 e^{-3t} (t-1) t^2$.

Encontre todas as funções polinomiais $f$ com coeficientes reais tais que $(x-27)f(3x)=27(x-1)f(x)$ para todo número real $x$.

Lembrando que o comprimento do traçado de um gráfico de uma função $f(x)$ no intervalo $[a,b]$ é dado por $\int_a^b \sqrt{1+(f'(x))^2} dx$, calcule o comprimento da circunferência de raio $r=1$.

1. $2$
   
2. $2$
   
3. $2$
   
4. $1$
   
5. Como $f$ não é definida para $x<0$, esse limite é indefinido.
   
6. $1$
   

A atmosfera da Terra absorve aproximadamente $32\%$ da radiação proveniente do Sol. A Terra também emite radiação (a maior parte em forma de calor) e a atmosfera absorve aproximadamente $93\%$ dessa radiação. A diferença entre a radiação que entra na Terra e a que sai é chamada efeito-estufa. Modificações nesse equilíbrio podem afetar o clima da Terra. Seja $I_0$ a intensidade da radiação do Sol e $I$ a intensidade depois de percorrer uma distância $x$ na atmosfera. Se $p(h)$ é a densidade da atmosfera na altitude $h$, então a espessura ótica é $f(x)=k \displaystyle\int_0^x p(h) dh$, onde $k$ é uma constante de absorção e $I$ é dada por $I=I_0e^{-f(x)}$. Mostre que $dI/dx=-kp(x)I$.

$y' =  -(2 x^2 \tan(3 x))/(x^2 + 4)^2 + (\tan(3 x))/(x^2 + 4) + (3 x \sec^2(3 x))/(x^2 + 4)$.

1. $\infty$
2.  $\infty$

Avalie a seguinte integral indefinida:
  $\int e^\pi\  dx$

$e^\pi x+C$

$e$.

Seja $f$ uma função definida em $\mathbb{R}$ e suponha que exista $M>0$ tal que $|f(x)-f(p)|\leq M|x-p|$ para todo $x$. Prove que $f$ é contínua em $p$.

Calcule a integral $\int \dfrac{\sin x}{\cos ^{3}x}dx.$

1. $\begin{array}{rcl} 2,001111... &=& 2 + 0,00111... \\ &=& 2 + \dfrac{0,111...}{100} \\ &=& 2 +   \dfrac{1}{100} \dfrac{1}{9} \\&=& 2 + \dfrac{1}{900} \\  &=& \dfrac{1800+1}{900} \\  &=& \dfrac{1801}{900}. \end{array} $
2. $\begin{array}{rcl} 2,101010... &=& 2 + 0,101010... \\ &=& 2 + \dfrac{10}{99} \\ &=& \dfrac{198+10}{99} \\  &=& \dfrac{208}{99}. \end{array} $
3. $\begin{array}{rcl} 1,2333... &=& 1,2 + 0,0333... \\ &=& \dfrac{12}{10} + \dfrac{1}{10}\dfrac{3}{9} \\ &=& \dfrac{12}{10} + \dfrac{3}{90} \\&=& \dfrac{108+3}{90} \\  &=& \dfrac{111}{90}. \end{array} $
   

Dê um exemplo de uma função que seja contínua em todos os pontos da reta, exceto nos pontos da forma $k \pi$, $k \in \mathbb{Z}$.

$f(x)=1$, se $x=k \pi$, $k \in \mathbb{Z}$; $f(x)=0$, caso contrário.

Calcule a integral $\displaystyle\int \dfrac{1}{ax^n+bx}dx$.

Calcule a integral $\int{\frac{\sin 10x}{4+\cos 10x}dx}.$

$\dfrac{1}{10}ln(cos(10x)+4)+C$

Estude a função $f\left( x\right) =\sin x+\cos x$ com relação à concavidade, pontos de inflexão, máximos e mínimos, e esboce o seu gráfico.

  $t+C$

1. $20$.

2. $25$.

3. Não existe.

4. $25$

5. Não.

Mostre, usando a definição de limite, que $\displaystyle \lim_{x\to 5} 3-x = -2$

Seja $\epsilon >0$ dado. Queremos encontrar $\delta >0$ tal que, quando$|x-5|<\delta$, $|f(x)-(-2)|<\epsilon$.
Considerando $|f(x)-(-2)|<\epsilon$:
\begin{gather*}
|f(x) + 2 | < \epsilon \\
|(3-x) + 2 |<\epsilon \\
| 5-x | < \epsilon \\
-\epsilon < 5-x < \epsilon \\
-\epsilon < x-5 < \epsilon. \\
\end{gather*}
Isso implica que podemos estabelecer $\delta =\epsilon$. Portanto:
\begin{gather*}
|x-5|<\delta \\
-\delta < x-5 < \delta\\
-\epsilon < x-5 < \epsilon\\
-\epsilon < (x-3)-2 < \epsilon \\
-\epsilon < (-x+3)-(-2) < \epsilon \\
|3-x - (-2)| < \epsilon,
\end{gather*}

que é o que buscávamos provar.

Calcule a derivada da seguinte função:
 $f\left(  x\right)  =\frac{\cos^{2}\left(  x\right)  +\sin^{2}\left(x\right)  }{\sqrt{x^{3}+1}}.$

 $(-\infty,-\sqrt{6}]\cup [\sqrt{6},\infty)$

A altura de um corpo em movimento vertical é dada por
$s = -\frac{1}{2}gt^2+v_0t+s_0,\quad g>0$
com $s$ em metros e $t$ em segundos. Determine a altura máxima do corpo em função da velocidade inicial $v_0$, da aceleração da gravidade $g$ e da posição inicial $s_0$.

Mostre que $x^{2}-xy+y^{2}\geq 0$, $\forall x,y\in \mathbb{R}^+$ e que vale a  igualdade se e somente se $x=y=0$.

Note que $x^{2}-xy+y^{2}=x^2-2xy+y^2+xy=(x-y)^2+xy \geq 0$, pois $(x-y)^2 \geq 0$ e $xy \geq 0$. O único modo de ocorrer a igualdade é quando as duas parcelas forem iguais a zero, o que ocorre se, e somente se, $x=y=0$.

Prove a seguinte generalização do Teorema do Valor Médio: Se $f$ é contínua e diferenciável sobre o intervalo $(a,b)$ e os limites $\displaystyle \lim_{y\to a^+}f(y)$ e $\displaystyle \lim_{y\to b^-}f(y)$ existem, então existe $x\in (a,b)$ tal que $$f'(x)=\dfrac{\displaystyle \lim_{y\to b^-}f(y)-\lim_{y\to a^+}f(y)}{b-a}.$$ (Sua prova deve começar mais ou menos assim: "Esta é uma conseqüência do Teorema do Valor Médio porque ...".)

Calcule o limite $\lim\limits_{x \to \infty}\dfrac{e^x}{x^n}$.

$\infty$.

Calcule a área no plano entre os gráficos de $f\left( x\right) =x^{3}-x$ e $g\left( x\right) =sen\left( \pi x\right) $ no intervalo $[0,1]$.

Sabemos que, no intervalo $[0,1]$, $g(x)=\sin(\pi x)>0$. Uma análise das raízes de $f(x)=x^3-x$ nos mostra que no intervalo referido, $f(x)<0$. Assim,como não há mudança de sinal de $f(x)-g(x)$, o cálculo da área entre as curvas se resumo ao cálculo da integral definida

$\int_0^1 \left(g(x)-f(x)\right)\,dx= \left.\left(-\frac{x^4}{4}+\frac{x^2}{2}-\frac{\cos (\pi  x)}{\pi }\right) \right\vert_0^1=\frac{1}{4}+\frac{2}{\pi }$

Chamando $x^2=y$, transformamos a equação para:
$y^2 -13y + 36=0$. Resolvendo esta equação:
$\Delta = 13^2-4.1.36 = 25.$
$y = \dfrac{13 \pm \sqrt{25}}{2}.$ 
Assim as soluções são: $y = 9$ ou $y = 4$.
Substituindo em $y=x^2$:
$x^2 = 9 \Rightarrow x = \pm 3$.
$x^2 = 4 \Rightarrow x = \pm 2$.
Portanto as soluções são $x=-2$, $x=2$, $x=-3$ e $x=3$.

$f'(x) = (15 x^2 + 2/x)/(\cos^2 x + 1) + (2 (5 x^3 + \log(x^2)) \sin x \cos x )/(\cos^2 x + 1)^2$.

$f'(\pi/2) = \dfrac{4}{\pi} + \dfrac{15 \pi^2}{4}$.

1. $4$
   
2. $-4$
   
3. Não existe.
   
4. $0$
   

Mostre que a função $f\left( x\right) =\dfrac{1}{x}$ é contínua em seu domínio.

Encontre $f(\theta)$ que satisfaça o seguinte problema de valor inicial:
  $f''(\theta) = \sin \theta$ e $f'(\pi)= 2$, $f(\pi) = 4$

  $\theta-\sin (\theta)-\pi +4$

1. Dom$\left(  f\right)  =\mathbb{R}$
2. $f\left(  0\right)  =1$ e $f\left(  x\right)  =0$ se, e somente se, $\cos x=\sin x$ se, e somente se,
     $x=\frac{\pi}{4}+k\pi$ com $k\in\mathbb{Z}$
3. $f$ é periódica, com período $2\pi$
4. A função não possui assíntotas verticais (pois é contínua na reta) e tampouco horizontais (pois é periódica)
5. \begin{align*}
     f^{\prime}\left(  x\right)    & =-\sin x-\cos x=0\text{ se, e somente se,}\\
     \cos x  & =-\sin x\text{ se, e somente se, }x=\frac{3\pi}{4}+k\pi\text{ com }k\in
     \mathbb{Z}\text{.}
     \end{align*}
     Considerando no período $\left[  0,2\pi\right]  $ temos que
     \begin{align*}
     f^{\prime}\left(  x\right)    & >0\text{ se }x\in\left(  \frac{3\pi}{4}
     ,\frac{7\pi}{4}\right)  \text{ (intervalo de crescimento)}\\
     f^{\prime}\left(  x\right)    & <0\text{ se }x\in\lbrack0,\frac{3\pi}{4}
     )\cup(\frac{7\pi}{4},2\pi]\text{ (intervalo de crescimento)}
     \end{align*}
6. Novamente considerando no período $\left[  0,2\pi\right]  $ temos que $\frac{3\pi}{4}$ é ponto de mínimo e $\frac{7\pi}{4}$ é ponto de máximo.
7. \begin{align*}
     f"\left(  x\right)    & =-\cos x+\sin x=0\text{ se, e somente se,}\\
     \cos x  & =\sin x\text{ se, e somente se, }x=\frac{\pi}{4}+k\pi\text{ com }k\in
     \mathbb{Z}\text{.}
     \end{align*}
     Considerando no período $\left[  0,2\pi\right]  $ temos que
     \begin{align*}
     f"\left(  x\right)    & >0\text{ se }x\in\left(  \frac{\pi}{4},\frac{5\pi}
     {4}\right)  \text{ (concavidade para cima)}\\
     f"\left(  x\right)    & <0\text{ se }x\in\lbrack0,\frac{\pi}{4})\cup
     (\frac{5\pi}{4},2\pi]\text{ (concavidade para baixo)}
     \end{align*}
8. Esboço do Gráfico:
   
   
   
   

1. 4
   
2. 4
   
3. 4
   
4. 3
   

A única maneira de escrevermos $4$ como produto de inteiros positivos, a menos de ordem dos fatores,  é $4=1 \cdot 1\cdot 2 \cdot 2$. Assim, uma possibilidade é $m=n=6, p=q=5$. Há várias outras possibilidades, mas que não alterarão a soma $m+n+p+q=22$. De fato, se mudássemos os valores de $m,n,p$ e $q$, eles continuaríam sendo $1,1,2$ e $2$ em alguma ordem e a soma não mudaria, já que a adição é comutativa e associativa.

Escreva o número $\sin 2$ como uma soma (com a notação $\Sigma$), com um erro menor que $10^{-12}$.

1. $64ft/s$
   
2. $64ft$
   
3. $t=2$
   
4. $t=2+\sqrt{7}\approx 4.65s$.
   

Dizemos que duas famílias de curvas são trajetórias ortogonais uma da outra se cada curva de uma família for ortogonal a cada curva da outra. Faça um esboço de gráfico da família de curvas $x^2+(y-c)^2=c^2$ e da família $(x-k)^2+y^2=k^2$ no mesmo plano cartesiano, para alguns valores de $c$ e $k$ reais (se necessário, utilize algum recurso computacional). Mostre que estas famílias (de círculos) são ortogonais uma da outra. (Sugestão: retas tangentes são perpendiculares em um ponto de interseção se as suas inclinações são recíprocas negativas uma da outra.)

$f'(x) = \dfrac{2 e^x}{(1-e^x)^2}$.

Queremos calcular a derivada da divisão da função $1+e^x$ pela função $1-e^x$. Usando a regra da derivada do quociente, obtemos:

\[\left( \dfrac{1+e^x}{1-e^x} \right)^\prime = \dfrac{(1+e^x)^\prime \cdot (1-e^x) - (1+e^x)\cdot (1-e^x)^\prime}{(1-e^x)^2}.\]

Como

\[(1+e^x)^\prime = (1)^\prime + (e^x)^\prime = 0 + e^x = e^x\]

e, analogamente,

\[(1-e^x)^\prime = -e^x,\]

temos então que

$\dfrac{(1+e^x)^\prime \cdot (1-e^x) - (1+e^x)\cdot (1-e^x)^\prime}{(1-e^x)^2} = \dfrac{e^x (1-e^x)-(1+e^x)(-e^x)}{(1-e^x)^2} = \dfrac{e^x(1-e^x)+e^x(1+e^x)}{(1-e^x)^2}$.

Para simplificar o numerador, colocamos o fator comum $e^x$ em evidência: $e^x(1-e^x+1+e^x) = 2e^x$. Portanto, concluímos que

\[f'(x) = \dfrac{2 e^x}{(1-e^x)^2}.\]

Determine uma reta que seja tangente à elipse $x^{2}+2y^{2}=9$ e que intecepte o eixo das ordenadas no ponto de ordenada $9/4$.

Seja $P(x)$ um polinômio de coeficientes inteiros com grau $d>0$. Seja $n$ o número de inteiros distintos $k$ tais que $(P(k))^2=1$. Prove que $n\leq d+2.$

Encontre a equação da reta tangente à curva $y=2x^2+3$ que seja paralela à reta $8x-y+3=0$.

$y=8x+3$.

Construa uma função com uma assíntota vertical em $x=5$ e uma assíntota horizontal em $y=5$.

 Seja $f:[a,b] \to [a,b]$ uma função contínua. Prove que $f$ possui um ponto fixo, ou seja, algum valor de $x$ tal que $f(x)=x$.

1. 3
   
2. 4
   
3. 3
   
4. 0
   
5. $-4$
   
6. 9
   

Seja $g(x)=log_a{x}$, em que $a>0$ e $a \neq 1$ é um real dado. Mostre que $g'(x)=\dfrac{1}{x \ln{a}}$.

Se duas torneiras, de igual vazão, enchem uma piscina em $5$ horas,  quanto tempo três torneiras, de mesma vazão que as primeiras, encherão a piscina?

Como duas torneiras de igual vazão enchem a piscina em $5$ horas,  uma única torneira encheria em $10$ horas. Ora, $3$ torneiras de igual vazão trabalhando juntas reduziriam esse tempo de $10$ horas dividindo-o por $3$. A resposta é $10/3$ horas.

Calcule o seguinte limite:
$\lim\limits_{x\rightarrow 1}\ln \dfrac{x^{2}-1}{x-1}$.

$ln2$.

É mais correto se referir a uma antiderivada de $f(x)$ ou a antiderivada de $f(x)$?

O correto é uma antiderivada, já que existem infinitas antiderivadas para uma dada função.

Determine os valores de $\lambda$ que tornam contínua a função $f:\mathbb{R\rightarrow R},$ da por:
  \[
  f\left( x\right) =\left\{
  \begin{array}{c}
  x^{2}+\lambda x\mbox{ se }x\leq 1 \\
  \left( \lambda x\right) ^{2}-1=\lambda ^{2}x^{2}-1\mbox{ se }x>1
  \end{array}
  \right. \mbox{.}
  \]

Dê um exemplo de uma função tal que $\lim\limits_{x\rightarrow p}\left| f\left( x\right) \right| $ exista mas $\lim\limits_{x\rightarrow p}f\left( x\right) $ não exista.

Escreva o número $e^2$ como uma soma (com a notação $\Sigma$), com um erro menor que $10^{-5}$.

Determine o conjunto solução da equação $|x|^2+|x|-6=0$.

Calcule a derivada da seguinte função:
 $f\left(  x\right)  =5^{x\cos\left(  x^{2}\right)  }.$

Seja $f$ uma função contínua em $[1,5]$, sendo que $f(1) = -2$ e $f(5) = -10$. Existe um valor $1<c<5$ tal que $f(c) = -9$? Por quê?

 Sim, pelo Teorema do Valor Intermediário.

Calcule o limite $\lim\limits_{x\rightarrow -\infty }\left( 2^{x}+2^{-x}\right)$.

$\infty$.

Determine a equação da reta tangente ao gráfico de $f(x)=tg{x}$ no ponto de abscissa $0$.

$y=x$

Calcule a integral $\displaystyle \int \dfrac{10x^2+9x+1}{2x^3+3x^2+x} \, dx$.

Identifique as assíntotas verticais e horizontais, caso existam, da função  $f(x)=\frac{-3 x^2-9 x-6}{5 x^2-10 x-15}$.

 Assíntota horizontal em $y=-3/5$; assíntota vertical em $x=3$.

Mostre que a linearização de $f(x)=(1+x)^k$ em $x=0$ é $L(x)=1+kx$.

Calcule a derivada de ordem $1000$ da função $f(x)=\sin{kx}, k \in R$.

$f^{1000}(x)=k^{1000}\sin{kx}$

$y=\dfrac{x+9}{6}$.

Existem, para doação a escolas, $2000$ ingressos de um espetáculo e $1575$ de outro. Cada escola deve receber ingressos para somente um dos espetáculos e todas as escolas devem receber a mesma quantidade de ingressos. Distribuindo-se todos os ingressos, qual o número mínimo de escolas que poderão ser contempladas nessa doação?

Calcule a integral $\int_0^{1} xe^x dx$.

1

 Sendo $f(x) = \left\{\begin{array}{cl} x^2-x+1 & x\leq 3 \\ 2x+1 & x>3 \end{array}\right.$, calcule $\lim\limits_{x\to 3} f(x)$.

7

Dados $f(x) = x^{-1}$ e $x_0 = 0,9$, escolha um valor inteiro próximo a $x_0$ tal que $f(x_0)$ e $f'(x_0)$ sejam fáceis de calcular, e calcule uma linearização da função neste ponto.

A linearização da função $f(x)$ em torno de um ponto $x_0$ nada mais é do que assumir que ela se comporta como uma reta que passa pelo ponto $(x_0,f(x_0))$ com inclinação $f'(x_0)$.

Neste caso temos $f(x)=x^{-1}$ e $f'(x)=-x^{-2}$. Linearizando a função em torno de $1$, temos $\frac{y-f(1)}{x-1}=f'(1)=\frac{y-1}{x-1}= -1$ portanto temos

$y=2-x$

Aproxime numericamente o seguinte limite
  $ f(x)=\frac{x^2-9 x+18}{x^2-x-6}$

1.  \begin{array}{cc}
     x & f(x) \\ \hline
     2.9 & -0.632 \\
     2.99 & -0.6032 \\
     2.999 & -0.60032 \\
     \end{array}
   A tabela parece indicar que $\lim\limits_{x\to3^-}f(x) =-0.6$.
2.  \begin{array}{cc}
     x & f(x) \\ \hline
      3.1 & -0.5686 \\
     3.01 & -0.5968 \\
     3.001 & -0.59968 \\
       \end{array}
   A tabela parece indicar que   $\lim\limits_{x\to3^+}f(x) =-0.6$.
3. As tabelas parecem indicar que   $\lim\limits_{x\to3}f(x) =-0.6$.
   

$f'(x) = \dfrac{3-7x^2}{4 x^{3/4}(x^2+3)^2}$.

A área de um setor circular com raio $r$ e ângulo central $\theta$ é $A=\frac{1}{2} r^2 \theta$. Demonstre esta fórmula. (Dica: assuma um ângulo $0<\theta<\pi/2$ e considere o círculo centrado na origem, de forma que tenha equação $x^2+y^2=r^2$. Então $A$ é a soma da área de um triângulo e a porção restante do setor cirular. Faça um esboço do gráfico para facilitar.)

Encontre as raízes do polinômio $x^4-6x^3+13x^2-12x+4.$
Sugestão: Utilize o teste das raízes racionais

Não converge.

$f'(x) = \dfrac{1}{2} e^x ( \sin (2x) + 2 \cos (2x))$.

Calcule, através da definição, o limite $ \lim_{x\to 2} 5 = 5$

Seja $\epsilon >0$ dado. Queremos encontrar $\delta >0$ tal que, quando $|x-2|<\delta$, $|f(x)-5|<\epsilon$. Entretanto, como $f(x)=5$ é uma função constante, a segunda inequação é simplesmente $|5-5|<\epsilon$, o que é sempre verdade. Assim, pode-se escolher um $\delta$ qualquer; arbitrariamente, escolhe-se $\delta =\epsilon$.

$y'=\cot(x) - 5 \cot(5 x) \csc^2(5 x)$.

Determine os intervalos de decrescimento e crescimento e esboce o gráfico da seguinte função  $f\left( x\right) =x+\dfrac{1}{x^{2}}$.

Calcule o seguinte limite:
$\lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{e^{x^{2}}-1}{x}$.

$0$.

Suponha que $\left| f\left( x\right) -f\left( 1\right) \right| \leq \left( x-1\right) ^{2}$. Demonstre que $f\left( x\right) $ é contínua em $1$.

Mostre que a funçao $y(x)$ com $y(0)=0$ que é definida implicitamente pela equaçao $y-x^{2}+y^{3}+xy^{2}+x^{2}y=0$ tem um extremo relativo no ponto $x=0$. Identifique esse extremo.

Considere os números inteiros ``$abc$'' e ``$bac$'', em que $a$, $b$ e $c$ são algarismos distintos e diferentes de zero e $a>b$. A diferença $abc-bac$ é sempre um múltiplo de determinado número. Que número é esse?

Note que "$abc$"$=100a+10b+c$ e que "$bac$"$=100b+10a+c$. Assim, "$abc$"-"$bac$"$=90a-90b=90(a-b)$, que é um número sempre múltiplo de $90$ e de todos os divisores de $90$.

Dentre todos os retângulos inscritos numa circunferência de raio $R$, quais as dimensões daquele que tem a maior área?

Uma lata cilíndrica, sem tampa (mas com fundo), é feita para receber um volume de $900ml$ . Encontre as dimensoes que minimizarão o custo do metal para fazer a lata.

1. Sim.
   
2. Sim.
   

Uma partícula se move na circunferência $x^2 + y^2 = a^2$ de tal modo que a componente $x$ de sua velocidade é $\dfrac{dx}{dt}=-y$. Encontre $\dfrac{dy}{dt}$ e determine se o sentido do movimento é horário ou anti-horário.

Calcule a derivada da seguinte função:
    $f\left(  x\right)  =\sin\left(  \arccos\left(  x\right)  \right)  .$

Calcule o limite $\lim\limits_{x \to \infty}\dfrac{\ln{x}}{cotg{x}}$.

Determine $f'$, $f''$ e $f'''$ sendo $f(x)=1/x$.

$f'(x)=-\dfrac{1}{x^2}$, $f''(x)=\dfrac{2}{x^3}$ e $f'''(x)=-\dfrac{6}{x^4}$.

Sejam $f(x)=\frac{x^{2}-25}{x^{2}-1}$ e $g(x)=\sqrt{x}$. Dê o domínio de cada uma das funções $f$, $g$, $f\circ g$ e $g\circ f$.

Calcule a integral $\int{ \frac {1}{x^2+3x-10} dx}.$

Escreva o polinômio $p(x)=x^2-4x-9$ em $x$ como um polinômio em $(x-3)$. (Só é necessário calcular o polinômio de Taylor em $3$, do mesmo grau do polinômio original. Por quê?)

Avalie o limite $\lim\limits_{x\rightarrow p}\ln\left(\dfrac{x^{n}-p^{n}}{x-p}\right)$, onde $n$ é qualquer número natural.

Esboce juntas as curvas dadas no plano cartesiano e identifique cada uma com sua equação:
$y=2^x$, $y=4^x$,$y=3^{-x}$, e $y=\left( 1/2 \right)^{x}$.

Calcule o limite $\lim\limits_{x \to \infty}\dfrac{x+\cosh(x)}{x^2+1}$.

$\infty$.

Temos, primeiramente:

$f'(x)=3x^2-4$

$f''(x)=6x-4$

É possível ver portanto que $f(x)$ tem dois pontos críticos: $x=\pm \frac{2}{\sqrt{3}}$. Como $f''(x)>0$ para $x>0$ e $f''(x)<0$ para $x<0$, $f(x)$ tem uma concavidade para baixo em $x=-\frac{2}{\sqrt{3}}$ e uma concavidade para cima em $x=\frac{2}{\sqrt{3}}$. 

Temos que $f(0)=2$. Como na concavidade em $x=\frac{2}{\sqrt{3}}$ temos $f(x)<0$, sabemos que a primeira raiz está entre $0$ e $\frac{2}{\sqrt{3}}$. É fácil observar que $\lim\limits_{x \to \infty}f(x)=\infty$, o que nos mostra uma segunda raiz. Finalmente, como $\lim\limits_{x \to -\infty}f(x)=-\infty$, temos uma terceira raiz para algum valor $x<0$, provando então que a função em questão tem três raízes distintas.

Calcule a integral $\int{\sin2\theta e^{\sin^2\theta}}d\theta.$

$e^{\sin^2\theta}+C$

Seja $f\left( x\right) =\left| x\right| -x$. Mostre que $f\left( x\right) =0$ para $x\geq 0$ e $f\left( x\right) =-2x$ para $x<0$. Faça o gráfico dessa função.

$y' = \sec x$.

Calcule o limite $\lim\limits_{x\to p}\frac{x^{4}-p^{4}}{x-p}$

$\begin{array}{rcl} \lim\limits_{x\to p}\dfrac{x^{4}-p^{4}}{x-p} &=& \lim\limits_{x\to p} \dfrac{(x^2+p^2)(x^2-p^2)}{x-p} \\ &=& \lim\limits_{x\to p} \dfrac{(x^2+p^2)(x+p)(x-p)}{x-p} \\ &=& \lim\limits_{x\to p} (x^2+p^2)(x+p) \\ &=& (p^2 + p^2)(p+p) \\ &=& 4p^3. \end{array}$

1. $2$
   
2. $2$
   
3. $2$
   
4. $2$
   

1. $v(t)=-3\sin(t)-2\cos(t)$.

2. $v(3)=-3\sin(3)-2\cos(3)$.

Calcule o limite $\lim\limits_{x \to \infty}\dfrac{x \sin^{-1}(x)}{x- \sin(x)}$.

$-\infty$.

Prove que $\cosh^2(x)-\sinh^2(x)=1$.

$\begin{array}{rcl} \cosh^2x - \sinh^2 x &=& \left(\dfrac{e^{-x} + e^x}{2}\right)^2 - \left(\dfrac{e^{x} - e^-x}{2}\right)^2 \\ &=& \dfrac{1}{4} (e^{-2x} + 2 e^{-x}e^x + e^{2x}) - \dfrac{1}{4} (e^{2x} - 2 e^xe^{-x} + e^{-2x}) \\ &=& \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} \\ &=& 1.\end{array}$

1. $c$
   
2. $c$
   
3. $c$
   
4. $c$
   

Use camadas cilíndricas para encontrar o volume do sólido resultante quando se faz girar a área entre as curvas $y=2x-1$, $y=-2x+3$ e $x=2$ em torno do eixo $y$.

1. $\log_2(8) = x$
   $2^x = 8$
   $2^x = 2^3$
   $x = 3$.
   
2. $\log_3(27) = x$
   $3^x = 27$
   $3^x = 3^3$
   $x = 3$.

Considere um tanque de formato cilíndrico que é utilizado para armazenamento de produtos químicos líquidos, com diâmetro de $10$m. Sua posição é tal que suas seções transversais circulares são verticais. Se o produto químico ocupa o cilindro até $7$m de profundidade, qual porcentagem da capacidade total que está sendo utilizada?

1. \begin{tabular}{cc}

   $x$ & $f(x)$ \\ \hline

   $2.9$ & $-15.1224$ \\

   $2.99$ & $-159.12$ \\

   $2.999$ & $-1599.12$

   \end{tabular}

   A tabela parece indicar que $\lim\limits_{x\to3^-}f(x) =-\infty$.

2. \begin{tabular}{cc}

   $x$ & $f(x)$ \\ \hline

   $ 3.1$ & $16.8824$ \\

   $3.01$ & $160.88$ \\

   $3.001$ & $1600.88$

   \end{tabular}

   A tabela parece indicar que $\lim\limits_{x\to3^+}f(x) =\infty$.

3. Ao analisar as duas tabelas, parece que  $\lim\limits_{x\to3}f(x)$ não existe.

Esboce o gráfico de $f(x)=x^3-6x^2 +9x+1$, indicando campo de definição, intervalos de crescimento e de decrescimento, assíntotas horizontais, verticiais e inclinadas (se houver), limites no infinito, extremos relativos, estudo da concavidade, pontos de inflexão e reta tangente à curva nos pontos de inflexão.

Se $0<x<y$ prove que $\sqrt[3]{y-x}>\sqrt[3]{y}-\sqrt[3]{x}$.

Calcule a integral $ \int_{4}^{9}{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}dx$.

$f'(x)=1-ln(x)$.

Prove que $\sqrt{6}$ é irracional.

Se $f(8)=12$, $f'(x)$ é contínua e ${ \int_1^8 f'(x)dx=30}$, determine o valor de $f(1)$.

Calcule $f^{-1}$ para a função $f(x)=1+3x.$

Seja $y = f(x)$. Então:
$y = 1 + 3 x$.
Isolando $x$:
$3 x = y - 1$
$x = \dfrac{y-1}{3}$.
Logo:
$f^{-1}(x) = \dfrac{x-1}{3}$.

Derive a função $h\left( x\right)  = \int_{\cos 5x}^{x^{7/3}}e^{r}\left( r^{2}+1\right) dr$.

 Mostre que $f(x) = \cos x - \frac{x}{10}$ tem pelo menos dois zeros em $[0, 2\pi]$.

Calcule a seguinte integral:
   $ \int_0^{2\sqrt{3}}\frac{x^3}{\sqrt{16-x^2}}dx$.

Calcule, por meio da definição, o limite $\lim_{x\to 2} x^3-1 = 7$.

Considere $\epsilon >0$ arbitrário. Queremos encontrar $\delta >0$ tal que quando $|x-2|<\delta$, $|f(x)-7|<\epsilon$.
Considere $|f(x)-7|<\epsilon$, lembrando que o objetivo é afirmar algo sobre $|x-2|$:
\begin{gather*}
|f(x) -7 | < \epsilon \\
|x^3-1 -7 |<\epsilon \\
| x^3-8 | < \epsilon \\
| x-2 |\cdot|x^2+2x+4| < \epsilon \\
| x-3 | < \epsilon/|x^2+2x+4| \\
\end{gather*}
Como $x$ está próximo de $2$, podemos considerar $1<x<3$. Portanto
\begin{gather*}
1^2+2\cdot1+4<x^2+2x+4<3^2+2\cdot3+4 \\
7 < x^2+2x+4 < 19 \\
\frac{1}{19} < \frac{1}{x^2+2x+4} < \frac{1}{7} \\
\frac{\epsilon}{19} < \frac{\epsilon}{x^2+2x+4} < \frac{\epsilon}{7} \\
\end{gather*}
Seja $\delta =\frac{\epsilon}{19}$. Então:
\begin{gather*}
|x-2|<\delta \\
|x-2| < \frac{\epsilon}{19}\\
|x-2| < \frac{\epsilon}{x^2+2x+4}\\
|x-2|\cdot|x^2+2x+4| < \frac{\epsilon}{x^2+2x+4}\cdot|x^2+2x+4|\\
\end{gather*}
Assumindo $x$ próximo de $2$, $x^2+2x+4$ é positivo e podemos eliminar o módulo do lado direito da equação.
\begin{gather*}
|x-2|\cdot|x^2+2x+4| < \frac{\epsilon}{x^2+2x+4}\cdot(x^2+2x+4)\\
|x^3-8| < \epsilon\\
|(x^3-1) - 7| < \epsilon,
\end{gather*}

que é o que desejávamos provar.

Uma página impressa deve ter $24$ $cm^{2}$ de área reservada à parte escrita, uma margem de $1,5 cm$ nas partes superior e inferior e uma margem de $1 cm$ nos lados. Discuta a existência das dimensões (e calcule quando existir) daquelas que tem área total máxima e área total mínima.

$x=1$.

Três números naturais e múltiplos consecutivos de 5 são tais que o triplo do menor é igual ao dobro do maior. Dentre esses números, qual o maior?

Note que todo múltiplo de $5$ pode ser escrito na forma $5n$, onde $n$ é algum número natural. Com essa ideia, podemos representar três múltiplos consecutivos de $5$ por: $5(n-1)$, $5n$ e $5(n+1)$. Como o triplo do menor é igual ao dobro do maior obtemos a equação $15(n-1)=10(n+1)$. Resolvendo essa equação encontramos $n=5$ e o maior número dentre os três é $5 \cdot 6=30$.

Mostre, usando a definição, que a função $f\left( x\right) =ax+b$ é contínua em seu domínio.

A raiz aproximada é $x=1.23$.

  Os intervalos utilizados são:

  $[1,1.5] \quad [1,1.25] \quad [1.125,1.25]$

  $[1.1875,1.25]\quad [1.21875,1.25]\quad [1.234375,1.25]$

  $[1.234375,1.2421875]\quad [1.234375,1.2382813]$.

$\left\{ x\geq 0\right\} \cup \left\{ x<-4\right\} $.

Prove que para todo $x>0$ vale $x+\frac{1}{x}\geq 2$. Para quais números $x>0$ vale a igualdade?

Seja $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ uma função contínua tal que, para todo real x, tenhamos $f(f(f(x))) = x^2 + 1$. Prove que $f$  é par.

A velocidade de uma partícula que se move de um lado para o outro sobre uma reta é $v=ds/dt = 6\sin2t\ m/s$ para qualquer $t$. Se $s=0$ quando $t=0$, determine o valor de $s$ para $t=\pi/2\ s$.

1. Não.
2. Não

Entre todos o cilindros retos que tem uma área total dada, ache o que tem volume máximo.

Use o Teorema do Confronto para calcular $\lim\limits_{x\rightarrow0^{+}}\sqrt{x} \,e^{\sin\left(  \pi/x\right)  }\text{.}$
  Lembre-se de justificar porque o Teorema do Confronto pode ser útil.

A ciclóide é um caminho traçado por um ponto na borda de uma roda que gira ao longo de uma reta. Use as equações paramétricas de uma ciclóide para mostrar que o comprimento $L$ de um arco de uma ciclóide é dado pela integral $L=\displaystyle\int_{0}^{2\pi} \sqrt{2(1-\cos\theta)}d \theta$

Encontre todos os números naturais $k$ para os quais a seguinte afirmação é verdadeira: Se $F(x)$ é um polinômio com coeficientes inteiros que satisfaz $0\leq F(c)\leq k$ para todo $c\in\{0,1,\ldots,k+1\}$ então $F(0)=F(1)=\cdots=F(k+1).$

Podemos calcular o volume da bacia através da seguinte integral:

$V=\int_{7}^{16}\pi\left(\sqrt{16^2-x^2}\right)^2\,dx=\left.\left[\pi(256x-\frac{x^3}{3})\right]\right\vert_7^{16}=1053\pi$

Lembrando que $1L=1000cm^3$ e supondo $\pi\approx3$, temos $V=3159cm^3$ (O valor real é próximo de $V=3308cm^3$). Como a margem de erro do projetista era de $15\%$, vemos que este acertou em seus cálculos.

Se a velocidade de um objeto em metros por segundo no instante $t$ segundos é $v(t)=-\sin(t)-\cos(t)$, qual a sua posição no instante $t=4$?

$s(t)=\cos(4)-\sin(4)$

O produto das idades de três amigos adolescentes (entre $12$ e $19$ anos) corresponde a $4080$ anos. Qual a soma das três idades, em anos?

Decompondo o número $4080$ em fatores primos encontramos $4080=2^4 \cdot 15 \cdot 17=15 \cdot 16 \cdot 17$. Analisando essa decomposição, obtemos automaticamente que a única possibilidade que atende as exigências do enunciado é que as idades sejam $15,16$ e $17$ anos. A soma dessas idades é $15+16+17=48$ anos.

Calcule, pela definição, o limite $ \lim_{x\to 0} \sin x= 0$ (Dica: use o fato que $|\sin x| \leq |x|$, sendo uma igualdade apenas para $x=0$.)

Considere $\epsilon >0$ arbitrário. Queremos encontrar $\delta >0$ tal que quando $|x-0|<\delta$, $|f(x)-0|<\epsilon$. Em termos simples, queremos mostrar que quando $|x|<\delta$, $|\sin x| < \epsilon$.

Considere $\delta = \epsilon$. Podemos presumir que $|x|<\delta$. Usando a dica do enunciado, temos que $|\sin x | < |x| < \delta = \epsilon$. Portanto, se $|x|<\delta$, sabemos imediatamente que $|\sin x| < \epsilon$.

Um recipiente cheio de água com a forma de um cone invertido está sendo esvaziado à razão de $6\,cm^3/min$. A altura do cone é $24cm$ e o raio da base é $12cm$. Encontre a velocidade com que baixa o nível da água quando está a $10cm$ do fundo.

$\dfrac{dr}{dt}=-\dfrac{1}{25 \pi}$ cm/min

$f'(x)=-\dfrac{1}{x^2}$.

A velocidade, no tempo $t$, de um objeto de massa $m$ em queda é $v(t)=(mg/k)(1-e^{-(k/m)t})$, onde $k$ é uma constante e $g$ denota a força da gravidade. Calcule $\lim\limits_{m \to \infty}v(t)$ e conclua que $v(t)$ é aproximadamente proporcional ao tempo $t$ se a massa é muito grande.

Calcule $\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }\left( x-\sqrt{x^{2}+4x}\right)$.

$-2$

Avalie a seguinte integral indefinida:
  $\int (10x^2-2)\ dx$

  $10/3x^3-2x+C$

Determine $f\left(x\right)$ sabendo que: \begin{equation*} f\,^{\prime \prime }\left( x\right)  = \sin x-\cos x+x^{5},\;f\,^{\prime}\left( 0\right) =2\text{ e }f\left( 0\right) =0\text{ .} \end{equation*}

Use o Teorema Fundamental do Cálculo para calcular a derivada da função $g(x)={ \int_x^{x^2}\cos (t^2)dt}$.

Durante o primeiro mês de crescimento de produtos como milho, algodão e soja, a taxa de crescimento (em gramas/dia) é proporcional ao peso presente $W$. Para determinada espécie de algodão, $dW/dt=0,21W$. Preveja o peso de uma planta no término de um mês ($t=30$), se a planta pesa 70 miligramas no início do mês.

Substitua as interrogações por expressões envolvendo $\epsilon, x_0$ e $y_0$ de modo que a afirmação abaixo seja verdadeira. Se $y_0 \neq 0$, $|y-y_0|<??$ e $|x-x_0|<??$, então $y \neq 0$ e $\left| \dfrac {x}{y}-\dfrac{x_0}{y_0}\right|<\epsilon$.

O coeficiente angular da reta tangente, no ponto de abscissa x, ao gráfico de $y=f\left( x\right) $, é proporcional ao cubo da ordenada do ponto de tangência. Sabendo que $f\left( 0\right) =1$ e que $f\left(1\right) =1/\sqrt{2}$, determine $f$.

Calcule a seguinte integral:
    $\int{\frac{e^{2x}}{1+e^{2x}}dx}.$

Use o método de Newton para calcular a raiz positiva de $x^2+x-1=0$ com duas casas decimais de precisão.

Utilizando a aproximação $ln\ 2 \approx 0,7$, pode-se derivar uma regra popular, conhecida como regra dos 70, que diz: "Para estimar quantos anos uma determinada quantia em dinheiro dobre ao ser investida a uma porcentagem $r$ composta continuamente, divida $r$ por $70$". Por exemplo, uma quantia em dinheiro investida a $7\%$ dobrará em cerca de $70/7=10$ anos. Se, em vez disso, você quiser que ela dobre em $5$ anos, deve investí-la a $70/5=14\%$. Mostre a dedução da regra dos 70.

Seja $g(x)=x^3+\dfrac{1}{x}$. Determine a equação da reta tangente ao gráfico de $g$ no ponto correspondente a $x=1$.

$y=2x$.

Considere a função $f(x) = \left\{\begin{array}{cl} x+2 & x\leq 2 \\ 3x-5 & x>2 \end{array}\right.$. Mostre que $\lim\limits_{x\to 2} f(x)$ não existe.

Seja $\mathcal{A}$ o subconjunto do plano limitado pelas retas $x=0$, $x=\frac{\pi}{2}$ e pelos gráficos de $y=\sin x$ e $y=\cos x$. Faça um esboço do conjunto $\mathcal{A}$ e calcule sua área. 

$\sin(1)$.

Calcule a integral $\displaystyle \int \dfrac{dy}{\sqrt{y} e^{\sqrt{y}}}$.

Calcule a integral $\int \dfrac{x+1}{x^{2}-3x+2}dx$.

Seja $P(x)=a_0x^n+a_1x^{n-1}+\cdots+a_n$ um polinômio não nulo com coeficientes inteiros tal que $P(r)=P(s)=0$ para certos inteiros $r$ e $s$, com $0<r<s$. Prove que $a_k\leq -s$ para algum $k$.

Dentre todos os retângulos de perímetro fixo $L$, determine aquele de maior área. Justifique a resposta.

1. Verdadeiro.
2. Verdadeiro.
3. Verdadeiro, pois o lucro total $L(q)$ é $L(q)=R(q)-C(q)-900=3q-900$ e temos que $T(q)=0$ se $q=300$.
4. Falso, $L(q)=3q-900$.

Seja $f(x)=\sin{x}$. Calcule $f'(x)$ e $f'\left(\dfrac{\pi}{4}\right)$.

$f'(x)=\cos(x)$ e $f'\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$.

$y'=-\dfrac{\sqrt{2 - x^{1/3}}}{x^{1/3}}$.

Resolva a equação $\left| {\frac{3x+8}{2x-3}}\right| =4$.

Determine $f'$, $f''$ e $f'''$ sendo $f(x)=x|x|$.

Prove que $\displaystyle\int (\ln(x))^m dx=x (\ln(x))^m -m \displaystyle\int (\ln(x))^{m-1}dx$, para $m$ inteiro positivo.

A naftalina pode ser utilizada como repelente de insetos, embora possa trazer malefícios à saúde. Este composto tem a capacidade de sublimar, isto é: passa do estado sólido diretamente para o gasoso. Se uma bolinha de naftalina evapora a uma taxa proporcional à área de sua superfície, mostre que o seu raio decresce a uma taxa constante.

Sejam $f,g:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ funções contínuas tais que $f(a)<g(a)$ e $f(b)>g(b)$. Mostre que existe $c \in (a,b)$ tal que $f(c)=g(c)$.

Suponha que $x$ e $y$ sejam notas de provas bimestrais. Mostre que a chamada {\it média geométrica} entre $x$ e $y$, dada por $\sqrt{xy}$, poderia, se adotada como critério avaliativo, prejudicar a nota final de alguns alunos, isto é, elaé menor que ou igual à chamada {\it média aritmética} entre $x$ e $y$, que é dada por $\frac{x+y}{2}.$

Elevando ambos os membros da expressão $\sqrt{xy}\leq \dfrac{x+y}{2}$ ao quadrado obtemos $xy\leq \dfrac{x^2+2xy+y^2}{4}$. Simplificando chegamos a $x^2-2xy+y^2=(x-y)^2 \geq0$. Como a última expressão obtida é verdadeira e todas as expressões são equivalentes entre si, segue o resultado. Esse resultado diz que a média geométrica entre dois dois números reais positivos é sempre menor que, ou igual, à média aritmética entre eles. Sendo assim, se o professor adotar como critério de avaliação a média geométrica em vez da aritmética, ele pode prejudicar a nota final dos alunos que tivessem a nota $x$ diferente da $y$, pois quando $x=y$ as duas médias são iguais.

$f'(x) = \left( 1+\sqrt{x}\right) e^{x}\tan x + \dfrac{e^x \tan x}{2 \sqrt{x}} + e^x(\sqrt{x} + 1) \sec^2 x$.

Prove que $\displaystyle\int \dfrac{1}{u\sqrt{a^2+u^2}}du=-\dfrac{1}{a}\ln \left|\dfrac{\sqrt{a^2+u^2}+a}{u}\right|+C$.

É possível que uma função $f:{\mathbb{R} \to \mathbb{R}}$
  seja tal que $\lim\limits_{x\rightarrow 2^{+}}f\left( x\right) =\lim\limits_{x\rightarrow 2^{-}}f\left(x\right)$ e ao mesmo tempo não seja contínua em $2$? Justifique e/ou dê um exemplo.

$f'(x) = -\dfrac{2}{x^3}$.

Se $f(x+1)=\frac{x-1}{\pi -x}$, ache $f(x)$ e encontre o domínio de $f$.

Consideremos a curva $y=-x^4 +2x^2+x$ e o ponto $P=(1,2)$ nessa curva. Verifique que a reta tangente a essa curva no ponto $P$ também é tangente à curva em outro ponto. Ache esse outro ponto.

1. O domínio de $y$ é o conjunto de números reais em que o valor dentro da raiz é positivo. Calculando esses valores:
   $x-2 > 0 \Rightarrow x > 2$.
   Portanto o domínio de $y$ é: $\{x \in \mathbb{R}; x >2\}$.
2. O domínio de $y$ é o conjunto de números reais em que o valor dentro da raiz é positivo. Calculando esses valores:
   $2-x > 0 \Rightarrow x < 2$.
   Portanto o domínio de $y$ é: $\{x \in \mathbb{R}; x <2\}$.
   

Calcule o limite $\lim\limits_{x\rightarrow \infty }\dfrac{\sqrt[3]{3x^{3}+2x-1}}{\sqrt{x^{2}+x+4}}$.

  $\sqrt[3]{3}$

Estude a função $f\left( x\right) =\sqrt[3]{x^{3}-x}$ com relação à concavidade, pontos de inflexão, máximos e mínimos, e esboce o seu gráfico.

Prove que a função $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}
x, & \text{se x é racional} \\
-x, & \text{se x é irracional}  
\end{array}\right.$ é contínua em $0$.

1. $-1$
   
2. $1$
   
3. Não existe.
   
4. $0$
   

As funções $x^{2}+1$ e $\cos x$ são ambas contínuas e por isto $f\left(  x\right)  $ é contínua para todo $x\neq0,1$. É necessário verificar a continuidade nos pontos $x=0$ e $x=1$.

Para $x=0$ temos que $\lim_{x\rightarrow0^{-}}f\left(x\right) =\lim_{x\rightarrow0^{-}}\left(  x^{2}+1\right)  =1$ e $\lim_{x\rightarrow0^{+}}f\left(  x\right)  =\lim_{x\rightarrow0^{+}}\cos x=1$, logo $f\left(  x\right)  $ é contínua em $x=0$, pois ambos oslimites laterais existem, são iguais e coincidem com o valor da função no ponto.

Para $x=1$ temos que $\lim_{x\rightarrow1^{-}}f\left( x\right) =\lim_{x\rightarrow0^{-}}\cos x=\cos\left(  1\right)  $ e $\lim_{x\rightarrow0^{+}}f\left(  x\right)  =\lim_{x\rightarrow0^{+}}\left(x^{2}+1\right)  =2$, e como $\cos\left(  1\right)  \neq2$ temos que $f\left(x\right)  $ não é contínua em $x=1$, pois apesar dos limites laterais existirem estes são distintos.

Prove que $\displaystyle\int x^m \sin(x)dx=-x^m \cos(x)+m \displaystyle\int x^{m-1} \cos(x)dx$, para $m$ inteiro positivo.

Determine $f\left(x\right)$ sabendo que: \begin{equation*} f\,^{\prime \prime }\left( x\right)  = 12\sin 2x+\cos 3x+1,\;f\,^{\prime}\left( 0\right) =1\text{ e }f\left( 0\right) =0\text{ .} \end{equation*}

1. \begin{tabular}{cc}

   $x$ & $f(x)$ \\ \hline

   $2.9$ & $-0.632$ \\

   $2.99$ & $-0.6032$ \\

   $2.999$ & $-0.60032$ \\

   \end{tabular}

   A tabela parece indicar que $\lim\limits_{x\to3^-}f(x) =-0.6$.

2. \begin{tabular}{cc}

   $x$ & $f(x)$ \\ \hline

   $ 3.1$ & $-0.5686$ \\

   $3.01$ & $-0.5968$ \\

   $3.001$ & $-0.59968$ \\

   \end{tabular}

   A tabela parece indicar que $\lim\limits_{x\to3^+}f(x) =-0.6$.

3. Ao analisar as duas tabelas, parece que $\lim\limits_{x\to3}f(x) =-0.6$.

$\dfrac{1}{4}cos^4(x)+C$

Se $0<x<y$ prove que $\sqrt[3]{y-x}>\sqrt[3]{y}-\sqrt[3]{x}$.

O calor específico de um metal como a prata é constante a temperaturas $T$ acima de 200° K. se a temperatura do metal aumenta de $T_1$ a $T_2$, a área sob a curva $y=c/T$ de $T_1$ a $T_2$ é chamada variação de entropia $\Delta S$, que é uma medida da desordem molecular do sistema. Expresse $\Delta S$ em termos de $T_1$ e $T_2$,

Avalie o limite $\lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{\sin \left(7x\right) }{\sin \left( 23x\right) }$.

$7/23$.

1. Verdadeira

2. Verdadeira

1. $4$.
   
2. $1$.
   

$\frac{\pi  k^4}{48}$

1. $-1$
   
2. 0
   
3. Não existe.
   
4. 0
   

Calcule a integral $\int \frac{1}{x^2-x} dx$.

Deixa-se cair de um balão um objeto de massa $m$. Se a força de resistência do ar é diretamente proporcional à velocidade $v(t)$ do objeto no instante $t$, então pode-se mostrar que $v(t)=(mg/k)(1-e^{-(k/m)t})$, onde $k>0$ e $g$ é uma constante gravitacional. Determine $\lim\limits_{k \to 0^+}s(t)$.

Encontre as assíntotas horizontais e verticais ao gráfico de $f(x)=\sqrt{\frac{4x^2+1}{x^2-1}}$.

Encontre $f(x)$ que satisfaça o seguinte problema de valor inicial:
  $f'(x) = 7^x$ e $f(2)= 1$

$7^x/\ln 7 + 1-49/\ln 7$

1. Domínio: Dom$\left(  f\right)  =\left\{  x|x\neq1\right\}  =\left(  -\infty,1\right)  \cup\left(  1,\infty\right)  $

2. Zeros e inteceptos: $f\left(  x\right)  =0\iff2x-1=0\iff  x=1/2$

3. Simetrias: Não há.

4. Assíntotas:

   \begin{align*}
     \lim_{x\rightarrow\pm\infty}f\left(  x\right)   &  =\lim_{x\rightarrow
     \pm\infty}\frac{2x-1}{x-1}\\
     &  =\lim_{x\rightarrow\pm\infty}\frac{2-1/x}{1-1/x}=2
     \end{align*}
     \begin{align*}
     \lim_{x\rightarrow1^{-}}f\left(  x\right)   &  =\lim_{x\rightarrow1^{-}}
     \frac{2x-1}{x-1}=-\infty\\
     \lim_{x\rightarrow1^{+}}f\left(  x\right)   &  =\lim_{x\rightarrow1^{-}}
     \frac{2x-1}{x-1}=+\infty
     \end{align*}

5. Intervalos de crescimento e decrescimento:

    \begin{align*}
     f^{\prime}\left(  x\right)   &  =\frac{2\left(  x-1\right)  -\left(
     2x-1\right)  \left(  1\right)  }{\left(  x-1\right)  ^{2}}\\
     &  =\frac{-1}{\left(  x-1\right)  ^{2}}<0,\forall x\in Dom\left(  f\right)
     \end{align*}

     ou seja, $f$ é estritamente decrescente.

6. Valores máximo e mínimo locais: Não há, pois a derivada não se anula

7. Concavidade e pontos de Inflexão:

   
     \[

     f"\left(  x\right)  =\frac{2}{\left(  x-1\right)  ^{3}}>0\iff x-1>0\iff x>1

     \]

     ou seja, $f$ tem concavidade para cima para $x>1$ e concavidade para baixo para $x<1$

8. Esboço do Gráfico:
   

   

Estude a função $f\left( x\right) =\dfrac{3x^{2}+4x}{1+x}$ com relação à concavidade, pontos de inflexão, máximos e mínimos, e esboce o seu gráfico.

Enuncie e demonstre o primeiro Teorema Fundamental do Cálculo.

1. $F(x)=1+x+x^2+x^3+x^4+x^5$
2. $F(x)=x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+\ldots+\frac{x^1000001}{1000001}$

Se uma função ímpar $f(x)$ possui um valor máximo local em $x=c$, pode-se dizer algo sobre o valor de $f$ quando $x=-c$?

Ela terá um mínimo local em $x=-c$. É uma questão de simetria de seu gráfico em relação à origem.

O produto de um racional diferente de zero com um irracional é racional ou irracional? Justifique.

É irracional.

Um fabricante produzirá caixas fechadas (com tampa) de volume igual a $27$ litros e cuja base é um retângulo com comprimento igual ao triplo da largura. Encontre as dimensões da caixa de forma que o consumo de material seja mínimo.

Determine os intervalos de decrescimento e crescimento e esboce o gráfico da função  $f\left( x\right) =\left\{\begin{array}{cc} e^{-\dfrac{1}{x^{2}}} & \text{se }x\neq 0 \\ 0 & \text{se }x=0 \end{array} \right. $

Calcule a derivada da seguinte função:
 $f\left(  x\right)  =\frac{\left(  x^{2}-1\right)  ^{2}}{\sqrt{x^{2}+1}}.$

$f'(x) = \dfrac{x(x^2-1)(3x^2+5)}{(x^2+1)^{3/2}}$.

Determine uma reta que seja paralela a $x+y=1$ e tangente à curva $x^{2}+xy+y^{2}=3$

Sabendo que $x$ é um número negativo, simplifique a expressão $\sqrt{(x-3)^2}+\sqrt{x^2}+\sqrt{(4-3x)^2}$.

Seja $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ contínua e tal que $f(x).f(f(x))=1$, para todo $x$. Se $f(1000)=999$, calcule $f(500)$.

$\left\{ 1\leq x\leq 3\right\} $.

Encontre os valores de $p$ tais que a integral $\displaystyle \int_0^{+\infty} e^{px} \, dx$ converge.

O  consumo  de  combustível  de um automóvel  é  função  da  sua velocidade média. Para  certo  automóvel, essa   função é aproximadamente dada por $y = 0,03x^2-2x + 20$, sendo $y$ o consumo de combustível, em mililitros por quilômetros por hora. Nessas condições, para esse automóvel, qual velocidade média corresponde a um consumo de $120 ml/km$?

Determine a derivada de ordem $999$ da função $f(x)=\sin(x)+\cos(x)$.

1. Sim.
2. Sim.

Calcule a integral $\displaystyle \int (1+ \sin t)^9 \cos t \, dt$, utilizando a substituição $u=1+\sin t$.

Sejam $a<b$ dois reais e $p \in \left]a,b \right[$. Determine $r>0$ de modo que $\left]p-r,p+r \right[ \subset \left]a,b \right[$.

Seja $f$ uma função contínua em $[-1,1]$ sendo que $f(-1) = -10$ e $f(1) = 10$. Existe um valor $-1<c<1$ tal que $f(c) = 11$? Por quê?

Não se pode dizer. O Teorema do Valor Intermediário apenas se aplica, neste caso, para valores entre $-10$ e $10$; como $11$ não pertence a este intervalo, o teorema não nos permite afirmar nada sobre a possibilidade da existência de $c$.

Na fabricação de um lote de peças de certo produto, o custo total é igual à soma de um valor fixo de $R\$ 400,00$ com o custo de produção unitário de $R\$ 0,50$. Se o preço unitário de venda dessas peças for de $R\$ 0,85$, qual o número mínimo de peças que devem ser fabricadas e vendidas para que se comece a ter lucro?

Avalie a seguinte integral indefinida:
  $\int (\sec x\tan x + \csc x\cot x)\  dx$

  $\sec x - \csc x+C$

Mostre que $|x-y|<1/2,|x+2|<1/3\Longrightarrow |y+2|<5/6$.

1. $-8$

2. $-1$

3. $10$

Determine os intervalos de decrescimento e crescimento e esboce o gráfico da seguinte função  $f\left( x\right) =x^{3}-3x^{2}+1$.

1. F

2. F

3. F

4. F

Encontre os dois pontos onde a curva $x^2+xy+y^2=7$  cruza o eixo x e mostre que as tangentes à curva nesses pontos são paralelas. Qual é o coeficiente angular comum dessas retas?

Escreva o número $e$ como uma soma (com a notação $\Sigma$), com um erro menor que $10^{-4}$.

1. $\{x \in \mathbb{R}; x<-3 \text{ ou }x>3\}$.
2. $\{x \in \mathbb{R}; x<0\}$.

Pela aplicação direta da Regra da cadeia, temos que:

$\left( f\left( f\left(x\right) \right) \right) ^{\prime }=f^{\prime }\left( f\left( x\right) \right)f^{\prime}(x)$

Para $f(x)$, portanto, temos que:

$f^{\prime }\left( f\left( x\right) \right) =f^{\prime }\left( f\left( x\right) \right)f^{\prime}(x)$

Para que a igualdade seja verdadeira, há duas possibilidades. Ou:

$f^{\prime}(x)=0,\,\forall x$

 i.e., a função é uma constante (o que resultaria em $0=0$). Ou: 

$f^{\prime}(x)=1,\,\forall x$

i.e., $f(x)=x+a$, sendo que $a$ é uma constante (o que resultaria em $f^{\prime }\left( f\left( x\right) \right)=f^{\prime }\left( f\left( x\right) \right)$).

$(-\infty,-2]\cup [2,\infty)$

Defina o termo antiderivada com suas próprias palavras.

A antiderivada de uma função $f$ é uma função $F$ cuja derivada é a função $f$ original.

A corrente $I(t)$ em um circuito elétrico composto de um resistor e um indutor, no instante $t$, é dada por $I(t)=I_0e^{-Rt/L}$, onde $R$ é a resistência, $L$ a indutância e $I_0$ é a corrente no instante $t=0$. Mostre que a taxa de variação da corrente no instante $t$ é proporcional a $I(t)$.

Calcule a seguinte integral:
   $\int e^{x}\sin xdx.$

$\dfrac{1}{2}e^x(sinx-cosx)+C$

Se uma quantia $P$ é aplicada à taxa de juros de $100r \%$ ao ano, composta $m$ vezes por ano, então o montante, ao cabo de $t$ anos, é dado por $P(1+rm^{-1})^{mt}$. Considerando $m$ como um número real e fazendo m crescer indefinidamente, diz-se que a taxa é composta continuamente. Mostre que, neste caso, o montante após $t$ anos é $Pe^{rt}$.

1. $2$
   
2. $2$
   
3. $22$
   
4. $a=-\frac{5}{7}b,\quad b\in\mathbb{R}$
   

$\epsilon$ deve ser apresentado antes, e a restrição $|x-a|<\delta$ implica em $|f(x)-K|< \epsilon$, e não o contrário.

$\infty$.

Determine a equação da reta tangente ao gráfico de $f(x)=\ln{x}$ no ponto de abscissa $1$. Esboce os gráficos de $f$ e da reta tangente.

Dada uma função $f:{\mathbb{R} \to \mathbb{R}}$, defina sua continuidade no ponto $p\in \mathbb{R}.$

Sejam $f(x)=\sqrt{\displaystyle{\frac{x+3}{x-3}}}$ e $g(x)=\displaystyle{\frac{\sqrt{x+3}}{\sqrt{x-3}}}$. Determine o domínio da função $f$ e o domínio da função $g$. É verdade que $f=g$?

Utilize o método das cascas cilíndricas para calcular o volume de um cone circular reto de altura $h$ e base com raio $r$.

Podemos pensar no cone como a superfície de revolução obtida pela rotação de um segmento de reta. A reta em questão pode ser equacionada, por semelhança de triângulos, como
  \[
  \frac{y}{x}=\frac{h}{r}\text{ ou }y:=y\left(  x\right)  =\frac{h}{r}x\text{.}%
  \]
  O segmento de reta é determinado ao restringirmos $x\in\left[  0,r\right]$. Observamos que, dado $x\in\left[  0,r\right]  $ temos que a altura $h\left(  x\right)  $ correspondente ao cilindro contido no cone é $h\left(  x\right)  =h-y\left(  x\right)  $. Chamando o volume de $V$, pelo método das cascas cilíndricas, obtemos que:
  \begin{align*}
  V  & =\int_{0}^{r}\left(  2\pi x\right)  \left(  h-\frac{h}{r}x\right)  dx\\
  & =\int_{0}^{r}2\pi h\left(  x-\frac{x^{2}}{r}\right)  dx\\
  & =2\pi h\left.  \left(  \frac{x^{2}}{2}-\frac{x^{3}}{3r}\right)  \right\vert
  _{0}^{r}\\
  & =2\pi h\left(  \frac{r^{2}}{2}-\frac{r^{3}}{3r}\right)  \\
  & =2\pi h\frac{r^{2}}{6}\\
  & =\frac{\pi hr^{2}}{3}.
  \end{align*}

Mostre que $|\cos x-\cos y|\leq |x-y|$ quaisquer que sejam $x$ e $y$ reais, enunciando os teoremas utilizados.

Estude a função $f\left( x\right) =e^{x}-e^{3x}$ com relação à concavidade, pontos de inflexão, máximos e mínimos, e esboce o seu gráfico.

Calcule a área no plano entre os gráficos de $f\left( x\right) =x^{3}-x$ e $g\left( x\right) =sen\left( \pi x\right) $ no intervalo $[0,1]$.

Calcule a seguinte integral:
   $ \int_{-\infty}^{e^4}\frac{\ln (x)}{x}dx$.

Calcule o valor de $\frac{2}{0,666 \ldots}$.

$$\begin{array}{rcl} \dfrac{2}{0.666 \ldots} &=& \dfrac{2}{\dfrac{6}{9}} \\ &=& 2 \dfrac{9}{6} \\ &=& \dfrac{9}{3} \\ &=& 3. \end{array}$$

Avalie a seguinte integral indefinida:
  $\int 3x^3\ dx$

 $3/4x^4+C$

Encontre o ponto de interseção da reta tangente ao gráfico de $y=x-\frac{1}{x}$ no ponto $(1,0)$ com o eixo $y$.

$(1,0)$.

Suponha que em qualquer instante $t$ (em segundos) a corrente $i$ (em amperes) em um circuito de corrente alternada é $i = 2\ cos\ t+2\ sin\ t$. Qual a corrente de pico (magnitude máxim para este circuito?

Se Fidelis investisse $R\$1500$ em uma conta aposentadoria que rende $8\%$ de juros compostos anualmente, em quanto tempo este investimento isoladamente aumentará para $R\$5000$?

Sabe-se que $f$ é contínua em $2$ e que $f(2)=8$. Mostre que existe $\delta>0$ tal que para todo $x \in D_f$  vale $2-\delta<x<2+\delta \rightarrow f(x)>7$.

Considere $\epsilon =1$. Como $f$ é contínua em $2$, sabemos que existe $\delta >0$ tal que, para $|x-2|<\delta $ temos que $|f(x)-f(2)|<\epsilon =1$. Mas $|x-2|<\delta $ se, e somente se, $2-\delta<x<2+\delta$ e $|f(x)-f(2)|=|f(x)-8|<1$ se, e somente se, $7< f(x)<9$.

A função pode tender a valores diferentes pela esquerda e pela direita, a função pode crescer de maneira ilimitada, ou a função pode oscilar em torno de um valor.

Encontre as equações das retas que passam pelo ponto $(-1,1)$ e são tangentes à curva $x^2+4y^2-4x-8y+3=0.$

1. $[-5,\infty[$
2. $]-\infty,\frac{3}{2}]$

1. V

2. F

3. V

Determine a derivada da seguinte função:
  $f\left( x\right) =\left( \left( \sin x\right) \left(\cos x\right) \right) ^{3}.$

$f'(x)=3/8 \sin(2x) \sin(4x)$.

Em estatística, a função densidade de probabilidade para a distribuição normal é definida por $f(x)=\dfrac{1}{\sigma \sqrt{2 \pi}}e^{-z^2/2}$ com $z=\dfrac{x-\mu}{\sigma}$ para números reais $\mu$ e $\sigma>0$ ($\mu$ é a média e $\sigma^2$ é a variância da distribuição). Obtenha os extremos locais de $f$ e determine onde $f$ é crescente ou decrescente. Discuta a concavidade, ache os pontos de inflexão, determine $\lim\limits_{x \to \pm \infty}f(x)$ e esboce o gráfico de $f$.

Estude a função $f\left( x\right) =e^{\dfrac{x-1}{x^{2}}}$ com relação à concavidade, pontos de inflexão, máximos e mínimos, e esboce o seu gráfico.

Determine todas as assíntotas horizontais da função $f(x) = \frac{x^2-1}{-x^2-1}$.

$y=-1$.

1. Dom$\left(  f\right)  =\left\{  x\in\mathbb{R}|x\neq0\right\}  $

2. $f\left(  x\right)  \neq 0,\forall x$

3. A função não possui simetrias não triviais

4. $\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{e^{-x}}{x}=0,\lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{e^{-x}}{x}=\lim_{x\rightarrow-\infty}-e^{-x}=-\infty$ (este por L'Hôpital), $\lim_{x\rightarrow0^{-}}\frac{e^{-x}}{x}=-\infty$ e $\lim_{\times\rightarrow1^{+}}\frac{e^{-x}}{x}=+\infty$

5. \[
     f^{\prime}\left(  x\right)  =\frac{-e^{-x}x-e^{-x}}{x^{2}}=-e^{-x}\frac
     {x+1}{x^{2}}%
     \]
     e temos que
     \begin{align*}
     f^{\prime}\left(  x\right)    & >0\Leftrightarrow x<-1\\
     f^{\prime}\left(  x\right)    & <0\Leftrightarrow x>-1
     \end{align*}
     logo $f$ é crescente para $x<-1$ $\ $e decrescente para $x>-1$ (lembrando que $x\neq0$).

6. O único ponto crítico de $f$ é $x=-1$, o qual é ponto de máximo, pois a derivada passa de positiva a negativa.

7. \begin{align*}
     f"\left(  x\right)    & =\frac{\left(  e^{-x}x-e^{-x}+e^{-x}\right)
     x^{2}-\left(  -e^{-x}x-e^{-x}\right)  2x}{x^{4}}\\
     & =\frac{e^{-x}x^{3}+2e^{-x}x^{2}+2e^{-x}x}{x^{4}}\\
     & =\frac{e^{-x}}{x^{3}}\left(  x^{2}+2x+2\right)
     \end{align*}

     Como $e^{-x}$ e $x^{2}+2x+2$ são sempre positivos, temos que $f"\left(  x\right)  >0$ se $x>0$ e $f"\left(  x\right)  <0$ se $x<0$, ou
     seja, "concavidade para baixo" se $x<0$ e "concavidade para cima" se $x>0$

8. Esboço do Gráfico:
   
   

A atmosfera da Terra absorve aproximadamente $32\%$ da radiação proveniente do Sol. A Terra também emite radiação (a maior parte em forma de calor) e a atmosfera absorve aproximadamente $93\%$ dessa radiação. A diferença entre a radiação que entra na Terra e a que sai é chamada efeito-estufa. Modoficações nesse equilíbrio podem afetar o clima da Terra. Seja $I_0$ a intensidade da radiação do Sol e $I$ a intensidade depois de percorrer uma distância $x$ na atmosfera. Se $p(h)$ é a densidade da atmosfera na altitude $h$, então a espessura ótica é $f(x)=k \displaystyle\int_0^x p(h) dh$, onde $k$ é uma constante de absorção e $I$ é dada por $I=I_0e^{-f(x)}$. Mostre que $dI/dx=-kp(x)I$. 

$y=-2x+3$.

$-2$.

1. Sim.
   
2. Não: Os limites pela direita e pela esquerda não são iguais em $x=1$.
   

Prove que a única função contínua $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ que satisfaz $f(f(f(x)))=x$ é a função identidade $f(x)=x$. (Sugestão: Prove que se uma função é injetiva e contínua então ela é monótona).

Calcule a derivada da seguinte função:
 $f\left(  x\right)  =\frac{\left(  x^{3}+1\right)  ^{5}}{\left(x^{2}+1\right)  ^{4}}.$

$\frac{x \left(x^3+1\right)^4 \left(7 x^3+15 x-8\right)}{\left(x^2+1\right)^5}$

Esboce as curvas exponenciais transladadas:
$y=3^x+2$ e $y=3^{-x}+2$.

Mensalmente, pago pela prestação de minha casa $1/5$ do meu salário; metade do resto gasto em alimento e $1/3$ do que sobra coloco na poupança, restando-me ainda $R\$ 800,00$ para gastos diversos. Qual o valor colocado na poupança?

Dê exemplo de uma função $f$ que seja descontínua, mas tal que $|f|$ seja contínua.

 Algumas curvas são tão planas que, na prática, o Método de Newton não consegue se aproximar da raiz suficientemente para fornecer uma aproximação útil. Tente utilizar o Método de Newton em $f(x)=\left(x-1\right)^{40}$ com a estimativa inicial $x_0=2$ para observar a qualidade das aproximações. Utilizando recursos computacionais, observe o gráfico da função.

1. $4$
2. $8/9$
3. $-1/3$
4. $-1/3$

Dados $f(x) = \sqrt[\leftroot{-2}\uproot{2}3]{x}$ e $x_0 = 8,5$, escolha um valor inteiro próximo a $x_0$ tal que $f(x_0)$ e $f'(x_0)$ sejam fáceis de calcular, e calcule uma linearização da função neste ponto.

$y'=\dfrac{1}{4\sqrt{\sqrt{x}+1}\sqrt{x}}$.

Estude o sinal de $f^{\prime }\left( x\right) $, calcule os limites $\lim\limits_{x\rightarrow \infty }f\left( x\right) $ e $\lim\limits_{x\rightarrow -\infty }f\left( x\right) $ e, utilizando esses dados, esboce o gráfico de $f\left( x\right) =x^{3}+x^{2}-5x$.

Calcule o seguinte limite:
$\lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{e^{2x}-1}{x}$.

$2$.

Determine $f'$, $f''$ e $f'''$ sendo $f(x)=4x^4+2x$.

$f'(x)=16x^3+2$, $f''(x)=48x^2$ e $f'''(x)=96x$.

Esboce as curvas exponenciais transladadas:
$y=2^x-1$ e $y=2^{-x}-1$.

Determine um número $0\leq b\leq 2$ tal que a reta $x=b$ divide a região delimitada por $y=\sqrt{4-x^{2}}$ e $y=0$ e $x=0$ em duas regiões de mesma área.

Prove que $\cosh'(x)=\sinh(x)$.

Uma das raízes da equação $x^2-x-a = 0$ é também raiz da equação $x^2+x-(a + 20)=0$. Qual é o valor de $a$?

$y=x-1$.

Escreva o polinômio $p(x)=x^4-12x^3+44x^2+2x+1$ em $x$ como um polinômio em $(x-3)$. (Só é necessário calcular o polinômio de Taylor em $3$, do mesmo grau do polinômio original. Por quê?)

Seja  $\ell$ a reta que passa pela origem do plano cartesiano e tangencia a curva $y = x^3 + x + 16$. Qual a inclinação de $\ell$?

Dado que $\ell$ é uma reta que passa pela origem, sabemos que sua equação é do tipo $\ell(x)=ax$. Como ela tangencia a curva $y(x)$, sabemos que há um ponto $x^*$ tal que $\ell(x^*)=y(x^*)$.

Além disso, sabemos que em $x^*$ a inclinação de $\ell$ é a mesma inclinação de $y$ (por quê?), o que é equivalente a $\ell'(x^*)=y'(x^*)$.

Assim, temos:

\begin{cases}
    \left.x^*\right.^3+x^*+16 = ax^* \\
    3\left.x^*\right.^2+1=a
    \end{cases}

Resolvendo o sistema de equações obtemos:

\begin{align*}
x^* = 2\\
a = 13
\end{align*}

Sendo, portanto, $a=13$ a resposta desejada.

Pela regra da cadeia, temos que
$f(g(x))' = f'(g(x))g'(x)$
Assim, escolhendo $f(x) = e^x$ e $g(x)=\cos(x^2)$, temos:
$(e^{\cos(x^2)}))' = e^{\cos(x^2)}(\cos(x^2))'$
Para calcular $(\cos(x^2))'$, temos que aplicar novamente a regra da cadeia. Desta vez, podemos escolher $f(x)=\cos(x)$ e $g(x)=x^2$.
Assim, 
$(\cos(x^2))'= -2\sin(x^2)x$
Portanto:
$(e^{\cos(x^2)}))' = -2 e^{\cos(x^2)}x\sin(x^2)$

1.   $-\infty$
2. $0$
3. $\infty$
   

Prove que $\log_{10} 2$ é irracional.

Dê exemplo de uma função definida em $\mathbb{R}$, que não seja contínua em $2$, mas que $\lim\limits_{x \to 2^+}f(x)=\lim\limits_{x \to 2^-}f(x)$.

Se uma função racional $P(x)/Q(x)$ é tal que o grau do numerador excede o grau do denominador em $1$, então o gráfico de $P(x)/Q(x)$ terá uma assíntota oblíqua, isto é, uma assíntota que não é nem horizontal nem vertical. Para ver por quê, efetuamos a divisão de $P(x)$ por $Q(x)$ obtendo $$ \dfrac{P(x)}{Q(x)}= (ax+b) + \dfrac{R(x)}{Q(x)}, $$ onde $(ax+b)$ é o quociente e $R(x)$ é o resto. Use o fato de que o grau do resto $R(x)$ é menor do que o grau do divisor $Q(x)$ para auxiliá-lo a provar que $$ \lim_{x\to \infty}\left[\dfrac{P(x)}{Q(x)}-(ax+b)\right] = 0 \quad \text{e} $$ $$ \lim_{x\to -\infty}\left[\dfrac{P(x)}{Q(x)}-(ax+b)\right] = 0. $$ Este resultado nos diz que o gráfico da equação $\displaystyle y =P(x)/Q(x)$ "tende"  à reta $y=ax+b$ (assíntota oblíqua) quando $x\rightarrow +\infty$ ou $x\rightarrow -\infty$.

Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada pela curva dada em torno do eixo especificado. Esboce a região e o sólido.
  $y=x^{2},y^{2}=x$, ao redor do eixo $x$.

Seja $P(x)$ um polinômio com coeficientes inteiros. Suponha que existam quatro inteiros distintos $a,b,c$ e $d$ tais que $P(a)=P(b)=P(c)=P(d)=5$. Prove que não existe inteiro $k$ tal que $P(k)=8$.

Ache a área da superfície gerada fazendo girar a curva paramétrica $x=t^2,y=2t,0 \leq t\leq 4$, em torno do eixo $x$.

 A raiz aproximada é $x=0.52$.

Os intervalos utilizados são:

$[0.5,0.55] \quad [0.5,0.525] \quad [0.5125,0.525]$

$[0.51875,0.525]\quad [0.521875,0.525]$.

Prove que se $f$ é contínua em $\left[a,b\right]$ , então $\displaystyle\int_{a}^{b}f(x)dx=(b-a)f(\xi)$ para algum $\xi \in \left[a,b\right]$.

Usando os limites fundamentais, encontre o limite  $\lim\limits_{x\rightarrow1}\frac{sen(x-1)}{x^{2}+x-2}$.
 

$1/3$.

1.   $-1/2$
2.   $0$
   

Em um reservatório cônico (com vértice para baixo), água é evaporada a uma taxa proporcional à área da superfície exposta ao ar. Mostre que a profundidade da água decresce a uma taxa constante que não depende das dimensões do reservatório.

Encontre a equação da reta tangente ao gráfico da função $f(x)=12\sqrt[6]{x}-\frac{1}{2x^2}+\log_5(x)$ no ponto cuja coordenada horizontal é $3$.

Determine o conjunto de todos os números reais para os quais a expressão $\sqrt{x}{1-x^2}$ está definida.

Um agricultor possui $140$ metros de cerca para construir dois currais: um deles quadrado eu outro retangular, com comprimento igual ao quádruplo da largura. Se a soma das áreas dos currais deve ser a menor possível, calcule a área do curral quadrado, apresentando todos os cálculos e/ou justificativas.

Derive a função $g\left( x\right)  = \int_{\tan x}^{x^{4}}\dfrac{u^{2}+1}{\sqrt{u^{2}+2u}}du$.

Encontre $f(x)$ que satisfaça o seguinte problema de valor inicial:
  $f''(x) = 5$ e $f'(0)= 7$, $f(0) = 3$

  $5/2x^2+7x+3$

Sejam $f\left( x\right) =\frac{x^{2}-25}{x^{2}-1}$ e $g\left(x\right) =\sqrt{x}$. Dê o domínio das seguintes funções: $f,$ $g$, $f\circ g$ e $g\circ f$.

Encontre os valores de $x$ para os quais cada o número $\sqrt{x^{2}+x+3}$ é real.

Este número será real se o valor dentro da raiz for maior ou igual a zero. Como $x^2 + x + 3$ têm raízes complexas e concavidade para cima, seu valor é sempre maior que zero. Portanto $\sqrt{x^2 + x + 3}$ é real para qualquer $x$ real.

Dica: Suponha que existam inteiros $p$ e $q$ tais que $log2=p/q$, com $p/q$ sendo fração irredutível. Use a definição de logaritmo e o teorema fundamental da aritmética para chegar a um absurdo.

$\infty$.

Prove que $\displaystyle\int \sqrt{a^2+u^2}du=\dfrac{u}{2}\sqrt{a^2+u^2}+\dfrac{a^2}{2}\ln{|u+\sqrt{a^2+u^2}|}+C$.

1.  \begin{array}{cc}
     x & f(x) \\ \hline
     2.9 & -335.64 \\
      2.99 & -30350.6 \\
       \end{array}
      A tabela parece indicar que $\lim\limits_{x\to3^-}f(x) =-\infty$.  
2.   \begin{array}{cc}
     x & f(x) \\ \hline
      3.1 & -265.61 \\
      3.01 & -29650.6 \\
       \end{array}
       A tabela parece indicar que $\lim\limits_{x\to3^+}f(x) =-\infty$.
3. As tabelas parecem indicar que $\lim\limits_{x\to3}f(x) =-\infty$.

Suponha que, em uma aplicação do Método de Newton, o valor de $x_0$ escolhido coincidiu com uma raiz. Suponho que $f'(x_0)$ exista e não seja nula, o que acontecerá com $x_1$ e as aproximações subsequentes?

Demonstre que a derivada da função cosseno é a oposta da função seno.

Prove que $\displaystyle\int (sec(x))^m dx=x \dfrac{(sec(x))^{m-2}tg(x)}{m-1}+\dfrac{m-2}{m-1}\displaystyle\int (sec(x))^{m-2} dx$, para $m$ inteiro positivo.

1. Como a função está definida em $x=3$, o limite pode ser calculado diretamente por substituição:
   $\lim\limits_{x\rightarrow 3} x^2-3x+7 = 3^2 - 3.3 + 7 = 7$.
2. Como a função está definida em $x=3$, o limite pode ser calculado diretamente por substituição:
   $\lim\limits_{x\rightarrow 3} x^3-3x+7 = 3^3 - 3.3 - 7 = 11$.

1. $-59$
   
2. $-48$
   
3. $-27$
   
4. $-33$
   

Calcule a seguinte integral:
 $ \int_4^{\infty}e^{-\frac{y}{2}}dy$.

Verifique que $\displaystyle \int \text{cotg} (x) \, dx = \ln |\sin x| + k$.

$f'(x) = e^x ((x+1) \cos x - x \sin x)$.

Usando a regra da derivada do produto de duas funções, escolhendo considerar $x e^x$ como uma delas e, consequentemente, $\cos x$ como a outra, obtemos:

\[ (x e^x \cos x)^\prime = (x e^x)^\prime \cdot \cos(x)+ x e^x \cdot (\cos x)^\prime .\]

Para calcular $(x e^x)^\prime$, vamos usar novamente a regra da derivada do produto:

\[(x e^x)^\prime = (x^\prime) \cdot e^x + x\cdot (e^x)^\prime = e^x(1+x),\]

em que usamos que $(x)^\prime=1$ e $(e^x)^\prime=e^x$, além de colocar em evidência o fator comum $e^x$.

Substuindo essas expressões na igualdade inicial, temos que

\[ (x e^x \cos x)^\prime = e^x(1+x)\cos(x)  - x e^x \sin x,\]

já que $(\cos x)^\prime = -\sin x$. Ou seja, obtivemos que

\[f'(x) = e^x ((x+1) \cos x - x \sin x).\]

Encontre o número de polinômios de grau $5$ com coeficientes distintos pertencentes ao conjunto $\{1,2,\ldots,9\}$ que são divisíveis por $x^2-x+1$.

$\begin{array}{rcl} \lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{\sin \left( \pi x\right) }{\sin\left( 23x\right) } &=& \lim\limits_{x\rightarrow 0} \dfrac{ \dfrac{\sin \left( \pi x\right)}{x} }{ \dfrac{\sin\left( 23x\right)}{x} } \\ &=& \lim\limits_{x\rightarrow 0} \dfrac{ \dfrac{\pi \sin \left( \pi x\right)}{\pi x} }{ \dfrac{23\sin\left( 23x\right)}{23x} } \\ &=& \lim\limits_{x\rightarrow 0} \dfrac{\pi}{23} \dfrac{ \dfrac{ \sin \left( \pi x\right)}{\pi x} }{ \dfrac{\sin\left( 23x\right)}{23x} }. \end{array}$

Fazendo as mudanças de variáveis $y = \pi x$ e $t = 23x$, temos que 

$\lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{\sin \left( \pi x\right) }{\pi x} = \lim\limits_{y\rightarrow 0}\dfrac{\sin \left( y\right) }{y} = 1 $.

$\lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{\sin \left( 23 x\right) }{23 x} = \lim\limits_{y\rightarrow 0}\dfrac{\sin \left( t\right) }{t} = 1 $.

Onde nas últimas passagens usamos o limite fundamental do seno. Desse modo, sabendo que os limites existem, podemos substituí-los na expressão anterior:

$\begin{array}{rcl} \lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{\sin \left( \pi x\right) }{\sin\left( 23x\right) } &=& \lim\limits_{x\rightarrow 0} \dfrac{\pi}{23} \dfrac{ \dfrac{ \sin \left( \pi x\right)}{\pi x} }{ \dfrac{\sin\left( 23x\right)}{23x} } \\ &=& \dfrac{\pi}{23} \dfrac{1}{1} \\ &=& \dfrac{\pi}{23}. \end{array}$

Seja o número inteiro $AB$, no qual $A$ e $B$ são os algarismos das dezenas e das unidades, respectivamente. Invertendo-se a posição dos algarismos $A$ e $B$, obtém-se um número que excede $AB$ em $27$ unidades. Se $A+B$ é um quadrado perfeito, qual o valor de $B$?

Temos que "$BA-AB$"$=10B+A-10A-B=9B-9A$. De acordo com o enunciado essa diferença é igual a $27$. Logo, $B-A=3$. Temos, portanto,  $7$ possibilidades: "$BA$"$=30, 41, 52, 63, 74, 85$ ou $96$. Dentre essas possibilidades, a única em que $A+B$ é um quadrado perfeito é o caso $B=6$, $A=3$.

Calcule o limite $\lim\limits_{x \to \infty}\dfrac{\ln({\sin(x)})}{\ln({\sin(2x)})}$.

Podemos escrever:

$\frac{1}{1-x^2}=\frac{A}{1-x}+\frac{B}{1+x}=\frac{A+Ax+B-Bx}{1-x^2}=\frac{(A+B)+(A-B)x}{2-x^2}$

Portanto, sabemos que $A+B=1$ e $A-B=0$. Temos, portanto, $A=B=\frac{1}{2}$.

Assim, reescrevemos a integral como

$\int\left(\frac{1/2}{1-x}+\frac{1/2}{1+x}\right)\,dx=\frac{1}{2}ln(1+x)+\frac{1}{2}ln(1-x)$

  $-\cos x+3$

O que se pode dizer sobre os pontos de inflexão de uma curva cúbica? Justifique.

Mostre que a função $f\left( x\right) =x^{n}$ é contínua em seu domínio.

O domínio da função é $\mathbb{R}$. Logo, para $x \in \mathbb{R}$, temos:

$\lim_\limits{x \to a} x^n = a^n$

e

$f(a) = a^n$.

Isto é, $\lim_\limits{x \to a} f(x) = f(a)$, e portanto a função é contínua.

1. $2$
   
2. $0$
   
3. Não existe.
   
4. $1$
   

O que se pode dizer sobre os pontos de inflexão de uma curva quadrática? Justifique.

Os pontos de inflexão são os pontos nos quais a curvatura de uma curva troca de sinal, portanto, está associado com trocas de sinal da segunda derivada da função associada à curva. Curvas quadráticas terão derivadas lineares e segundas derivadas constantes. Sendo assim, como a segunda derivada de uma curva quadrática nunca trocará de sinal, uma curva quadrática nunca apresentará pontos de inflexão

Calcule a derivada da seguinte função:
 $f\left(  x\right)  =\frac{\sqrt{x^{3}+1}}{\left(  x^{2}+1\right)  ^{4}}.$

A média geométrica de dois números reais positivos $a$ e $b$ é definida como $\sqrt{ab}$. Prove que $\sqrt{ab}=\lim\limits_{x \to \infty}\left(\dfrac{a^{1/x}+b^{1/x}}{2}\right)^x$.

1. $-e^x x^2 \sin (x)+e^x x^2 \cos (x)+2 e^x x \cos (x)$.
2. $-e^x \sin ^2(x)+e^x \cos ^2(x)+e^x \sin (x) \cos (x)$.

Aproximadamente $0,2383$.

Calcule o seguinte limite:
$\lim\limits_{x\rightarrow 0^{+}}\log _{\dfrac{1}{3}}x$.

$\infty$.

$(-\infty,\infty)$

Calcule os valores de $a,b$ e $c$ de modo que as parábolas $y=x^2+ax+b$ e $y=-x^2 +cx$ sejam tangentes uma a outra no ponto $(1,2)$.

Utilize uma substituição trigonométrica para mostrar que $\displaystyle \int \dfrac{u^2}{\sqrt{u^2 - a^2}} \, du = \dfrac{u}{2}\sqrt{u^2-a^2}+\dfrac{a^2}{2} \ln | u + \sqrt{u^2-a^2} | + C $.

Se $ax-b\geq0$: $|ax-b| = ax-b$, logo $ax-b<r \Rightarrow x < \dfrac{b+r}{a}$.
Se $ax-b<0$: $|ax-b| = -(ax-b)$, logo $-ax+b<r \Rightarrow x > \dfrac{b-r}{a}$.
Portanto $x<\dfrac{b+r}{a}$ ou $x>\dfrac{b-r}{a}$.

Um termômetro de mercúrio demorou $14s$ para subir de $-19° C$ para $100° C$ após ser retirado de um congelador e colocado em água fervendo. Considerando que, no termômetro em questão, a distância entre dois graus subsequentes é de $1mm$, demonstre que em algum instante a coluna de mercúrio subia a $8,5mm/s$.

Dada a função $f\left( x\right) =$ $\left| x\right| -2x$, calcule $f\left( -1\right) $, $f\left( 1/2\right) $, $f\left( -2/3\right) $. Mostre que $f\left( \left| a\right| \right) =-\left| a\right| $.

Esboce o gráfico da função $f\left( x\right) =\frac{x^{2}}{x-1}$, indicando domínio de definição, limites laterais e no infinito, assíntotas verticais e inclinadas, intervalos de crescimento e decrescimento e estudo da concavidade.

Estude o sinal de $f^{\prime }\left( x\right) $, calcule os limites $\lim\limits_{x\rightarrow \infty }f\left( x\right) $ e $\lim\limits_{x\rightarrow -\infty }f\left( x\right) $ e, utilizando esses dados, esboce o gráfico de $f\left( x\right) =\dfrac{x}{x^{2}+1}$.

Uma das raízes da equação $x^2+mx+m^2-m-12=0$ é nula, e a outra é positiva. Qual o valor do parâmetro $m$?

Derive a função $f\left( x\right) =\left( 3^{2x+3}\right)\sqrt{\cos \left( x^{3}+x^{1/3}\right) }.$

$ 2.3^{2 x + 3} \sqrt{\cos(x^3 + x^{1/3})} \log 3 - (3^{2 x + 3} (1/(3 x^{2/3}) + 3 x^2) \sin(x^3 + x^{1/3}))/(2 \sqrt{cos(x^3 + x^{1/3})})$.

Calcule $\displaystyle \int \dfrac{1}{2+\sin x} \, dx$.

$\frac{2 \tan ^{-1}\left(\frac{2 \tan \left(\frac{x}{2}\right)+1}{\sqrt{3}}\right)}{\sqrt{3}}$

Prove que $|x+y|=|x|+|y| \Leftrightarrow xy \geq 0$.

1. $-1/2$
   
2. $0$
   
3. $3/2$
   
4. $3/2$
   
5. $9/2$
   
6. $15/2$
   

$-\infty$.

Encontre a área limitada pela elipse $\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9}=1\text{.}$

Escreva o número $\sin 1/2$ como uma soma (com a notação $\Sigma$), com um erro menor que $10^{-20}$.

Resolva a inequação $\frac{x^2+2x-1}{x^2-1} \geq \frac{1}{x+1}$.

Calcule a seguinte integral:
   $\int{x\cos x dx}.$

$xsinx+cosx+C$

Mostre $\lim\limits_{x\to 0} \frac{x+1}{x^2+3x}$ não existe.

Calcule a integral $\int x^{2}\ln xdx$.

$\dfrac{1}{9}x^3(3lnx-1)+C$.

Demonstre que $x^{ln(2)}=2^{ln(x)}$ utilizando propriedades de logaritmos e exponenciais. Utilizando recursos computacionais, observe os gráficos das duas funções, assim como a diferença entre elas. Qual seria uma explicação para o comportamento observado no gráfico de $f(x)=x^{ln(2)}-2^{ln(x)}$?

Demonstre que a derivada da função tangente é igual ao quadrado da função secante.

Dados $f(x) =\sin^{-1}x$ e $x_0 = \pi/12$, escolha um valor inteiro próximo a $x_0$ tal que $f(x_0)$ e $f'(x_0)$ sejam fáceis de calcular, e calcule uma linearização da função neste ponto.

Usando a fórmula do volume de uma calota esférica, encontre o volume do sólido que sobra quando um buraco de raio $\dfrac{r}{2}$ é feito através do centro de uma esfera de raio $r$ e verifique a sua resposta por integração. 

Mostre que a equação $x^2=x$ tem exatamente duas raízes reais.

A equação pode ser escrita na forma $x^2-x=0$, i.e, $x(x-1)=0$. As suas únicas raízes reais são $x=0$ e $x=1$. Uma outra forma de atacar este problema é perceber que os gráficos de $f(x)=x$ e $g(x)=x^2$ se intersectam exatamente duas vezes!

$f'(x) = \dfrac{1-x}{2\sqrt{x}(x+1)^2}$.

Queremos calcular a derivada da divisão da função $\sqrt{x}$ pela função $x+1$. Usando a regra da derivada do quociente, obtemos:

\[\left( \dfrac{\sqrt{x}}{x+1} \right)^\prime = \dfrac{(\sqrt{x})^\prime \cdot (x+1) - \sqrt{x}\cdot (1+x)^\prime}{(x+1)^2}.\]

Sabendo que

\[(\sqrt{x})^\prime = \left(x^{1/2}\right)^\prime = \dfrac{1}{2} x^{\left(\tfrac{1}{2}-1\right)} = \dfrac{1}{2 \sqrt{x}}\]

e que

\[(x+1)^\prime = (x)^\prime + (1)^\prime = 1 + 0 = 1,\]

podemos usar essas expressões na regra do quociente e, assim, obter que

\[\dfrac{(\sqrt{x})^\prime \cdot (x+1) - (\sqrt{x})\cdot (1+x)^\prime}{(x+1)^2} = \dfrac{\dfrac{1}{2 \sqrt{x}}(x+1)-\sqrt{x}(1)}{(x+1)^2} = \dfrac{\dfrac{x}{2 \sqrt{x}} +\dfrac{1}{2 \sqrt{x}} -\dfrac{x}{\sqrt{x}}}{(x+1)^2}.\]

Disso, podemos concluir que

\[f'(x) = \dfrac{1-x}{2\sqrt{x}(x+1)^2}.\]

Demonstre a fórmula de Báskhara usada para resolução de equações polinomiais de grau $2$.

A antiderivada de uma função aceleração é a função _________.

Velocidade. A taxa de variação com a qual a velocidade varia de acordo com o tempo é, justamente, a aceleração.

Enuncie e demonstre o Teorema do Confronto.

Determine $f'$, $f''$ e $f'''$ sendo $f(x)=4x^4+2/x$.

Para resolver a integral, utilizamos a substituição $x=\tan(u)$, com $dx=\frac{du}{cos^2(u)}$. A integral equivalente, com os limites de integração escolhidos no primeiro quadrante, é:

$\int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{du}{\cos^2(u)\left(\tan^2(u)+1\right)}=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{du}{1}=u\rvert_0^{\frac{\pi}{2}}=\frac{\pi}{2}$

Um carro está em uma rodovia a uma velocidade constante de $60mi/h$ quando vê um acidente a frente e aciona os freios. Que desaceleração constante é necessária para frear o carro em 242 pés?

Um modelo de densidade urbana é uma fórmula que relaciona a densidade populacional (em número de habitantes por $km^2$) com a distância $r$ (em $km$) do centro da cidade. É considerada apropriada  para certas cidades a fórmula $D=ae^{-br+cr^2}$, com $a,b$ e $c$ constantes positivas. Determine a forma do gráfico de $D$ para $r \geq 0$.

Verifique que $\displaystyle \int \text{cotg}^n (x) \, dx = -\dfrac{\text{cotg}^{n-1} (x) }{n-1} - \int \text{cotg}^{n-2} (x) \, dx, \, n \geq 2$.

Seja $g(x)=a^x$, em que $a>0$ e $a \neq 1$ é um real dado. Mostre que $g'(x)=a^x \ln{a}$.

Avalie o limite $\lim\limits_{x\rightarrow p}\dfrac{x^{n}-p^{n}}{x-p}$, onde $n$ é qualquer número natural.

A aceleração de uma partícula que se move de um lado para o outro sobre uma reta é $a=d^2s/dt^2 = \pi^2\sin\pi t\ m/s^2$ para qualquer $t$. Se $s=0$ e $v=8m/s$ quando $t=0$, determine o valor de $s$ para $t=1\ s$.

1. 0
   
2. 0
   
3. 0
   
4. 0
   
5. 2
   
6. 2
   
7. 2
   
8. 2
   

Calcule, se existir, o limite $\lim\limits_{x\to 0} \frac{x+1}{x^2+3x}.$

Demonstre que  $2\sqrt{2} \leq \int_{0}^{1}{\sqrt{x+8}dx} \leq 8$.

$a=0$ e $b=1$.

Determine a equação da reta tangente ao gráfico de $f(x)=e^x$ no ponto de abscissa $0$.

1. Usando o teorema fundamental da trigonometria sabemos que o valor da expressão $sen(45^0)+cos(45^0)$ é $1$.
2. Este item se resolve por substituição direta: $cos(30^0)=sen(60^0)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ e $tg(45^0)=1$:$\dfrac {cos(30^0)sen(60^0)} {tg(45^0)}=\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 \times 1=\dfrac{3}{4}$.
3. Usando o teorema fundamental da trigonometria sabemos que o valor da expressão $sen^2(71,2^0)+cos^2(71,2^0)$ é $1$. Além disso, temos que $cotg(45^0)=\dfrac{1}{tg(45^0)}=\dfrac{1}{1}=1$. Então:\\ $[sen^2(71,2^0)+cos^2(71,2^0)] \times cotg(45^0)=1 \times 1=1$.

Estude a função $f\left( x\right) =x^{3}-3x^{2}+3x$ com relação à concavidade, pontos de inflexão, máximos e mínimos, e esboce o seu gráfico.

Duas pequenas fábricas de calçados, $A$ e $B$, têm fabricado, respectivamente, $3000$ e $1100$ pares de sapatos por mês. Se, a partir de janeiro, a fábrica $A$ aumentar sucessivamente a produção em $70$ pares por mês e a fábrica $B$ aumentar sucessivamente a produção em $290$ pares por mês, em que mês a produção da fábrica $B$ superará a produção de $A$ pela primeira vez?

Você está planejando construir uma caixa retangular aberta com uma folha de papelão de $8 \times 15 pol$ recortando quadrados congruentes dos vértices da folha e dobrando suas bordas para cima. Quais são as dimensões da caixa de maior volume que você pode fazer dessa maneira? Qual é o volume?

Derive a função $q\left( x\right)  = \int_{e^{-2x}}^{\mathrm{tg}x}e^{\theta }\cos \theta d\theta$.

Calcule a seguinte integral:
  $\int  \cos(x)\ln (\sin (x))dx   $.

$sinx(ln(sinx)-1)+C$

Seja $f\left( x\right) =\frac{1+x}{1-x}$. Mostre que $f\left( \frac{1}{1+x}\right) =\frac{2+x}{x}$, $f\left( \frac{1}{1-x}\right) =\frac{x-2}{x}$, $f\left( -x\right) =\frac{1}{f\left( x\right) }$, $f\left( 1/x\right)=-f\left( x\right) $ e que $f\left( f\left( x\right) \right) =-1/x$.

Sabemos que a troca de calor entre um objeto a uma temperatura $T$ e o ambiente a uma temperatura $T_{a}$ é proporcional a diferença $(T-T_{a})$. Como a variação de temperatura é proporcional a troca de calor, temos a seguinte equação diferencial para $T\left( t\right) $ (temperatura em função do tempo $t$ ):$\frac{dT}{dt}=-\alpha \left( T-T_{a}\right) ,$ onde a constante $\alpha >0$ depende do calor específico e da condutividade térmica do objeto. Ache a solução dessa equação em função de $\alpha $ assumindo que a temperatura do ambiente $T_{a}=20^{o}C$ e a temperatura inicial $T_{0}=100^{o}C$. Qual é o limite $\lim\limits_{t\rightarrow +\infty }T\left( t\right) $?

A aceleração (no instante $t$) de um ponto em movimento sobre uma reta coordenada é $\sin^2 (t)\cos(t)$ $m/s^2$. Em $t=0$, o ponto está na origem e sua velocidade é 10 $m/s$. Determine sua posição no instante $t$.

Estude a função  $f\left( x\right) =x^{3}-3x^{2}-9x$ com relação à concavidade, pontos de inflexão, máximos e mínimos, e esboce o seu gráfico.

1.  Falsa.

2. Verdadeira

3. Falsa

4. Verdadeira

5. Verdadeira

Calcule a derivada da seguinte função: 
 $f\left(  x\right)  =\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}.$

$f'(x) = \frac{e^{x}-e^{-x}}{2}$.

Sejam  $f$  uma função contínua num intervalo  $I$,  $a$  e  $b$  valores em  $I$. Se $f(a)$ e $f(b)$ são valores com sinais contrários, mostre que a equação $f(x)=0$ tem pelo menos uma raiz real no intervalo $\left[a,b\right]$.

1. V

2. F

3. V

4. V

5. V

Sabemos que a troca de calor entre um objeto a uma temperatura $T$ e o ambiente a uma temperatura $T_{a}$ é proporcional a diferença $(T-T_{a})$. Como a variação de temperatura é proporcional a troca de calor, temos a seguinte equação diferencial $\frac{dT}{dt}=-\alpha \left( T-T_{a}\right)$ para $T\left( t\right) $ (temperatura em função do tempo. A  constante $\alpha >0$ depende do calor específico e da condutividade térmica do objeto. Ache a soluçao dessa equação em função de $\alpha $ assumindo que a temperatura do ambiente $T_{a}=20^{o}C$ e a temperatura inicial $T_{0}=100^{o}C$. Qual é o limite $\lim_{t\rightarrow +\infty }T\left( t\right) $?

Temos dois casos: $2x+1=3$ ou $2x+1=-3$. Resolvendo cada uma dessas equações de primeiro grau obtemos $x=1$ e $x=-2$.

Estude a função   $f\left( x\right) =xe^{-3x}$ com relação à concavidade, pontos de inflexão, máximos e mínimos, e esboce o seu gráfico.

Se $ax-b\geq0$: $|ax-b| = ax-b$, logo $ax-b=r \Rightarrow x = \dfrac{b+r}{a}$.
Se $ax-b<0$: $|ax-b| = -(ax-b)$, logo $-ax+b=r \Rightarrow x = \dfrac{b-r}{a}$.
Portanto $x=\dfrac{b+r}{a}$ ou $x=\dfrac{b-r}{a}$.

Prove que a soma de um racional com um irracional é um irracional.

1. $40/3$
   
2. $26/3$
   
3. $8/3$
   
4. $38/3$
   

Primeiramente, devemos escrever as curvas na forma $y=f(x)$, tomando cuidado com o sinal. Após este procedimento, uma análise da figura nos permite resumir o cálculo da área $A$ como $A=A_1+A_2$, sendo que:

$A_1=\int_0^1\left (1+\sqrt{x}-\frac{1}{4}x^2\right)\,dx$

$A_2=\int_1^2\left (3-x-\frac{1}{4}x^2\right)\,dx$

Assim, temos

$A_1=\left.\left(x + \frac{2}{3} x^{3/2} - x^3/12\right)\right\vert_0^1=\frac{19}{12}$

$A_2=\left.\left(-\frac{x^3}{12}-\frac{x^2}{2}+3 x\right)\right\vert_1^2=\frac{11}{12}$

O que nos leva a $A=\frac{5}{2}=2.5$

Determine os intervalos de decrescimento e crescimento e esboce o gráfico da seguinte função  $f\left( x\right) =\dfrac{\ln x}{x}$.

Esboce juntas as curvas dadas no plano cartesiano e identifique cada uma com sua equação:
$y=3^x$, $y=8^x$,$y=2^{-x}$, e $y=\left( 1/4 \right)^{x}$.

Seja $a$ um número real positivo e suponha que $|x|<a.$ Use o método de frações parciais para obter a fórmula $\int \frac{1}{a^2-x^2}dx=\frac{1}{2a}\ln\left(\frac{a+x}{a-x}\right) +C.$

Encontre as raízes do polinômio $x^4-10x^3+17x^2-17x+6.$
Sugestão: Utilize o teste das raízes racionais.

Um ponto no plano cartesiano é chamado ponto misto se uma de suas coordenadas é racional e a outra irracional. Encontre todos os polinômios com coeficientes reais tais que seus gráficos não contêm nenhum ponto misto.

Como o parabolóide é obtido pela rotação ao redor do eixo $y$ temos que o raio $r:=d/2=4$ corresponde a variação de $x$ e a altura corresponde a variação de $y$, ou seja, para $x=4$ devemos ter $y=ax^{2}=4$ donde obtemos que $a=y/x^{2}=4/4^{2}=1/4$, e consideramos a parábola $y=\frac{x^{2}}{4}$.

Como o parabolóide é obtido pela rotação ao redor do eixo $y$ devemos considerar $x$ como funçao de $y$, ou seja, $x=x\left(  y\right)  =2\sqrt{y}$. Temos então que:
  \begin{align*}
  x^{\prime}\left(  y\right)    & =\frac{1}{\sqrt{y}}\\
  \sqrt{1+\left(  x^{\prime}\left(  y\right)  \right)  ^{2}}  & =\sqrt
  {1+\frac{1}{y}}=\frac{\sqrt{y+1}}{\sqrt{y}}%
  \end{align*}
  Temos então que a área $S$ da superfície é dada por:
  \begin{align*}
  S  & =\int_{0}^{4}2\pi\left(  2\sqrt{y}\right)  \frac{\sqrt{y+1}}{\sqrt{y}%
  }dy\\
  & =4\pi\int_{0}^{4}\sqrt{y+1}dy
  \end{align*}
  Substituindo $u=y+1,~du=dy$ obtemos:
  \begin{align*}
  S  & =4\pi\int_{1}^{5}\sqrt{u}du\\
  & =4\pi\frac{2}{3}\left.  u^{3/2}\right\vert _{1}^{5}\\
  & =\frac{8\pi}{3}\left(  5^{3/2}-1\right)
  \end{align*}