Duas pequenas esferas metálicas idênticas a e b localizadas no vácuo estão carregadas com cargas

15.8E As duas pequenas esferas metálicas vistas na Figura 15.16, de mesmo raio, estão suspensas por fios finos de náilon.

1. Mostre que θ ' = θ. (B) Imagine que um fino fio condutor faça contato simultâneo com as duas esferas e seja retirado após a redistribuição de cargas. Demonstre que o valor de θ aumenta, exceto se q ' = q .

Passo 1

Belezera galerinha, como as esferas estão suspensas no ar temos que a tração no fio T → devido ao peso P → , vai ser suficiente pra manter pra se opor a força peso e manter a carga suspensa. Devido a esse fato a tração também vai possuir uma componente T → x tal que:

E pelo fato da tração se opor a força peso, temos:

T → cos ⁡ θ = P →

T → = m g cos ⁡ θ

Mas a componente na horizontal é dada por:

T → x = T → sen ⁡ θ

T → x = m g cos ⁡ θ sen ⁡ θ

Logo:

T → x = m g tg ⁡ θ

Iradoso, e da mesma maneira a esfera do outro lado possui uma componente exatamente igual a essa, só que ao invés do ângulo ser θ, é θ ' , tal que:

T → x ' = m g tg ⁡ θ '

Passo 2

Show de bolinhas, só que agora que começa a malandragem, porque como estamos falando de cargas elétricas, haverá uma força elétrica atuando sobre estas cargas. Essa força elétrica F → E atua nas duas cargas em sentidos opostos, por exemplo na carga da esquerda a força é tal que:

E se as esferas não estão se aproximando e nem se distanciando, temos que as forças que atuam na horizontal se anulam, de forma que:

F → E = T → x

F → E = m g tg ⁡ θ

Só que a força elétrica que uma esfera faz sobre a outra é igual para os dois lados, isto é, a força elétrica que esfera da esquerda aplica na esfera da direita é exatamente igual a força elétrica que a esfera da direita exerce sobre a esfera da esquerda, fazendo com que:

m g tg ⁡ θ ' = F → E = m g tg ⁡ θ

m g tg ⁡ θ ' = m g tg ⁡ θ

Logo:

tg ⁡ θ ' = tg ⁡ θ

E como nosso intervalo do ângulo está entre metade de da amplitude do pêndulo que equivale a um quarto de circunferência, isto é, 0 ≤ θ ≤ π 2 . Logo teremos que tangentes com valores iguais dentro desse intervalo, tratam de ângulos iguais, portanto:

θ ' = θ

Passo 3

Show de bolinhas galera, uma maneira da gente provar que esse ângulo θ aumenta, é a gente mostrar que a distância d também está aumentando:

Saca só, na nossa imagem θ 2 > θ, e nesse caso também que a distância d associada ao ângulo θ  é menor do que a distância d 2 associada ao ângulo θ 2 :

d 2 > d

Ou seja, se a gente provar que depois da redistribuição de cargas as distâncias aumentaram, então também estaremos provando que o ângulo entre as cargas aumentou!!

Passo 4

Belezoca, agora que sabemos o passinho do malandro, podemos começar encontrando a distância d.

Na figura abaixo podemos ver a distância dada como:

Tal que:

d 2 = L sen ⁡ θ

Logo:

d 2 L = sen ⁡ θ

Iradoso, outra coisa que também sabemos é que a força elétrica F → e entre essas cargas, como vimos no Passo 2 é dada por:

F → E = T → x

F → E = m g tg ⁡ θ

Só que a fórmula da força elétrica é dada pela relação:

F → E = k q 1 q 2 d 2

Dessa forma:

k q 1 q 2 d 2 = m g tg ⁡ θ

Só que a maciota master de todos os tempos aqui é que estamos tratando de cargas elétricas de esferas pontuais, MUUUUITO MUITO MUITO PEQUENAS, tal que essa distância d entre elas também será muito pequena, levando o ângulo θ a ser extremamente pequeno chegando muito próximo de 0. E nessa situação, quando temos um ângulo muito muito muito próximo de 0, podemos fazer a seguinte aproximação:

tg ⁡ θ ≈ sen ⁡ θ

Isso só vale para ângulo próximos a 0, por exemplo tg ⁡ 0,5 = 0,0087268 e sen ⁡ 0,5 = 0,0087265, dessa forma nossa relação entre as forças se transforma em:

k q 1 q 2 d 2 = m g sen ⁡ θ

E vimos agorinha que d 2 L = sen ⁡ θ , logo:

k q 1 q 2 d 2 = m g d 2 L

d 3 = 2 k L q 1 q 2 m g

d = 2 k L q 1 q 2 m g 1 / 3

Passo 5

Belejóia, no primeiro momento, temos que as cargas são q 1 = 1 e q 2 = q ' , dessa forma a distância inicial é:

d = 2 k L q q ' m g 1 / 3

Já a distância d 2 vai ser dada após a redistribuição de cargas devido a conexão do fio condutor. Depois de redistribuição, as cargas serão divididas igualmente de forma que:

q 1 = q 2 = q + q ' 2

Logo d 2 é:

d 2 = 2 k L q + q ' 2 q + q ' 2 m g 1 / 3

d 2 = 2 k L q + q ' 2 2 m g 1 / 3

d 2 = 2 k L q + q ' 2 2 2 m g 1 / 3

d 2 = k L q + q ' 2 2 m g 1 / 3

E pra saber qual dessas distâncias é maior, podemos analisar a razão entre elas, isto é d 2 d , se essa razão for maior que 1, então d 2 > d. Se a distância for exatamente 1, quer dizer d 2 = d e sobretudo se a razão for menor que 1, então teremos que d 2 < d. Dito isso, fazemos que:

d 2 d = k L q + q ' 2 2 m g 1 3 2 k L q q ' m g 1 3

d 2 d = k L q + q ' 2 2 m g 2 k L q q ' m g 1 3

Se a gente cancelar os termos que se repetem em cima e embaixo, teremos que:

d 2 d = q + q ' 2 2 2 q q ' 1 3

d 2 d = q + q ' 2 4 q q ' 1 3

Agora temos que q + q ' 2 é o nosso numerador, enquanto 4 q q ' é o nosso denominador. Vamos chamar f q ,   q ' da nossa função diferença entre esses termos:

f q ,   q ' = q + q ' 2 - 4 q q '

f q ,   q ' = q 2 + 2 q q ' + q ' 2 - 4 q q '

f q ,   q ' = q 2 - 2 q q ' + q ' 2

E o legal dessa função é que se f q ,   q ' > 0 quer dizer que o numerador vai ser maior que o numerador tal que d 2 d > 1. E da mesma forma se essa função f q ,   q ' < 0 quer dizer exatamente o contrário, e nosso numerador vai ser menor que o denominador levando d 2 d < 1. E se f q ,   q ' = 0, o denominador será exatamente igual ao numerador e nossa razão será d 2 d = 1. Só que descobrimos que nossa função f q ,   q ' é uma forma quadrática, dada por:

f q ,   q ' = q 2 - 2 q q ' + q ' 2

E pra quem pensou que nunca mais ia usar álgebra na vida rsrs... Tá superamos, então para formas quadráticas, podemos verificar a existência de valores negativos, positivos ou iguais a zero decompondo em forma de matriz, desse jeito:

f q ,   q ' = a q 2 + b q q ' + c q ' 2 ⇒ q q ' a b / 2 b / 2 c q q '

Então para nossa forma quadrática f q ,   q ' = q 2 - 2 q q ' + q ' 2 temos:

f q ,   q ' = ( 1 ) q 2 + - 2 q q ' + 1 q ' 2 ⇒ q q ' 1 ( - 2 ) / 2 ( - 2 ) / 2 1 q q '

f q ,   q ' = q q ' 1 - 1 - 1 1 q q '

E se a gente calcular os autovalores dessa função, veremos que são λ 1 = 0 e λ 2 = 1

Portanto, nossa função só assume valores positivos ou iguais a zero, tal que:

f q ,   q ' ≥ 0

E por exemplo se q = q ' teremos que:

f q ,   q ' = q 2 - 2 q 2 + q 2

f q ,   q ' = 0

Ou seja, se a as cargas forem iguais, a distância vai permanecer a mesma. Mas qualquer outro caso que acontece, fará com que f q ,   q ' > 0, e portanto, a distância final será maior que a inicial.

Resposta

1. Demonstração.
2. Demonstração.

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