Durante a resolução de um problema de Matemática, o professor realizou a seguinte fatoração

Questão 3

(UEL) Três ciclistas percorrem um circuito saindo todos ao mesmo tempo, do mesmo ponto, e com o mesmo sentido. O primeiro faz o percurso em 40 s, o segundo em 36 s e o terceiro em 30 s. Com base nessas informações, depois de quanto tempo os três ciclistas se reencontrarão novamente no ponto de partida, pela primeira vez, e quantas voltas terá dado o primeiro, o segundo e o terceiro ciclistas, respectivamente?

a) 5 minutos, 10 voltas, 11 voltas e 13 voltas.

b) 6 minutos, 9 voltas, 10 voltas e 12 voltas.

c) 7 minutos, 10 voltas, 11 voltas e 12 voltas.

d) 8 minutos, 8 voltas, 9 voltas e 10 voltas.

e) 9 minutos, 9 voltas, 11 voltas e 12 voltas.

Respostas

Resposta Questão 1

Pretendemos determinar o menor prazo para que os irmãos encontrem-se. Para isso, calcularemos o mínimo múltiplo comum (MMC) dos tempos de viagem de cada um deles:

Multiplicando os números que aparecem à direita na fatoração, encontraremos o MMC de 9 e 21:

MMC (9, 21) = 3 • 3 • 7
MMC (9, 21) = 63

Logo os irmãos encontrar-se-ão daqui a 63 dias.

Resposta Questão 2

Devemos determinar a maior quantidade de grupos formada pelos alunos, de modo que todos apresentem a mesma quantidade de meninos e meninas. Façamos o cálculo do máximo divisor comum (MDC) entre o total de meninos e meninas:

Veja os números da fatoração que estão destacados. Esses são os valores que dividem o 456 e o 532. Multiplicando esses números, podemos determinar o MDC de 456 e 532:

MDC (456, 532) = 2 · 2 · 19
MDC (456, 532) = 76

Dividindo os alunos de acordo com o gênero:

Meninas
532 : 76 = 7

Meninos
456 : 76 = 6

Portanto, cada grupo é composto por sete meninas e seis meninos, totalizando 13 alunos por grupo.

Resposta Questão 3

Queremos saber o menor tempo em que os ciclistas se encontrarão. Para isso, faremos o cálculo do MMC dos tempos de cada um deles:

Multiplicando todos os números que apareceram à direita na fatoração, teremos o seguinte produto:

MMC (30, 42, 40) = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 5
MMC (30, 42, 40) = 360

Osciclistas encontrar-se-ão depois de passados 360 s, o que corresponde a 6 min, uma vez que (60 s)· 6 = 360 s. Sabendo que o primeiro ciclista faz o percurso em 40 s, o segundo, em 36 s; e o terceiro, em 30 s, vejamos em que volta cada um deles estará:

1° ciclista:
(360 s) : (40 s / volta) = 9ª volta

2° ciclista:
(360 s) : (36 s / volta) = 10ª volta

3° ciclista:
(360 s) : (30 s / volta) = 12ª volta

Portanto, a alternativa correta é a letra b.

Resposta Questão 4

Pelo enunciado do problema podemos ver que cada aluno receberá a mesma quantidade de bolas verdes e amarelas. Faremos então o cálculo do MDC entre as quantidades disponíveis de cada bola de gude:

Observe que estão destacados os números da fatoração que dividem tanto o 1260 quanto o 9072. Através do produto desses números, podemos determinar o MDC de 1260 e 9072:

MDC (1260, 9072) = 2 · 2 · 3 · 3 · 7
MDC (1260, 9072) = 252

Vamos agora dividir as quantidades de bolas de gude de cada cor por 252 para determinar quantas bolas de gude cada aluno ganhará:

Bolas Amarelas
1260 : 252 = 5

Bolas Verdes
9072 : 252 = 36

Portanto, cada aluno receberá cinco bolas amarelas e 36 bolas verdes, totalizando 41 bolas de gude. Logo, a alternativa correta é a letra d.

Respostas

Resposta Questão 1

Como estamos buscando a forma fatorada do produto, não é necessário multiplicar os polinômios, basta fatorá-los e escrever o produto entre as formas fatoradas. Observe:

A forma fatorada de x2 + 14x + 49, seguindo o método do trinômio quadrado perfeito, é:

x2 + 14x + 49 = (x + 7)2

Já a forma fatorada de x2 – 14x + 49, seguindo o mesmo método, é:

x2 – 14x + 49 = (x – 7)2

Portanto, o produto entre as formas fatoradas é:

(x + 7)2·(x – 7)2

Gabarito: Letra A.

Resposta Questão 2

Observe que existem três polinômios que podem ser fatorados nessa expressão algébrica. Para fatorá-los, utilizaremos os casos de trinômio quadrado perfeito e diferença de dois quadrados. Observe:

(x2 + 14x + 49)·( x2 – 49)
x2 – 14x + 49

(x + 7)2·(x – 7)·(x + 7)
(x – 7)2

(x + 7)·(x + 7)·(x – 7)·(x + 7)
(x – 7)·(x – 7)

Agora basta “cortar” os termos idênticos no numerador e denominador. Nessa questão, existe apenas um termo idêntico, a saber (x – 7). O resultado final será:

(x + 7)·(x + 7)·(x + 7)
x – 7

Esse resultado pode ser reescrito da seguinte maneira:

(x + 7)3
x – 7

Gabarito: Letra C.

Resposta Questão 3

No numerador, utilizaremos o método de fatoração por agrupamento, que faz uso da fatoração por fator comum em evidência repetidas vezes. Já no denominador, utilizaremos o método de fatoração do trinômio quadrado perfeito. Escrevendo a razão proposta, obteremos:

ax + 2a + 5x + 10
a2 + 10a + 25

a(x + 2) + 5(x + 2)
(a + 5)(a + 5)

(a + 5)(x + 2)
(a + 5)(a + 5)

Agora vamos dividir os termos idênticos presentes na expressão algébrica acima:

x + 2
a + 5

Gabarito: Letra E.

Resposta Questão 4

Para resolver essa questão, devemos escrever a razão entre os polinômios:

      x3 – 8y3     
x2 – 4xy + 4y2

Agora utilize o método de fatoração da diferença entre dois cubos no numerador e do trinômio quadrado perfeito no denominador.

(x – 2y)(x2 + 2xy + 4y2)
   (x – 2y)2

Escrevendo o denominador em forma de produto teremos:

(x – 2y)(x2 + 2xy + 4y2)
(x – 2y)(x – 2y)

Agora basta “cortar” os fatores idênticos que aparecem tanto no numerador quanto no denominador:

(x2 + 2xy + 4y2)
x – 2y  

Gabarito: Letra B.

Quais são os casos de fatoração que existem?

Como fazer fatoração 8 ano?

O que é o processo de fatoração?

Quais os casos de fatoração de polinômios?