Equações de 1 grau com duas incognitas

Podemos resolver equações de primeiro grau com duas incógnitas se soubermos o valor de uma variável. Caso contrário, se não soubermos o valor de uma variável, podemos concluir que a equação possui um número infinito de soluções.

A seguir, veremos um resumo do processo usado para resolver exercícios de equações de primeiro grau com duas incógnitas. Além disso, veremos vários exercícios resolvidos para dominar o processo.

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Relevante para…

Resolver exercícios de equações de primeiro grau com duas incógnitas.

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Para que uma equação seja de primeiro grau, todas as suas variáveis ​​devem ter uma potência máxima de 1. Nesse caso, as duas incógnitas devem ter uma potência de 1. Por exemplo, as equações $latex 3x+2y=5$ e $latex 3y=2x-4$ são equações de primeiro grau com duas incógnitas.

Para resolver esses tipos de equações, podemos seguir os seguintes passos:

Passo 1: Substituímos o valor conhecido de uma variável. Se não tivermos o valor de uma variável, a equação terá automaticamente soluções infinitas.

Passo 2: Simplificar: removemos os sinais de agrupamento como parênteses, removemos as frações e simplificamos os termos semelhantes.

Passo 3: Resolva para a variável. Movemos todas as variáveis ​​para um lado da equação e as constantes para o outro lado.

Passo 4: Resolvemos usando divisão ou multiplicação.

EXERCÍCIO 1

Se o valor de y for igual a 5, encontre o valor de x na equação $latex 3x-4y=10$.

Solução

Passo 1: Substituir: temos que $latex y=5$, então, substituímos:

$latex 3x-4y=10$

$latex 3x-4(5)=10$

$latex 3x-20=10$

Passo 2: Simplifique: não temos nada para simplificar:

Passo 3: Resolva para a variável: adicionamos 20 a ambos os lados:

$latex 3x-20=10$

$latex 3x-20+20=10+20$

$latex 3x=30$

Passo 4: Resolvemos: Dividimos ambos os lados por 3:

$$\frac{3x}{3}=\frac{30}{3}$$

$latex x=10$

EXERCÍCIO 2

Temos que o valor de y é igual a -3, resolva a equação $latex -3x+5y=-6$ para x.

Solução

Passo 1: Substituir: temos $latex y = -3$, então substituímos:

$latex -3x+5y=-6$

$latex -3x+5(-3)=-6$

$latex -3x-15=-6$

Passo 2: Simplifique: não temos termos semelhantes.

Passo 3: Resolva para a variável: adicionamos 15 a ambos os lados:

$latex -3x-15+15=-6+15$

$latex -3x=9$

Passo 4: Resolvemos: Dividimos ambos os lados por -3:

$$\frac{-3x}{-3}=\frac{9}{-3}$$

$latex x=-3$

EXERCÍCIO 3

Se o valor de x for igual a -2, resolva a equação $latex 4y+2(2y+3)=3x-4$ para y.

Solução

Passo 1: Substituir: temos $latex x = -2$, então substituímos:

$latex 4y+2(2y+3)=3(-2)-4$

$latex 4y+2(2y+3)=-6-4$

Passo 2: Simplificar: expandimos os parênteses e combinamos termos semelhantes:

$latex 4y+2(2y+3)=-6-4$

$latex 4y+4y+6=-10$

$latex 8y+6=-10$

Passo 3: Resolva para a variável: subtraímos 6 de ambos os lados:

$latex 8y+6-6=-10-6$

$latex 8y=-16$

Passo 4: Resolvemos: Dividimos ambos os lados por 8:

$$\frac{8y}{8}=\frac{16}{-8}$$

$latex y=-2$

EXERCÍCIO 4

Temos que o valor de x é igual a 5, resolva a equação $latex 3x+2(-4x+5)=3y+6$ para y.

Solução

Passo 1: Substituir: substituímos $latex x=5$ na equação:

$latex 3x+2(-4x+5)=3y+6$

$$3(5)+2(-4(5)+5)=3y+6$$

$latex 15+2(-20+5)=3y+6$

Passo 2: Simplificar: expandimos os parênteses e combinamos termos semelhantes:

$latex 15+2(-20+5)=3y+6$

$latex 15+2(-15)=3y+6$

$latex 15-30=3y+6$

$latex -15=3y+6$

Passo 3: Resolva para a variável: subtraímos 6 de ambos os lados:

$latex -15-6=3y+6-6$

$latex -21=3y$

Passo 4: Resolvemos: Dividimos ambos os lados por 3:

$$\frac{-21}{3}=\frac{3y}{3}$$

$latex -7=y$

EXERCÍCIO 5

Se o valor de z for igual a 5, resolva a equação $latex 4y+2z=2(3y+10)+z-11$ para y.

Solução

Passo 1: Substituir: substituímos $latex z=5$ na equação:

$$4y+2(5)=2(3y+10)+5-11$$

$$4y+10=2(3y+10)+5-11$$

Passo 2: Simplificar: expandimos os parênteses e combinamos termos semelhantes:

$latex 4y+10=6y+20+5-11$

$latex 4y+10=6y+14$

Passo 3: Resolva para a variável: subtraímos 10 e 6 e de ambos os lados:

$latex 4y+10-10=6y+14-10$

$latex 4y=6y+4$

$latex 4y-6y=6y+4-6y$

$latex -2y=4$

Passo 4: Resolvemos: Dividimos ambos os lados por -2:

$$\frac{-2y}{-2}=\frac{4}{-2}$$

$latex y=-2$

EXERCÍCIO 6

Se o valor de y for igual a -3, resolva a equação $latex \frac{y+1}{2}+2x=2(2y+6)+x+2$ para x.

Solução

Passo 1: Substituir: temos $latex y=-3$, então substituímos:

$$\frac{-3+1}{2}+2x=2(2(-3)+6)+x+2$$

$$\frac{-3+1}{2}+2x=2(-6+6)+x+2$$

Passo 2: Simplificar: combinamos termos semelhantes e simplificamos:

$$\frac{-2}{2}+2x=2(0)+x+2$$

$latex -1+2x=x+2$

Passo 3: Resolva para a variável: adicionamos 1 e subtraímos x de ambos os lados:

$latex -1+2x+1=x+2+1$

$latex 2x=x+3$

$latex 2x-x=x+3-x$

$latex x=3$

Passo 4: Resolvemos: não precisamos mais dividir:

$latex x=3$

EXERCÍCIO 7

Resolva a equação $latex 2x+2y=3x+10$ para y.

Solução

Passo 1: Substituir: neste caso não temos nenhum valor dado, então automaticamente, a equação tem um número infinito de soluções. Por exemplo, suponha que temos $latex x = 0$, então teríamos:

$latex 2x+2y=3x+10$

$latex 2(0)+2y=3(0)+10$

$latex 2y=10$

$latex y=5$

Se agora temos $latex x=1$:

$latex 2x+2y=3x+10$

$latex 2(1)+2y=3(1)+10$

$latex 2+2y=3+10$

$latex 2+2y=13$

$latex 2y=15$

$latex y=15/2$

Poderíamos continuar com valores diferentes e cada vez obteríamos resultados diferentes, portanto, por não ter um valor especificado de uma variável, a equação tem infinitas soluções.

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