Quais as etapas da análise de de nodal de um circuito elétrico de corrente alternada?

Este m�todo permite obter a corrente em cada uma das malhas de um circuito. Uma malha � um caminho fechado cuja particularidade reside no facto de n�o conter no seu interior outro caminho tamb�m fechado. Na Figura 5.14 d�o-se exemplos de caminhos fechados que constituem malhas, (a), e de caminhos que n�o constituem malhas, (b). De acordo com esta defini��o, uma malha � um caminho cuja representa��o gr�fica n�o exige a intersec��o de qualquer dos ramos do circuito.

Figura 5.14 Malhas (a) e caminhos fechados que n�o constituem malhas (b)

Como se afirmou anteriormente, o m�todo das malhas permite obter as correntes em todas as malhas de um circuito. As correntes nas malhas n�o coincidem necessariamente com as correntes nos componentes do circuito, podendo no entanto ser obtidas por adi��o ou subtrac��o daquelas. No circuito representado na Figura 5.14.a, por exemplo, verifica-se que a corrente na resist�ncia R4, no sentido indicado, � dada pela diferen�a entre as correntes nas malhas-2 -3, designadamente i4=(i2-i3).

A an�lise de um circuito com M malhas exige a obten��o e a resolu��o de M equa��es linearmente independentes. As equa��es resultam da aplica��o da Lei de Kirchhoff das tens�es �s malhas do circuito, que ap�s substitui��o das caracter�sticas tens�o-corrente dos componentes permitem obter um sistema de M equa��es a M inc�gnitas.

A aplica��o do m�todo das malhas baseia-se em quatro passos principais, a saber:

(i) determina��o do n�mero total de malhas do circuito e atribui��o de um sentido �s correntes respectivas;

(ii) aplica��o da Lei de Kirchhoff das tens�es a cada uma das malhas;

(iii) substitui��o da caracter�stica tens�o-corrente dos componentes ao longo da malha;

(iv) resolu��o do sistema de equa��es.

� semelhan�a do m�todo dos n�s, nesta sebenta optou-se por apresentar o m�todo das malhas considerando quatro tipos b�sicos de circuitos: com fontes de tens�o independentes apenas; com fontes de tens�o e de corrente independentes; com fontes independentes e de tens�o dependentes; e, finalmente, com os quatro tipos de fontes poss�veis.

5.3.1 Fontes de Tens�o Independentes

Na Figura 5.15 apresenta-se um circuito resistivo com uma fonte de tens�o independente.

Figura 5.15 M�todo dos malhas

De acordo com os preceitos introduzidos anteriormente, a an�lise deste circuito com base no m�todo das malhas segue os seguintes quatro passos:

Passo 1: o circuito possui duas malhas, M=2, e a sua resolu��o exige a obten��o de duas equa��es alg�bricas linearmente independentes. Os sentidos atribu�dos �s correntes nas malhas encontram-se indicados na pr�pria figura.

Passo 2: a aplica��o da Lei de Kirchhoff das tens�es �s malhas-1 e -2 permite obter as seguintes duas equa��es alg�bricas:

malha-1

(5.60)

malha-2

(5.61)

Passo 3: a substitui��o das caracter�sticas tens�o-corrente das resist�ncias permite rescrever as equa��es (5.60) e (5.61) na seguinte forma:

malha-1

(5.62)

malha-2

(5.63)

Em conjunto (5.62) e (5.63) definem um sistema de duas equa��es alg�bricas cuja representa��o matricial �

(5.64)

Passo 4: A resolu��o do sistema de equa��es (5.64) permite obter as seguintes express�es para as correntes nas duas malhas:

(5.65)

na primeira malha, e

(5.66)

na segunda. As correntes nos diversos componentes do circuito podem agora ser determinadas em fun��o das express�es (5.65) e (5.66). Por exemplo, as correntes nas resist�ncia R1, R2 e R3 s�o

(5.67)

(5.68)

e

(5.69)

respectivamente.

Considere-se agora o circuito representado na Figura 5.16, com tr�s fontes de tens�o independentes localizadas em outras tantas malhas. Repetindo a sequ�ncia de quatro passos do m�todo das malhas, verifica-se que:

Figura 5.16 M�todo das malhas

Passo 1: o circuito possui tr�s malhas, M=3, o que indica ser necess�ria a obten��o de tr�s equa��es alg�bricas linearmente independentes para a sua resolu��o. O sentido atribu�do �s correntes nas malhas encontram-se indicados na figura.

Passos 2 e 3: a aplica��o da Lei de Kirchhoff das tens�es �s malhas-1, -2 e -3, e ap�s substitui��o da Lei de Ohm nos termos relativos �s resist�ncias, permite obter as seguintes tr�s equa��es alg�bricas:

malha-1

(5.70)

malha-2

(5.71)

malha-3

(5.72)

Em conjunto (5.70), (5.71) e (5.72) definem um sistema de tr�s equa��es alg�bricas de representa��o matricial

(5.73)

Passo 4: a resolu��o do sistema (5.73) atrav�s da regra de Cramer permite obter as seguintes express�es para as correntes nas malha

(5.74)

(5.75)

e

(5.76)

em que D define o determinante da matriz [R], e D1, D2 eD3 definem, respectivamente, os determinantes da matriz [R] quando a primeira, a segunda e a terceira colunas s�o substitu�das, respectivamente, pelo vector das fontes de tens�o independentes, [vs]. Por exemplo, a express�o da corrente na malha-1 resulta da expans�o do cociente entre determinantes

(5.77)

Os dois exemplos considerados permitem derivar as regras de constru��o sistem�tica da rela��o matricial:

(i) as vari�veis do circuito definem um vector coluna

(5.78)

(ii) as fontes independentes agrupam-se num vector coluna

(5.79)

cujos termos s�o dados pela soma das fontes independentes ao longo das malhas respectivas

(iii) as resist�ncias agrupam-se numa matriz quadrada

(5.80)

designada por matriz de resist�ncias do circuito. Os elementos da diagonal principal da matriz (Rjj) s�o dados pelo somat�rio das resist�ncias ao longo da malha j, enquanto os restantes elementos (Rij com i� j) resultam da adi��o das resist�ncias comuns �s malhas i e j, afectada de um sinal negativo. A matriz � sim�trica sempre que os circuitos integrem apenas fontes independentes.

5.3.2 Fontes de Corrente Independentes

A presen�a de fontes de corrente num circuito tem como principal consequ�ncia a redu��o do n�mero de equa��es linearmente independentes cuja obten��o exige a aplica��o da LKT. A raz�o desta redu��o � simples: uma fonte de corrente define a corrente numa malha ou a rela��o entre as correntes em duas malhas. Por conseguinte, � comum distinguir tr�s tipos de liga��o das fontes de corrente: pertencentes a uma s� malha (Caso 1); comuns a duas malhas (Caso 2); e ligadas em paralelo com uma resist�ncia, definindo, juntas, uma fonte com resist�ncia interna (Caso 3).

Caso 1: Fontes de Corrente Independentes Pertencentes a Uma S� Malha

Considere-se na Figura 5.17 um circuito que integra no seu seio uma fonte de corrente independente, pertencente a uma s� malha.

Figura 5.17 M�todo das malhas: circuito com fonte de corrente independente (Caso 1)

A resolu��o do circuito pelo m�todo das malhas passa pela obten��o das correntes nas malhas-1 e -2, que na sec��o anterior resultavam da aplica��o da LKT. No entanto, neste caso a corrente na malha-2 � definida directamente pela pr�pria fonte de corrente independente, is, n�o constituindo, portanto, uma vari�vel do m�todo. Com efeito, para cada uma das duas malhas do circuito podem escrever-se as igualdades

malha-1

(5.81)

e

malha-2

(5.82)

esta �ltima j� resolvida. Assim, e ap�s substitui��o de (5.82) em (5.81), obt�m-se a express�o da corrente na malha-1

(5.83)

Caso 2: Fontes de Corrente Independentes Comuns a Duas Malhas

Na Figura 5.18 considera-se um circuito com uma fonte de corrente comum a duas malhas (malhas-2 e -3).

Figura 5.18 M�todo das malhas: circuito com fonte de corrente independente (Caso 2)

Esta particularidade indica existir uma rela��o entre as correntes i2 e i3, designadamente

(5.84)

As malhas-2 e 3 definem uma super-malha. O m�todo das malhas resume-se � aplica��o da LKT � malha-1 e � super-malha-2-3 (indicada a tracejado na Figura 5.18), respectivamente

(5.85)

e

(5.86)

a qual, tendo em conta (5.84), se pode escrever na forma

(5.87)

As equa��es alg�bricas (5.85) e (5.85) definem um sistema de equa��es cuja representa��o matricial �

(5.88)

Caso 3: Fontes de Corrente com Resist�ncia Interna

Considere-se agora o circuito representado na Figura 5.19.a, neste caso integrando numa das suas malhas uma fonte de corrente com uma resist�ncia em paralelo. De acordo com as regras da transforma��o de fonte, este conjunto de elementos pode ser substitu�do por uma fonte de tens�o com uma resist�ncia em s�rie, facto que reduz directamente para um o n�mero total de malhas do circuito (Figura 5.19.b).

Figura 5.19 M�todo das malhas: circuito com fonte de corrente com resist�ncia interna (Caso 3)

Por isso, a aplica��o da LKT � malha permite obter a express�o da corrente

(5.89)

Na Figura 5.20 considera-se um circuito que integra uma fonte de corrente independente ligada nas condi��es anteriormente definidas. O circuito possui tr�s malhas (M=3), mas apresenta a particularidade de as malhas-1 e -3 definirem uma super-malha (Caso-2).

Figura 5.20 Exemplo de aplica��o do m�todo das malhas

Assim, uma vez que

(5.90)

a equa��o da super-malha,

(5.91)

e a da malha-2,

(5.92)

permitem obter o sistema de duas equa��es alg�bricas

(5.93)

5.3.3 Fontes de Tens�o Dependentes

As fontes dependentes acarretam altera��es na matriz de resist�ncias. Este resultado deve-se ao facto de as fontes dependentes poderem ser expressas em fun��o das correntes nas malhas.

Considere-se o circuito representado na Figura 5.21.a, tendo uma fonte de tens�o controlada.

Figura 5.21 M�todo das malhas: circuito com de fonte de tens�o dependente

Uma das sequ�ncias poss�veis para a aplica��o do m�todo das malhas � a seguinte:

Passo 1: anulam-se as fontes dependentes (Figura 5.21.b) e analisa-se o circuito de acordo com os preceitos introduzidos nas sec��es anteriores. Obt�m-se

(5.94)

Passo 2: seguidamente introduzem-se os efeitos devidos �s fontes dependentes. Uma vez que a fonte dependente pertence apenas � malha-3, apenas esta equa��o deve ser rescrita. Assim,

que, substitu�da em (5.94), conduz a

(5.95)

Como se pode constatar em (5.95), a inclus�o da fonte dependente no circuito acarreta apenas altera��es na matriz [R], mais concretamente na linha correspondente � malha e nas colunas relativas �s vari�veis que a controlam.

5.3.4 Fontes de Corrente Dependentes

A an�lise de circuitos com fontes de corrente dependentes integra aspectos comuns �s metodologias estabelecidas anteriormente para os circuitos com fontes de corrente independentes e fontes de tens�o dependentes: cada fonte de corrente dependente reduz de uma unidade o n�mero de malhas �s quais � necess�rio aplicar a LKT, mas os seus efeitos integram apenas a matriz [R]. Tal como nas fontes independentes, temos tr�s tipos de liga��o das fontes de corrente dependentes: fontes numa s� malha (Caso 1); fontes comuns a duas malhas (Caso 2); e fontes ligadas em paralelo com uma resist�ncia (Caso 3).

Caso 1: Fontes de Corrente Dependentes Pertencentes a Uma S� Malha

Considere-se o circuito figurado em 5.22, possuindo uma fonte de corrente controlada no seio de uma das suas malhas.

Figura 5.22 M�todo das malhas: circuito com fonte de corrente dependente (Caso 1)

A inspec��o do circuito permite constatar que a corrente na malha-4 se encontra relacionada com a da malha-1, designadamente

(5.96)

n�o constituindo, portanto, uma das vari�veis do m�todo. Por conseguinte, a aplica��o da LKT �s malhas-1, -2 e -3 permite obter tr�s equa��es alg�bricas

malha-1

(5.97)

malha-2

(5.98)

malha-3

(5.99)

nas quais se substitu�ram j� as express�es relativas �s fontes dependentes. O sistema definido pelas equa��es (5.97) a (5.99) pode ent�o representar-se na forma matricial

(5.100)

Caso 2: Fontes de Corrente Dependentes Comuns a Duas Malhas

No circuito representado na Figura 5.23, as correntes nas malhas-2 e -3 encontram-se relacionadas

(5.101)

Figura 5.23 M�todo das malhas: circuito com fonte de corrente dependente (Caso 2)

Por conseguinte, a aplica��o do m�todo passa pela obten��o das equa��es alg�bricas relativas �s malhas 1, 2, 3 e 4, respectivamente

(5.102)

(5.103)

(5.104)

cuja representa��o matricial �

(5.105)

Caso 3: Fontes de Corrente com Resist�ncia Interna

O circuito representado na Figura 5.24.a possui uma fonte de corrente dependente em paralelo com uma resist�ncia. Estes dois elementos podem ser convertidos numa fonte de tens�o com resist�ncia interna, o que desde logo permite reduzir para tr�s o total de malhas do circuito (Figura 5.24.b). O circuito possui ainda uma outra fonte de corrente com resist�ncia interna, definida pelos elementos is e R1, que em princ�pio permitia eliminar da an�lise mais outra malha. No entanto, sendo que a corrente no elemento R1 coincide com a vari�vel de controlo da fonte de tens�o dependente, � aconselh�vel reduzir o n�mero de aplica��es da LKT atrav�s da super-malha-1-3.

Figura 5.24 M�todo das malhas: circuito com fonte de corrente com resist�ncia interna (Caso 3)

Como resultado destas simplifica��es, podem obter-se as duas equa��es alg�bricas do circuito, designadamente

(5.106)

a partir da super-malha 1-3, e

(5.107)

a partir da malha-2. Neste caso, a rela��o matricial caracter�stica do circuito �

(5.108)

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