Qual a temperatura final de certa quantidade de um gás ideal inicialmente a 300 K para que tanto o volume quanto a pressão dupliquem?

Exercícios Resolvidos de Primeira Lei da Termodinâmica em Gases

Enunciado

Uma certa quantidade de um gás ideal, inicialmente num estado com temperatura T 1 e volume V , sofre uma expansão adiabática livre de forma que seu volume passa a ser 2 V . Depois disso, utilizando-se de um processo adiabático reversível, o gás é levado a um estado com temperatura T 2  e volume V. Podemos afirmar que:(a) T 1 > T 2 (b) T 2 > T 1  (c) T 2 = T 1  (d) Nenhuma das respostas

Passo 1

Vamos por partes!

Primeiro, vamos diferenciar os 3 estados do gás ideal.

Estado A: T A = T 1 e V A = V

Estado B: T B é desconhecida ainda e V B = 2 V

Estado C: T C = T 2 e V C = V

Na primeira etapa, temos uma expansão adiabática livre, isso quer dizer que a variação da energia interna do gás ideal é zero, pois não há troca de calor (já que é adiabática) e o termo “livre” significa que o gás se expandiu para uma região que antes havia vácuo/nada, então gás não realiza trabalho ao se expandir, porque ele não precisa “empurrar” nada. E pela primeira lei da termodinâmica

Δ U = Δ Q - Δ W

Δ U = 0

Além disso, para um gás ideal, ainda podemos usar a relação:

Δ U = n C V Δ T

Então se não houve variação da energia interna nessa primeira etapa, quer dizer que não houve variação da temperatura. Então no final da primeira etapa, teremos uma temperatura T 1 e um volume 2 V . Logo:

T B = T 1

Passo 2

Agora, vamos para a segunda etapa, o gás começa com essas condições:   T 1 e 2 V e ocorre um processo adiabático reversível, onde o gás é levado a um estado com temperatura T 2  e volume V.

Em um processo adiabático reversível para um gás ideal, temos que a seguinte equação é válida.

T V γ - 1 = c o n s t a n t e

Ou seja,

T B V B γ - 1 = T C V C γ - 1

Vimos que V B = 2 V, T B = T 1 , T C = T 2 e V C = V, então

T 1 ( 2 V ) γ - 1 = T 2 ( V ) γ - 1

T 2 T 1 = 2 V V γ - 1

T 2 T 1 = 2 γ - 1

Mas esse expoente γ é definido da seguinte maneira:

γ = C P C V

Mas a relação entre C P  e C V é:

C P = C V + R

Ou Seja, C P > C V , com isso, γ > 1. Então 2 γ - 1   > 1

Com isso:

<defs aria-hidden="true"> <g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)" aria-hidden="true"> </g></defs> T 2 T 1 = 2 γ - 1 > 1

T 2 T 1 > 1

T 2 > T 1

Prontinho!

Resposta

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