Qual é a medida de comprimento de uma circunferência com raio de medida de comprimento de 5 cm?

O comprimento de uma circunferência é a medida da união de todos os pontos que a formam, sendo expressa em alguma unidade de comprimento como: metro, centímetro ou milímetros, por exemplo.

Um modo prático para obter este comprimento é utilizar uma fita métrica flexível ou, desfazendo a circunferência, a esticando em linha e, assim, medir seu comprimento.

Como nem sempre é possível desfazer a circunferência ou utilizar uma fita métrica, obtemos esta medida através de um cálculo, utilizando uma medida mais fácil de obter: o raio.

Cálculo do comprimento da circunferência

Para calcular o comprimento de uma circunferência, multiplicamos três valores: o número natural 2, o número

Exemplo 1
Determine o comprimento de uma circunferência que possui um diâmetro de 1,70 m. Considere

Quantos metros uma criança sentada no cavalo C1 percorrerá a mais do que uma criança no cavalo C2, em uma sessão? Use 3,0 como aproximação para π.

a) 55,5
b) 60,0
c) 175,5
d) 235,5
e) 240,0

Ver Resposta

Resposta correta: b) 60,0.

Resolução

Dados:
Raios de 3 e 4 metros para C2 e C1, respectivamente.

a) 18,84 cm
b) 12,05 cm
c) 10,16 cm
d) 9 cm
e) 3 cm

Ver Resposta

Resposta correta: a) 18,84 cm

Resolução

Objetivo: determinar o comprimento da circunferência.

Estratégia: determinar a medida do diâmetro BC e usa-la para determinar o comprimento da circunferência.

Para o cálculo do comprimento da circunferência, precisamos determinar o diâmetro ou raio. Na figura, o segmento BC é o diâmetro da circunferência e, ao mesmo tempo, a hipotenusa de do triângulo retângulo ABC.

Cálculo de BC
Usando o Teorema de Pitágoras temos,

Rafael C. Asth

Professor de Matemática, licenciado e pós-graduado em ensino da Matemática e da Física. Atua como professor desde 2006 e cria conteúdos educacionais online desde 2021.

A circunferência é uma figura geométrica plana formada pela união de pontos equidistantes, ou seja, possuem a mesma distância de um ponto fixo chamado de centro. O estudo da circunferência também está presente na geometria analítica, na qual é possível deduzir uma equação que a represente.

Embora o círculo e a circunferência sejam figuras geométricas planas com alguns elementos em comum, o que geralmente acarreta dúvidas, essas figuras apresentam diferenças importantes sobretudo no que diz respeito à dimensionalidade.

Leia também: Distância entre dois pontos – importante conceito da geometria analítica

Tópicos deste artigo

Elementos da circunferência

Observe a circunferência:

O ponto C é chamado de centro da circunferência, e observe que os pontos A e B pertencem a ela. O segmento que une os extremos da circunferência passando pelo centro é chamado de diâmetro. Na circunferência anterior, temos então que o diâmetro é o segmento AB.

Ao dividir o diâmetro ao meio, vamos obter o raio da circunferência, ou seja, o raio (r) de uma circunferência é o segmento que une o centro e a extremidade. Nesse caso, o raio é o segmento CB. Podemos estabelecer uma relação matemática entre esses dois elementos, uma vez que o diâmetro é o dobro do raio.

d = 2 · r

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• Exemplo

Determine o raio de uma circunferência que possui diâmetro medindo 40 cm.

Sabemos que o diâmetro é o dobro do raio, assim:

Comprimento da circunferência

Considere uma circunferência que possui raio medindo r. O comprimento ou perímetro da circunferência é dado pelo produto da constante pi (π) pelo dobro do raio.

Ao calcularmos o comprimento ou perímetro de uma circunferência, estamos determinando o tamanho da linha verde no desenho anterior, e, para isso, basta substituir o valor do raio na fórmula que procede a figura.

• Exemplo

Determine o comprimento da circunferência de raio 5 cm.

O raio da circunferência é igual 5 cm, logo, para determinar o comprimento da circunferência, devemos substituir esse valor na fórmula.

C = 2πr

C = 2(3,14)(5)

C = 6,24 · 5

C = 31,2 cm

Veja também: Construção de polígonos inscritos

Área da circunferência

Considere uma circunferência de raio r. Para calcular sua área, devemos multiplicar o quadrado do valor do raio por π.

Quando calculamos a área da circunferência, estamos determinando a medida da superfície, ou seja, toda região no interior da circunferência.

• Exemplo

Determine a área de uma circunferência que possui raio igual 4 cm.

Temos que o raio da circunferência é igual a 4 cm, logo, podemos substituir essa medida na fórmula da área. Veja:

A = π · r2

A = 3,14 · (4)2

A = 3,14 · 16

A = 50,24 cm2

Equação reduzida da circunferência

Sabemos que uma circunferência pode ser construída pela coleção de pontos que possuem a mesma distância de um ponto fixo chamado de origem ou centro. Assim, considere um ponto fixo no plano cartesiano O(a, b). O conjunto de pontos — representado por P(x, y) — que estão à mesma distância r desse ponto fixo formará uma circunferência de raio r.

Note que os pontos da forma P(x, y) estão todos à mesma distância do ponto O(a, b), isto é, a distância entre os pontos O e P é igual ao raio da circunferência, assim:

Na equação reduzida, note que os números a e b são as coordenadas do centro da circunferência e que r é a medida do raio.

• Exemplo

Determine as coordenadas do centro e a medida do raio da circunferência que possui equação:

a) (x – 2)2 + (y – 6)2 = 36

Comparando essa equação com a equação reduzida, temos:

(x – a)2 + (y – b)2 = r2

(x – 2)2 + (y – 6)2 = 36

Veja que a = 2, b = 6 e r2 = 36. A única equação a resolver-se é:

r2 = 36

r = 6

Portanto, a coordenada do centro é: O(2, 6) e o comprimento do raio é 6.

b) (x – 5)2 + (y + 3)2 = 121

De maneira semelhante, temos:

(x – a)2 + (y – b)2 = r2

(x – 5)2 + (y + 3)2 = 121

a = 5

– b = 3

b = –3

Enquanto o valor do raio é dado por:

r2 = 121

r = 11

c) x2 + y2 = 1

(x – a)2 + (y – b)2 = r2

x2 + y2 = 1

Observe que x2 = (x + 0)2 e y2 = (y + 0)2 . Assim temos que:

(x – a)2 + (y – b)2 = r2

(x + 0)2 + (y + 0)2 = 1

Portanto, a coordenada do centro é O(0, 0) e o raio é igual 1.

Acesse também: Como encontrar o centro de uma circunferência?

Equação geral da circunferência

Para determinar a equação geral da circunferência, devemos desenvolver a equação reduzida dela. Assim, considere uma circunferência que possui centro nas coordenadas O(a, b) e raio r.

Inicialmente, desenvolveremos os termos elevados ao quadrado utilizando-nos dos produtos notáveis; em seguida, passaremos todos os números para o primeiro membro; e, por fim, juntaremos os termos com coeficiente literal igual, isto é, os que possuem letras iguais. Veja:

• Exemplo

Determine as coordenas do centro e a media do raio da circunferência que possui equação:

a) x2 + y2 – 4x – 6y + 4 + 9 – 49 = 0

Para determinar o raio e as coordenadas da circunferência que possui essa equação, devemos compará-la com a equação geral. Veja:

x2 + y2 – 2ax – 2by + a2 + b2 – r2 = 0

x2 + y2 – 4x – 6y + 4 + 9 – 49 = 0

Das comparações em verde, temos que:

2a = 4

a = 2

ou

a2 = 4

a = 2

Das comparações em vermelho, temos que:

2b = 6

b = 3

ou

b2 = 9

b =3

Assim, podemos afirmar que o centro possui coordenada O(2 , 3). Agora, comparando o valor de r, temos:

r2 = 49

r = 7

Portanto, o raio da circunferência tem comprimento igual a 7.

b) x2 + y2 – 10x + 14y + 10 = 0

De maneira semelhante, vamos comparar as equações:

x2 + y2 – 2ax – 2by + a2 + b2 – r2 = 0

x2 + y2 – 10x + 14y + 10 = 0

2a = 10

a = 5

Determinando o valor de b:

–2b = 14

b = – 7

Observe agora que:

a2 + b2 – r2 = 10

Como sabemos os valores de a e b, podemos substituí-los na fórmula. Veja:

a2 + b2 – r2 = 10

52 + (–7)2 – r2 = 10

25 + 49 – r2 = 10

74 – r2 = 10

– r2 = 10 – 74

(–1) – r2 = –64 (–1)

r2 = 64

r = 8

Portanto, as coordenadas do centro são O (5, –7) e o raio tem comprimento igual a 8.

Diferenças entre circunferência e círculo

A diferença entre uma circunferência e um círculo diz respeito ao número de dimensões de cada elemento. Enquanto a circunferência possui uma dimensão, o círculo possui duas.

A circunferência é uma região no plano formada por pontos todos equidistantes de um ponto fixo chamado de origem. O círculo é constituído por toda região no interior da circunferência. Veja em imagens a diferença:

Veja também: Comprimento da circunferência e área do círculo

Exercícios resolvidos

Questão 1 – Uma circunferência possui perímetro igual a 628 cm. Determine o diâmetro dessa circunferência (adote π = 3,14).

Resolução

Como o perímetro é igual a 628 cm, podemos substituir esse valor na expressão de comprimento da circunferência.

Questão 2 – Duas circunferências são concêntricas se elas possuem o mesmo centro. Sabendo disso, determine a área da figura em branco.

Resolução

Veja que, para determinar a área da região em branco, devemos determinar a área do círculo maior e, em seguida, a do círculo menor em azul. Veja também que se retirarmos o círculo azul sobra somente a região que desejamos, portanto, devemos subtrair essas áreas. Veja:

Qual é o comprimento de uma circunferência de raio igual a 5 cm?

Qual é o comprimento de uma circunferência com raio de 3 5?

Como fazer um raio de 5 cm?

Qual é a área de um círculo de raio 5 cm?