Qual é a relação entre a receita total o lucro é o custo total de uma empresa?

Função Custo

A  função custo  está relacionada aos gastos efetuados para,
produção,  ou aquisição,  de alguma mercadoria ou produto.

Alguns exemplos de gastos:
aluguel,  transporte,  salário,  matéria prima,  impostos,  etc.

O custo possui duas partes:  custo fixo e custo variável.

Custo fixo  "CF"
Não depende da quantidade produzida.

Custo variável  "CV(x)"
Depende diretamente da quantidade produzida.

Pode-se representar a função custo pela expressão:
C(x)  =  CF  +  CV(x)

Custo médio

O  custo médio  "CM(x)"  é o quociente entre:
o custo total  "C(x)"  e a quantidade  "x"  produzida.

Ele representa o custo de cada unidade produzida.

O custo médio é dado por:
CM(x)  =  C(x) / x  =  

Função Receita

A  função receita  se relaciona com o faturamento bruto que,
é arrecadado na venda de determinado produto.

A receita é dada por:
R(x)  =  p  ⋅  x

Onde:
"p"  é o preço do produto,  e,
"x"  é o número de unidades vendidas.

Função Lucro

A  função lucro  se relaciona com o lucro líquido das empresas,
e é dada pela diferença entre a função receita e a função custo.
L(x)  =  R(x)  –  C(x)

Exemplo:
O custo para produção de uma determinada mercadoria tem,
um custo fixo mensal de  R$ 1440,00  que inclui:
conta de energia,  conta de água,  salários e impostos.
E um custo de  R$ 50,00  por peça produzida.
Sendo  R$ 140,00  o preço de venda da unidade do produto.
Escreva as funções:  custo,  receita,  e,  lucro.

"x"  é o número de peças produzidas.
Função Custo total mensal:
C(x)  =  CF  +  CV(x)
C(x)  =  1440  +  50 x

Função Receita total mensal:
R(x)  =  140 x

Função Lucro total mensal:
L(x)  =  140 x  –  (1440  +  50 x)
L(x)  =  140 x  –  1440  –  50 x
L(x)  =  90 x  –  1440

Função Demanda

A função que associa um preço  "p"  à procura de mercado,
em um período determinado é dita  função demanda.
Ela está relacionada ao ponto de vista do consumidor.

Pode ser representada por  D(p).
Sabe-se que quando o preço aumenta,  a procura diminui,
e vice-versa.

A função demanda é uma função decrescente.

Função Oferta

A  função oferta  relaciona o preço  "p",  e, 
a quantidade ofertada,  do ponto de vista do produtor.

Pode ser representada por  O(p).

A função oferta,  ao contrário da função demanada,
é uma função crescente.

Ponto de equilíbrio

O ponto de  equilíbrio  é o preço  "p"  que torna,
a quantidade demadada igual a ofertada de um bem.

Funções Marginais

A  função marginal  de uma função  f(x)  é:
a derivada da função  f(x),  ou seja,  f ′(x).

Assim, tem-se que:
a função custo marginal é a derivada da função custo,
a função receita marginal é a derivada da função receita,
a função lucro marginal é a derivada da função lucro.

O conceito de função marginal avalia o efeito causado em  f(x)  por uma pequena variação de x.

Função Custo Marginal

A função  custo marginal  é a variação do custo total,
decorrente da variação na quantidade produzida,  em,
uma unidade.
Cmg(x)  =  C(x  +  1)  –  C(x)  ≅  C′(x).

Exemplo:
O custo de fabricação de  "x"  unidades de um produto é:
C(x)  =  x2  +  5 x  +  10,  em reais.
Atualmente o nível de produção é de  20  unidades.
Calcule,  aproximadamente,  de quanto varia o custo,
se forem produzidas  21  unidades.

C(20)  =  202  +  5  ⋅  20  +  10
C(20)  =  400  +  100  +  10
C(20)  =  510

C(21)  =  212  +  5  ⋅  21  +  10
C(21)  =  441  +  105  +  10
C(21)  =  556

Cmg(x)  =  C(21)  –  C(20)
Cmg(x)  =  556  –  510  =  46

É mais prático encontrar a derivada,  da qual,
se pode obter um valor aproximado.
C(x)  =  x2  +  5 x  +  10
C′(x)  =  2 x  +  5

C′(20)  =  2  ⋅  20  +  5
C′(20)  =  40  +  5
C′(20)  =  45
Portanto,  o custo marginal para a produção de,
20 unidades é de aproximadamente R$ 45,00.

Função Receita Marginal

A função  receita marginal  é a variação do custo total,
decorrente da variação na quantidade vendida,  em,
uma unidade.
Rmg(x)  ≅  R′(x)

Exemplo:
Seja  R(x)  =  x2  +  200 x  +  20  a receita total da venda,
de  "x"  unidades de um produto.
Calcule a receita marginal para  x  =  20.

R′(x)  =  2 x  +  200
R′(20)  =  2  ⋅  20  +  200
R′(20)  =  240
Portanto,  a receita marginal para a produção de,
20 unidades é de aproximadamente R$ 240,00.

Exercícios Resolvidos

R01 — O custo total de fabricação de um produto,
é composto por um custo fixo de  R$ 2 000,00  e, 
um custo variável de R$ 40,00 por unidade produzida.
Expresse o custo total  C(x)  em função de  "x"  unidades,
e obtenha o custo para a fabricação de 200 unidades.

O custo total é dado por:
C(x)  =  2000  +  40 x

O custo para fabricar  200  unidades:
C(200)  =  2000  +  40  ⋅  200
C(200)  =  2000  +  8000
C(200)  =  10000

Assim: 
para fabricar 200 unidades serão gastos  R$ 10 000,00.

R02 — O custo total de fabricação de um produto,
é composto por um custo fixo de  R$ 4 580,00  e,
um custo variável de  R$ 80,00  por unidade produzida.
a)  Expresse  C(x)  em função de "x" de unidades produzidas.
b)  Que nível de produção gera um custo de  R$ 9 060,00?

a) C(x)  =  4580  +  80 x

b)  Como já se sabe o custo total,  tem-se:
9060  =  4580  +  80 x
9060  –  4580  =  80 x
4480  =  80 x

Tendo um custo de R$ 9 060,00 são produzidas 56 unidades.

R03 — Um fabricante produz fitas de vídeo virgem,
a um custo de  R$ 2,00  a unidade.
As fitas vêm sendo vendidas a  R$ 5,00  a unidade,
por esse preço são vendidas  4000  fitas por mês.
O fabricante pretende aumentar o preço da fita,  e,
calcula que para cada  R$ 1,00  de aumento no preço,
menos  400  fitas serão vendidas por mês.
a)  Expresse o lucro mensal do fabricante,
em função do preço de venda.
b)  Para que preço o lucro é maximo?

a)  Seja  "x"  o valor do aumento.
Aumentando  R$ 1,00;  o preço será de  R$ 6,00 (5  +  1)  e,
o número de fitas vendidas será:
4000  –  400  =  3600
Aumentando  R$ 2,00;  o preço será de  R$ 7,00 (5  +  2)  e,
o número de fitas vendidas será de:
4000  –  800  =  3200  (800  =  400  ⋅  2)
Aumentando  R$ 3,00;  o preço será de  R$ 8,00 (5  +  3)  e,
o número de fitas vendidas será de:
4000  –  1200  =  2800 (1200  =  400  ⋅  3)

Assim,  aumentando  "x"  reais,  o preço será de  "5  +  x"  e,
o número de fitas vendidas será de:
4000  –  400  ⋅  x

Assim,  o custo que é o produto do:
número de peças vendidas pelo valor de custo unitário,  é:
C(x)  =  (4000  –  400 x)  ⋅  2
C(x)  =  8000  –  800 x

A receita,  que é o produto do:
número de peças vendidas pelo preço de venda,  é:
R(x)  =  (4000  –  400 x)  ⋅  (5  +  x)
R(x)  =  20000  +  4000 x  –  2000 x  –  400 x2
R(x)  =  20000  +  2000 x  –  400 x2

O lucro,  que é a diferença entre a receita e o custo,  é:
L(x)  =  20000  +  2000 x  –  400 x2  –  (8000  –  800 x)
L(x)  =  20000  +  2000 x  –  400 x2  –  8000  +  800 x
L(x)  =  – 400 x2  +  2800 x  +  12000

b)  A função tem ponto de máximo em seu vértice,  onde:
o lucro máximo é o vértice de  y,  e,
o valor cujo lucro é máximo é o vértice de  x.
xV  =  –

Portanto,  deve-se vender a  R$ 8,50  (5,00  +  3,50).

R04 — O valor  V  (em  R$),  de um equipamento sofre,
uma depreciação linear com o tempo  (em  "x"  em anos),
de acordo com o gráfico abaixo:
a)  Qual o valor do equipamento daqui a  3  anos?
b)  Qual a depreciação total daqui a  3  anos?
c)  Daqui a quanto tempo o valor do equipamento será zero?

Observando o gráfico nota-se que é uma função linear e que:
V(0)  =  500 e  V(9)  =  200

Assim:
V(x)  =  a x  +  b
V(0)  =  a  ⋅  0  +  b
500  =  0  +  b
500  =  b
Assim:
V(x)  =  a x  +  500

V(9)  =  a  ⋅  9  +  500
200  =  a  ⋅  9  +  500
200  –  500  =  9  ⋅  a
– 300  =  9 a
–

como,  V(x)  =  a  ⋅  x  +  500,  então:
V(x)  =  –

a)  O valor do equipamento daqui a três anos se obtem,
substituindo o  "x"  por  3.
V(3)  =  –

b)  A depreciação daqui a  3 anos se obtem pela diferença:
V(inicial)  –  V(final).
V(0)  –  V(3)
V(0)  –  V(3)  =  500  –  400
V(0)  –  V(3)  =  100
A depreciação total daqui a três anos será de  R$ 100,00.

c)  Como,  V(x)  =  a  ⋅  x  +  500,  então:
0  =  –

Daqui a  15  anos o valor do equipamento será zero.

R05 — Um produtor pode fabricar fogões de cozinha ao custo de: 
R$ 140 cada. Os números de venda indicam que,  se os fogões,
forem vendidos a  "x"  reais cada,  aproximadamente: 
(850  –  x)  serão vendidos por mês.
a)  Expresse o lucro mensal do produtor,
em função do preço de venda  "x".
b)  Qual o preço ótimo de venda,  ou seja,
o preço para o qual o lucro é máximo?
c)  Qual é o lucro máximo?

O custo total para se fabricar  "850  –  x"  fogões,
ao custo unitário de  R$ 140,00,  é:
C(x)  =  140  ⋅  (850  –  x)
C(x)  =  119000  –  140 x

A receita total na venda de  "850  –  x"  fogões com,
preço de venda unitário a  "x"  reais,  é:
R(x)  =  x  ⋅  (850  –  x)
R(x)  =  850 x  –  x2

a)  O lucro,  que é a diferença entre a receita e o custo,  é:
L(x)  =  850 x  –  x2  –  (119000  –  140 x)
L(x)  =  850 x  –  x2  –  119000  +  140 x
L(x)  =  – x2  +  990 x  –  119000

b)  O preço para o qual o lucro é máximo é igual,
ao vértice de  "x"  da função,  mas também é o valor,
para o qual a derivada é nula.

Pelo vértice de  x,  tem-se:
xV  =  –

Pela derivada,  tem-se:
L(x)  =  – x2  +  990 x  –  119000
L′(x)  =  – 2 x  +  990
0 =  – 2 x  +  990
2 x  =  990
x  =  

Assim,  o preço ótimo de venda é de  R$ 495,00.

c)  O lucro máximo é obtido pelo vértice de  "y"  da função,  ou,
substituindo o vértice de  "x"  na função.
L(x)  =  – x2  +  990 x  –  119000
L(495)  =  – 4952  +  990  ⋅  495  –  119000
L(495)  =  – 245025  +  490050  –  119000
L(495)  =  490050  –  364025
L(495)  =  126025

Assim,  o lucro máximo é de  R$ 126 025,00.

R06 — Um grupo de estudantes constrói,  durante um verão,
caiaques em uma garagem adaptada.
O aluguel da garagem é de  R$ 1 500,00  para o verão inteiro,  e,
o material necessário para construir um caiaque custa  R$ 125,00.
Sabendo que os caiaques são vendidos por  R$ 275,00 cada.
a)  Escreva as equações da receita e do custo em função do,
número  "x"  de caiaques produzidos.
b)  Encontre a equação do lucro  (em função de x).
c)  Quantos caiaques precisam vender para não ter prejuízo?

a)  Custo total para  "x"  caiaques produzidos ao preço unitário de: 
R$ 125,00 com custo fixo de  R$ 1 500,00  é dado por:
C(x)  =  125 x  +  1500

A receita total com a venda de  "x"  caiaques ao preço de venda de:
R$ 275,00,  é dada por:
R(x)  =  275 x

b)  Dessa forma o lucro será de:
L(x)  =  275 x  –  (125 x  +  1500)
L(x)  =  275 x  –  125 x  –  1500
L(x)  =  150 x  –  1500

c)  Para não ter prejuízo,  o lucro mínimo é zero,  assim:
L(x)  =  150 x  –  1500
0  =  150 x  –  1500
150 x  =  1500
x  =  

Assim,  para não se ter prejuízo é necessário vender,  pelo menos,
10  caiaques,  isto é,  10,  ou mais,  caiaques.

R07 — As funções de oferta e demanda para um certo produto são: 
O(p)  =  3 p  +  240 e D(p)  =  – 2 p  +  480,  respectivamente.
Determine:
a)  o preço de equilíbrio,  em reais.
b)  o número correspondente de unidades vendidas.
c)  desenhe as curvas de oferta e demanda no mesmo gráfico.

a)  O preço de equilíbrio ocorre quando a oferta é igual a demanda.
O(p)  =  D(p)
3 p  +  240  =  – 2 p  +  480
3 p  +  2 p  =  480  –  240
5 p  =  240
p  =  

b)  Para se obter o número correspondente de unidades vendidas,
tanto faz usar a função oferta como a função demanda.
O(p)  =  3 p  +  240
O(48)  =  3  ⋅  48  +  240
O(48)  =  144  +  240
O(48)  =  384

D(p)  =  – 2 p  +  480
D(48)  =  – 2  ⋅  48  +  480
D(48)  =  – 96  +  480
D(48)  =  384

Assim:
no ponto de equilíbrio são vendidas  384  unidades do produto.

c)  O gráfico das funções em um mesmo plano:

R08 — Um buffet estima que se tem  "x"  clientes em uma semana,
então as despesas serão de  C(x)  =  550 x  +  6 500  dólares,  e,
o faturamento será,  aproximadamente,  R(x)  =  1200 x  dólares.
a)  Expresse o lucro semanal em função do número  "x"  de clientes.
b)  Determine o lucro que a empresa obterá,  em uma semana,
quando tiver  24  clientes.

a)  L(x)  =  R(x)  –  C(x)
L(x)  =  1200 x  –  (550 x  +  6500)
L(x)  =  1200 x  –  550 x  –  6500
L(x)  =  650 x  –  6500

b)  L(x)  =  650 x  –  6500
L(24)  =  650  ⋅  24  –  6500
L(24)  =  15600  –  6500
L(24)  =  9100

O lucro da empresa para  24  clientes é de  9 100,00  dólares.

R09 — Um produtor pode fazer estantes ao custo de  20  dólares cada.
Os números de venda indicam que se,  as estantes,  forem vendidas a,
"x"  dólares cada,  aproximadamente  120  –  x  serão vendidas por mês.
a)  Encontre as funções custo total,  C(x),  e,
receita,  R(x)  em função do preço de venda  "x".
b)  Expresse o lucro mensal do produtor em função do preço de venda.
c)  Qual é o lucro do produtor se o preço de venda for de  110  dólares?
d)  Qual o preço de venda que gera um lucro de  4 560  dólares?

a)  O custo total para fabricar  120  –  x  estantes à  20 doláres cada:
C(x)  =  20  ⋅  (120  –  x)
C(x)  =  240  –  20 x

A receita total na venda de  120  –  x  estantes ao preço de venda de,
"x"  dólares cada,  é de:
R(x)  =  x  ⋅  (120  –  x)
R(x)  =  120 x  –  x2

b)  O lucro,  que é a diferença entre a receita e o custo,  é:
L(x)  =  120 x  –  x2  –  (240  –  20 x)
L(x)  =  120 x  –  x2  –  240  +  20 x
L(x)  =  – x2  +  140 x  –  240

c)  O lucro para o preço de venda ser de  110  dólares.
L(x)  =  – x2  +  140 x  –  240
L(110)  =  – 1102  +  140  ⋅  110  –  240
L(110)  =  – 12100  +  15400 – 240
L(110)  =  15400  –  12340
L(110)  =  3060

Assim,  o lucro será de  3 060,00  doláres.

d)  O preço de venda para o lucro de  4 560  dólares,  é:
L(x)  =  – x2  +  140 x  –  240
4560  =  – x2  +  140 x  –  240
4560  +  x2  –  140 x  +  240  =  0
x2  –  140 x  +  4800  =  0

∆  =  (– 140)2  –  4  ⋅  1  ⋅  4800
∆  =  19600  –  19200
∆  =  400

x  =  

x′′  =  

Assim,  vendendo à  60  ou  80  doláres o lucro é  4 560  dólares.

R10 — O custo total de fabricação de um produto é composto por:
um custo fixo de  R$ 2 460,00  e um custo variável de  R$ 52,40,
por unidade produzida.
a)  Expresse o custo total  C(x)  em função de  "x"  unidades produzidas.
b)  Encontre o custo adicional se o nível de produção for elevado de:
32  para  44  unidades.
c)  Qual o nível de produção que gera um custo de  R$ 8 957,60?
d)  Qual o custo médio quando o nível de produção é  80  unidades?

a)  O custo total para  "x"  unidades produzidas é:
C(x)  =  52,4 x  +  2460

b)  O custo para elevar de  32  para  44 unidades é a diferença entre:
C(44)  e  C(32)
C(32)  =  52,4  ⋅  32  +  2460
C(32)  =  1676,8  +  2460
C(32)  =  4136,8

C(44)  =  52,4  ⋅  44  +  2460
C(44)  =  2305,6  +  2460
C(44)  =  4765,6

C(44)  –  C(32)  =  4765,6  –  4136,8
C(44)  –  C(32)  =  628,8

O custo adicional para elevar de  32  para  44  unidades é  R$ 628,80.

c)  Se o custo for de  R$ 8 957,60,  tem-se:
8957,6  =  52,4 x  +  2460
8957,6  –  2460  =  52,4 x
6497,6  =  52,4 x

Para o custo ser  R$ 8 957,60  é necessário produzir  124  unidades.

d)  O custo médio para  80  unidaes produzidas.
CM(x)  =  

C(x)  =  52,4 x  +  2460
C(80)  =  52,4  ⋅  80  +  2460
C(80)  =  4192  +  2460
C(80)  =  6652

CM(80)  =  

O custo médio para se produzir  80  unidades é de  R$ 83,15.

R11 — Se  C(x)  for o custo total da fabricação de  "x"  pesos de papel,
onde  C(x)  =  200  +  50/x  +  x2/5,  obtenha:
a)  a função custo marginal;
b)  o custo marginal quando  x  =  10;
c)  o custo real da fabricação do  11º  peso de papel.

R12 — Se  R(x)  for o rendimento total recebido na venda de, 
"x"  aparelhos de televisão,  onde:
R(x)  =  600 x  –  (1/20) x3,  obtenha:
a) a função receita marginal;
b) a receita marginal quando  x  =  20;
c) a receita real da venda da  21ª  televisão.

a)  A função receita marginal é a derivada da função receita.
R(x)  =  600 x  –  

b)  A receita marginal para x = 20.
R′(x)  =  600  –  

A receita marginal quando  x  =  20  é  de  $ 540,00.

c)  A receita real para a venda da  21ª  televisão.
R(x)  =  600 x  –  

A receita real para a venda da  21ª  televisão é  $ 12 136,95.

Exercícios Propostos

P01 — O custo total de fabricação de um produto é composto por:
um custo fixo de  R$ 2000,00  e um custo variável de  R$ 80,00,
por unidade produzida.
a)  Expresse o custo total  C(x)  em função do número  "x",
de unidades produzidas.
b)  Qual o custo para produzir  100  unidades?

P02 — Uma fábrica de bicicletas possui um custo fixo de R$ 5000,00,
mais um custo variável de  R$ 100,00  por bicicleta produzida.
O preço de venda de cada bicicleta é igual a  R$ 150,00.
Determine a função lucro e o número de bicicletas a serem vendidas,
para que o lucro seja igual a  R$ 20 000,00.

P03 — Um fabricante vende um certo produto por  R$ 80,00 a unidade.
O custo total é composto por um custo fixo de  R$ 4 500,00,  e,
um custo de produção de  R$ 50,00  por unidade.
Quantas unidades o fabricante precisa vender para não ter prejuízo?

P04 — Para produzir um objeto,  uma firma gasta R$ 1,50 por unidade.
Além disso,  há uma despesa fixa de  R$ 6 000,00,
independente da quantidade produzida.
O preço da venda é de  R$ 3,50  por unidade.
Qual é o número mínimo de unidades,  a partir do qual,
a firma começa a ter lucro superior a  R$ 5 000,00?

P05 — Para produzir um objeto,  uma firma gasta  R$ 1,20  por unidade,
e há uma despesa fixa de  R$ 4 000,00.
O preço da venda é de  R$ 2,00  por unidade.
a)  Qual o lucro para produzir  500  objetos?
b)  Qual mínimo de unidades para que a firma comece a ter lucro?

P06 — O lucro de um fabricante de um certo produto em função,
do preço de venda  "x"  é dado pela função:
L(x)  =  – 400 x2  +  6800 x  –  12000.
a)  Para que preço de venda o lucro é máximo?
b)  Qual é o lucro máximo?

P07 — O lucro de uma loja obedece a função:
L(x)  =  0,25 x  –  120  dólares na venda  "x"  unidades.
a)  Qual o nível de vendas que irá gerar um lucro de  40  dólares?
b)  Quantas unidades devem ser vendidas para elevar,
o lucro de  60  para  80  dólares?

P08 — O lucro de uma loja obedece a função:
L(x) = 0,25 x – 120 dólares na venda x unidades.
Qual o nível de vendas que irá gerar um lucro,
superior a 60 e inferior a 90 dólares?

P09 — As funções oferta e demanda para certo produto são: 
O(p)  =  6 p  +  74 e D(p)  =  – 2 p  +  234, respectivamente.
Onde  p  é o preço de mercado do produto.
a)  Determine o preço de equilíbrio.
b)  Qual o número de unidades vendidas no ponto de equilíbrio?

P10 — Um equipamento de informática é comprado por  R$ 14000,00.
Após  10  anos seu valor estimado é de  R$ 2500,00.
Admitindo depreciação linear:
a)  Qual a equação do valor daqui a  x  anos?
b)  Qual a depreciação total daqui a  4  anos?

P11 — As funções de oferta e demanda de um certo produto em função,
do preço de venda  p  são, respectivamente,
O(p)  =  3,5 p  –  480  e  D(p)  =  – 1,5 p  +  340.
Encontre o preço de equilíbrio e a quantidade de unidades vendidas.

P12 — Um equipamento sofre depreciação exponencial de tal forma que:
seu valor daqui a  "t"  anos é dado por  V(t)  =  6500  ⋅  (1/3)t.
a)  Qual o seu valor hoje?
b)  Qual o seu valor daqui a  3  anos?

P13 — Suponha que um fabricante de brinquedos tem um custo fixo de:
R$ 3540,00  o qual tem que ser pago,  independente da quantidade,
de brinquedos produzidos.
Somado ao custo fixo,  existem custos variáveis de  R$ 2,50  por brinquedo.
a)  Qual a equação do custo para a produção de  "x"  brinquedos.
b)  Encontre o custo para se produzir  2642  brinquedos.

P14 — Como os avanços na tecnologia resultam na produção,
de calculadoras cada vez mais potentes e compactas.
O preço das calculadoras atualmente no mercado diminui.
Suponha que  "x"  meses a partir de agora,  o preço de um certo modelo seja:
P(x)  =  56  +  40 / (x + 1)
a)  Qual será o preço daqui a  4  meses?
b)  Quando o preço será de  R$ 60,00?

P15 — Determine o preço de equilíbrio e o número correspondente de,
unidades postas à venda e compradas se a função de oferta de certo produto é:
S(x)  =  x2  +  3 x  –  70  e a função de demanda  D(x)  =  410  –  x.

P16 — Uma companhia de TV a CABO estima que com  "x"  milhares de assinaturas,
o faturamento e o custo mensais são:
R(x)  =  32 x  –  0,2 x2 e  C(x)  =  200  +  12 x.
a)  Encontre a receita,  o custo e o lucro para  x = 4,5.
b)  Encontre a equação do lucro para x milhares de assinaturas.

P17 — A receita e o custo de uma empresa que produz  "x"  unidades de,
determinado bem são dados,  respectivamente,  pelas equações:
R(x)  =  6000 x  –  x2 e C(x)  =  x2  –  2000 x  +  6400.
Nessas condições:
a)  Determine o nível de produção para que o lucro seja máximo.
b)  Ache o lucro máximo correspondente a este nível.

P18 — Em uma fábrica,  o custo de produção de  "n"  unidades de,
uma mercadoria é  C(n)  =  n2  +  n  +  900  reais.
Num dia típico são fabricadas:
n(t)  =  25 t  unidades durante  "t"  horas de trabalho.
a)  Expresse o custo de produção em função de  t.
b)  Quanto tempo é necessário para que o custo chegue a  R$ 11000,00.

P19 — Um fabricante pode produzir gravadores por,
um custo de  R$ 40,00  a unidade.
Estima-se que se os gravadores forem vendidos a  "x"  reais a unidade,
os consumidores comprarão  10  –  x  gravadores por mês.
Expresse o lucro mensal do fabricante em função do preço,
faça um esboço gráfico da função para estimar o preço ótimo de venda.

P20 — Uma sorveteria que vende sorvetes de iogurte obtém um lucro:
L(x)  =  0,25 x  –  80  dólares quando vende x taças de iogurte por dia.
a)  Qual o nível de vendas que irá gerar um lucro de  32  dólares?
b)  Quantas taças de sorvetes devem ser vendidas para elevar,
o lucro de  32  para  36  dólares?
c)  Faça o esboço do gráfico da função lucro.

P21 — Suponha que o custo total para fabricar  "q"  unidades de,
um certo produto seja:
C(q)  =  4 q2  –  48 q  +  520.
Em que nível de produção o custo unitário é mínimo? 
Qual o custo mínimo?

P22 — Um fabricante pode produzir calçados ao custo de  R$ 20,00  o par.
Estima-se que,  se cada par for vendido por x reais,
o fabricante venderá por mês  80  –  x  pares de sapatos.
Assim,  o lucro mensal do fabricante é uma função do preço de venda.
Qual deve ser o preço de venda,  de modo que o lucro mensal seja máximo?

P23 — A função  L(x)  =  – 2 x2  +  48 x  –  240  representa,  o lucro,
de uma empresa quando são produzidas  x  unidades de uma mercadoria.
Qual a taxa de variação (instantânea) na produção de  9  unidades?

P24 — Considere a função custo  C(x)  =  0,01 x3  –  0,5 x2  +  300 x  +  100.
Determinar o custo marginal para  x  =  10.

P25 — Dada a função receita  R(x)  =  – 2 x2  +  1000 x,
determine a receita marginal para  x  =  50.

P26 — Suponha que o custo total para fabricar  x  unidades de um produto seja:
C(x)  =  100  +  10 x  +  (1/100) x2,  obtenha:
a)  o custo médio para a fabricação de  40  unidades.
b)  o custo marginal para a fabricação de  40  unidades.

P27 — Suponha que a receita total na venda de  x  unidades de um produto seja:
R(x)  =  – 2 x2  +  1000 x.  Calcule:
a)  a receita média na venda de  40  unidades.
b)  a receita marginal na venda de  40  unidades.

Qual a relação entre receita total lucro é custo total?

O que é receita lucro é custo?

O que é receita é o que é custo?

Qual a relação entre o custo total é o custo variável?