Qual é o termo geral de uma progressão geométrica?

Progressão Geométrica é uma sequência numérica em que cada termo, a partir do segundo, é resultado da multiplicação do termo anterior por uma constante q, denominada como razão da PG.

Exemplo de Progressão Geométrica

A sequência numérica (5, 25, 125, 625...) é uma PG crescente, onde q=5. Ou seja, cada termo dessa PG, multiplicado pela sua razão (q=5), resulta no termo seguinte.

Fórmula para encontrar a razão (q) de uma PG

Dentro da PG Crescente (2, 6, 18, 54...) existe uma razão (q) constante ainda desconhecida. Para descobri-la, deve-se considerar os termos da PG, onde: (2=a1, 6=a2, 18=a3, 54=a4,...an), aplicando-os na seguinte fórmula:

q= a2/a1

Assim, para descobrir a razão dessa PG, a fórmula será desenvolvida da seguinte maneira: q= a2/a3 = 6/2 = 3.

A razão (q) da PG acima é 3.

Como a razão de uma PG é constante, ou seja, comum para todos os termos, podemos trabalhar a sua fórmula com termos diferentes, mas sempre dividindo-o pelo seu antecessor. Lembrando que a razão de uma PG pode ser qualquer número racional, excluindo o zero (0).

Exemplo: q=a4/a3, que dentro da PG acima também encontra-se como resultado q=3.

Fórmula para encontrar o Termo Geral da PG

Existe uma fórmula base para encontrar qualquer termo de uma PG. No caso da PG (2, 6, 18, 54, an...), por exemplo, onde an que pode ser nomeado como quinto ou enésimo termo, ou a5, ainda é desconhecido. Para encontrar esse ou outro termo, utiliza-se a fórmula geral:

an=am (q)n-m

Exemplo prático - Fórmula do termo geral da PG desenvolvida

Sabe-se que:

an é qualquer termo desconhecido a ser encontrado;

amé o primeiro termo da PG (ou qualquer outro, caso o primeiro termo não exista);

q é a razão da PG;

Portanto, na PG (2, 6, 18, 54, an...) onde procura-se o quinto termo (a5), a fórmula será desenvolvida na seguinte maneira:

an=am (q)n-m

a5=a1 (q)5-1

a5=2 (3)4

a5=2.81

a5= 162

Assim, descobre-se que o quinto termo (a5) da PG (2, 6, 18, 54, an...) é = 162.

Vale lembrar que é importante descobrir a razão de uma PG para encontrar um termo desconhecido. No caso da PG acima, por exemplo, a razão já era conhecida como 3.

As Classificações da Progressão Geométrica

Progressão Geométrica Crescente

Para uma PG ser considerada crescente, a sua razão sempre será positiva e seus termos crescentes, ou seja, aumentam dentro da sequência numérica.

Exemplo: (1, 4, 16, 64...), onde q=4

Na PG crescente com termos positivos, q > 1 e com os termos negativos 0 < q < 1.

Progressão Geométrica Decrescente

Para uma PG ser considerada decrescente, a sua razão sempre será positiva e diferente de zero e os seus termos decrescem dentro da sequência numérica, ou seja, diminuem.

Exemplos: (200, 100, 50...), onde q= 1/2

Na PG decrescente com termos positivos, 0 < q < 1 e com termos negativos, q > 1.

Progressão Geométrica Oscilante

Para uma PG ser considerada oscilante, a sua razão sempre será negativa (q < 0) e os seus termos alternam entre negativos e positivos.

Exemplo: (-3, 6, -12, 24,...), onde q = -2

Progressão Geométrica Constante

Para uma PG ser considerada constante ou estacionária a sua razão sempre será igual a um (q=1).

Exemplo: (2, 2, 2, 2, 2...), onde q=1.

Diferença entre Progressão Aritmética e Progressão Geométrica

Assim como a PG, a PA também se constitui através de uma sequência numérica. Porém, os termos de uma PA são o resultado da soma de cada termo com a razão (r), enquanto os termos de uma PG, como exemplificado acima, são o resultado da multiplicação de cada termo pela sua razão (q).

Exemplo:

Na PA (5, 7, 9, 11, 13, 15, 17...) a razão (r) é 2. Ou seja, o primeiro termo somado a r2 resulta no termo seguinte e assim sucessivamente.

Na PG (3, 6, 12, 24, 48, ...) a razão (q) também é 2. Mas, neste caso, o termo é multiplicado a q 2, resultando no termo seguinte e assim sucessivamente.

Veja também: Progressão Aritmética.

Significado prático de uma PG: onde ela pode ser aplicada?

A Progressão Geométrica permite a análise do declínio ou crescimento de algo. Em termos práticos, a PG possibilita a análise, por exemplo, das variações térmicas, crescimento populacional, entre outras tipos de verificações presentes no nosso dia a dia.

Progressão Geométrica (PG) corresponde a uma sequência numérica cujo quociente (q) ou razão entre um número e outro (exceto o primeiro) é sempre igual.

Em outras palavras, o número multiplicado pela razão (q) estabelecida na sequência, corresponderá ao próximo número, por exemplo:

PG: (2,4,8,16, 32, 64, 128, 256...)

No exemplo acima, podemos constatar que na razão ou quociente (q) da PG entre os números, o número que multiplicado pela razão (q) determina seu consecutivo, é o número 2:

2 . 2 = 4
4 . 2 = 8
8 . 2 = 16
16 . 2 = 32
32 . 2 = 64
64 . 2 = 128
128 . 2 = 256

Vale lembrar que a razão de uma PG é sempre constante e pode ser qualquer número racional (positivos, negativos, frações) exceto o número zero (0).

Classificação das Progressões Geométricas

De acordo com o valor da razão (q), podemos dividir as Progressões Geométricas (PG) em 4 tipos:

PG Crescente

Na PG crescente a razão é sempre positiva (q > 0) formada por números crescentes, por exemplo:

(1, 3, 9, 27, 81, ...), onde q = 3

PG Decrescente

Na PG decrescente, a razão é sempre positiva (q > 0) e diferente de zero (0) formada por números decrescentes.

Ou seja, os números da sequência são sempre menores do que seus antecessores, por exemplo:

(-1, -3, -9, -27, -81, ...) onde q = 3

PG Oscilante

Na PG oscilante, a razão é negativa (q < 0), formada por números negativos e positivos, por exemplo:

(3,-6,12,-24,48,-96,192,-384,768,...), onde q = -2

PG Constante

Na PG constante, a razão é sempre igual a 1 formada pelos mesmos números a, por exemplo:

(5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, ...) onde q = 1

Fórmula do Termo Geral

Para encontrar qualquer elemento da PG, utiliza-se a expressão:

an = a1 . q(n-1)

Onde:

an: número que queremos obter
a1: o primeiro número da sequência
q(n-1): razão elevada ao número que queremos obter, menos 1

Assim, para identificar o termo 20 de uma PG de razão q = 2 e número inicial 2, calcula-se:

PG: (2,4,8,16, 32, 64, 128,...)

a20 = 2 . 2(20-1)
a20 = 2 . 219
a20 = 1048576

Saiba mais sobre PA e PG e Progressão Aritmética - Exercícios.

Soma dos Termos da PG

Para calcular a soma dos números presentes numa PG, utiliza-se a seguinte fórmula:

onde:

Sn: Soma dos números da PG
a1: primeiro termo da sequência
q : razão
n: quantidade de elementos da PG

Dessa forma, para calcular a soma dos 10 primeiros termos da seguinte PG (1,2,4,8,16, 32,...):

Estude mais com Exercícios sobre PA e PG.

Curiosidade

Como na PG, a Progressão Aritmética (PA), corresponde a uma sequência numérica cujo quociente (q) ou razão entre um número e outro (exceto o primeiro) é constante. A diferença é que enquanto na PG o número é multiplicado pela razão, na PA o número é somado.

Bacharel em Meteorologia pela Universidade Federal do Rio de Janeiro (UFRJ) em 1992, Licenciada em Matemática pela Universidade Federal Fluminense (UFF) em 2006 e Pós-Graduada em Ensino de Física pela Universidade Cruzeiro do Sul em 2011.

Qual é o termo geral da progressão geométrica?