Qual o ângulo que devemos ter entre dois espelhos planos para que o número de imagens seja igual a 8?

Três pessoas são colocadas entre dois espelhos planos. Um observador consegue visualizar um total de 24 pessoas (levando em conta as pessoas e as imagens). Determine a angulação α entre estes dois espelhos. A razão 360/ α é um número inteiro.

Um objeto é colocado no plano bissetor formado por dois espelhos planos. O ângulos entre esses dois espelhos equivale à 30°; qual a quantidade de imagens formadas nesses espelhos?

(Cefet – Pr) Dois espelhos planos fornecem 11 imagens de um objeto. Qual o ângulo formado entre os dois espelhos?

Número de imagens = 24 – 3 = 21

Número de imagens por pessoa = 21/3 = 7

N = (360/ α) – 1
7 = (360/ α) – 1
8 = 360/ α
α = 360/8
α = 45°

N = (360/ α) – 1
N = (360/30) – 1
N = 12 – 1
N = 11 imagens

N = (360/α) – 1
11 = (360/α) – 1
11 + 1 = 360/α
12 = 360/α
α = 360/12
α = 30°

Módulo 04. Espelhos Planos – Particulariedades

02. Considere a seguinte montagem:

Um objeto luminoso O encontra-se em frente de um espelho plano E. A imagem do objeto é O’.

Pede-se determinar:

a) a intensidade da velocidade da imagem O’, em relação ao objeto O, que se encontra em repouso em relação ao eixo x, se o espelho se desloca sobre o eixo x para a direita, com velocidade de 10 cm/s;

b) a intensidade da velocidade da imagem O’, em relação ao espelho E, que se encontra em repouso, se o objeto se aproxima do espelho com velocidade de 10 cm/s.

c) a intensidade da velocidade da imagem O’, em relação ao objeto O, que se movimenta sobre o eixo x para a direita, com velocidade 10 cm/s. Sabe-se que o espelho também se movimenta sobre o eixo x, com velocidade de 10 cm/s para a esquerda.

Resolução

a) Uma vez que o espelho se desloca a 10 cm/s, a imagem irá se deslocar a 20 cm/s, em relação ao objeto que se encontra em repouso.

b) Se o objeto se aproxima do espelho a 10 cm/s, a imagem também se aproxima do espelho a 10 cm/s.

c) A velocidade do espelho, em relação ao objeto, é:

v= 10 + 10 v= 20 cm/s

Portanto, a velocidade da imagem, em relação ao objeto, é o dobro, isto é, 40 cm/s.

03. Um raio de luz incide num espelho plano com ângulo de incidência de 30°.
Pede-se determinar o novo ângulo de incidência e o ângulo de rotação do raio de luz, se:

a) o espelho gira de 45° no sentido horário;

b) o espelho gira de 45° no sentido anti-horário.

Resolução

a)

â + 30º + 45º = 90º

â = 15º

â + b + 30º + 30º = 90º

b = 15º

O novo ângulo de incidência é :

Î2 = 30º + 30º + b è î2 = 75º

O ângulo da luz de incidência é b, ou seja, 15º.

O ângulo de rotação do raio de luz é:

B = 2.a è B = 2 . 45ºè B = 90º

b)

â + 30º + 45º = 90 è â = 15º

â + 30º + 30º + b = 90º è b = 15º

O novo ângulo de incidência é b, ou seja, 15º.

O ângulo de rotação do raio de luz é:

B = 2.a è B – 2.45ºè B = 90º

04. Em uma campanha publicitária, é necessário obter uma fotografia de 24 carros. Dispõe-se somente de dois carros para realizar a fotografia. Utilizando uma associação de dois espelhos planos, pode-se tornar viável a fotografia. Qual deverá ser o ângulo entre os dois espelhos planos?

Resolução:  a fotografia de 2 carros aparecem 24 carros; logo, temos 22 imagens associadas a esses 2 carros. Como cada carro gera 11 imagens, temos:

N = (360°/a) – 1 è 11 = (360°/a) – 1 è 360°/a = 12 è a = 30°
O ângulo entre os espelhos deve ser 30°.

01. Uma vela é colocada perpendicularmente sobre o eixo principal de um espelho esférico. Determine a distância da vela ao vértice do espelho, para que o comprimento da imagem seja metade do comprimento do objeto e que possa ser projetada num anteparo. Dado: raio de curvatura do espelho igual a 10 cm.

Resolução: Comoa imagem é projetada, então ela é real e invertida (A<0). O espelho é um espelho côncavo (f>0)

f = +R/2 è f = 5 cm

A = -i/o è A = -½.o/o è -½

A = -p’/p è -½ = -p’/p è p = 2p’

1/f = 1/p + 1/p’

1/5 = 1/2p’ + 1/p’ è 1/5 = 1/2p’ + 2/2p’ è 1/5 = 3/2p’

2p’ = 15 è p’= 7,5 cm è p = 15 cm

02. Diante de um espelho esférico côncavo de raio 40 cm, coloca-se um objeto frontal situado a 10 cm do vértice. Pede-se

a) a posição e a natureza da imagem;
b) o aumento linear transversal.

Resolução

a) R = 40cm è f = 20cm

p = 10cm

1/f = 1/p + 1/p’

1/20 = 1/10 + 1/p’

1/20 - 1/10 = 1/p’

(1 - 2)/20 = 1/p’

-1/20 = 1/p’

-p’ = 20

p' = -20cmA imagem é virtual (–) e está a 20 cm do espelho.

A = i/o = -p’/p

A = -(-20)/10

A = +2 = i/o  A imagem é direita (i/o > 0) e tem o dobro da altura do objeto i/o = +2 è i = 2o.

03. Diante de um espelho esférico côncavo de raio 40 cm, coloca-se um objeto frontal situado a 30 cm do vértice. Pede-se:

a) a posição e a natureza da imagem;
b) o aumento linear transversal.

Resolução

R = 40cm  è  f = 20cm

p = 30cm

1/f = 1/p + 1/p’

1/20 = 1/30 + 1/p’

1/20 - 1/30 = 1/p’

(3 - 2)/60 = 1/p’

1/60 = 1/p’

p' = 60cm  A imagem é real (+) e está 60 cm distante do espelho.

i/o = -p’/p = -60/30 = -2  A imagem é invertida (–) e duas vezes maior do que o objeto.

04. De um objeto real colocado a 80 cm de um espelho esférico, este produz uma imagem virtual a 40 cm deste. Determine:

a) o tipo de espelho;
b) o raio de curvatura do espelho;
c) o aumento linear transversal.

Resolução

dados: p = 80 cm
p’ = – 40 cm (imagem virtual)
Aplicando-se a equação do aumento

i/o = -p’/p è i/o = -(-40)/80 è A = i/o = ½

Aplicando-se a equação de conjugação

1/f = 1/p + 1/p’

1/f = 1/80 + 1/-40

1/f = 1/80 - 1/40

1/f = (1 - 2)/80

f = -80 cm portanto o espelho é convexo(f<0) e o R = 160cm.

05. Deseja-se projetar a imagem de um objeto luminoso sobre uma tela, ampliada 10 vezes. Para isso, dispomos de um espelho esférico côncavo de distância focal 10 cm. Determine:

a) a distância do objeto ao espelho;
b) a distância da tela ao espelho.

Resolução

Para que a imagem possa ser projetada, ela deve ter natureza real e, portanto, será invertida.

A = i/o = -10

Aplicando-se a equação do aumento i/o = -p’/p è -10 = -p’/p è p’ = 10p

Substituindo na equação de Gauss

1/f = 1/p + 1/p’

1/10 = 1/p + 1/10p

10 + 1/10p = 1/10

10p = 110 è p = 11cm

p' = 10p è p’ = 110cm

04. Um raio de luz monocromático se propaga num vidro, cujo índice de refração é √3. Ao incidir na superfície de separação entre vidro e o ar, sofre refração.Sabendo que o ângulo de incidência é 30°, determine o ângulo de refração. Dado: velocidade de propagação da luz no ar = 3 · 108 m/s.

Resolução

var = 3.108m/s è nar = 1

nvidro . senθ1 = nar . senθ2

√3 . sen30 = 1.senθ2

√3. ½ = senθ2

senθ2 = √3/2

θ2 =60

05. Um raio de luz sofre reflexão ao passar de um meio A para outro, B, conforme a figura abaixo.Sendo OP’ = 2 · OQ’, determine

a) o índice de refração relativo ao meio B em relação ao meio A.
b) o ângulo limite para a fronteira AB, representando-o graficamente.

Resolução

a) nA.sen i = nB.sen r è nA . OP’/OP = nB OQ’/OQ

nA.2.OQ’ = nB.OQ’ è nB/nA = 2

b) senL = nA/nB = ½ è L = 30º

02. Quando um garoto vai dar comida ao seu peixinho de estimação, ele o vê a uma distância de 6,0 cm da superfície. O garoto encontra-se aproximadamente na mesma vertical que o peixe e a 30 cm da superfície da água do aquário. Pede-se:

a) a distância entre o peixe e a superfície da água;
b) a distância entre o garoto e a superfície da água, visto pelo peixe

Resolução

a) O peixe é o objeto.

n/p = n’/p’ è nH2O/p = nar/p’

4/3/p = 1/6 è p = 8,0 cm

A profundidade real do peixe é 8,0 cm.b) O menino é o objeto.

n/p = n’/p’ è nar/p = nH2O/p’

1/30 = 4/3/p’ è p’ = 40 cm

A altura aparente do olho do garoto é 40

03. A profundidade de uma piscina vazia é tal que sua parede, revestida com azulejos quadrados de 12 cm de lado, contém 12 azulejos justapostos verticalmente. Um banhista, na borda da piscina cheia de água (n = 4/3), olhando quase perpendicularmente, verá a parede da piscina formada por: a) 12 azulejos de 9 cm de lado vertical;
b) 9 azulejos de 16 cm de lado vertical;
c) 16 azulejos de 9 cm de lado vertical;
d) 12 azulejos de 12 cm de lado vertical;
e) 9 azulejos de 12 cm de lado vertical.ResoluçãoA profundidade real da piscina 12 · 12 = 144 cm.

P = 144cmA profundidade aparente da piscina é:

n/p = n’/p’ è 4/3/144 = 1/p’ è p’ = 108 cm

O banhista vê 12 azulejos, porém com altura de:
108/12= 9 cm de alturaResposta: A

04. A figura a seguir representa a marcha de um raio de luz monocromática, através de uma lâmina de vidro. Obter o deslocamento lateral d.

Resolução:

O deslocamento é dado por: d = e.[sen (i – r)/cos r]
em que:
sen (i – r) = sen (60° – 30°) = sen 30° = 0,5
cos r = cos 30° = √3/2= 0,85

e = 8,5 m m

d = 5,0 mm

01. Um raio de luz incide na face de um prisma de acordo com a figura dada. Se o meio envolvente é o ar (nar = 1,0), determine:

a) O ângulo de emergência i2.
b) O desvio angular D sofrido pelo raio de luz.

Resolução: Inicialmente completamos o trajeto da luz através do prisma.

Aplicando o teorema do ângulo externo:

r1 + r2 = A
r2 + 30° = 60°

r2 = 30º

Aplicando o princípio da reversibilidade:

r1 = r2 i1 = i2

i2 = 60º

Aplicando a fórmula do desvio:

D = i1 + i2 – A
D= 60° + 60° – 60°

D = 60º

Resposta:
a) 60°
b) 60°

02. Considere um prisma de ângulo de refringência igual a 30°, mergulhado no ar.

Qual o valor do índice de refração absoluto do material do prisma, para que um raio luminoso monocromático, incidindo normalmente a uma de suas faces, saia tangenciando a face oposta?

Resolução: Na emergência da luz aplicamos a lei de Snell.

np · sen 30° = nar · sen 90°

nP . ½ = 1 . 1

nP = 2,0

03. Um prisma óptico, que tem ângulo de abertura igual a 60°, é envolto por ar. Um raio de luz monocromática incide sobre o prisma, cujo índice de refração para a freqüência da luz incidente é , formando um ângulo de incidência i1. Determine a trajetória do raio de luz e o desvio angular total D para os ângulos de incidência:

a) i1 = 45°
b) i1 = 90° (incidente rasante)

Resolução:

a) Aplicando a lei de Snell-Descartes na primeira refração:

nar · sen i1 = nprina · sen r1
1 · sen 45° = √2 . sen r1

1 . (√2/2) = √2 . sen r1 è ½ sen r1èr1 = 30º

Utilizando a equação do ângulo de abertura (A = r1 + r2 ), determinamos o ângulo de incidência na segunda refração (r2):

A = r1 + r2 , para A = 60° e r 1 = 30° , temos:
60° = 30° = r2èr2= 30º

Aplicando a lei de Snell-Descartes na segunda refração:

np · sen r2 = nar sen i2√2 · sen 30° = 1 · sen i2

√2 . ½ = sen i2 è sen i2 = √2/2 è i2 = 45º

O desvio angular total é:

D = i1 + i2 - A
D = 45° + 45° - 60°
D = 30º

Note que o desvio angular apresentado é mínimo, uma vez que i1 = i2 e r1 = r2.

b) No caso de incidência rasante, o ângulo de incidência tende a 90° e a situação proposta está esquematizada na figura seguinte:

02. Um raio de luz policromática branca incide num prisma com um ângulo de incidência igual a 60°. Sabe-se que o ângulo de abertura do prisma é igual a 60° e que o vidro, que constitui o prisma, apresenta os seguintes índices de refração absoluto, em função da cor da luz incidente:

Sabendo que a luz branca incidente é composta pelas cores componentes apresentadas, pede-se determinar o intervalo de variação do desvio angular total.

Resolução

A componente vermelha, cujo prisma apresenta menor índice de refração, sofrerá menor desvio angular total. Já a componente violeta, para a qual o prisma apresenta o maior índice de refração absoluto, será a componente que terá o maior desvio angular. Portanto, para a determinação do intervalo de variação do desvio angular, basta calcularmos as trajetórias das componentes vermelha e violeta.

Logo, a luz branca será decomposta, com a componente vermelha sofrendo um desvio angular de 32,2° e a componente violeta com um desvio angular de 60°.Note que as outras cores deverão estar entre as componentes vermelha e violeta.

Logo, o intervalo de variação do desvio angular total vai de 32,2° (para a luz vermelha) a 60° (para a luz violeta).

01. (ITA-SP)Um objeto tem altura ho = 20 cm e está situado a uma distância do = 30 cm de uma lente. Esse objeto produz uma imagem virtual de altura hi = 4,0 cm. A distância da imagem à lente, a distância focal e o tipo de lente são, respectivamente:

a) 6,0 cm; 7,5 cm; convergente
b) 1,7 cm; 30 cm; divergente
c) 6,0 cm; –7,5 cm; divergente
d) 6,0 cm; 5,0 cm; divergente
e) 1,7 cm; –5,0 cm; convergente

Resolução

A = i/o è A = 4/20 è A = 1/5

A = -p’/p è 1/5 = -p’/30 è p’ = -6 cm

1/f = 1/p + 1/p’ è 1/f = 1/30 + 1/-6 è 1/f = (1-5)/30 è f = -7,5 cm è lente divergente

lente divergente

Resposta: C

03. (Fuvest-SP) A distância entre um objeto e uma tela é de 80 cm. O objeto é iluminado e, por meio de uma lente delgada posicionada adequadamente entre o objeto e a tela, uma imagem do objeto, nítida e ampliada três vezes, é obtida sobre a tela. Para que isto seja possível, a lente deve ser:

Resolução

Para que a imagem seja projetada, ela deve ser real. Quando objeto e imagem são reais, a imagem é invertida. Portanto:

A = -p’/p è -3 = -p’/p è p’ = 3p

mas, p + p’ = 80cmp + 3p = 80cm

p = 20 cm

p’ = 60 cm

Da equação dos pontos conjugados de Gauss, temos:

1/f = 1/p + 1/p’

1/f = 1/20 + 1/60

1/f = 3+1/60 è f = 15 cm

Sendo f = 15 cm um valor positivo, concluímos que a lente é convergente.
Sendo p = 20 cm, concluímos que o objeto deve ser posicionado a 20 cm da lente.
Resposta: A04. (ITA-SP) Uma pequena lâmpada é colocada a 1,0 m de distância de uma parede. Pede-se a distância a partir da parede em que deve ser colocada uma lente de distância focal 22,0 cm, para produzir, na parede, uma imagem nítida e ampliada da lâmpada.
a) 1,40 cm      d) 67,3 cm
b) 26,2 cm      e) 70,0 cm
c) 32,7 cm

Resolução

Da equação de conjugação de Gauss, vem:

1/22,0 = 1/100-x  +  1/x

1/22 = (100-x+x)/x(100-x) è 100x – x2 = 2200

X2 – 100x + 2200 = 0

X1 = 67,3 cm

05. (FEI-SP) É dada a lente delgada indicada na figura. Para o ponto objeto A, determinar a posição e natureza da imagem A’.

Resolução

O ponto objeto P∞ é impróprio, o ponto p’ será, conseqüentemente, um foco imagem secundário e, portanto, a distância focal da lente é f = 40 cm.

Assim:

1/p + 1/p’ = 1/f

1/30 + 1/p’ = 1/40

1/p’ = 1/40 – 1/30 = 3-4/120

1/p’ = -1/120 è p’ = -120 cm

A imagem é virtual e se encontra a 120 cm da lente, do mesmo lado que o objeto e sobre o eixo óptico principal.

20. (Unicamp 2004) Em alguns carros é comum que o espelho retrovisor modifique a altura aparente do carro que vem atrás. As imagens a seguir são vistas pelo motorista em um retrovisor curvo (fig. 1) e em um retrovisor plano (fig. 2).

a) qual é (qualitivamente) a curvatura do retrovisor da fig. 1?

Convexo.

b) A que distância o carro detrás se encontra, quando a sua imagem vista pelo motorista ocupa todo o espelho plano (fig. 2), cuja altura é de 4,0 cm? Considere que a altura real do carro seja de 1,6 m e que o teto do carro, o olho do motorista (situado a 50 cm do retrovisor) e o topo da imagem no espelho estejam alinhados horizontalmente.

i/o = -p’/p

4/160 = -(-50)/p

4p = 8000

p = 2000 cm = 20 metros

Porém, como a posição do motorista está entre o espelho e o outro carro, devemos fazer 20 metros – 50 centímetros.

p = 19,5 metros.

19. (UFRJ 2008) Um dispositivo para a observação da imagem do Sol é construído por seis espelhos esféricos concêntricos e uma tela, como ilustra a figura a seguir. O espelho convexo tem raio de curvatura R1 igual a 12 cm e o espelho côncavo tem raio de curvatura R, igual a 30 cm.

Calcule o valor da distância (d) entre a tela e o centro de curvatura C, comum aos dois espelhos, quando a imagem do sol se forma com nitidez sobre a tela.

Primeiro deve-se tirar a idéia que o espelho menor é convexo, tem raio 12 cm e foco 6 cm. A imagem refletida nele está muito longe e será projetada no foco da curvatura do espelho. Portanto o espelho maior de raio 30 cm e foco 15 cm terá uma imagem virtual para ser refletida a uma distância de 30cm(raio do espelho maior) – 6cm(foco do espelho menor), ou seja, 24 cm

i/f = 1/p + 1/p’

1/15 = 1/24 + 1/p’

(8 – 5)/120 = 1/p’

3p’ = 120

p' = 40cm

Porém, o enunciado pede a distância d que será p’ – raio = 40 – 30 = 10centímetros.

07. Onde se encontra o ponto próximo de um olho para o qual foi prescrita uma lente de + 3 dioptrias?

Resolução
Leitura normal: p = 25 cm
Leitura de perto: p’ = ?
Distância focal: f = 1/V è 1/3m = 0,33m = 33cm

Pela equação de Gauss:

1/f = 1/p + 1/p’ è 1/1/3 = 1/0,25 + 1/p’ è

11. Um observador de visão normal encontra-se num recinto à prova de luz externa. Diversos objetos distintos, constituídos por pigmentos puros, são iluminados com diversas luzes, e notamos as características descritas na tabela a seguir. Complete as lacunas.

Resposta

Considere que a retina do olho de uma pessoa, ilustrado na figura, esteja localizada a 2,5 cm do conjunto formado pela córnea e pelo cristalino – conjunto considerado aqui como uma única lente de espessura desprezível – e que, se a musculatura do olho estiver relaxada, a imagem nítida de uma estrela no céu é feita exatamente sobre a retina, no fundo do olho. Para que a pessoa possa observar nitidamente um objeto situado próximo ao seu rosto, será necessário um esforço para alterar a curvatura do cristalino, e assim variar a distância focal da lente. Suponha que a pessoa focalize nitidamente a estrela e, depois, um objeto situado a 10 cm da córnea de seu olho. Calcule, em milímetros, a diferença entre as distâncias focais nos dois casos. Despreze a parte fracionária de seu resultado, caso exista.

Resolução

Objeto no infinito è imagem no plano focal. Portanto:

f1 = 25cm = 25mm

Objeto a 10 cm do olho:

i/f2 = 1/p + 1/p’ = 1/10 + 1/ 2,5 = 1+4/10 = 5/10
f2 = 2,0cm = 20mm

Portanto: Δf = f1 – f2 = 25 – 20

Δf =5,0mm

Qual deve ser o ângulo formado entre dois espelhos planos para que o número de imagens de um objeto colocado entre eles seja igual a 11?

Qual deve ser o ângulo formado entre dois espelhos planos?

Quando o ângulo é 180 o número de imagens é 2?

Quantas imagens formam um ângulo de 180?