Quantas combinações diferentes temos com 2 calças e 4 camisas diferentes?

Nesta sala vamos falar um pouquinho sobre multiplicação.

Já entendi… Lá vem aquela chatice chamada tabuada…

Não se precipite… Nós até vamos fazer algumas contas e talvez você precise da tabuada, mas o que pretendemos exercitar é o raciocínio combinatório, que, como você vai perceber, leva à multiplicação.

Raciocínio combinatório… Tá, só se for para combinar que não vamos usar tabuada…

Não é bem dessa combinação que estou falando e sim daquela que pode ser utilizada no nosso cotidiano para fazermos previsões e estimativas! E uma ferramenta simples que pode ser usada nesse contexto é o Princípio Fundamental da Contagem.

Princípio Fundamental da Contagem

Vamos resolver alguns problemas sobre possibilidades de escolha e, em seguida, apresentar um princípio essencial para a resolução desse tipo de problema. Desenvolveremos as soluções passo a passo, para que você as acompanhe sem grandes dificuldades. Vamos lá?

Problema I:
Raíza tem 2 calças e 3 camisetas de cores diferentes. Ela vai à escola de segunda a sexta, mas não quer repetir um mesmo conjunto de calça e camiseta na mesma semana.
Raíza conseguirá realizar seu desejo?

Solução:
       ● Se ela quer usar a primeira calça, pode combiná-la com qualquer uma das três camisetas, o que nos dá 3 visuais diferentes.
       ● Se ela usar a segunda calça, também vai poder combiná-la em 3 modelitos, um com cada camiseta.
O total de maneiras de combinar as peças é 3+3, ou seja, 2 × 3 = 6.
Então, Raíza conseguirá realizar o seu desejo de ir para a aula durante a semana sem repetir nenhum look, e ainda sobrará um look para o fim de semana…

Observações:
    ➊ No problema resolvido, Raíza tinha que escolher uma calça e uma camiseta para vestir. Essas escolhas, em problemas de combinatória, são chamadas eventos.
    ➋ Note que, se Raíza vestir qualquer uma das duas calças, isso não a impedirá de escolher entre três camisetas distintas. Para qualquer escolha da calça, há o mesmo número de escolha de camisetas, o que torna esses eventos independentes.
     ➌ Como vimos, continuaremos com a mesma quantidade de possibilidades para a escolha da camiseta em cada escolha de calça. Então, podemos chegar à resposta multiplicando o número de calças pelo número de camisetas, obtendo assim os 2 × 3 = 6 looks possíveis.
     ➍ Sem comprometer a generalidade do problema, podemos supor “que Raíza tenha uma calça preta, uma calça branca e que suas camisetas sejam vermelha, amarela e verde” e, assim, visualizar a quantidade de looks possíveis, utilizando o diagrama abaixo.

Problema II: Quantos diferentes percursos o ratinho da figura pode tomar para chegar ao queijo?

Solução:
Assim que entra no labirinto, o ratinho se depara com a necessidade de escolher um dentre 2 caminhos.
Quando ele segue qualquer um dos dois caminhos, depara-se com 4 outras possibilidades de caminho e precisa escolher um. Percorrido o caminho escolhido, ele encontra o queijo.
Perceba, então, que a quantidade total de possibilidades para o percurso a ser seguido é 2 x 4=8.

Problema III: O majestoso rei Tim Timpor Tintim decidiu padronizar os azulejos de seu palácio.
Ele os quer em forma de hexágonos regulares, com um pequeno círculo em seu interior.

Solução:
Para cada uma das cores escolhidas para o hexágono, haverá 4 opções de cores para o círculo. Portanto, para cada opção de cor a ser utilizada no hexágono, há 4 azulejos possíveis. Como temos 3 opções de cores para o hexágono, há 3 × 4=12 opções para o azulejo do rei Tim.
Podemos elucidar nossa solução utilizando um diagrama de árvore que ilustra todas as possibilidades. Suponha que as cores selecionadas para o hexágono sejam “preto”, “vermelho” e “verde”, enquanto as cores selecionadas para o círculo são “azul”, “amarelo”, “roxo” e “marrom”. (Observe que a solução será a mesma para quaisquer opções de cores. Elas foram nomeadas, apenas, para facilitar o seu entendimento.)
Teremos, assim, as possibilidades ilustradas pelo diagrama a seguir.

A essa altura, já podemos enunciar o Princípio Multiplicativo ou Princípio Fundamental da Contagem (PFC). Ele é extremamente útil quando o número de possibilidades é grande e o diagrama de árvore se torna muito, mas muito cansativo mesmo….

Princípio Multiplicativo – Princípio Fundamental da Contagem
Se um evento A puder ocorrer de m maneiras, um evento B puder ocorrer de n maneiras e A for independente de B,
então a quantidade de maneiras distintas de os dois eventos ocorrerem simultaneamente, isto é, ao mesmo tempo, é m × n.

Problema IV:
Numa reunião havia 6 professores do Mato Grosso do Sul e 7 do Ceará.
Quando o grupo se reuniu, cada professor do Mato Grosso do Sul cumprimentou cada professor do Ceará exatamente uma vez.
Quantos cumprimentos ocorreram?

Solução:
Como cada cumprimento aconteceu entre um professor do Mato Grosso do Sul e um professor do Ceará, o total de cumprimentos é o total de maneiras de se escolher um professor do Mato Grosso do Sul e um do Ceará, simultaneamente.
Pelo Princípio Multiplicativo, o total é 6 x 7, ou seja, 42 cumprimentos.

Os problemas a seguir são para você pensar: tente resolvê-los sem ver as soluções. – Se você conseguir, parabéns! – Se não conseguir, não vale desanimar! Leia as soluções e tente aprender! Bons estudos!

Problemas Propostos

Problema 1:
Quantos são os números naturais de 2 algarismos?

Problema 2:
Quantos são os números ímpares entre 10 e 99 (incluindo o 99)?

Problema 3:
A senha secundária de um banco imaginário é composta por uma vogal e uma consoante, nessa ordem, ambas provenientes do nome do cliente. Qual cliente terá mais opções de senha, o senhor Darli Munhoz ou o senhor Thiago Bruce?

Problema 4:
Considere que o ratinho do problema II, além de escolher entre os 8 caminhos, tivesse que escolher entre 4 tipos diferentes de queijo. Qual seria o total de maneiras de ele agir?

Problema 5:
E se a Raíza, do problema I, além das 6 possíveis combinações de blusa e saia, tivesse ainda 4 chapéus diferentes? Quantos looks ela poderia montar?

Mas espera um pouco… Nos problemas 4 e 5, temos, na verdade, três eventos independentes, não é? No problema 4, a escolha da primeira parte do caminho, a escolha da segunda parte e a escolha do queijo. No problema 5, temos as escolhas de camiseta, calça e chapéu…

Isso mesmo! Parece que você entendeu o que são eventos independentes . . . Mas você observou como os problemas foram resolvidos? Veja bem…    32 = 8 x 4 = 2 x 4 x 4     e     24 = 6 x 4 = 2 x 3 x 4… O que podemos aprender com essas soluções?

Hum…. Vou pensar….

– Francimar de Brito Vieira
– Noemi Zeraick Monteiro
– Sonia Regina Di Giacomo
◆ Equipe COM – OBMEP
– Victor de Oliveira Bitarães
◆ Colaborador

Ficaram curiosos? Visitem esta sala e leiam a continuação deste texto…

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Princípio Fundamental de Contagem: Generalização

E aí, o que você concluiu com relação aos exemplos 4 e 5 nos quais apareceram três eventos independentes: as três escolhas do ratinho e as três escolhas da Raíza? Observei um fato bem interessante! Em cada situação, os três eventos puderam ser “agrupados” em apenas dois e, então, foi possível aplicar o Princípio Multiplicativo! …

Quantas maneiras diferentes uma pessoa pode se vestir tendo 4 camisas e 2 calças?

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