A combinação de n elementos tomados p a p, se diferenciará do arranjo quando a ordem dos elementos dentro de cada sequência formada não importar. Geralmente nos problemas de combinação aparecerão as seguintes palavras: Show
Na maioria dos casos em que a ordem dos elementos não importar estamos diante de um problema de combinação. Se ainda não ficou claro, então acompanhe a situação 1 abaixo. Uma empresa deseja formar uma comissão de três membros e dispõe de dez funcionários. Quantas comissões podem ser formadas? Resolução: Imagine que cada um dos 10 funcionários desta empresa está representado por uma letra de nosso alfabeto, ou seja: E = {a, b, c, d, e ,f, g, h, i, j}. Note que, cada comissão que será formada é um subconjunto de três elementos que serão retirados do conjunto E. Por exemplo, podemos formar a comissão {a, b, c}. O fundamental, agora, é você entender que a ordem dos elementos em cada comissão não importará, isto é, as comissões {a, b, c}, {b, a, c} e {c, a b} são iguais. A posição dos elementos em cada comissão não importa e nem gerará novas configurações, quando isso acontece, estamos diante de um problema de combinação. Neste caso, queremos combinar 10 elementos, tomados 3 a 3, ou seja, n = 10 e p = 3. Então, pela relação da combinação, temos Observe que tudo funciona como se as comiss�es possu�ssem 10 elementos e os grupos fossem formados de 3 elementos, j� que, dois elementos j� foram escolhidos previamente e s�o fixos em todos os agrupamentos poss�veis. Clique AQUI , para rever An�lise Combinat�ria. Para retornar, clique em VOLTAR no seu browser. Ora, excluindo-se o presidente e o vice-presidente, restam 12 - 2 = 10 membros, que dever�o ser agrupados de cinco em cinco. Ora, o n�mero de comiss�es incluindo no m�nimo um f�sico, significa que as comiss�es dever�o possuir um, ou dois, ou tr�s, ou quatro, ou cinco, ou seis, ou sete, ou oito f�sicos. Logo, para determinar o n�mero total de comiss�es, tal qual especificado no enunciado do problema, deveremos retirar do n�mero total de comiss�es, aquelas nas quais n�o participam nenhum f�sico. O c�lculo � o seguinte: O n�mero 68275 ser� precedido pelos n�meros das formas: Supondo que as pessoas A e B fiquem sentadas juntas , podemos considerar que os agrupamentos poss�veis ser�o das seguintes formas: Trata-se de um problema de arranjos simples, cuja solu��o � encontrada calculando-se Poder�amos tamb�m resolver aplicando a regra do produto , com o seguinte racioc�nio: A palavra dada possui 5 consoantes e 4 vogais. Colocando uma das consoantes, por exemplo, N , no in�cio da palavra, podemos dispor em correspond�ncia, cada uma das 4 vogais no final. Eis o esquema correspondente: Podemos fazer o mesmo racioc�nio para as demais consoantes. Resultam 5.4=20 esquemas do tipo acima. Permutando-se as 7 letras restantes situadas entre a consoante e a vogal, de todos os modos poss�veis, obteremos em cada esquema 7! anagramas. O n�mero pedido ser� pois igual a 20.7! = 20.7.6.5.4.3.2.1 = 100.800. Numa reuni�o est�o 12 pessoas. Quantas comiss�es de 3 membros podem ser formadas, com a condi��o de que uma determinada pessoa A esteja sempre presente e uma determinada pessoa B nunca participe junto com a pessoa A?Como um dos 3 integrantes � sempre A, resta determinar os dois outros, com a condi��o de que n�o seja B. Logo, dos 12, excluindo A(que tem presen�a garantida) e B (que n�o pode participar junto com A) restam 10 pessoas que dever�o ser agrupadas duas a duas. Portanto, o n�mero procurado � C10,2 = 10! /(10-2)!.2! = 45. Numa assembl�ia h� 57 deputados sendo 31 governistas e os demais, oposicionistas. Quantas comiss�es de 7 deputados podem ser formadas com 4 membros do governo e 3 da oposi��o?Escolhidos 3 deputados oposicionistas, com eles podemos formar tantas comiss�es quantas s�o as combina��es dos 31 deputados do governo tomados 4 a 4 (taxa 4), isto �: C31,4. Podemos escolher 3 oposicionistas, entre os 26 existentes, de C26,3 maneiras distintas; portanto o n�mero total de comiss�es � igual a C26,3 . C31,4 = 818.090.000. Observe que a palavra ARARA possui 5 letras por�m com repeti��o. Se as 5 letras fossem distintas ter�amos 5! = 120 anagramas. Como existem letras repetidas, precisamos "descontar" todas as trocas de posi��es entre letras iguais. O total de anagramas ser� portanto igual a P = 5!/(3!.2!) = 10. � �bvio que podemos tamb�m calcular diretamente usando a f�rmula de permuta��es com repeti��o. Para revisar, clique AQUI. Para RETORNAR, clique em VOLTAR no seu browser. Quantas solu��es inteiras e n�o negativas podemos encontrar resolvendo a equa��o x+y+z+w = 5?Por exemplo, (1,2,1,1) � solu��o pois 1+2+1+1=5.An�logamente, (2,1,1,1), (0,1,2,2), (5,0,0,0) etc s�o solu��es. Outra forma de resolver o problema, seria atrav�s da aplica��o da f�rmula vista em Exerc�cios de An�lise Combinat�ria III. Clique AQUI para ver. Para retornar, clique em VOLTAR no seu browser. Quantas Comissões de 3 pessoas podem ser formadas?Resposta verificada por especialistas
Existem 10 combinações diferentes de comissão que podem ser formadas. Para descobrir o números de combinações precisamos utilizar a fórmula da combinação simples.
Quantas Comissões de 3 pessoas podem ser formados em uma turma de 32 alunos?Resposta: Podem ser formadas 4960 comissões de 3 alunos.
Quantas Comissões de 3 pessoas podemos formar para representar um grupo de 10 pessoas?Resposta. Queremos saber quantas combinações de 3 pessoas é possível formar com 10 pessoas. Utilizando o cálculo de combinação resolvemos da seguinte forma: Concluímos então que é possível formar 120 comissões diferentes para representar estas pessoas.
Quantas Comissões de 3 pessoas podem ser formadas com um grupo de 16 pessoas?16 ÷ 3 = 5,333 (Dízima Periódica), podemos arrendondar esse resultado para 5.
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Quantas Comissões de 3 pessoas podem ser formadas em um total de 12 pessoas?
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