Quantos números entre 100 e 999 são ímpares e possuem três algarismos distintos?

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Morgado - Combinatória
Re: Morgado - Combinatória
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Quantos números entre 100 e 999 são ímpares e possuem três dígitos distintos?
Quantos números entre 100 e 999 são ímpares?
Quantos números tem de 0 a 999?

Quantos números inteiros há entre 1000 e 9999 com algarismos distintos?

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Resolução:

Números entre 1000 e 9999 têm 4 algarismos.

_ _ _ _

a.b.c.d

a: não pode ser o zero, pois começa em 1000. Logo, temos 9 opções.

b: seriam 10 opções, mas já foi uma opção na unidade de milhar (a), restando 9 opções.

c: seriam 10 opções, mas já foram 2 (a e b), restando 8 opções.

d: seriam 10 opções, mas já foram 3 (a,b e c), restando 7 opções.

Temos, então:

_ _ _ _

9.9.8.7 = 4.536

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Quantos numeros inteiros entre 100 e 999 são impares e possuem tres algarismos distintos?

combinações possíveis que terminam em {0,2,4,6,8} o número começa com 1 logo o 0 está excluído como 1º algarismo , logo o 1º algarismo par tem 4 possibilidades ímpar, ímpar , par , —> 5.4.5 =100 ímpar, par , par = ,—> 5.5.4 =100 par, ímpar, par = —> 4.5.4 =80 par, par , par —> , 4.4.3 = 48 total = 100+100+80+48 = 328 328 números pares e distintos

Problema

Quantos números entre 100 e 999 são ímpares e possuem três dígitos distintos?

(a) 500.

(b) 450.

(d) 320.

(e) Nenhuma das respostas anteriores.

Solução

Seja n = XYZ o número em questão, sendo Z o algarismo das unidades, Y o algarismo das dezenas e X o das centenas.
(Observação: A notação n = XYZ não indica um produto e sim a representação de um número de três algarismos no sistema decimal.)
Sabemos que:

os três algarismos são distintos;
n é ímpar, logo Z = 1 , 3 , 5 , 7 , ou 9 ;
1 ≤ X ≤ 9 ; 0 ≤ Y ≤ 9 .

Dessa forma, podemos concluir que:

Escolhendo, inicialmente, o algarismo Z , podemos fazê-lo de 5 maneiras distintas.
Para X , a princípio, teríamos 9 possibilidades de escolha; mas como Z já foi escolhido e X ≠ Z , então restam 8 modos diferentes para escolhermos X .
Finalmente, para a escolha de Y temos 8 das 10 possibilidades iniciais, uma vez que Y ≠ Z e Y ≠ X .

Assim, pelo Princípio Fundamental da Contagem, teremos 8 × 8 × 5 maneiras de definirmos n, ou seja, existem 320 números satisfazendo as hipóteses do problema.

Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.

Segunda Gincana de 2014 – Clubes de Matemática da OBMEP
Nível C – Questão Fácil

Ajuda, se precisar!

✏Princípio Fundamental da Contagem, ou Princípio Multiplicativo, para três eventos:

um evento E1 puder ocorrer de [tex] m_1 [/tex] maneiras,
um evento E2 puder ocorrer de [tex]m_2 [/tex] maneiras,
um evento E3 puder ocorrer de [tex]m_3 \, [/tex] maneiras,

e todos esses eventos forem independentes entre si, isto é, a ocorrência de um não muda a quantidade de possibilidades para a ocorrência de outro, então a quantidade de maneiras em que os três eventos ocorrem ao mesmo tempo é
[tex]\qquad \qquad \boxed{m_1\times m_2 \times m_3} \,.[/tex]
(Se você não se lembra desse Princípio, seria interessante dar uma passadinha nesta Sala de Estudo.)

Link permanente para este artigo: http://clubes.obmep.org.br/blog/problema-de-gincana-a-viagem-de-carla-3/

Morgado - Combinatória

Quantos números inteiros entre 100 e 999 são ímpares e possuem três dígitos distintos?

resposta:

Re: Morgado - Combinatória

por Mateus Meireles 27/10/2018, 11:56 am

O último algarismo pode ser escolhido de 5 modos (1,3,5, 7 ou 9), o primeiro, de 8 modos (deve ser diferente do último e diferente de 0) e, por fim, o do meio, de 8 modos (deve ser diferente dos outros dois algarismos, mas o 0 pode entrar aqui)

A resposta é 5 x 8 x 8 = 320

Re: Morgado - Combinatória

por Mateus Meireles 27/10/2018, 12:35 pm

Victor Luz escreveu:Muito obrigado, Mestre!

Por nada, mas acho que você confundiu meu nome com o do Élcio

Abraço

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Quantos números entre 100 e 999 são ímpares e possuem três dígitos distintos?

Consequentemente, existem 8.8.5 = 320 números ımpares entre entre 100 e 999 que se escrevem com 3 dıgitos diferentes.

Quantos números entre 100 e 999 são ímpares?

Logo, a quantidade de números ímpares que existem entre 100 e 999 exluído o 999 é n(A) − 1 = n(U) — n(B) – 1 = 900 — 450 – 1 = 449.

Quantos números tem de 0 a 999?

do 10 ao 99, temos 90 números de 2 algarismos; logo, 180 algarismos; do 100 ao 999, temos 900 números de 3 algarismos; logo, 2 700 algarismos; do 1 000 ao 1 999, temos 1 000 números de 4 algarismos; logo, 4 000 algarismos; do 2 000 ao 2 007, temos 8 números de 4 algarismos; logo, 32 algarismos.