Que produto obtemos ao multiplicar um número inteiro por um menos um?

Ensino Fundamental, M�dio e Superior no Brasil

Ensino Fundamental

N�meros inteiros

Patr�cia E.Silva
Ulysses Sodr�

Material desta p�gina

• 1 Curiosidades com n�meros inteiros
• 2 Introdu��o aos n�meros inteiros
• 3 Sobre a origem dos sinais
• 4 O conjunto Z dos N�meros Inteiros
• 5 Reta Numerada
• 6 Ordem e simetria no conjunto Z
• 7 M�dulo de um n�mero Inteiro
• 8 Soma (adi��o) de n�meros inteiros
• 9 Propriedades da adi��o de n�meros inteiros
• 10 Multiplica��o (produto) de n�meros inteiros
• 11 Propriedades do produto de n�meros inteiros
• 12 Propriedade mista (distributiva)
• 13 Potencia��o de n�meros inteiros
• 14 Potencia��o com o browser
• 15 Radicia��o de n�meros inteiros
• 16 Radicia��o com o navegador

1 Curiosidades com n�meros inteiros

Curiosidade 01:

\begin{align*} 12345679{\times}\;\;9 & = 111111111 \\ 12345679{\times}18 & = 222222222 \\ 12345679{\times}27 & = 333333333 \\ 12345679{\times}36 & = 444444444 \\ 12345679{\times}45 & = 555555555 \\ 12345679{\times}54 & = 666666666 \\ 12345679{\times}63 & = 777777777 \\ 12345679{\times}72 & = 888888888 \\ 12345679{\times}81 & = 999999999 \end{align*}

Curiosidade 02:

\begin{align*} 9{\times}9 + 7 & = 88 \\ 9{\times}98 + 6 & = 888 \\ 9{\times}987 + 5 & = 8888 \\ 9{\times}9876 + 4 & = 88888 \\ 9{\times}98765 + 3 & = 888888 \\ 9{\times}987654 + 2 & = 8888888 \\ 9{\times}9876543 + 1 & = 88888888 \\ 9{\times}98765432 + 0 & = 888888888 \end{align*}\]

Curiosidade 03:

\begin{align*} 9{\times}1 + 2 & = 11 \\ 9{\times}12 + 3 & = 111 \\ 9{\times}123 + 4 & = 1111 \\ 9{\times}1234 + 5 & = 11111 \\ 9{\times}12345 + 6 & = 111111 \\ 9{\times}123456 + 7 & = 1111111 \\ 9{\times}1234567 + 8 & = 11111111 \\ 9{\times}12345678 + 9 & = 111111111 \\ 9{\times}123456789 + 10 & = 1111111111 \end{align*}\]

Curiosidade 04:

\begin{align*} 11{\times}11 & = 121 \\ 111{\times}111 & = 12321 \\ 1111{\times}1111 & = 1234321 \\ 11111{\times}11111 & = 123454321 \\ 111111{\times}111111 & = 12345654321 \\ 1111111{\times}1111111 & = 1234567654321 \\ 11111111{\times}11111111 & = 123456787654321 \\ 111111111{\times}111111111 & = 12345678987654321 \end{align*}\]

Curiosidade 05:

\begin{align*} 9 {\times}7 & = 63 \\ 99 {\times}77 & = 7623 \\ 999 {\times}777 & = 776223 \\ 9999 {\times}7777 & = 77762223 \\ 99999 {\times}77777 & = 7777622223 \\ 999999 {\times}777777 & = 777776222223 \\ 9999999 {\times}7777777 & = 77777762222223 \\ 99999999{\times}77777777 & = 7777777622222223 \end{align*}

Curiosidade 06:

\begin{align*} 1 {\times}7+3 & = 10 \\ 14 {\times}7+2 & = 100 \\ 142 {\times}7+6 & = 1000 \\ 1428 {\times}7+4 & = 10000 \\ 14285 {\times}7+5 & = 100000 \\ 142857 {\times}7+1 & = 1000000 \\ 1428571 {\times}7+3 & = 10000000 \\ 14285714 {\times}7+2 & = 100000000 \\ 142857142 {\times}7+6 & = 1000000000 \\ 1428571428 {\times}7+4 & = 10000000000 \\ 14285714285 {\times}7+5 & = 100000000000 \\ 142857142857{\times}7+1 & = 1000000000000 \end{align*}

Curiosidade 07:

\begin{align*} 9 {\times}9 & = 81 \\ 99 {\times}99 & = 9801 \\ 999 {\times}999 & = 998001 \\ 9999 {\times}9999 & = 99980001 \\ 99999 {\times}99999 & = 9999800001 \\ 999999{\times}999999 & = 999998000001 \end{align*}

Curiosidade 08:

\begin{align*} 12{\times}12 = 144 & \qquad 21{\times}21 = 441 \\ 13{\times}13 = 169 & \qquad 31{\times}31 = 961 \\ 102{\times}102 = 10404 & \qquad 201{\times}201 = 40401 \\ 103{\times}103 = 10609 & \qquad 301{\times}301 = 90601 \\ 112{\times}112 = 12544 & \qquad 211{\times}211 = 44521 \\ 122{\times}122 = 14884 & \qquad 221{\times}221 = 48841 \end{align*}

Curiosidade 09:

\begin{align*} 99 & = 9+8+7+65+4+3+2+1 \\ 100 & = 1+2+3+4+5+6+7+8{\times}9 \\ 134498697 & = 1 + 2^3 + 4^5 + 6^7 + 8^9 \\ 1000 & = 8 + 8 + 8 + 88 + 888 \end{align*}

Curiosidade 10:

\begin{align*} 45{=}8{+}12{+}5{+}20 & \quad 8{+}2=12{-}2{=}5{\times}2=20\div 2{=}10 \\ 100{=}12{+}20{+}4{+}64 & \quad 12{+}4=20{-}4{=}4{\times}4=64 \div 4{=}16 \\ 225{=}1{+}23{+}45{+}67{+}89 & \quad 89{-}67=67{-}45{=}45{-}23=23{-}1{=}22 \end{align*}

Curiosidade 11:

\[5^2 {+} 2^1= (5-2)^{2{+}1}\]

2 Introdu��o aos n�meros inteiros

Na �poca do Renascimento, os matem�ticos sentiram cada vez mais a necessidade de um novo tipo de n�mero, que pudesse ser a solu��o de equa��es t�o simples como:

\begin{align*} 1x + 2 & = 0 \\ 2x + 10 & = 0 \\ 4y + 4 & = 0 \\ \end{align*}

As Ci�ncias precisavam de s�mbolos para representar temperaturas acima e abaixo de \(0^\circ\)C, por exemplo. Astr�nomos e f�sicos procuravam uma linguagem matem�tica para expressar a atra��o entre dois corpos.

Quando um corpo age com uma for�a sobre outro corpo, este reage com uma for�a de mesma intensidade e sentido contr�rio. Mas a tarefa n�o ficava somente em criar um novo n�mero, era preciso encontrar um s�mbolo que permitisse operar com esse n�mero criado, de modo pr�tico e eficiente.

3 Sobre a origem dos sinais

A ideia sobre os sinais vem dos comerciantes da �poca. Os matem�ticos encontraram a melhor nota��o para expressar esse novo tipo de n�mero. Veja como faziam tais comerciantes:

Suponha que um deles tivesse em seu armaz�m duas sacas de feij�o com 10 kg cada. Se esse comerciante vendesse num dia 8 kg de feij�o, ele escrevia o n�mero 8 com um tra�o (similar ao atual sinal de menos) na frente para n�o se esquecer de que no saco faltava 8 kg de feij�o.

Mas se ele resolvesse despejar no outro saco os 2 kg que restaram, escrevia o n�mero 2 com dois tra�os cruzados (semelhante ao atual sinal de mais) na frente, para se lembrar de que no saco havia 2 kg de feij�o a mais que a quantidade inicial.

Com essa nova nota��o,os matem�ticos poderiam, n�o somente indicar as quantidades, mas tamb�m representar o ganho ou a perda dessas quantidades, atrav�s de n�meros, com sinal positivo ou negativo.

4 O conjunto Z dos N�meros Inteiros

Definimos o conjunto dos n�meros inteiros como a reuni�o do conjunto dos n�meros naturais, o conjunto dos opostos dos n�meros naturais e o zero. Este conjunto � denotado pela letra \(Z\) (Zahlen=n�mero em alem�o). Este conjunto pode ser escrito por:

\[Z = \{...,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,...\}\]

Exemplos de subconjuntos do conjunto Z dos n�meros inteiros

Conjunto dos n�meros inteiros exclu�do o n�mero zero:

\[Z* = \{...,-4,-3,-2,-1,1,2,3,4,...\}\]

Conjunto dos n�meros inteiros n�o negativos:

\[Z_+ = \{0,1,2,3,4,...\}\]

Conjunto dos n�meros inteiros n�o positivos:

\[Z_- = \{...,-4,-3,-2,-1,0\}\]

Nota: N�o existe padr�o para estas nota��es.

5 Reta Numerada

Uma forma de representar geometricamente o conjunto \(Z\) dos n�meros inteiros � construir uma reta numerada, considerar o n�mero \(0\) como a origem do sistema e o n�mero \(1\) colocado � direita do zero em algum ponto, tomar a unidade de medida como a dist�ncia entre \(0\) e \(1\) e colocar os n�meros inteiros da seguinte maneira:

Ao observar a reta numerada notamos que a ordem que os n�meros inteiros obedecem � crescente da esquerda para a direita, raz�o pela qual usamos uma seta para indicar a orienta��o para a direita. Esta considera��o � adotada por conven��o, o que nos permite pensar que se fosse adotada outra forma, n�o haveria qualquer problema.

Baseando-se ainda na reta numerada podemos afirmar que todos os n�meros inteiros possuem um e somente um antecessor e tamb�m um e somente um sucessor.

6 Ordem e simetria no conjunto Z

O sucessor de um n�mero inteiro � o n�mero que est� imediatamente � sua direita na reta (em \(Z\)) e o antecessor de um n�mero inteiro � o n�mero que est� imediatamente � sua esquerda na reta (em \(Z\)).

Exemplos:

1. \(3\) � sucessor de \(2\).
2. \(2\) � antecessor de \(3\).
3. \(-5\) � antecessor de \(-4\).
4. \(-4\) � sucessor de \(-5\).
5. \(0\) � antecessor de \(1\).
6. \(1\) � sucessor de \(0\).
7. \(-1\) � sucessor de \(-2\).
8. \(-2\) � antecessor de \(-1\).

Todo n�mero inteiro \(z\) exceto o zero, possui um elemento sim�trico ou oposto \(-z\) e ele � caracterizado pelo fato geom�trico que tanto \(z\) como \(-z\) est�o � mesma dist�ncia da origem \(0\) do conjunto \(Z\).

Exemplos:

1. O oposto de ganhar � perder, logo o oposto de \(+3\) � \(-3\).
2. O oposto de perder � ganhar, logo o oposto de \(-5\) � \(+5\).

7 M�dulo de um n�mero Inteiro

O m�dulo ou valor absoluto de um n�mero inteiro � o maior valor (m�ximo) entre um n�mero e o seu oposto, e pode ser denotado pelo uso de duas barras verticais | |. Assim:

\[|x| = \max\{-x,x\}\]

Exemplos:

1. \(|0| = \max\{0,-0\} = 0\).
2. \(|8| = \max\{8,-8\} = 8\).
3. \(|-6| = \max\{-6,6\} = 6\).

Nota: Do ponto de vista geom�trico, o m�dulo de um n�mero inteiro corresponde � dist�ncia deste n�mero at� a origem (zero) na reta num�rica inteira.

8 Soma (adi��o) de n�meros inteiros

Para melhor entendimento desta opera��o, associaremos aos n�meros inteiros positivos a ideia de ganhar e aos n�meros inteiros negativos a ideia de perder.

Aten��o: O sinal \(+\) antes do n�mero positivo pode ser dispensado, mas o sinal \(-\) antes do n�mero negativo nunca pode ser dispensado.

Exemplos:

1. \(-3+3=0\).
2. \(+6+3=9\).
3. \(+5-1=4\).

9 Propriedades da adi��o de n�meros inteiros

Fecho: O conjunto \(Z\) � fechado para a adi��o, isto �, a soma de dois n�meros inteiros ainda � um n�mero inteiro.

Associativa: Para quaisquer \(a,b,c\in Z\):

\[\begin{matrix} a+(b+c)=(a+b)+c \\ 2+(3+7)=(2+3)+7 \end{matrix}\]

Comutativa: Para quaisquer \(a,b\in Z\):

\[\begin{matrix} a+b=b+a \\ 3+7=7+3 \end{matrix}\]

Elemento neutro: Existe \(0\in Z\), que somado a cada \(z\in Z\), produz o pr�prio \(z\), isto �:

\[\begin{matrix} z+0=z \\ 7+0=7 \end{matrix}\]

Elemento oposto: Para cada \(z\in Z\), existe \(-z\in Z\), tal que

\[\begin{matrix} z+(-z)=0 \\ 9+(-9)=0 \end{matrix}\]

10 Multiplica��o (produto) de n�meros inteiros

A multiplica��o funciona como uma forma simplificada de adi��o quando os n�meros s�o repetidos. Poder�amos analisar tal situa��o como o fato de estarmos ganhando repetidamente alguma quantidade, como por exemplo, ganhar 1 objeto por 30 vezes consecutivas, significa ganhar 30 objetos e esta repeti��o pode ser indicada por um \({\times}\), isto �:

\[1+1+1+...+1+1 = 30 {\times} 1 = 30\]

Trocando o n�mero \(1\) pelo n�mero \(2\), obtemos:

\[2 + 2 + 2 + ... + 2 + 2 = 30 {\times} 2 = 60\]

Trocando o n�mero 2 pelo n�mero -2, obtemos:

\[(-2) + (-2) + ... + (-2) = 30 {\times} (-2) = -60\]

A multiplica��o � um caso particular da adi��o onde os valores s�o repetidos.

O produto dos n�meros \(a\) e \(b\), pode ser indicado por \(a{\times}b\), \(a.b\) ou ainda \(ab\) sem nenhum sinal entre as letras.

Para multiplicar n�meros inteiros, devemos obedecer � seguinte regra de sinais:

1. \((+1){\times}(+1)=(+1)\).
2. \((+1){\times}(-1)=(-1)\).
3. \((-1){\times}(+1)=(-1)\).
4. \((-1){\times}(-1)=(+1)\).

Com o uso das regras anteriores, podemos concluir que:

11 Propriedades do produto de n�meros inteiros

Fecho: O conjunto Z � fechado para a multiplica��o (produto), isto �, a multiplica��o de dois n�meros inteiros ainda � um n�mero inteiro.

Associativa: Para quaisquer \(a,b,c\in Z\):

\[\begin{matrix} a{\times}(b{\times}c)=(a{\times}b){\times}c \\ 2{\times}(3{\times}7)=(2{\times}3){\times}7 \end{matrix}\]

Comutativa: Para quaisquer \(a,b\in Z\):

\[\begin{matrix} a{\times}b=b{\times}a \\ 3{\times}7=7{\times}3 \end{matrix}\]

Elemento neutro: Existe \(1\in Z\), que multiplicado por todo \(z\in Z\), produz o pr�prio \(z\), isto �:

\[\begin{matrix} z{\times}1=z \\ 7{\times}1=7 \end{matrix}\]

12 Propriedade mista (distributiva)

Distributiva: Para quaisquer \(a,b,c\in Z\):

\[\begin{matrix} a{\times}(b+c)=(a{\times}b)+(a{\times}c) \\ 3{\times}(4+5)=(3{\times}4)+(3{\times}5) \end{matrix}\]

13 Potencia��o de n�meros inteiros

A pot�ncia \(a^n\) do n�mero inteiro \(a\), � definida como um produto de \(n\) fatores iguais. O n�mero \(a\) recebe o nome de base e o n�mero \(n\) � o expoente.

\[a^n=a{\times}a{\times}a{\times}...{\times}a \tag{$n$ vezes}\]

Exemplos:

1. \(2^5 = 2{\times}2{\times}2{\times}2{\times}2 = 32\)
2. \((-2)^3 = (-2){\times}(-2){\times} (-2) = -8\)
3. \((-5)^2 = (-5){\times}(-5)= 25\)
4. \((+5)^2 = (+5){\times}(+5)= 25\)

Com os exemplos, notamos que a pot�ncia de todo n�mero inteiro elevado a um expoente par � um n�mero positivo e a pot�ncia de todo n�mero inteiro elevado a um expoente �mpar � um n�mero que conserva o seu sinal.

Nota: Quando \(n=2\), a pot�ncia \(a^2\) pode ser lida como: a elevado ao quadrado e quando o expoente � \(n=3\), a pot�ncia \(a^3\) pode ser lida como: a elevado ao cubo. Tais leituras s�o provenientes do fato que �rea do quadrado pode ser obtida por \(A=a^2\) onde \(a\) � a medida do lado e o volume do cubo pode ser obtido por \(V=a^3\) onde \(a\) � a medida da aresta do cubo.

14 Potencia��o com o browser

Para obter a pot�ncia \(M^n\) em seu navegador, como \(12^5\), digite (ou copie) a linha de comando:

javascript:Math.pow(12,5)

da forma como est� escrito, na caixa do seu navegador onde est� o nome do arquivo que est� sendo acessado neste momento (location=endere�o). Ap�s isto, pressione a tecla ENTER. Voc� ver� uma nova p�gina com uma calculadora para voc� executar a potencia��o ou mesmo qualquer outra dispon�vel na calculadora. A resposta deve ser \(248832\).

15 Radicia��o de n�meros inteiros

A raiz \(n\)-�sima (de ordem \(n\)) de um n�mero inteiro \(a\) � a opera��o que objetiva obter um outro n�mero inteiro n�o negativo \(b\) que elevado � pot�ncia \(n\) fornece o n�mero \(a\). O n�mero \(n\) � o �ndice da raiz e o n�mero \(a\) � o radicando (que fica sob o sinal do radical). Leia a nota seguinte para entender as raz�es pelas quais evito usar o s�mbolo de radical neste trabalho.

Assim, \(b\) � a raiz \(n\)-�sima de \(a\) se, e somente se, \(a=b^n\), isto �:

\[b=\sqrt[n]{a} \text{ se, e somente se, } a=b^n\]

A raiz quadrada (de ordem \(2\)) de um n�mero inteiro \(a\) � a opera��o que visa obter um outro n�mero inteiro n�o negativo que elevado ao quadrado coincide com o n�mero \(a\).

Nota: N�o existe a raiz quadrada de um n�mero inteiro negativo no conjunto dos n�meros inteiros. A exist�ncia de um n�mero cujo quadrado seja igual a um n�mero negativo s� ser� estudada mais tarde no contexto dos n�meros complexos.

Erro comum: Frequentemente lemos em materiais did�ticos e at� mesmo ocorre em algumas aulas o aparecimento de:

\[\sqrt{9} = �3\]

mas isto est� errado. O certo �:

\[\sqrt{9} = +3\]

N�o existe um n�mero inteiro n�o negativo que multiplicado por ele mesmo resulte em um n�mero negativo.

A raiz c�bica (de ordem \(3\)) de um n�mero inteiro \(a\) � a opera��o que visa obter um outro n�mero inteiro que elevado ao cubo seja igual ao n�mero \(a\). Aqui n�o restringimos os nossos c�lculos somente aos n�meros n�o negativos.

Exemplos:

1. \(\sqrt[3]{8}=2\), pois \(2^3=8\).
2. \(\sqrt[3]{-8}=-2\), pois \((-2)^3=-8\).
3. \(\sqrt[3]{27}=3\), pois \(3^3=27\).
4. \(\sqrt[3]{-27}=-3\), pois \((-3)^3=-27\).

Nota: Ao obedecer a regra dos sinais para o produto de n�meros inteiros, conclu�mos que:

1. Se o �ndice da raiz � par, n�o existe raiz de n�mero inteiro negativo.
2. Se o �ndice da raiz � �mpar, podemos extrair a raiz de qualquer n�mero inteiro.

16 Radicia��o com o navegador

Para obter a raiz \(n\)-�sima de um n�mero n�o negativo \(M\), que � igual a uma pot�ncia (power, em ingl�s, reduzida para pow) com expoente fracion�rio da forma \(1/n\), no navegador, digite:

javascript:Math.pow(M,1/n)

na caixa do navegador com o nome do arquivo que est� sendo acessado neste momento (location=endere�o). Voc� ver� uma nova p�gina onde voc� calcular a raiz en�sima ou qualquer outro calcul dispon�vel.

Qual é o resultado da multiplicação de um número inteiro positivo ou negativo por um?

Qual é o produto da multiplicação?

O que acontece quando multiplicamos o número 1?

Quando multiplicamos um número inteiro positivo por outro número positivo obtemos um número?