Campo elétrico de uma esfera carregada

B.1. Campo de uma esfera condutora

Numa esfera condutora isolada, a carga distribui-se uniformemente na superfície. Se o raio da esfera é R e a carga total Q , então a densidade superficial de carga é constante e igual à carga total dividida pela área da superfície da esfera

(B.1)

σ=Q4πR2

Para calcular o campo elétrico num ponto P qualquer, que está a uma distância r do centro da esfera, é conveniente definir o eixo dos z com origem O no centro da esfera e passando pelo ponto P, como se mostra na figura B.1

Divide-se a superfície da esfera em muitos pedaços infinitesimalmente pequenos, calcula-se o campo produzido por cada pedaço no ponto P e o campo total é a sobreposição de todos esses campos. A figura B.1 mostra duas partes infinitesimais da superfície da esfera, ambas com área dA , em dois pontos que estão à mesma distância s de P, de forma que os segmentos desde esses pontos até P estão no mesmo plano com o eixo dos z . Um desses pontos tem coordenadas polares (R , θ , φ ), e o outro (R ,θ+π , φ ), onde φ é o ângulo indicado na figura. O ângulo θ mede-se no plano xy , perpendicular ao eixo dos z

O elemento infinitesimal de área, dA , determina-se multiplicando os comprimentos dos dois arcos obtidos quando os dois ângulos, φ e θ , aumentam infinitesimalmente em dφ e dθ . O aumento do ângulo φ produz um arco de comprimento Rdφ , e o aumento do ângulo θ produz um arco que, projetado no plano xy , tem raio Rsin(φ) e ângulo dθ . Como tal, o elemento infinitesimal de área na superfície da esfera é

(B.2)

dA=R2sin(φ)dθdφ

A carga infinitesimal nessa região obtém-se multiplicando essa área pela carga superficial (equação B.1)

(B.3)

dq=Q4πsin(φ)dθdφ

Essa carga infinitesimal pode ser considerada uma carga pontual e, assim sendo, o módulo do campo que ela produz no ponto P é dado pela expressão do campo para uma carga pontual (equação 1.5)

(B.4)

dE=k|Q|4πKs2sin(φ)dθdφ

onde s é a distância desde a região infinitesimal na superfície da esfera, até o ponto P. Os campos produzidos pelas duas regiões infinitesimais mostradas na figura B.1 têm o mesmo módulo dE (equação B.4) e fazem o mesmo ângulo α em relação ao eixo z , mas nos dois lados opostos do eixo dos z . Como tal, as componentes desses dois campos perpendiculares ao eixo dos z anulam-se, ficando apenas a soma das componentes paralelas ao eixo dos z . Conclui-se então que o campo total deverá ser na direção do eixo dos z e para o calcular basta integrar a componente cos(α)dE , do campo produzido pela região infinitesimal no (R , θ , φ ), em ordem a θ e a φ , com os limites necessários para incluir todos os pontos da superfície:

(B.5)

E=sup.esferacos( α)dE=k|Q|4π Kπ02π0cos(α)sin(φ)s2dθdφ

Como s e α dependem de φ mas não dependem de θ , o integral em ordem a θ é simplesmente igual a 2π

(B.6)

E=k|Q|2 Kπ0cos(α)sin(φ)s2dφ

Este integral é mais simples de calcular expressando os dois ângulos φ e α em função da distância s , usando o teorema do cosseno aplicado ao triângulo de lados r , R e s na figura B.1

(B.7)

R2=s2+r2−2srcos(α)

(B.8)

s2=R2+r2−2Rrcos(φ)

A expressão para α obtém-se a partir da equação B.7

(B.9)

cos(α) =s2+r2−R22sr

Lembre-se que R e r são constantes para todos os segmentos da superfície esférica. A expressão para sin(φ)dφ obtém-se derivando a equação B.8

(B.10)

sin(φ)dφ=sRrds

Substituindo as expressões B.9 e B.10 na equação B.6 obtém-se

(B.11)

E=k|Q|4KRr2smáxsmin1+r2−R2s2ds

Onde smin e smáx são os valores mínimo e máximo da distância s , em φ=0 e φ=π . O resultado do integral é

(B.12)

E=k |Q|4KRr2(smáx−smin)1+r2−R2smáxsmin

É necessário considerar dois casos diferentes, quando o ponto P está dentro ou fora da esfera. Quando o ponto P está dentro da esfera, smín=R−r , smáx=R+r e, como tal, smáxsmín=R2−r2 e

1+r2−R2 smáxsmin=1+d2−R2R2−r 2=0

Ou seja, o campo elétrico em qualquer ponto dentro da esfera é nulo. Fora da esfera, smin=r−R , smáx=r+R e

E=k|Q|4KRr2(2R)1+r2−R2r2−R2=k|Q|Kr2

Que é o mesmo campo produzido por uma carga pontual Q colocada no centro da esfera. Resumindo, o campo da esfera condutora é na direção radial, atrativo se Q< 0 ou repulsivo se Q> 0 e com módulo igual a

(B.13)

E= ⎧⎨⎩k|Q|Kr2,r>R0,r <R

B.2. Campo de duas esferas condutoras concêntricas

A figura fig-B.2 mostra duas esferas condutoras concêntricas isoladas, de raios R1 e R2 . A esfera de raio R1 tem carga total Q1 , a esfera de raio R2 tem carga total Q2 e R1<R2 . O campo de cada uma das esferas é dado pela expressão obtida na secção anterior e o campo total é a soma desses dois campos.

No interior da esfera menor, o campo é nulo porque todos os pontos nessa região encontram-se no interior das duas esferas e as esferas condutoras não produzem campo no seu interior. Nos pontos que estão entre as duas esferas, o campo é igual ao campo da esfera menor, porque esses pontos estão no interior da esfera maior, onde esta não produz nenhum campo. Nos pontos fora das duas esferas, o campo total é igual à soma dos campos das duas esferas, ou à sua diferença, segundo Q1 e Q2 tenham o mesmo sinal ou sinais opostos.

A expressão para o módulo do campo total a uma distãncia r do centro das esferas é então

(B.14)

E=⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩k|Q1+Q2|Kr2,r>R2k|Q1|Kr2,R1<r<R20,r<R1

O campo é sempre na direção radial. Entre as duas esferas, o campo aponta no sentido radial se Q1 é positiva, ou no sentido oposto se Q1 é negativa. Fora das duas esferas, o campo é repulsivo se Q1+Q2 é positiva, ou atrativo se Q1+Q2 é negativa.

As expressões obtidas neste apêndice para o campo da esfera condutora e das duas esferas concêntricas podem ser obtidas mais facilmente usando a lei de Gauss, como se explica no capítulo 6. No entanto, o método usado neste apêndice é mais geral e permite obter campos de distribuições de carga mais complicadas. O problema é que os integrais obtidos podem não ter solução analítica, tendo de ser calculados de forma numérica.