Considerando que cada quadradinho mede 1 metro quadrado a medida da área total dessa figura é de

As figuras geométricas que possuem apenas três ou quatro lados contam com fórmulas para determinar sua área de maneira prática. Entretanto, para a maioria das figuras geométricas não existe fórmula. Para essas é preciso realizar uma decomposição, isto é, cortar a figura a fim de obter outras que possuam fórmulas de área bem definidas. Depois disso, ao calcular a área de cada figura e somar seus resultados, obtém-se, então, a área da figura inicial.

Para calcular a área do pentágono a seguir, por exemplo, basta dividi-lo em duas figuras: o quadrilátero EFGI e o triângulo GIH. Em seguida, deve-se calcular as áreas de ambos separadamente e depois somar os resultados.

“Decomposição” de figuras

Se imaginamos que as figuras geométricas são feitas de papel, fica fácil perceber que, na separação em duas partes, a soma das áreas das figuras resultantes será igual à área da figura inicial. Observe o seguinte retângulo que possui 4 cm de largura e 2 cm de altura:

 Se esse retângulo fosse cortado ao meio, na vertical, ele seria transformado em dois quadrados com lado de 2 cm, como mostra a figura abaixo:

Note que a área desse retângulo é igual a 8 cm2 e que a área de cada quadrado corresponde a 4 cm2. A soma das áreas desses dois quadrados é exatamente igual à área do retângulo.

Esse conceito pode ser usado para calcular a área quando não existe fórmula específica para algumas figuras ou para facilitar os cálculos da área de todo tipo de figura.

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Exemplo – Qual a área da seguinte figura, sabendo que a parte curva é um semicírculo?

Observe que já existe um corte marcando a divisão em partes nessa figura. Como todos os ângulos desse quadrilátero são retos, todos os seus lados opostos são paralelos e congruentes. Assim, concluímos que o quadrilátero é um quadrado com lado igual a 12 cm. O diâmetro do semicírculo é um dos lados do quadrado, por isso, seu raio é a metade do lado, ou seja, r = 6 cm. Agora, basta calcular a área do quadrado e a área do semicírculo e somar as duas para encontrar a área da figura acima.

Área do quadrado:

A1 = l2

A1 = 122

A1 = 144 cm2

Área do semicírculo: um semicírculo é um círculo dividido ao meio. Então, basta dividir a área do círculo (de raio igual a 6 cm) por dois para obter a área desse semicírculo.

Área do círculo com raio igual a 6 cm:

A = π·r2

A = 3,14·62

A = 3,14·36

Área do semicírculo com raio igual a 6 cm:

A2 = 113,04
        2

A2 = 56,52 cm2

A área da figura é a soma A1 + A2:

144 + 56,52 = 200,52 cm2

Para resolver esse problema, basta calcular o perímetro e a área do lote de Joaquim; depois, multiplicar esses resultados pelos respectivos valores do cercado e grama. Observe:

1 – Valor da cerca:

P = 4l

P = 4·250

P = 1000 metros.

Multiplicando 1000 metros por R$ 73,00, teremos:

1000·73 = 73000

Joaquim gastará R$ 73000,00 para construir sua cerca.

2 – Valor da grama:

A = l2

A = 2502

A = 62500 m2

Multiplicando 62500 por R$ 39,90, teremos:

62500·39,9 = 2493750,00

Joaquim gastará R$ 2.493.750,00 para plantar grama em seu terreno.

No total, Joaquim gastará: 2.493.750,00 + 73000,00 = 2.566.750,00.

Gabarito: Letra E.

A área do quadrado corresponde ao tamanho da superfície dessa figura. Lembre-se que o quadrado é um quadrilátero regular que apresenta quatro lados congruentes (mesma medida).

Além disso, ele possui quatro ângulos internos de 90°, chamados de ângulos retos. Assim, a soma dos ângulos internos do quadrado totaliza 360°.

Fórmula da Área

Para calcular a área do quadrado, basta multiplicar a medida de dois lados (l) dessa figura. Muitas vezes os lados são chamados de base (b) e altura (h). No quadrado a base é igual à altura (b=h). Logo, temos a fórmula da área:

A = L2
ou
A = b.h

Observe que o valor geralmente será dado em cm2 ou m2. Isso porque o cálculo corresponde a multiplicação entre duas medidas. (cm . cm = c2 ou m . m = m2)

Exemplo:

Encontra a área de um quadrado com 17 cm de lado.

A = 17 cm . 17 cm
A = 289 cm2

Veja também outros artigos de áreas de figuras planas:

• Área dos Polígonos
• Área do Retângulo
• Área do Triângulo
• Área do Círculo
• Área do Trapézio
• Área do Losango
• Áreas de Figuras Planas
• Área de Figuras Planas - Exercícios

Fique Atento!

Diferente da área, o perímetro de uma figura plana é encontrado por meio da soma de todos os lados.

No caso do quadrado, o perímetro é soma dos quatro lados, dado pela expressão:

P = L + L + L + L
ou
P = 4L

Obs: Note que o valor do perímetro geralmente é dado em centímetros (cm) ou metros (m). Isso porque o cálculo para encontrar o perímetro corresponde a soma de seus lados.

Exemplo:

Qual o Perímetro de um quadrado com 10 m de lado?

P = L + L + L + L
P = 10 m + 10 m + 10 m + 10 m
P = 40 m

Saiba mais sobre o tema em:

• Área e Perímetro
• Perímetro do Quadrado
• Perímetros de Figuras Planas

Diagonal do Quadrado

A diagonal do quadrado representa o segmento de reta que corta a figura em duas partes. Quando isso ocorre o que temos são dois triângulos retângulos.

Os triângulos retângulos são um tipo de triângulo que apresentam um ângulo interno de 90° (chamado de ângulo reto).

De acordo com o Teorema de Pitágoras a hipotenusa elevada ao quadrado é igual a soma de seus catetos elevados ao quadrado. Logo:

A2 = b2 + c2

Nesse caso, “a” é a diagonal do quadrado que corresponde a hipotenusa. Ela é o lado oposto ao ângulo de 90º.

Já os catetos oposto e adjacente correspondem aos lados da figura. Feita essa observação, podemos encontrar a diagonal por meio da fórmula:

d2 = L2 + L2
d2 = 2L2
d = √2L2
d = L√2

Assim, se tivermos o valor da diagonal podemos encontrar a área de um quadrado.

Exercícios Resolvidos

1. Calcule a área de um quadrado com lado de 50 m.

Ver Resposta

A = L2
A = 502
A = 2500 m2

2. Qual a área de um quadrado cujo perímetro é de 40 cm?

Ver Resposta

Lembre-se que o perímetro é a soma dos quatro lados da figura. Portanto, o lado desse quadrado equivale a ¼ do valor total do perímetro:

L = ¼ de 40 cm
L = ¼.40
L = 40/4
L = 10 cm

Após encontrar a medida do lado, basta colocar na fórmula da área:

A = L2
A = 10 cm .10 cm
A = 100 cm2

3. Encontre a área de um quadrado cuja diagonal mede 4√2 m.

Ver Resposta

d = L√2
4√2 = L√2
L = 4√2 / √2
L = 4 m

Agora que você já sabe a medida do lado do quadrado, basta utilizar a fórmula da área:

A = L2
A = 42
A = 16 m2

Conheça também outras figuras geométricas nos artigos:

• O que é um quadrado? Definição, fórmulas e exercícios
• Geometria Plana
• Retângulo
• Geometria Espacial
• Fórmulas de Matemática

Bacharel em Meteorologia pela Universidade Federal do Rio de Janeiro (UFRJ) em 1992, Licenciada em Matemática pela Universidade Federal Fluminense (UFF) em 2006 e Pós-Graduada em Ensino de Física pela Universidade Cruzeiro do Sul em 2011.