Determine o ponto de interseção das retas y 2x 1 ey 3x 2 e assinale a opção correta

242

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Como calcular o ponto de interseção?
Qual é o ponto de interseção da reta com o eixo Y?
Qual é o ponto de encontro entre duas retas?
Quando duas retas se interceptam?

Existe alguma reta paralela a $r=\{ (0,1,1)+t(1,-1,-1), t\in\mathbb{R}\}$, contida no plano $\pi : x-2y+3z-1=0$? Por quê?

Sim, pois o vetor diretor de $r$ está contido no plano $\pi$, haja visto que $(1,-1,-1)\cdot(1,-2,3)=0$. De outra forma, podemos deduzir (como?) que $v_1=(2,1,0)$ e $v_2=(-3,0,1)$ formam um par gerador para $\pi$ e que o vetor diretor da reta $r$ pode ser escrito como combinação deste par. Ou seja, se escalonarmos a matriz cujas linhas são estes três vetores, então obteremos uma linha nula na forma escalonada reduzida.

227

Estabeleça as equações gerais dos planos bissetores dos ângulos formados pelos planos $xOy$ e $yOz$.

$x-y=0$

270

Sejam $a$, $b$, $c$, $d$ números reais tais que $ax+by+cz+d>0$ para quaisquer $x$, $y$, $z\in\mathbb{R}$. Mostre que $a=b=c=0$ e $d>0$.

237

Considere as retas $r$ e $s$ dadas pelas equações:

\[
r:\ x\ =\ \frac{y}{2}\ =\ z, \ s:\left\{
\begin{array}{ccl}
x & = & -4+t \\
y & = & 2+2t \\
z & = & t , \ \ \ \ \ \ \ \ \mathrm{onde}\ \ t\in \mathbb{R}
\end{array}
\right. \ \
\]

Determine a equação da reta paralela a $r$ e a $s$, contida no mesmo plano de $r$ e $s$ e que seja equidistante de $r$ e de $s$.

$\left\{
\begin{array}{l}
x=-2+t \\
y=1+2t \\
z=t
\end{array}
\right. $

231

Considere os seguintes vetores de $\mathbb{R}^{3}$: $U=(1,0,-1)$ e $V=(0,1,0)$.

Determine a forma geral de um vetor perpendicular a $U$. Explique porque sua resposta contém duas variáveis livres.
Determine (caso existam) as equações das retas que passam pelo ponto $(1,2,3)$, são perpendiculares ao vetor $U$ e fazem ângulo de $\dfrac{\pi}{3}$ com o vetor $V$.

$(a,b,a)$.
$\left\{
\begin{array}{l}
x=1+\sqrt{3} \\
y=2+\sqrt{2}t \\
z=3+\sqrt{3}t
\end{array}
\right. $ e $\left\{
\begin{array}{l}
x=1+\sqrt{3}t \\
y=2-\sqrt{2}t \\
z=3+\sqrt{3}t
\end{array}
\right. .$

1426

Um trecho de uma estrada passa sob três viadutos. Aproximadamente, a estrada pode ser considerada como pertencente ao plano $\pi: 5x+4y+20z-20=0$, e os viadutos têm seus pontos mais baixos nas retas: $r_1: X=(5,6,3)+t(4,0,-1)$, $r_2: X=(3,3,4)+t(0,5,-1)$ e $r_3=(2,6,4)+t(4,5,-2)$. As medidas são consideradas em metros. Determine aproximadamente a altura máxima dos veículos que podem trafegar na estrada.

248

Encontre a equação da reta simétrica à reta $r$ em relação ao plano $\pi$:

$$r:\begin{cases} x - 2y = 4\\
3y + z = -8\end{cases}\ \ \ {\rm e}\ \ \ \pi:x-y+z=0.$$

256

Encontre a equação do plano $\pi$ que passa pelo ponto $P=(3,1,2)$ e tem vetor normal $N=(1,2,-3)$.

$x+2y-3z=-1$

240

Determine a reta $t$, contida no plano $\pi : x-y+z=0$, e que é concorrente com as retas

$$\begin{cases} x+2y+2z=2\\ x=y \end{cases}\ \ \ {\rm e}\ \ \ \begin{cases} z=x+2\\ y=0 \end{cases}$$

Usando escalonamento, podemos ver que a primeira reta irá intersectar o plano $\pi$ no ponto $A=(2/3,2/3,0)$. Da mesma forma, a segunda reta irá intersectar $\pi$ no ponto $B=(-1,0,1)$. Assim, $t$ será a reta contida em $\pi$ e que passa por $A$ e $B$. Ou seja, tomando $B-A=(-5/3,-2/3,1)$ como vetor diretor, então podemos escrever $t$ na forma vetorial como $$ t: (2/3,2/3,0)+s(-5/3,-2/3,1),\quad s\in\mathbb{R}, $$ ou ainda, em termos de componentes, $$\begin{cases} x=\frac{2}{3}-s\frac{5}{3}, \\ y=\frac{2}{3}-s\frac{2}{3},\\ s,\quad s\in\mathbb{R}.\end{cases}$$

235

Considere a reta $r$ e o plano $\pi$ de respectivas equações

\[
\frac{x}{2}\ =\ \frac{1-y}{4}\ =\ z-3, \]
\[ x+y+2z\ =\ 1.\]
Determine a equação paramétrica da reta $s$ que é igual a projeção ortogonal da reta $r$ sobre o plano $\pi$.

$\left\{
\begin{array}{l}
x=-1+2t \\
y=-4t \\
z=1+t
\end{array}
\right. .$

254

Considere o plano $\pi : ax + by + cz = 0$. Encontre as coordenadas:

da projeção ortogonal do vetor $(x,y,z)$ sobre o plano $\pi$;
da reflexão do vetor $(x,y,z)$ em relação ao plano $\pi$.

265

Sejam $P=(a,b, c)$ um ponto no espa\c co e $r$ a reta $\left\{ \begin{array}{c} x+y+2z=4 \\ x-2y+z=5\end{array} \right.$. Para cada par não nulo de n\'umeros reais, $m,\,n$, considere o plano:

$$\pi_{(m,n)}: (m+n)x+(m-2n)y+(2m+n)z=4m+5n.$$
Mostre que: $P\in r$ se e somente se $P\in \pi_{(m,n)}$, para todo par não nulo $(m,n)$.

247

Encontre a equação da reta simétrica à reta $r$ em relação ao plano $\pi$:

$$r:\begin{cases} x= 1 + 2t\\
y = -2 + 7t
\\z = -2 + 5t \end{cases}\ \ \ {\rm e}\ \ \ \pi:x-y+z=1.$$

233

Seja $\pi $ o plano que contém as retas

\[
r_{1}:\left\{
\begin{array}{ccc}
x & \;=\; & 2t \\
y & \;=\; & t \\
z & \;=\; & 2-t
\end{array}
\right. \mathrm{onde}\ \;\;t\in \Bbb{R}\;\;\;\;\ \ \ \ \ \ \mathrm{e}\ \ \ \
\ \ \;\;r_{2}:\left\{
\begin{array}{ccc}
z & \;= & \;2 \\
x & \;= & y
\end{array}
\right.
\]

Determine a equação de $\pi $.
Escreva o vetor $\vec{V}=2\vec{\imath}+1\vec{\jmath}+2\vec{k}$ como a soma de 2 vetores $\vec{U_{1}}$ e $\vec{U_{2}}$, sendo $\vec{U_{1}}$ paralelo a $\pi $ e $\vec{U_{2}}$ ortogonal a $\pi $.

$x-y+z=2.$
$\overrightarrow{U}_{1}=(1,2,1)$ e $\overrightarrow{U}_{2}=(1,-1,1).$

268

Considere os planos $\alpha : x - y + z - 3=0$ e $\beta: 2m^{2}x - (m+1)y + 2z=0$.

Determine $m$ para que os planos $\alpha$ e $\beta$ possam ser paralelos, concorrentes, e concorrentes ortogonais (Um $m$ para cada caso, se for possível).
Para $m=-1$ encontre a equação da reta interseção entre $\alpha$ e $\beta$.

250

Encontre a equação geral do plano que contém os pontos $A=(1,0,0)$, $B=(1,5,-2)$ e é paralelo ao vetor $(1,-1,1)$. Determine a distância de $C=(1,-1,1)$ ao plano encontrado e a área do triângulo formado pelos vértices $A$, $B$ e $C$.

243

Considere as retas $r=\{ (1,1,0)+t(0,1,1), t\in\mathbb{R}\}$ e $s:\frac{x-1}{2}=y=z$. Sejam $A$ o ponto de intersecção de $s$ e $\pi : x-y+z=2$; $B$ e $C$ as intersecções de $r$ com os planos coordenados $xz$ e $xy$ respectivamente. Calcule a área do triângulo $ABC$.

$\frac{\sqrt{3}}{2}$

267

Considere as retas $r$ e $r^{\prime}$ dadas por:

$r$: $x=0$, $y=2+t$ e $z=1+t$ $r^{\prime}$: $ x-2=z+1$ e $y=3$.

Mostre que $r$ e $r^{\prime}$ são reversas.
Encontre dois planos paralelos $\pi$ e $\alpha$ tais que $r\subset \pi$ e $r^{\prime}\subset \alpha$. Pergunta: Podem existir outros planos com as propriedades de $\pi$ e $\alpha$?
Encontre a distância entre os planos $\pi$ e $\alpha$ do item anterior.
Encontre $P$ em $r$ e $Q$ em $r^{\prime}$ tais que a reta que passa por $P$ e $Q$ seja perpendicular a $r$ e $r^{\prime}$.

271

Os seguintes pares de retas $r_1$ e $r_2$ são paralelas ou concorrentes. Encontre uma equação geral do plano que as contém.

$$r_1:\;\begin{cases}y=2x-3\\z=-x+2\end{cases}\ \ \ {\rm e}\ \
\ r_2: \begin{cases}\text{ $\frac{x-1}{3}=\frac{z-1}{-1}$}\\
y=-1.\end{cases}$$

As retas são concorrentes em $P(1,-1,1)$; $\pi: x+y+3z-3=0$.

259

Encontre a equação do plano $\pi$ que é perpendicular ao plano $x+3y-z=7$ e contém os pontos $A=(2,0,5)$ e $B=(0,2,-1)$.

Consideremos os vetores $v_1=(1,3,-1)$ (normal ao plano perpendicular) e $v_2=B-A=(-2,2,-6)$. Note que estes vetores estão contidos no plano procurado e não são paralelos, com $v_1\times v_2=(-16,8,8)$. Logo, o plano procurado pode ser descrito por $$\pi: -16x+8y+8z=(-16,8,8)\cdot A=8\Longleftrightarrow -2x+y+z=1. $$

255

Considere os pontos $A=(1,1,0)$, $B=(3,2,-1)$, $C=(0,1,-2)$ e $D=(1,3,-1)$.

Encontre as retas: $r_1$ contendo o segmento $AB$ e $r_2$ contendo o segmento $CD$. Determine a posição relativa desta retas.
Use o produto misto para encontrar a equação do plano $\pi$ contendo o segmento $AB$ e que seja paralelo a $r_2$.
Calcule as distâncias $d(\pi, r_2)$ e $d(r_1, r_2)$.

238

Considere a reta $r$ e o plano $\pi $ de respectivas equações

\[
\frac{x-2}{2}\ =\ y-2\ =\ \frac{z-3}{3}\, \ \mathrm{e}, \ x+y+z\ =\ 1.
\]

Encontre uma equação paramétrica para a reta que é a projeção ortogonal de $r$ sobre $\pi$.

$\left\{
\begin{array}{l}
x=0 \\
y=1-t \\
z=t
\end{array}
\right. $

234

Considere o ponto $A=(3,4,-2)$ e a reta $ r:\left\{
\begin{array}{ccc}
x & \;=\; & 1+t \\
y & \;=\; & 2-t \\
z & \;=\; & 4+2t
\end{array}
\right. $, onde $t\in \mathbb{R}.$

Escreva a equação do plano $\pi $ perpendicular a $r$ que passa por $A$.
Determine a reta que passa por $A$ e é perpendicular a $r$.

$x-y+2z=-5.$
$\left\{
\begin{array}{l}
x=3-4t \\
y=4 \\
z=-2+2t
\end{array}
\right. .$

246

Determine o plano que passa pelos pontos $P=(1,1,-1)$ e $Q=(2,1,1)$ e que dista $1$ da reta $r=\{ (1,0,2)+t(1,0,2),t\in\mathbb{R}\}$.

261

Encontre a distância entre o plano $\pi: 2x+2y-z=6$ e o ponto $P=(2,2,-4)$.

Vamos utilizar o conceito de distância dado na referência R. J. Santos-Matrizes, Vetores e Geometria Analítica. Neste caso, precisamos tomar um ponto (arbitrário) sobre o plano. Vamos tomar $P_1=(3,0,0)$ em $\pi$. Assim, sendo $N=(2,2,-1)$ a normal ao plano, $$ d(P,\pi)=\|\mathrm{proj}_N\vec{P_1P}\|=2.$$

260

Encontre a equação do plano $\pi$ que é perpendicular a cada um dos planos $x-y-2z=0$ e $2x+y-4z-5=0$ e contém o ponto $A=(4,0,-2)$.

$$\pi: 2x+z=6$$

251

Determine a equação do plano $\pi_1$ que passa por $A = (10/3, 1,-1), B = (1, 9/2,-1) \text{ e } C = (1,-1, 5/6)$.
Determine a equação do plano $\pi_2$ que passa por $D = (-1, 4,-1), E = (3/2,-1, 10)$ e é paralelo ao eixo $z$.
Escreva as equações paramétricas para a reta $r$, interseção dos planos $\pi_1$ e $\pi_2$.
Qual o ângulo entre os planos $\pi_1$ e $\pi_2$?
Qual o ponto $P$ de $\pi_1$ que está mais próximo da origem? (Sugestão: este ponto é tal que $ \overrightarrow{OP}$ é ortogonal ao plano $\pi_1$.)

241

Obtenha o plano que contém a reta $r = \{ (1,1,0)+t(2,1,2), t\in\mathbb{R}\}$ e é paralelo à reta $s:\frac{x+1}{2}=y=z+3$.

Um vetor diretor para a reta $s$ é dado por $v_s=(2,1,0)$. Já para $r$, $v_r=(2,1,2)$ é o vetor diretor. Fazendo $v_r\times v_s=(-1,2,3)$ obtemos, dessa forma, um vetor normal ao plano procurado. Como esse plano deve conter o ponto $(1,1,0)$, então o mesmo pode ser descrito como: $$(x-1,y-1,z)\cdot(-1,2,3)=0\Longleftrightarrow -x+2y+3z=-1.$$

269

Considere os pontos $A = (4,3,-2)$, $B = (5,5,-1)$, $C = (6,4,-3)$ e $D = (7,6,0)$. Pede-se:

A equação do plano $\pi$ que passa por $A$, $B$ e $C$. Mostre também que $D$ não está em $\pi$.
As equações paramétricas da reta $r$ que passa por $D$ e é perpendicular ao plano $\pi$ (do item 1).
O ponto de interseção entre a reta $r$ (do item 2) e o plano $\pi$ (do item 1).
A distância do ponto $D$ ao plano $\pi$ (do item 1).
A área do triângulo de vértices $A$, $B$ e $C$ (área do triângulo $=1/2$ área do paralelogramo).
O volume do tetraedro de vértices $A$, $B$, $C$ e $D$. (Volume do tetraedro $= 1/6$ volume do paralelepípedo).
A altura do tetraedro $ABCD$.

Dica: Os itens 5 e 6 requerem produto vetorial. A solução baseada na geometria plana não é o propósito da geometria analítica.

225

Dado o ponto $P(5,2,3)$ e o plano $\pi:\;2x+y+z=0$, determinar:

equações paramétricas da reta que passa por $P$ e é perpendicular a $\pi$;
a projeção ortogonal de $P$ sobre o plano $\pi$;
o ponto $P'$ simétrico de $P$ em relação a $\pi$;
a distância de $P$ a o plano $\pi$.

$r:(x,y,z)=(5+2t,2+t,3+t)$.
$P_{\bot}=(0,-\frac{1}{2},\frac{1}{2})$.
$P'=(-5,-3,-2)$.
$5\dfrac{\sqrt{6}}{2}$.

253

Determine a equação do plano $\pi_1$ que passa por $A = (10, 1,-1)$, $B = (1, 9,-1) \text{ e } C = (1,-1, 5)$.
Determine a equação do plano $\pi_2$ que passa por $D = (-1, 4,-1)$, $E = (3,-1, 10)$ e é paralelo ao eixo $z$.
Escreva as equações paramétricas para a reta $r$, interseção dos planos $\pi_1$ e $\pi_2$.
Qual o ângulo entre os planos $\pi_1$ e $\pi_2$?
Qual o ponto $P$ de $\pi_1$ que está mais próximo da origem? (Sugestão: este ponto é tal que $\overrightarrow{OP}$ é ortogonal ao plano $\pi_1$.)

252

Determine a equação do plano $\pi_1$ que passa por $A = (3, 1,-1), B = (1, 2,-1) \text{ e } C = (1,-1, 0)$.
Determine a equação do plano $\pi_2$ que passa por $D = (-1, 4,-1), E = (2,-1,0)$ e é paralelo ao eixo $y$.
Escreva as equações paramétricas para a reta $r$, interseção dos planos $\pi_1$ e $\pi_2$.
Qual o ângulo entre os planos $\pi_1$ e $\pi_2$?
Qual o ponto $P$ de $\pi_1$ que está mais próximo da origem? (Sugestão: este ponto é tal que $\overrightarrow{OP}$ é ortogonal ao plano $\pi_1$.)

263

Verifique que a reta $x-1=z-2 y=3$ é paralela ao plano $x+2y-z=3$ e encontre a distância perpendicular entre eles.

Escrevendo $z$ como parâmetro livre, obtemos que $v=(1,0,1)$ é um vetor diretor da reta dada e, sendo $n=(1,2,-1)$ o vetor normal ao plano, vemos que $v\cdot n=0$. Ou seja, a reta é paralela ao plano. Tomando os pontos $p=(-1,3,0)$ sobre a reta e $p_1=(3,0,0)$ sobre o plano, segue também que a distância procurada é dada por $$ \|\mathrm{proj}_{n}\overrightarrow{p_1p}\| = \sqrt{\frac{2}{3}}.$$

232

Encontre a equação da reta $r$ que passa pelos pontos $A=(3,5,3)$ e $B=(1,1,1)$.
Considere $s$ a reta $(x,y,z)=(1,2,3)+t(1,2,1).$ Verifique se as retas $r$ e $s$ são paralelas, reversas ou concorrentes.
Ache, se possível, uma equação geral do plano que contém as retas $r$ e $s$.
Calcule a distância entre as retas $r$ e $s$.

$\left\{
\begin{array}{l}
x=1+2t \\
y=1+4t \\
z=1+2t
\end{array}
\right. $.
Paralelas.
$3x-2y+z=2.$
$\sqrt{\frac{7}{3}}.$

249

Encontre a equação da reta simétrica à reta $r$ em relação ao plano $\pi$:

$$r:\begin{cases} x= 1 + t\\
y = -2 - t
\\z = -1 + t \end{cases}\ \ \ {\rm e}\ \ \ \pi:x-y+z=2.$$

226

Dada a reta $r:\;(x,y,z)=(3+t,1-2t,-1+2t)$, determinar as equações reduzidas das retas projeções de $r$ sobre os planos $xOy$ e $xOz$.

$r_{xOy}=(3+t',1-2t',0),\;r_{xOz}=(3+t,0,-1+2t)$

228

Calcular $k$ de modo que a reta determinada por $A(1,-1,0)$ e $B(k,1,2)$ seja paralela ao plano

$$\pi:\;\begin{cases}x=1+3h\\ y=1+2h+t\\ z=3+3t \end{cases}$$

$k=3/2$

244

Verifique que a intersecção dos planos $\pi_1:x-y=0$, $\pi_2:x+z=0$ e $\pi_3:x-y+3z+3=0$ é um ponto. Modifique o coeficiente de $y$ na equação do plano $\pi_3$ para que a intersecção $\pi_1\cap\pi_2\cap\pi_3$ seja uma reta.

258

Encontre a equação do plano $\pi$, sabendo que $C=(-5,1,2)\in \pi$ e $\pi$ é perpendicular à reta que passa pelos pontos $A=(2,2,-4)$ e $B=(7,-1,3)$.

Podemos tomar $B-A=(5,-3,7)$ como vetor normal ao plano e, sendo $(B-A)\cdot C=-25-3+14=-14$, segue que $$\pi:5x-3y+7z=-14.$$

272

Os seguintes pares de retas $r_1$ e $r_2$ são paralelas ou concorrentes. Encontre uma equação geral do plano que as contém.

$$r_1:\;\begin{cases}x=1+2t\\
y=-2+3t\\ z=3-t\end{cases}\ \ \ {\rm e}\ \ \ r_2: \begin{cases}x=1+2t\\
y=-2-t\\ z=3+2t.\end{cases}$$

As retas são concorrentes em $P(1,-2,3)$; $\pi: 5x-6y-8z+7=0$.

262

Encontre a distância perpendicular entre os planos (paralelos): $$ 4x-8y-z=9 \;\;\; \mbox{e}\;\;\;2x-4y-\frac{z}{2}=5.$$

O primeiro plano ($\pi_1$) tem normal, digamos, $n_1=(4,-8,-1)$ e $p_1=(0,0,-9)$ é um ponto sobre o mesmo. Note também que $p_2=(0,0,-10)$ é um ponto sobre o outro plano ($\pi_2$). Assim, segue que $$ d(\pi_1,\pi_2)=d(\pi_1,p_2)=\|\mathrm{proj\,}_{n_1}(\vec{p_1p_2})\|=\frac{1}{9}.$$

266

Dados os dois pontos $A=(x_1,y_1,z_1)$ e $B=(x_2,y_2,z_2)$, mostre que o lugar geométrico dos pontos do espaço que equidistam de $A$ e $B$ é um plano que passa pelo ponto médio do segmento $AB$ e é perpendicular à reta que contém $A$ e $B$.

264

Dados o plano $x-y+z=1$ e o ponto $P=(1,0,1)$, encontre o ponto $Q$ que é simétrico a $P$ em relação ao plano dado.

229

Achar o ponto $N$, projeção ortogonal do ponto $P(3,-1,-4)$ no plano determinado pelos pontos $A(2,-2,3)$, $B(4,-3,-2)$ e $C(0,-4,5)$. Qual é o ponto simétrico de $P$ em relação a este plano?

$N=\left(\frac{18}{7},-\frac{17}{14},\frac{47}{14}\right),\;

P'=\left(\frac{15}{7},\frac{10}{7},-\frac{9}{14}\right)$

257

Encontre a equação do plano $\pi$ que passa pelos pontos $A=(0,0,2)$, $B=(2,4,1)$ e $C=(-2,3,3)$

$\pi:7x+14z=28$

239

Considere a reta
\[
r:\left\{
\begin{array}{ccl}
x & = & 1 \\
y & = & -z
\end{array}
\right.
\]
e o ponto $A\ =\ (1,1,1)$. Determine a equação do plano $\pi $ que é paralelo à reta $r$, passa por $A$ e é tal que a sua reta normal pelo ponto $A$ seja perpendicular e concorrente com a reta $r$.

$y+z=2$

1411

Em um sistema de coordenadas ortogonal, um detonador de bomba está localizado no ponto $P=(2,1,2)$. Para ativá-lo, é preciso acender a extremidade $A=(2,1,1)$ de uma haste de combustível paralela ao vetor $\vec{u}=(1,0,2)$, cuja extremidade $B$ toca o ponto inicial de um caminho de pólvora que segue em linha reta até o detonador. O fogo se propaga com velocidade unitária na haste e no caminho de pólvora e este está contido no plano $\pi : x+2y-z-2=0$. Mostre que a explosão ocorre entre $3$ e $4$ segundos após o início do processo.

236

Considere a reta $r$ de equação \[
\frac{x-1}{2}\ =\ y-2\ =\ \frac{z-2}{3}
\] e considere o plano $\pi $ de equação $2x+y+z=-2$. Determine a equação do plano $\alpha $ que contém a reta $r$ e é perpendicular ao plano $\pi $.

$-x+2y=3.$

245

Dados os planos $\pi_1:x-y=0$, $\pi_2:x+y-z+1=0$ e $\pi_3:x+y+2z-2=0$, determine o plano que contém $\pi_1\cap\pi_2$ e é perpendicular a $\pi_3$.

Como calcular o ponto de interseção?

O ponto de interseção entre duas retas, ou ponto de encontro, pode ser obtido igualando as equações relativas a elas ou resolvendo o sistema formado. Uma reta é um conjunto de pontos que não faz curva. Em uma reta, existem infinitos pontos, o que também indica que a reta é infinita.

Qual é o ponto de interseção da reta com o eixo Y?

Resposta. Explicação passo-a-passo: Ponto de interseção com o eixo y é quando x = 0.

Qual é o ponto de encontro entre duas retas?

O ponto de intersecção entre duas retas concorrentes pertence às equações das duas retas. Desta forma, podemos encontrar as coordenadas desse ponto em comum, resolvendo o sistema formado pelas equações dessas retas.

Quando duas retas se interceptam?

Quando duas retas se interceptam, dizemos que são concorrentes. Neste caso, suas declividades são, necessariamente, diferentes. Veja exemplo ao lado. ) que fornece as coordenadas do ponto de interseção das duas retas.