Em um polígono regular, a medida do ângulo externo é 40°. quantos lados tem esse poligono?

Polígonos regulares são polígonos convexos que possuem todos os lados com medidas iguais e todos os ângulos congruentes.

Um polígono é uma linha fechada formada apenas por segmentos de reta que não se cruzam e que estão em um mesmo plano. Dessa maneira, os polígonos são figuras geométricas formadas por lados, os quais são justamente os segmentos de reta dados na definição.

Um polígono é dito regular quando possui três características:

1 – é convexo;

2 – todos os seus lados possuem a mesma medida;

3 – todos os seus ângulos são congruentes.

Para compreender melhor essa definição e antes de apresentar os primeiros exemplos, vale relembrar o que são polígonos convexos, já que esse é um requisito para que sejam regulares.

Definição de polígono convexo

Um polígono é convexo quando, dados os pontos A e B quaisquer em seu interior, todos os pontos do segmento AB também estão no interior do polígono, independentemente da localização dos pontos AB.

Se, pelo menos um ponto do segmento AB estiver no exterior do polígono, ele é dito não convexo.

Na imagem acima, à esquerda, um exemplo de um polígono em que, independentemente da localização dos pontos A e B, todos os pontos do segmento AB sempre estarão em seu interior. Já à direita, um exemplo de polígono em que os dois pontos A e B estão em seu interior, mas uma parte do segmento AB está fora do polígono.

Um polígono também pode ser dito não convexo quando ele possui “reentrâncias”.

Exemplo de polígono regular

O polígono presente na imagem a seguir não possui reentrâncias, possui todos os lados com medidas iguais e tem todos os ângulos congruentes. Assim sendo, ele é um polígono regular.

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Propriedades dos polígonos regulares

1ª – Todo polígono regular de n lados possui também n arestas, n ângulos internos, n vértices e n ângulos externos. A figura a seguir mostra um exemplo de polígono regular com todas essas medidas e elementos:

2ª – Somente dos polígonos regulares, ou daqueles em que existam mais hipóteses a considerar, será possível descobrir a medida de cada ângulo interno. No caso dos polígonos regulares, basta calcular a soma dos ângulos internos e depois dividir esse resultado pelo número de ângulos que foi somado. Evidentemente, esse número é igual ao número de lados do polígono.

Também podemos desenvolver uma fórmula para esse procedimento. Seja L a medida de um ângulo interno de um polígono regular, ele pode ser dado por:

L = (n – 2)180
     n

Em que n é o número de lados do polígono.

Por exemplo, no eneágono, cada ângulo interno mede 140°, pois:

L = (n – 2)180
      n

L = (9 – 2)180
      9

L = (7)180
     9

L = 1260
     9

L = 140°

3ª – A medida de cada um dos ângulos externos de um polígono regular pode ser obtida dividindo a soma dos ângulos externos do polígono pelo número de ângulos externos que ele possui. Lembrando que a quantidade de ângulos externos é igual à quantidade de lados.

Em termos matemáticos, temos o seguinte, considerando que M seja cada ângulo externo:

M = 360
       n

No eneágono, por exemplo, cada ângulo externo mede 40°, pois:

M = 360
       n

M = 360
       9

M = 40°

Respostas

Resposta Questão 1

Independentemente do polígono a que o exercício ou situação se refira, a soma dos seus ângulos internos tem valor fixo e é dada pela fórmula S = (n – 2)·180, em que n é o número de lados do polígono. Logo,

Soma dos ângulos internos do triângulo:

S = (3 – 2)·180

S = 1·180

S = 180°

Qualquer que seja o triângulo, a soma de seus ângulos internos sempre será igual a 180°. Isso pode ser usado quando conhecemos as medidas de dois dos ângulos internos de um triângulo e é necessário calcular o valor da última.

Soma dos ângulos internos de um retângulo:

S = (4 – 2)·180

S = 2·180

S = 360°

Não só retângulos, mas qualquer que seja o quadrilátero, a soma de seus ângulos internos será 360°.

Resposta Questão 2

A soma dos ângulos internos de um quadrilátero é dada por:

S = (n – 2)·180

Sabendo que o número de lados da figura é 4, basta substituir n por 4:

S = (4 – 2)·180

S = 2·180

S = 360°

Agora some os ângulos internos dessa figura e iguale o resultado a 360°:

2x + 4x + 2x + 4x = 360

12x = 360

x = 360
     12

x = 30

Agora basta substituir x em cada ângulo para descobrir os seus valores.

4x = 4·30 = 120° e

2x = 2·30 = 60°

Os ângulos são 120° e 60°.

Resposta Questão 3

Na ponta da estrela onde está destacado o ângulo θ, temos o encontro de três ângulos internos de pentágonos regulares. Para descobrir a medida de cada um desses ângulos, basta calcular a soma dos ângulos internos do pentágono e dividir por 5.

A fórmula para calcular a soma dos ângulos internos de um polígono é:

S = (n – 2)·180

*n é o número de lados do polígono. No caso desse exercício:

S = (5 – 2)·180

S = 3·180

S = 540

Dividindo a soma dos ângulos internos por 5, pois um pentágono possui cinco ângulos internos, encontraremos 108° como medida de cada ângulo interno.

Observe na imagem anterior que a soma de três ângulos internos do pentágono com o ângulo θ tem como resultado 360°.

108 + 108 + 108 + θ = 360

324 + θ = 360

θ = 360 – 324

θ = 36°

Letra D.

Resposta Questão 4

Heptágonos são figuras geométricas que possuem sete lados, sete vértices e sete ângulos. Como esse heptágono é regular, então todos os seus ângulos e lados possuem a mesma medida.

A soma dos ângulos internos do heptágono é:

S = (n – 2)·180

S = (7 – 2)·180

S = 5·180

S = 900°

Cada ângulo interno do heptágono regular mede a soma dos ângulos internos dividida por 7.

900 = 128,57
7             

Agora, resta apenas descobrir o valor de um ângulo externo. Os ângulos externos de um polígono são suplementares aos ângulos internos respectivos. Portanto, a soma entre um ângulo interno e seu ângulo externo tem como resultado 180°. Dessa forma, os ângulos externos da moeda de 25 centavos medem:

128,57 + x = 180

x = 180 – 128,57

x = 51,43°

Letra E.

Quantos lados tem um polígono de 40 graus?

Qual o polígono regular em que o ângulo externo mede 40 graus?

Qual a medida dos ângulos externos de um polígono regular?

Qual é é quantos lados tem esse polígono?