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Tabela de conteúdos
Uma população em que as taxas de nascimento e mortalidade são constantes tem um crescimento ou decréscimo independente da densidade dela própria. Essa situação é geralmente relacionada à ausência de restrição ao crescimento, quando os recursos são ilimitados, mas pode também estar associada à extinção de populações. Tempo discretoTaxa de crescimentoVamos imaginar agora uma população com taxas constante de crescimento e mortalidade e sem migrações. A população cresce ou é observada a intervalos regulares. O tamanho da população no próximo passo de tempo ($N_{t+1}$) é o número de indivíduos da geração anterior ($N_t$) mais o número de nascimentos (B), e menos o número mortes (D) no intervalo de tempo: $$N_{t+1} = N_t + B - D $$ O número de mortes e nascimentos são resultado de taxas per capita multiplicadas pelo tamanho da população:
onde: $b$ = taxa de nascimento per capita a cada geração ; $d$ = taxa de mortalidade per capita a cada geração. Note que a taxa não muda com o tamanho da população, e que o número de nascimentos e mortes é proporcional ao tamanho populacional. Vamos apenas deixar claro mais uma premissa, para fins didáticos: os nascimentos e mortes ocorrem simultaneamente na população, no intervalo de tempo $t$. Podemos então dizer que :
se definimos um fator de crescimento discreto: $r_d = b-d$
Como $ 1+r_d $ é uma constante, vamos designá-la como $\lambda$, um número positivo que expressa o aumento proporcional da população de uma geração a outra. Portanto: $$ \lambda=\frac{N_{t+1}}{N_t} \implies N_{t+1} = \lambda N_t$$ Projeção da população em tempo discretoPodemos então projetar a nossa população a cada passo de tempo $t$. Por exemplo: Se uma população com 100 indivíduos tem uma taxa per capita de natalidade de 0,8/ano e de mortalidade de 0,75/ano, qual o tamanho esperado da população no próximo ano? $$N_{t+1}=100 \times (1+0,8-0,75) = 100 \times 1,05 = 105$$ Podemos também projetar a população para outras gerações, usando iterações:
prosseguindo e tomando o tamanho da população no tempo zero ($N_0$):
Generalizando: $$N_{t}=N_0 \lambda^t $$ Assim, para nosso exemplo a projeção para 10 intervalos de tempo é $$100 \times {1,05}^{10} = 162,8895$$ Tempo contínuoCom um pouco de manipulação algébrica a equação para tempo discreto $$N_{t+1} \ = \ (1+r_d)N_t$$ Pode ser reescrita como $$ N_{t+1} - N_t \ = \ \Delta N \ = \ r_dN_t $$ o que explicita que a velocidade de crescimento $\Delta N = N_{t+1} - N_t$ é proporcional ao tamanho poulacional $N_t$. Essa é característica essencial do crescimento populacional sem limites a uma taxa constante: Omni vivo ex vivo O fato básico da reprodução faz com que a variação do número de indivíduos de uma população no tempo seja proporcional ao número de indivíduos, em um ambiente constante. A velocidade de crescimento é a variação no número de indivíduos $\Delta N$ dividida pelo tempo em que se deu esta variação, $\Delta t$. No modelo de tempo discreto $\Delta t = 1$, por definição. É um intervalo que pode ser tão grande como uma geração. Isso faz sentido se as mudanças no tamanho populacional se dão em intervalos discretos, como por exemplo em espécies semélparas com estação reprodutiva sincronizada. No entanto, o tamanho populacionais da maioria das espécies varia continuamente. O cálculo diferencial foi criado para descrever esse tipo de dinâmica. Como o problema é que podem ocorrer mudanças a qualquer instante, o conceito-chave aqui é o de taxa instantânea, ou derivada. Taxa instantânea de crescimentoSe nascimentos e mortes podem acontecer a todo momento, faz mais sentido pensarmos em uma velocidade instantânea do tamanho populacional. Isto equivale a reduzir $\Delta t$ tanto que pode ser considerado um instante. Esta velocidade instantânea é a derivada do tamanho populacional, que representamos com ${dN}/{dt}$, para diferenciar da velocidade a intervalos grandes e arbitrários $\Delta N/\Delta t$ 1). Agora podemos expressar que velocidade instantânea de uma população é proporcional ao tamanho populacional com a equação: $$\frac{dN}{dt} = rN$$ Que é o modelo de crescimento populacional a taxa constante em tempo contínuo. O parâmetro $r$ é chamado taxa instântanea de crescimento per capita. Essa taxa $r$ expressa o número médio de filhotes que cada indivíduo da população produz num intervalo de tempo muito curto. Por isso, muito livros de ecologia indicam que a unidade de $r$ é indivíduos/indivíduo.tempo. Físicos e matemáticos são mais rigorosos e lembram que a expressão correta da unidade é 1/tempo. Projeção da população em tempo contínuoPara prever o tamanho de uma população que cresce a uma taxa constante em tempo contínuo usamos a equação $$N(t) = N_0e^{rt}$$ E a relação entre a taxa de crescimento instantânea e a taxa de crescimento do modelo discreto é $$ r \ = \ ln(\lambda)$$ Por que? Por que? Por que?As duas equações acima são deduzidas da equação $dN/dt=rN$ com técnicas de cálculo numérico. Se quiser entender um pouco mais sobre isso veja o roteiro sobre taxas, derivadas e função exponencial. Simulando crescimento denso-independentePara prosseguir você deve ter o ambiente R com os pacotes Rcmdr e Ecovirtual instalados e carregados. Se você não tem e não sabe como ter, consulte a página de Instalação. Caso já tenha o R e pacotes instalados Carregue o pacote principal Rcmdr.Plugin.EcoVirtual pelo menu do R Pacotes > Carregar Pacotes, ou pela linha de comando com o código: library("RcmdrPlugin.EcoVirtual") Vamos usar o EcoVirtual para projetar o tamanho de populações que crescem a taxas constantes sem limite, em tempo contínuo e discreto. Na janela do Rcmdr clique na opção de menu EcoVirtual, e depois em One population em seguida em Exponential growth. Duas janelas irão se abrir, uma de opções como esta:
e outra com um gráfico como este:
Arranje as janelas de modo que o gráfico esteja sempre visível, mesmo quando você alterar valores na janela de opções. ParâmetrosOs parâmetros da nossa função de crescimento denso-independente são:
Gráfico resultante da funçãoO resultado da função será um gráfico com o tamanho da população em função do tempo previstos pelos modelos. Os pontos azuis indicam os tamanhos populacionais previstos pelo modelo de crescimento em tempo discreto: $$N_t = N_0\lambda^t$$ usando os valores de $N_0$ e $\lambda$ da caixa de opções. A linha preta indica os tamanhos populacionais previstos pelo modelo de crescimento em tempo contínuo: $$N(t) = N_0e^{rt}$$ usando os mesmos valores de parâmetros. Para isso, o $\lambda$ é usado para calcular a taxa de crescimento instantânea per capita correspondente do modelo contínuo pela relação: $$r=ln(\lambda)$$ Os valores para o modelo discreto são pontos, porque este modelo prevê o tamanho da população a intervalos discretos. Já o modelo em tempo contínuo prevê o tamanho da população a qualquer momento, e por isso é representado por uma linha contínua. Os pontos se sobrepõem à linha porque o EcoVirtual usa taxas de crescimento equivalentes para tornar as projeções comparáveis. Abaixo do eixo X do gráfico está o valor de $\lambda$ e de $r$ usados na simulação. Exercícios: brincando nos campos do senhor
Em suas memoráveis aulas de dinâmica de populações, o físico Roberto Kraenkel costuma dizer que não sabe se o paraíso existe, mas em caso afirmativo sabe que só lá as populações crescem sem limites. Apesar disso, prossegue, os modelos para este tipo de crescimento são essenciais para entender a dinâmica de populações reais, assim como a irrealista primeira lei de Newton é essencial para entender o movimento dos corpos no espaço. Então vamos usar o EcoVirtual para explorar o comportamento dos modelos de crescimento a taxas constantes! Varie a taxa de crescimento Experimente diferentes valores da taxa de crescimento discreto $\lambda$ com a opção PerguntaQual valor ou intervalos de valores de $\lambda$ e de $r$ sob o quais a população:
Varie o intervalo no modelo discreto O parâmetro Note que à medida que você diminui o intervalo de tempo do modelo discreto os pontos se aproximam, até que parecem formar uma linha contínua. Ou seja, a projeção a intervalos discretos tende à projeção em tempo contínuo à medida que os intervalos são reduzidos! De fato, o modelo exponencial pode ser visto como um limite do modelo discreto. Os detalhes estão no já indicado roteiro taxas, derivadas e função exponencial. Mas para que isso funcione o EcoVirtual recalcula o valor de $\lambda$ e o correspondente $r$ para cada novo intervalo de tempo discreto. E aqui vai nossa pergunta: como são feitos estes cálculos? Mais precisamente: PerguntaDado uma razão de crescimento discreto para um intervalo de tempo de valor de uma unidade, $$\lambda_1=\frac{N_{t+1}}{N_t}$$ como calcular a razão de crescimento para um intervalo fracionário $$\lambda_{1/n}=\frac{N_{t+{1/n}}}{N_t}$$ de modo que ao final de uma unidade de tempo a razão de crescimento permaneça $\lambda_1$? Verifique sua solução contra os valores que o EcoVirtual retorna quando você reduz o intervalo de tempo discreto pela metade (intt=0.5). duas dicas
Exercícios extra : Cresce BRASILEsse exercício utiliza os dados de censos do IBGE para modelar e fazer predições sobre o crescimento da população brasileira. Antes de seguir ao link abaixo, baixe os arquivos de dodos necessários: Para seguir ao roteiro nesse wiki: Para abrir o exercício direto no seu computador (offline) utilize o arquivo:
Para Saber mais
ecovirt/roteiro/den_ind/di_rcmdr.txt · Última modificação: 2016/05/10 07:19 (edição externa) Qual a diferença entre crescimento natural e crescimento populacional?O crescimento vegetativo representa a diferença entre a taxa de natalidade e a taxa de mortalidade. É também chamado de crescimento natural. Já o crescimento absoluto é o número de nascimentos menos o número de falecimentos somado ao saldo migratório, dividido pela população total, em porcentagem (%).
Como é determinado o crescimento natural de uma população?De maneira geral, é possível dizer que o crescimento natural vegetativo corresponde ao cálculo da diferença entre a taxa de natalidade e a taxa de mortalidade de um determinado território. Juntamente do índice migratório, essa taxa determinará o nível de crescimento demográfico de uma região.
Quais os dois tipos de crescimento populacional?Crescimento Populacional. A população em um determinado território é estudada a partir de dois tipos de crescimento, o crescimento absoluto e o crescimento vegetativo.. Crescimento vegetativo é o número de pessoas que nasceram menos o número de pessoas que morreram em um determinado local.. Que fatores são determinantes para o crescimento exponencial observado em nossa espécie?Dentre eles, podemos citar os nascimentos e mortes, além dos movimentos realizados pelos organismos. O número de indivíduos de uma população irá variar em função da disponibilidade de alimento, predadores, locais para a reprodução, além de vários fatores ecológicos dentro do habitat.
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