Quais fatores que influenciam a energia potencial gravitacional de um objeto?

Objetivos de

Ao final desta seção, você poderá:

• Explique a energia potencial gravitacional em termos de trabalho realizado contra a gravidade.
• Mostre que a energia potencial gravitacional de um objeto de massa m na altura h na Terra é dada por\(PE_g = mgh\)
• Mostre como o conhecimento da energia potencial em função da posição pode ser usado para simplificar cálculos e explicar fenômenos físicos.

Trabalho realizado contra a gravidade

Subir escadas e levantar objetos é um trabalho tanto no sentido científico quanto no cotidiano — é um trabalho feito contra a força gravitacional. Quando há trabalho, há uma transformação de energia. O trabalho realizado contra a força gravitacional se transforma em uma forma importante de energia armazenada que exploraremos nesta seção.

Vamos calcular o trabalho realizado ao levantar um objeto de massa\(m\) através de uma altura\(h\) como na Figura. Se o objeto for levantado diretamente em velocidade constante, a força necessária para levantá-lo é igual ao seu peso\(mg\). O trabalho realizado na missa é então\(W = Fd = mgh\). Definimos isso como a energia potencial gravitacional\((PE_g)\) colocada (ou obtida pelo) sistema Objeto-Terra. Essa energia está associada ao estado de separação entre dois objetos que se atraem pela força gravitacional. Por conveniência, nos referimos a isso como a\(PE_g\) obtida pelo objeto, reconhecendo que essa é a energia armazenada no campo gravitacional da Terra. Por que usamos a palavra “sistema”? A energia potencial é uma propriedade de um sistema e não de um único objeto, devido à sua posição física. O potencial gravitacional de um objeto é devido à sua posição em relação aos arredores dentro do sistema Terra-objeto. A força aplicada ao objeto é uma força externa, de fora do sistema. Quando faz um trabalho positivo, aumenta a energia potencial gravitacional do sistema. Como a energia potencial gravitacional depende da posição relativa, precisamos de um nível de referência para definir a energia potencial igual a 0. Normalmente escolhemos esse ponto para ser a superfície da Terra, mas esse ponto é arbitrário; o importante é a diferença na energia potencial gravitacional, porque essa diferença é o que se relaciona com o trabalho realizado. A diferença na energia potencial gravitacional de um objeto (no sistema Terra-objeto) entre dois degraus de uma escada será a mesma para os dois primeiros degraus e para os dois últimos degraus.

Conversão entre energia potencial e energia cinética

A energia potencial gravitacional pode ser convertida em outras formas de energia, como energia cinética. Se liberarmos a massa, a força gravitacional fará uma quantidade de trabalho igual a\(mgh\) ela, aumentando assim sua energia cinética nessa mesma quantidade (pelo teorema da energia de trabalho). Acharemos mais útil considerar apenas a conversão de\(PE_g\) para\(KE\) sem considerar explicitamente a etapa intermediária do trabalho. (Veja o exemplo\(\PageIndex{2}\).) Esse atalho facilita a solução de problemas usando energia (se possível) em vez de usar forças explicitamente.

Mais precisamente, definimos a mudança na energia potencial gravitacional\(\Delta PE_g\) como sendo

\[\Delta PE_g = mgh, \]

onde, para simplificar, denotamos a mudança de altura em\(h\) vez do normal\(\Delta h\). Observe que\(h\) é positivo quando a altura final é maior que a altura inicial e vice-versa. Por exemplo, se uma massa de 0,500 kg pendurada em um relógio cuco for aumentada em 1,00 m, então sua mudança na energia potencial gravitacional é

\[mgh = (0.500 \, kg)(9.80 \, m/s^2)(1.00 \, m)\]

\[= 4.90 \, kg \cdot m^2/s^2 = 4.90 \, J. \]

Observe que as unidades de energia potencial gravitacional acabam sendo joules, as mesmas do trabalho e de outras formas de energia. À medida que o relógio corre, a massa diminui. Podemos pensar na massa como liberando gradualmente seus 4,90 J de energia potencial gravitacional, sem considerar diretamente a força da gravidade que faz o trabalho.

Usando energia potencial para simplificar os cálculos

A equação\(\Delta PE_g = mgh\) se aplica a qualquer caminho que tenha uma mudança na altura de\(h\), não apenas quando a massa é levantada diretamente. (Veja a Figura.) É muito mais fácil calcular\(mgh\) (uma simples multiplicação) do que calcular o trabalho realizado ao longo de um caminho complicado. A ideia de energia potencial gravitacional tem a dupla vantagem de ser amplamente aplicável e facilitar os cálculos. A partir de agora, consideraremos que qualquer mudança na posição vertical\(h\) de uma massa\(m\) é acompanhada por uma mudança na energia potencial gravitacional e evitaremos a tarefa equivalente\(mgh\), porém mais difícil, de calcular o trabalho realizado por ou contra a força gravitacional.

Exemplo\(\PageIndex{1}\): The Force to Stop Falling

Uma pessoa de 60,0 kg pula no chão de uma altura de 3,00 m. Se cair com rigidez (com as articulações do joelho comprimindo 0,500 cm), calcule a força nas articulações do joelho.

Estratégia

A energia dessa pessoa é reduzida a zero nessa situação pelo trabalho realizado no chão quando ela para. A inicial\(PE_g\) é transformada em\(KE\) quando ele cai. O trabalho realizado no chão reduz essa energia cinética a zero.

Solução

O trabalho realizado na pessoa pelo chão quando ela para é dado por

\[W = Fd \, cos \, \theta = - Fd \]

com um sinal de menos porque o deslocamento ao parar e a força do piso estão em direções opostas.\((cos \, \theta = cos \, 180^o = -1.)\) O piso remove a energia do sistema, então ele faz um trabalho negativo.

A energia cinética que a pessoa tem ao chegar ao chão é a quantidade de energia potencial perdida ao cair da altura\(h\):

\[KE = -\Delta PE_g = -mgh \]

A distância em\(d\) que os joelhos da pessoa dobram é muito menor do que a altura\(h\) da queda, então a mudança adicional na energia potencial gravitacional durante a flexão do joelho é ignorada. O trabalho\(W\) realizado no chão da pessoa para a pessoa e leva a energia cinética da pessoa a zero:

\[W = -KE = mgh\]

Combinando essa equação com a expressão para\(W\) dá\[ -Fd = mgh.\]

Lembrando que\(h\) é negativo porque a pessoa caiu, a força nas articulações do joelho é dada por

\[F = -\dfrac{mgh}{d} = -\dfrac{(60.0 \, kg)(9.80 \, m/s^2)(-3.00 \, m)}{5.00 \times 10^{-3} \, m} = 3.53 \times 10^5 \, N.\]

Discussão

Uma força tão grande (500 vezes mais do que o peso da pessoa) durante o curto tempo de impacto é suficiente para quebrar os ossos. Uma maneira muito melhor de amortecer o choque é dobrar as pernas ou rolar no chão, aumentando o tempo durante o qual a força atua. Um movimento de flexão de 0,5 m dessa forma produz uma força 100 vezes menor do que no exemplo. O salto de um canguru mostra esse método em ação. O canguru é o único animal de grande porte a usar o salto para locomoção, mas o choque ao pular é amortecido pela flexão das patas traseiras em cada salto. (Veja a Figura.)

Exemplo\(\PageIndex{2}\): Finding the Speed of a Roller Coaster from its Height

(a) Qual é a velocidade final da montanha-russa mostrada na Figura, se ela começar do repouso no topo da colina de 20,0 m e o trabalho realizado por forças de atrito for insignificante? (b) Qual é sua velocidade final (novamente assumindo atrito insignificante) se sua velocidade inicial for de 5,00 m/s?

Estratégia

A montanha-russa perde energia potencial à medida que desce. Negligenciamos o atrito, de modo que a força restante exercida pela pista é a força normal, que é perpendicular à direção do movimento e não funciona. O trabalho em rede na montanha-russa é então feito apenas por gravidade. A perda de energia potencial gravitacional ao se mover para baixo em uma distância\(h\) é igual ao ganho de energia cinética. Isso pode ser escrito em forma de equação como\(-\Delta PE = \Delta KE \). Usando as equações para\(PE_g\) e\(KE\) podemos resolver a velocidade final\(v\), que é a quantidade desejada.

Solução para (a)

Aqui, a energia cinética inicial é zero, então\(\Delta KE = \frac{1}{2}mv^2\). A equação para mudança na energia potencial afirma que\(\Delta PE_g = mgh\). Como\(h\) é negativo nesse caso, reescreveremos isso\(\Delta PE_g = -mg|h|\) para mostrar claramente o sinal de menos. Assim,\[-\Delta PE_g = \Delta KE\] torna-se\[mg|h| = \dfrac{1}{2}mv^2\]

Resolvendo,\(v\) descobrimos que a massa é cancelada e que\[v = \sqrt{2g|h|}. \]

Substituindo valores conhecidos,

\[v = \sqrt{2(9.80 \, m/s^2)(20.0 \, m)} \]

\[= 19.8 \, m/s\]

Solução para (b)

Novamente\(-\Delta PE_g = \Delta KE\). Nesse caso, há energia cinética inicial, então\(\Delta KE = \frac{1}{2}mv^2 - \frac{1}{2}mv_0^2\). Assim,

\[mgh = \dfrac{1}{2}mv^2 - \dfrac{1}{2}m_0^2.\]

Reorganizar dá

\[\dfrac{1}{2}mv^2 = mg|h| + \dfrac{1}{2}mv_0^2.\]

Isso significa que a energia cinética final é a soma da energia cinética inicial e da energia potencial gravitacional. A missa novamente é cancelada, e\[v = \sqrt{2g|h| + v_0^2}.\]

Essa equação é muito semelhante à equação cinemática\(v = \sqrt{v_0^2 + 2ad}\), mas é mais geral: a equação cinemática é válida somente para aceleração constante, enquanto nossa equação acima é válida para qualquer caminho, independentemente de o objeto se mover com uma aceleração constante. Agora, a substituição de valores conhecidos dá

\[v = \sqrt{2(9.80 \, m/s^2)(20.0 \, m) + (5.00)^2}\]

\[= 20.4 \, m/s.\]

Discussão e implicações

Primeiro, observe que a massa é cancelada. Isso é bastante consistente com as observações feitas em Falling Objects de que todos os objetos caem na mesma taxa se o atrito for insignificante. Em segundo lugar, apenas a velocidade da montanha-russa é considerada; não há informações sobre sua direção em nenhum momento. Isso revela outra verdade geral. Quando o atrito é insignificante, a velocidade de um corpo em queda depende apenas de sua velocidade e altura iniciais, e não de sua massa ou do caminho percorrido. Por exemplo, a montanha-russa terá a mesma velocidade final se cair 20,0 m em linha reta ou seguir um caminho mais complicado, como o da figura. Em terceiro lugar, e talvez inesperadamente, a velocidade final na parte (b) é maior do que na parte (a), mas muito menor que 5,00 m/s. Finalmente, observe que a velocidade pode ser encontrada em qualquer altura ao longo do caminho simplesmente usando o valor apropriado de\(h\) no ponto de interesse.

Vimos que o trabalho realizado por ou contra a força gravitacional depende apenas dos pontos inicial e final, e não do caminho entre eles, o que nos permite definir o conceito simplificador de energia potencial gravitacional. Podemos fazer o mesmo com algumas outras forças, e veremos que isso leva a uma definição formal da lei de conservação de energia.

Fazendo conexões: investigação para levar para casa — convertendo potencial em

Energia cinética

Pode-se estudar a conversão da energia potencial gravitacional em energia cinética neste experimento. Em uma superfície lisa e nivelada, use uma régua do tipo que tenha uma ranhura ao longo de seu comprimento e um livro para fazer uma inclinação (veja a Figura). Coloque uma bola de gude na posição de 10 cm da régua e deixe-a rolar para baixo na régua. Quando atingir a superfície nivelada, meça o tempo necessário para rolar um metro. Agora coloque o mármore nas posições de 20 cm e 30 cm e meça novamente os tempos necessários para rolar 1 m na superfície nivelada. Encontre a velocidade da bola de gude na superfície nivelada para todas as três posições. Faça um gráfico da velocidade ao quadrado versus a distância percorrida pela bola de gude. Qual é a forma de cada gráfico? Se a forma for uma linha reta, o gráfico mostra que a energia cinética do mármore na parte inferior é proporcional à sua energia potencial no ponto de liberação.

Resumo

• O trabalho realizado contra a gravidade ao levantar um objeto se torna energia potencial do sistema Objeto-Terra .
• A mudança na energia potencial gravitacional é\(\Delta PE_g\)\(\Delta PE_g = mgh\),\(h\) sendo o aumento da altura e\(g\) a aceleração devido à gravidade.
• A energia potencial gravitacional de um objeto próximo à superfície da Terra se deve à sua posição no sistema terrestre de massa. Somente as diferenças na energia potencial gravitacional,\(\Delta PE_g\), têm significado físico.
• À medida que um objeto desce sem atrito, sua energia potencial gravitacional se transforma em energia cinética correspondente ao aumento da velocidade, de modo que\(\Delta KE = - \Delta PE_g\).

Glossário