Qual desses pontos melhor representa a localização do número −35−−√3 nessa reta?

O conjunto dos números inteiros é representado por (Z). Um número é considerado inteiro quando não apresenta casas decimais, ou seja, números após uma vírgula. Pertencem a esse conjunto os números inteiros positivos, inteiros negativos e o zero. Veja um exemplo da representação desse conjunto:

Z = { … -5, - 4, - 3, - 2, - 1, 0, + 1, + 2, + 3, + 4, + 5 …}

Reta Numérica

A reta numérica do conjunto dos inteiros é infinita. Representamos essa ocorrência colocando uma seta nos dois lados da reta. Veja:

Os números na reta numérica são dispostos em relação ao zero. Assim, os números positivos ficam do lado direito da reta, e os negativos, do lado esquerdo. O lado positivo é organizado de forma crescente, ou seja, do menor termo numérico para o maior. Exemplo:

Z = {0, + 1, + 2, + 3, + 4, + 5 …}

Ordem crescente: 1 < 2 < 3 < 4 < 5 < ...

Já os números do lado negativo da reta são organizado de forma decrescente, isto é, do maior para o menor. Exemplo:

Z = {… - 5, - 4, - 3, - 2, - 1, 0}

Ordem decrescente: - 1 > - 2 > - 3 > - 4 > - 5 > ...

Em relação aos termos negativos, podemos chamá-los ainda de mais negativos ou menos negativos em relação ao zero. Exemplo:

• O número - 5 é mais negativo em relação ao -1. Isso acontece porque o - 5 está mais distante do zero na reta numérica.

• O número - 2 é menos negativo em relação ao - 4. Isso acontece porque o - 2 está mais próximo do zero.

Veja a representação da reta numérica dos inteiros:

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Ao observar todos os termos de uma reta numérica, é possível concluir que a ordem geral da reta é crescente, pois os números são organizados do menor para o maior. Na imagem da reta acima, temos que – 9 é o menor número representado na reta numérica e que + 8 é o maior. Para praticar um pouco os conceitos estudados, faremos alguns exemplos.

Exemplos:

1) Organize os números do conjunto A na reta numérica: A = { -2, + 6, -9, + 8, - 8, - 1, + 5, 0, - 3}

Resolução:

2) As temperaturas, na maior parte dos países, é medida em graus Celsius (° C). Existem alguns países que são muito frios, como:

• Islândia, com temperaturas que chegam a - 40 ° C;

• Mongólia, com temperaturas que chegam a - 20 ° C;

• Canadá, que chega a apresentar, de noite, temperatura de - 39 ° C;

• Groenlândia, com temperaturas de até - 9 ° C.

Organize todas as temperaturas em uma reta numérica e indique qual país é o menos frio e qual é o mais frio.

Resolução:

O país mais frio é a Islândia, pois a sua temperatura é a mais distante do 0 °C. O país menos frio é a Groenlândia, pois sua temperatura está mais próxima do zero.

3) Observe os números abaixo e utilize os símbolos de (<) menor e (>) maior para estabelecer as relações.

a) -5 < +3 → -5 é menor que + 3

b) 0 > - 4 → 0 é maior que - 4

c) + 100 > - 100 → + 100 é maior que -100

d) -1 < 0 → - 1 é menor que 0

e) + 10 > - 15 → + 10 é maior que - 15

Uma reta numérica é uma reta na qual foram colocados todos os números reais. Essas retas são construídas com base no conceito de distância entre dois pontos, uma vez que toda distância é representada por um número real e quanto maior esse número, maior a distância que ele representa. Esse é justamente o conceito utilizado para a construção de uma reta numérica. Elas são usadas para medir distâncias e podem ser encontradas em objetos muito comuns como a régua ou a fita métrica.

A seguir, mostraremos como construir uma reta numérica e o modo como os números reais se comportam quando são representados nela.

Construção de uma reta numérica

Os passos que devem ser tomados, na ordem correta, para a construção de uma reta numérica são os seguintes:

1 – Tomar uma reta e, nela, escolher um ponto que representará o número real 0 (zero). Esse ponto será chamado de origem.

2 – Escolher um sentido para essa reta, chamado sentido positivo. Por exemplo, em uma reta horizontal, se escolhermos “da esquerda para a direita” como sentido positivo, um número que estiver mais à direita será maior que um número que estiver mais à esquerda.

Dessa maneira, o primeiro número inteiro que virá à direita do zero será 1, pois esse é o número inteiro imediatamente maior que zero e o primeiro número que virá à esquerda da origem é – 1, pois esse é o número inteiro imediatamente menor que zero.

3 – Escolher uma unidade de medida e usá-la para marcar os números na reta numérica. Esses números devem ser marcados da seguinte maneira: dada uma unidade de medida predefinida, medir a distância entre um ponto e a origem. A distância obtida será o número real relacionado àquele ponto.

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Para representar números racionais, escreva-os na forma decimal e os marque na reta numérica conforme o exemplo a seguir: 3,25 é um número formado por 3 inteiros e 25 centésimos. Logo, dividiremos o espaço entre 3 e 4 em 100 partes iguais e marcaremos a que representa 25, como na imagem acima.

Formalização e propriedades da reta numérica

O conceito que permite que as retas sejam relacionadas aos números é o de função. As retas numéricas são uma relação biunívoca entre os números reais e os pontos da reta. Isso significa que cada ponto da reta é representado apenas por um número real e que cada número real representa apenas um número da reta. Essa relação pode ser comparada às funções bijetoras.

Os resultados dessa relação e da construção das retas numéricas, já discutido acima, são as seguintes propriedades:

• Um número mais à direita é maior que um número mais à esquerda.

• À esquerda da origem ficarão todos os números negativos.

• Um número negativo sempre é menor que um número positivo.

Para essa última propriedade vale observar alguns exemplos:

O número + 20 é sempre maior que o número – 20, pois o primeiro está à direita do segundo. Também podemos dizer que o número + 20 é maior que qualquer número negativo, pois não existe número negativo à direita de + 20. Já a comparação entre dois números negativos, quanto maior o módulo do número menor o seu valor. Por exemplo: o número – 50 é menor que – 1, pois – 50, além de estar mais à esquerda, possui maior módulo.

Qual desses pontos melhor representa a localização do número − 35 − − √ 3 − 353 nessa reta P Q R S?

Qual e o ponto que melhor representa a localização do número − 3 √ − 3 nessa reta PQRS?

Qual desses pontos melhor representa a localização do número menos raiz quadrada de 3 nessa reta?

Qual ponto representa o número − 2 √ − 2 nessa reta pq?